北京市各区中考数学二模试卷分类汇编几何压轴题

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几何压轴题 1 昌平 28. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接 DE，将△ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△CDF，作点 F 关于 CD 的对称点，记为点 G，连接 DG. （1）依题意在图 1 中补全图形； （2）连接 BD，EG，判断 BD 与 EG 的位置关系并在图 2 中加以证明； （3）当点 E 为线段 AB 的中点时，直接写出∠EDG 的正切值. E D CB A 图2图1 A B C D E 备用图 A B C D 2 朝阳 28.在△ABC 中，∠ACB=90°，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABD，且点 D 与 点 C 在直线 AB 的两侧，连接 CD． (1) 如图 1，若∠ABC=30°，则∠CAD 的度数为 ． (2)已知 AC=1，BC=3. ①依题意将图 2 补全； ②求 CD 的长； 小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求 CD 长的几种想法： 想法 1:延长 CB，在 CB 延长线上截取 BE=AC，连接 DE.要求 CD 的长，需 证明 △ACD≌△BED，△CDE 为等腰直角三角形. 想法 2:过点 D 作 DH⊥BC 于点 H，DG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G，要 求 CD 的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD 为等腰直角三角形. …… 请参考上面的想法，帮助小聪求出 CD 的长（一种方法即可）. (3)用等式表示线段 AC，BC，CD 之间的数量关系（直接写出即可）． 图 1 图 2 3 东城 28. 取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图 1，先把正方形 ABCD 对折，折痕为 MN； 第二步：点 G 在线段 MD 上，将△GCD 沿 GC 翻折，点 D 恰好落在 MN 上， 记为点 P，连接 BP. （1）判断△PBC 的形状，并说明理由； （2）作点 C 关于直线 AP 的对称点 C′，连 PC′，D C′， ①在图 2 中补全图形，并求出∠APC′的度数； ②猜想∠PC′D 的度数，并加以证明. （温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接 A C′，C C′，研究图形中特殊的三 角形） G P N M B C A D 图 1 D P B C A 图 2 图2图1 M E F N NF E M A BC PPC B A 4 房山 28. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点 P 为 BC 边上的一个动点（不 与 B、C 重合）. 点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N，连结 MN 交 AB 于点 F，交 AC 于点 E. （1）当点 P 为 BC 的中点时，求∠M 的正切值； （2）当点 P 在线段 BC 上运动（不与 B、C 重合）时，连接 AM、AN，求证： ① △AMN 为等腰直角三角形；②△AEF∽△BAM . 5 丰台 28．已知正方形 ABCD，点 E，F 分别在射线 AB，射线 BC 上，AE=BF，DE 与 AF 交于点 O. （1）如图 1，当点 E，F 分别在线段 AB，BC 上时，则线段 DE 与 AF 的数量 关系是 ，位置关系是 . （2）如图 2，当点 E 在线段 AB 延长线上时，将线段 AE 沿 AF 进行平移至 FG，连接 DG. ①依题意将图 2 补全； ②小亮通过观察、实验提出猜想：在点 E 运动的过程中，始终有 . 小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：连接 EG，要证明 ，只需证四边形 FAEG 是平行四边形及△DGE 是等腰直角三角形. 想法 2：延长 AD，GF 交于点 H，要证明 ，只需 证△DGH 是直角三角形. 图 1 图 2 请你参考上面的想法，帮助小亮证明 .（一种方法即可） 6 海淀 222 22 AEADDG += 222 22 AEADDG += 222 22 AEADDG += 222 22 AEADDG += O F E D C BA A EB F CD O 28．在锐角△ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的高，E 为 AC 中点． （1）如图 1，过点 C 作 CF⊥AB 于 F 点，连接 EF．若∠BAD=20°，求∠AFE 的度数； （2）若 M 为线段 BD 上的动点（点 M 与点 D 不重合），过点 C 作 CN⊥AM 于 N 点，射线 EN，AB 交于 P 点． ①依题意将图 2 补全； ②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点 M 运动的过程中，始终有∠ APE=2∠MAD． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：连接 DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD． 想法 2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用 α，β 表示出∠PEC，通过 角度计算得∠APE=2α． 想法 3：在 NE 上取点 Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD， 只需证 △NAQ∽△APQ． …… 请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD．（一种方法即可） 7 怀柔 E F B D C A A E B D C图 1 图 2 28．在△ABN 中，∠B =90°，点 M 是 AB 上的动点（不与 A,B 两点重合），点 C 是 BN 延长线上的动点（不与点 N 重合），且 AM=BC，CN=BM，连接 CM 与 AN 交于点 P. （1）在图 1 中依题意补全图形; （2）小伟通过观察、实验，提出猜想:在点 M，N 运动的过程中，始终有∠ APM=45°. 小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明 该猜想的一种思路: 要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造 全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明 等腰直角三角形，出现 45°的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证 明∠APM=45°. 他们的一种作法是：过点 M 在 AB 下方作 MD AB 于点 M,并且使 MD=CN.通过 证明△AMD △CBM,得到 AD=CM,再连接 DN，证明四边形 CMDN 是平行四边形， 得到 DN=CM，进而证明△ADN 是等腰直角三角形，得到∠DNA=45°.又由四边 形 CMDN 是平行四边形，推得∠APM=45°.使问题得以解决. 请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明∠APM=45°. ⊥ ≅ 图 1 A B N 备用图 A B N 8 石景山 28．已知在 中， ， ，点 为射线 上一点（与点 不重合），过点 作 ⊥ 于点 ，且 （点 与点 在射线 同侧），连接 ， ． （1）如图，当点 在线段 上时，请直接写出 的度数. （2）当点 在线段 的延长线上时，依题意在图 中补全图形并判断（1） 中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（1）的条件下， 与 相交于点 ，若 ，直接写出 的最 大值． Rt BAC△ 90BAC∠ = ° AB AC= D BC B C CE BC C CE BD= E A BC AD ED D BC ADE∠ D BC 2 ED AC P 2AB = CP 图 1 图 2 备用图 E A B CD A B C D P E A B CD 9 顺义 28．在△ABC 中，AB=AC，D 为线段 BC 上一点，DB=DA，E 为射线 AD 上一点， 且 AE=CD，连接 BE． （1）如图 1，若∠B=30°，AC= 3，请补全图形并求 DE 的长； （2）如图 2，若 BE=2CD，连接 CE 并延长，交 AB 于点 F，小明通过观察、实验 提出猜想：CE=2EF．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成 了证明该猜想的几种想法： 想法 1：过 A 作 AM∥BC 交 CF 的延长线于点 M，先证出△ABE≌△CAD， 再证出△AEM 是等腰三角形即可； 想法 2：过 D 作 DN∥AB 交 CE 于点 N，先证出△ABE≌△CAD，再证点 N 为线段 CE 的中点即可． 请你参考上面的想法，帮助小明证明 CE=2EF．（一种方法即可） 10 通州 28．在△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°. 以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ADB. 点 P 是直线 DB 上一个动点，连接 AP，作 PE⊥AP 交 BC 所在的直线于点 E. （1）如图 1，点 P 在 BD 的延长线上，PE⊥EC，AD=1，直接写出 PE 的长； （2）点 P 在线段 BD 上（不与 B，D 重合），依题意，将图 2 补全，求证 PA=PE； （3）点 P 在 DB 的延长线上，依题意，将图 3 补全，并判断 PA=PE 是否仍 然成立. 图 1 图 2 图 3 P E D CB A D CB A D CB A 11 西城 28．△ABC 是等边三角形，以点 C 为旋转中心，将线段 CA 顺时针方向旋转 60° 得到线段 CD， 连接 BD 交 AC 于点 O． （1）如图 1， ① 求证：AC 垂直平分 BD； ② 点 M 在 BC 的延长线上，点 N 在线段 CO 上，且 ND=NM，连接 BN，判断△MND 的形状，并加以证明； （2）如图 2，点 M 在 BC 的延长线上，点 N 在线段 AO 上，且 ND=NM，补 全图 2． 求证： NA = MC． 2017 二模 28 题汇编答案（几何压轴） 1 昌平 28. （1）依题意补全图形如图 1： ………………………………………… 2 分 （2）判断： BD⊥EG. ………………… 3 分 证明：如图 2，BD，EG 交于 M， ∵正方形 ABCD，∴AB=BC，∠DAE=∠DCB =90° 由旋转可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF ∴∠DCF = ∠DAE =∠DCB =90° ∴点 B，C，F 在一条直线上. ∵点 G 与点 F 关于 CD 的对称 ∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF ∴DE=DG，AE=CG ∴BE=BG ………………………………………………… 4 分 ∴BD⊥EG 于 M. …………………………………………………… 5 分 （3）∠EDG 的正切值为 .………………………………………………… 7 分 2 朝阳 28．解：（1）105°. （2）①补全图形，如图所示. ②想法 1： 如图， ∵∠ACB=∠ADB =90°， ∴∠CAD+∠CBD==180°. ∵∠DBE+∠CBD==180°， ∴∠CAD=∠DBE. 4 3 图1 FG A B C D E 图2 FG A B C D E M ∵DA=DB，AC=BE， ∴△ACD≌△BED． ∴DC=DE，∠ADC=∠BDE. ∴∠CDE =90°. ∴△CDE 为等腰直角三角形. ∵AC=1，BC=3, ∴CE=4. ∴CD= . 想法 2： 如图， ∵∠ACB=∠ADB =90°， ∴∠CAD+∠CBD==180°. ∵∠DAG+∠CAD==180°， ∴∠CBD=∠DAG. ∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°， ∴△BDH≌△ADG． ∴DH=DG，BH=AG. ∴∠DCH=∠DCG=45°. ∴△CHD 为等腰直角三角形. ∵AC=1，BC=3， ∴CH=2. ∴CD= . （3） . 2 2 2 2 2AC BC CD+ = 3 东城 28.（1）△PBC 是等边三角形. 证明：在正方形 ABCD 中，BC=CD， 又 CD=CP， ∴BC=CP， ∵P 在 MN 上， ∴PB=PC. ∴PB=BC=PC. ∴△PBC 是等边三角形. …………2 分 （2）①补全图形如图所示. 由 BA=BP，∠CBP=60°， 可求得∠APB=75°,又∠BPC=60°，可得∠APC=135°. 根据对称性，∠APC=∠APC’=135°. ②证法一： 连 AC’，CC’. 由①可得∠CPC’=90°. 由对称性可知 PC=PC’，从而可求得 AC=AC’=CC’= AB. 从而△ACC’为等边三角形； 由 AC’=CC’，DA=DC，C’D=C’D， 可证△AC’D≌△CC’D， 可得∠AC’D=∠CC’D=30°. 根据对称性 ∠AC’C=∠ACC’， ∠PC’C=∠PCC’， 从而∠AC’P=∠ACP， 由△ABC 为等腰直角三角形，可得∠ACB=45°， 由△PBC 为等边三角形，可得∠BCP=60°， 从而∠ACP=∠AC’P=15°. 所以∠PC’D=∠AC’D﹣∠AC’P=15°. …………8 分 证法二： 连 AC’，CC’. 由 BA=BP，∠CBP=60°，可求得∠APB=75°, 又∠BAC=45°，可得∠CAP=30°. 根据对称性，∠CAP=∠C’AP=30°,从而∠CAC’=60°； 由对称性可知 AC=AC’，从而△ACC’为等边三角形； 以下同证法一. 2 C' P N M B C A D A BC PM E F N 4 5 321 PC B A N F E M 4 房山 28. 解：（1）连接 NB， ……………………1 分 ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ∴∠CAB =∠CBA =45°=∠PBA ∵点 P 关于直线 AB 的对称点为 N，关于直线 AC 的对称点为 M， ∴∠NBA=∠PBA =45°，NB=PB，MC=PC ……………………2 分 ∴∠MBN =∠PBN =90° ∵点 P 为 BC 的中点，BC=2 ∴MC=CP=PB=NB=1，MB=3 ∴tan∠M= ……………………3 分 (2) ①连接 AP ∵点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N， ∴AP=AM=AN，∠1=∠2，∠3=∠4 …………………… 4 分 ∵∠CAB =∠2+∠3 =45° ∴∠MAN=90° ∴△AMN为等腰直角三角 形 ……………………5 分 ②∵△AMN 为等腰直角三角形 ∴∠5 =45° ∴∠AEF =∠5+∠1 =45°+∠1 ∵∠EAF=∠CAB =45° ∴∠BAM =∠EAF +∠1 =45°+∠1 ∴∠AEF =∠BAM …………………… 6 分 又∵∠CBA=∠EAF=45° ∴△AEF∽△BAM …………………… 7 分 5 丰台 28.解：（1）相等，垂 直．. ……………………………………………………………………………2 分 （2）①依题意补全图 形．.……………………………………………………………………3 分 1 3 NB MB = 4 32 1 G A EB F CD O ②法 1： 证明：连接 GE. 由平移可得 AE=FG，AE∥FG，∴四边形 AEGF 是平行四边 形. ……………………4 分 ∴AF=EG，AF∥EG， ∴∠1=∠2. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD = AB，∠DAE=∠ABC= 90°. ∵AE=BF， ∴△AED≌△BFA. ∴∠3=∠4，AF = DE. ∴ EG=DE. ……………………………………………………………………………… …5 分 ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°，∴∠ DEG=90°. ………………………………………………………6 分 ∴ . 又 ∵ ， ∴ .………………………………………………………………7 分 法 2： 证明：延长 AD，GF 交于点 H， 由平移可得 AE=FG，AE∥FG， ∴∠H+∠DAB= 180° ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB= 90°，AD=DC. ∴∠H = 90°. …………………………………………………………………… ……4 分 ∴ . ∵∠HDC=∠DCF= 90°, ∴四边形 HDCF 是矩形. ∴HF=DC. ∴HF=AD. ∵HG=FG+HF, ∴ HG=AE+HF=AE+AD. ……………………………………………… ………………5 分 ∵易证 BF=AH 且 BF=AE, ∴HD=AE –AD. ………………………………………………………………… ……6 分 ∴ . …………………………7 分 6 海淀 2222 2DEEGDEDG =+= 222 AEADDE += 222 22 AEADDG += 222 DHGHDG += ( ) ( ) 22222 22 AEADADAEADAEDG +=−++= GH A EB F CD O 28．（1）证明：∵AB=AC，AD 为 BC 边上的高，∠BAD=20°， ∴∠BAC=2∠BAD=40°．　-------------------------------- 1 分 ∵CF⊥AB， ∴∠AFC=90°． ∵E 为 AC 中点， ∴EF=EA= ． ∴∠AFE=∠BAC=40°．　------------------------------------ 2 分 （2）① 画出一种即可．　------------------------------------------------------------------- 3 分 ②证明： 想法 1：连接 DE． ∵AB=AC，AD 为 BC 边上的高， ∴D 为 BC 中点． ∵E 为 AC 中点， ∴ED∥AB， ∴∠1=∠APE． ------------------- 4 分 ∵∠ADC=90°，E 为 AC 中点， ∴ ． 同理可证 ． ∴AE=NE=CE=DE． ∴A，N，D，C 在以点 E 为圆心，AC 为直径的圆上． ----- 5 分 ∴∠1=2∠MAD． --------------------------------- 6 分 ∴∠APE=2∠MAD． ---------------------------------- 7 分 想法 2：设∠MAD=α，∠DAC=β， M P N E CDB A 1 2 AC 1 2AE DE CE AC= = = 1 2AE NE CE AC= = = E D CB A P M N F E B D C A M P N E CDB A ∵CN⊥AM， ∴∠ANC=90°． ∵E 为 AC 中点， ∴ ． ∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β． ------------------- 4 分 ∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β． ---------- 5 分 ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAC=2∠DAC=2β． ∴∠APE=∠PEC ∠BAC=2α． -------------------- 6 分 ∴∠APE=2∠MAD． ------------------------------- 7 分 想法 3：在 NE 上取点 Q，使∠NAQ=2∠MAD，连接 AQ， ∴∠1=∠2． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴∠BAD ∠1=∠CAD ∠2， 即∠3=∠4． --------------------------------- 4 分 ∴∠3+∠NAQ=∠4+∠NAQ， 即∠PAQ=∠EAN． ∵CN⊥AM， ∴∠ANC=90°． ∵E 为 AC 中点， ∴ ． ∴∠ANE=∠EAN． --------------------------- 5 分 ∴∠PAQ=∠ANE． ∵∠AQP=∠AQP， ∴△PAQ ∽ △ANQ． --------------------------- 6 分 ∴∠APE=∠NAQ=2∠MAD． ------------------- 7 分 7 怀柔 28（1）在图 1 中依题意补全图形,如图 1 所示：…………………………1 分 1 2AE NE AC= = − − − 1 2AE NE AC= = 43 21 Q N M P A B CD E （2）证明：如图 2， 过点 A 作 AD AB 于点 A,并且使 AD=CN.连接 DM,DC. …………………………2 分 ∵AM=BC，∠DAM=∠MBC =90°， ∴△DAM △MBC. …………………………3 分 ∴DM=CM, ∠AMD=∠BCM. …………………………4 分 ∵∠DAM=90°. ∴∠AMD+∠BMC =90°. ∴∠DMC =90°. ∴∠MCD =45°. …………………………5 分 ∵AD∥CN,AD=CD, ∴四边形 ADCN 是平行四边形. …………………………6 分 ∴AN∥DC. ∵∠MCD =45°. ∴∠APM=45°. …………………………7 分 （其它方法相应给分） 8 石景山 28．解：（1） ． ………… 1 分 （2）补全图形，如图 1 所示．…………… 2 分 结论成立． 证明： 连接 如图 2． ∵在 中， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ……… 3 分 又∵ ， ∴ ． …………… 4 分 ∴ ． ∴ ． ……… 5 分 ∴ 是等腰直角三角形． ⊥ ≅ 45° AE， Rt BAC△ 90BAC∠ = ° AB AC= 1 45BÐ =Ð = ° CE BC^ 90BCE °Ð = 2 45Ð = ° 2BÐ = Ð AB AC BD CE，= = ABD ACE≌  AD AE BAD CAE，= Ð = Ð 90DAE BAC °Ð = Ð = DAE△ A B C D P M N 图 2 图 1 图 2 321 E A B C D E A B C D G F E CDB A ． ……………… 6 分 （3）． ……… 7 分 9 顺义 28．（1）解：∵DA=DB，∠ABC=30°， ∴∠BAD = ∠ABC =30°． ∵AB=AC， ∴∠C =∠ABC =30°． ∴∠BAC =120°． ∴∠CAD=90°．………………………………………………………2分 ∴AD=AC×tan30°=1，AE=CD=2AD=2， ∴DE=AE-AD=1．……………………………………………………3 分 　（2）证明：如图，过 A 作 AG∥BC，交 BF 延长线与点 G， ∵DB=DA，AB=AC， ∴∠BAD=∠ABC，∠ABC=∠ACB． ∴∠BAD=∠ACB． ∵AE=CD， ∴△ABE≌△CAD．……………………4 分 ∴BE=AD． ∵BE=2CD， ∴AD=2CD=2AE． ∴AE=DE． ∵AG∥BC， ∴∠G=∠DCE，∠GAE=∠CDE． ∴△AGE≌△DCE．………………………………………5 分 ∴EG=CE，AG=CD=AE． ∴△AGE 为等腰三角形． ∴∠GAF=∠ABC=∠BAD． ∴F 为 GE 的中点． ………………………………………6 分 ∴CE=EG=2EF．…………………………………………7 分 10通州 3 45Ð = ° A B D E C 28.解： （1） ……………………..(1分) （2）法①过 P 作 PM⊥BD,交 AB 于 M 法②过P作PM⊥BC于点M, 过P作PN⊥AB于点N 法③延长AB,在AB的延长线上截取PM=PA 法④过点B作BM⊥BD,截取BM=BP，连接CM. 法⑤连接 AE,取 AE 中点 M，连接 BM，PM,四点共圆. …………..(5 分) （3）图正确，成立……………………..(7 分) 11 西城 28．证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC =CA， ∠ABC=∠ACB =∠CAB =60°． （1）①以点 C 为旋转中心将线段 CA 顺时针方向旋转 60°得到线段 CD． ∴CD= CA= CB，∠ACD=∠ACB =60°． ∴ BO =DO，CO⊥BD． ∴AC 垂直平分 BD． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ②△MND 是等边三角形． 如图 1，由①AC 垂直平分 BD， ∴NB =ND， ∠CBD = ∠ABC=30°． ∴∠1=∠2． ∴∠BND=180°-2∠2． ∵ND=NM， ∴NB=NM． ∴∠3=∠4．∠BNM=180°-2∠4． ∴∠DNB=360°-180°+2∠2-180°+2∠4 =2(∠2+∠4) =60°． ∴△MND 是等边三角形．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）连接 AD， BN．如图 2， 由题意可知，△ACD 是等边三角形， ∠1=∠2，∠3=∠NBM， 2 1 2 ∠BND=180°-2∠2，∠BNM =180°-2∠NBM． ∴∠MND=∠BND-∠BNM ∠MND===2(∠NBM -∠2) =60°． ∴△MDN 是等边三角形． ∴DN=DM，∠NDM=60°． ∠ADC=∠NDM°． ∴∠NDA=∠MDC， ∠NAD=∠MCD=60°． ∴△AND≌△CMD．- ∴AN=MC．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分