2018中考专题复习轴对称最值

2018中考专题复习轴对称最值

‎2015中考专题复习——轴对称之最值 例题讲解 ‎1．（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ ‎2．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ ‎　‎ ‎3．（2013•宛城区一模）点A，B均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP+OQ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ D．‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎4．如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣2，0）‎ B．‎ ‎（4，0）‎ C．‎ ‎（2，0）‎ D．‎ ‎（0，0）‎ ‎　‎ ‎6．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，则PA+PB的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎8．（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎9．（2012•青岛）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ⊥AB？‎ ‎（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•南充）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处时村庄N（参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）．‎ ‎（1）求M，N两村之间的距离；‎ ‎（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．‎ ‎　‎ ‎11．（2013•日照）问题背景：‎ 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．‎ ‎（1）实践运用：‎ 如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　_________　．‎ ‎（2）知识拓展：‎ 如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．‎ ‎　‎ ‎12．（2010•天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．‎ ‎（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；‎ ‎（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．‎ ‎（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）‎ ‎　‎ ‎13．（2010•淮安）（1）观察发现：‎ 如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．‎ 做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．‎ 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　_________　．‎ ‎（2）实践运用：‎ 如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．‎ ‎（3）拓展延伸：‎ 如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．‎ ‎　‎ ‎14．（2009•漳州）几何模型：‎ 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．‎ 问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．‎ 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．‎ 模型应用：‎ ‎（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　_________　；‎ ‎（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；‎ ‎（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．‎ ‎　‎ ‎2013年12月1066077065的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共7小题）‎ ‎1．（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．4204949‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，‎ 则此时PA+PC的值最小，‎ ‎∵DP=PA，‎ ‎∴PA+PC=PD+PC=CD，‎ ‎∵B（3，），‎ ‎∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2，‎ 由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，‎ ‎∴AM=，‎ ‎∴AD=2×=3，‎ ‎∵∠AMB=90°，∠B=60°，‎ ‎∴∠BAM=30°，‎ ‎∵∠BAO=90°，‎ ‎∴∠OAM=60°，‎ ‎∵DN⊥OA，‎ ‎∴∠NDA=30°，‎ ‎∴AN=AD=，由勾股定理得：DN=，‎ ‎∵C（，0），‎ ‎∴CN=3﹣﹣=1，‎ 在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，‎ 即PA+PC的最小值是，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎2．（2011•本溪）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．4204949‎ 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ 过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．‎ 解答：‎ 解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，‎ ‎∵DD′⊥AE，‎ ‎∴∠AFD=∠AFD′，‎ ‎∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，‎ ‎∴△DAF≌△D′AF，‎ ‎∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，‎ ‎∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DAD′=45°，‎ ‎∴AP′=P′D′，‎ ‎∴在Rt△AP′D′中，‎ P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，‎ ‎∵AP′=P′D'，‎ ‎2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，‎ ‎∴P′D′=2，即DQ+PQ的最小值为2．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2013•宛城区一模）点A，B均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP+OQ=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．4204949‎ 分析：‎ 连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，‎ ‎∵点B是正方形的中点，‎ ‎∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；‎ 作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，‎ ‎∵A′（﹣1，2），B（2，1），‎ 设过A′B的直线为：y=kx+b，则，‎ 解得，‎ ‎∴Q（0，），即OQ=，‎ ‎∴OP+OQ=3+=．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意得出P、Q两点的坐标是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径r=1，则PA+PB的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．4204949‎ 分析：‎ 本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．‎ 解答：‎ 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥AB，‎ ‎∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，‎ ‎∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，‎ ‎∵B是半圆上的一个六等分点，‎ ‎∴∠BON=30°，‎ ‎∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，‎ 又∵OA=OA′=1，∠A′=30°，‎ ‎∴A′Q=OA′cos30°=，‎ ‎∴A′B=．‎ ‎∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣2，0）‎ B．‎ ‎（4，0）‎ C．‎ ‎（2，0）‎ D．‎ ‎（0，0）‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．4204949‎ 分析：‎ 作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入求出解析式是y=x﹣2，把y=0代入求出x即可．‎ 解答：‎ 解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，‎ 则此时AP+PB最小，‎ 即此时点P到点A和点B的距离之和最小，‎ ‎∵A（﹣2，4），‎ ‎∴C（﹣2，﹣4），‎ 设直线CB的解析式是y=kx+b，‎ 把C、B的坐标代入得：，‎ 解得：k=1，b=﹣2，‎ ‎∴y=x﹣2，‎ 把y=0代入得：0=x﹣2，‎ x=2，‎ 即P的坐标是（2，0），‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．‎ ‎　‎ ‎6．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，则PA+PB的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．4204949‎ 分析：‎ 本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．‎ 解答：‎ 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．‎ ‎∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，‎ ‎∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，‎ ‎∵点B是弧AN的中点，‎ ‎∴∠BON=30°，‎ ‎∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，‎ 又∵OA=OA′=，‎ ‎∴A′B=2．‎ ‎∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOC的度数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．4204949‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．，‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=OC，‎ ‎∴C、A关于BD对称，‎ 即C关于BD的对称点是A，‎ 连接AE交BD于P，‎ 则此时EP+CP的值最小，‎ ‎∵C、A关于BD对称，‎ ‎∴CP=AP，‎ ‎∴EP+CP=AE，‎ ‎∵等边三角形ABE，‎ ‎∴EP+CP=AE=AB，‎ ‎∵正方形ABCD的面积为16，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴EP+CP=4，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ 二．填空题（共1小题）‎ ‎8．（2013•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　1+　．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．4204949‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：连接CE，交AD于M，‎ ‎∵沿AD折叠C和E重合，‎ ‎∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，‎ ‎∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，‎ ‎∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，‎ ‎∵∠DEA=90°，‎ ‎∴∠DEB=90°，‎ ‎∵∠B=60°，DE=1，‎ ‎∴BE=，BD=，‎ 即BC=1+，‎ ‎∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+，‎ 故答案为：1+．‎ 点评：‎ 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎9．（2012•青岛）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ⊥AB？‎ ‎（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；勾股定理；三角形中位线定理．4204949‎ 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题；动点型．‎ 分析：‎ ‎（1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；‎ ‎（2）本问关键是利用等式“五边形PQBCD的面积=四边形DCBE的面积﹣△PQE的面积”，如图②所示．为求△PQE的面积，需要求出QE边上的高，因此过P点作QE边上的高，利用相似关系（△PME∽△ABC）求出高的表达式，从而问题解决；‎ ‎（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使S△PQE：S五边形PQBCD=1：29，则此时S△PQE=S梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到PQ的距离h利用△PQE的面积公式得到．‎ 解答：‎ 解：（1）如图①，在Rt△ABC中，‎ AC=6，BC=8‎ ‎∴AB=．‎ ‎∵D、E分别是AC、AB的中点．‎ AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且 DE=BC=4‎ ‎∵PQ⊥AB，‎ ‎∴∠PQB=∠C=90°‎ 又∵DE∥BC ‎∴∠AED=∠B ‎∴△PQE∽△ACB 由题意得：PE=4﹣t，QE=2t﹣5，‎ 即，‎ 解得t=；‎ ‎（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，‎ 由△PME∽△ACB，得，‎ ‎∴，得PM=（4﹣t）．‎ S△PQE=EQ•PM=（5﹣2t）•（4﹣t）=t2﹣t+6，‎ S梯形DCBE=×（4+8）×3=18，‎ ‎∴y=18﹣（t2﹣t+6）=t2+t+12．‎ ‎（3）假设存在时刻t，使S△PQE：S五边形PQBCD=1：29，‎ 则此时S△PQE=S梯形DCBE，‎ ‎∴t2﹣t+6=×18，‎ 即2t2﹣13t+18=0，‎ 解得t1=2，t2=（舍去）．‎ 当t=2时，‎ PM=×（4﹣2）=，ME=×（4﹣2）=，‎ EQ=5﹣2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，‎ ‎∴PQ===．‎ ‎∵PQ•h=，‎ ‎∴h=•=（或）．‎ 点评：‎ 本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•南充）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处时村庄N（参考数据；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75）．‎ ‎（1）求M，N两村之间的距离；‎ ‎（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题；轴对称-最短路线问题．4204949‎ 专题：‎ 应用题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，继而得出MD，ND的长度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度．‎ ‎（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，求出MG的长度即可．‎ 解答：‎ 解：（1）过点M作CD∥AB，NE⊥AB，如图：‎ 在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，‎ ‎∵sin36.5°==0.6，‎ ‎∴CM=3，AC==4km，‎ 在Rt△ANE中，∠NAE=90°﹣53.5°=36.5°，AN=10km，‎ ‎∵sin36.5°==0.6，‎ ‎∴NE=6，AE==8km，‎ ‎∴MD=CD﹣CM=AE﹣CM=5km，ND=NE﹣DE=NE﹣AC=2km，‎ 在Rt△MND中，MN==km．‎ ‎（2）作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，点P即为站点，‎ 此时PM+PN=PM+PG=MG，‎ 在Rt△MDG中，MG===5km．‎ 答：最短距离为5km．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．‎ ‎　‎ ‎11．（2013•日照）问题背景：‎ 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．‎ ‎（1）实践运用：‎ 如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　2　．‎ ‎（2）知识拓展：‎ 如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．4204949‎ 分析：‎ ‎（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；‎ ‎（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．‎ 解答：‎ 解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P 此时PA+PB最小，且等于AE．‎ 作直径AC′，连接C′E．‎ 根据垂径定理得弧BD=弧DE．‎ ‎∵∠ACD=30°，‎ ‎∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，‎ ‎∴∠AOE=90°，‎ ‎∴∠C′AE=45°，‎ 又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，‎ ‎∴∠C′=∠C′AE=45°，‎ ‎∴C′E=AE=AC′=2，‎ 即AP+BP的最小值是2．‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴点B与点B′关于直线AD对称．‎ 过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，‎ 则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短） ‎ 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，‎ ‎∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×=5，‎ ‎∴BE+EF的最小值为．‎ 点评：‎ 此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2010•天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．‎ ‎（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；‎ ‎（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．‎ ‎（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．）‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．4204949‎ 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最小，即DE+CE有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小；‎ ‎（2）由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．‎ 若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D'E'‎ 由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，‎ 可知△CDE的周长最小．‎ ‎∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，‎ ‎∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，‎ ‎∵OE∥BC，‎ ‎∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，有 ‎∴‎ ‎∴点E的坐标为（1，0）；‎ ‎（2）如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，‎ ‎∵GC∥EF，GC=EF，‎ ‎∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，‎ 又DC、EF的长为定值，‎ ‎∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．‎ ‎∵OE∥BC，‎ ‎∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有．‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，0）（10分）‎ 点评：‎ 此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．‎ ‎　‎ ‎13．（2010•淮安）（1）观察发现：‎ 如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．‎ 做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．‎ 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　　．‎ ‎（2）实践运用：‎ 如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．‎ ‎（3）拓展延伸：‎ 如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．4204949‎ 分析：‎ ‎（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；‎ ‎（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．‎ ‎（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．‎ 解答：‎ 解：（1）BP+PE的最小值===．‎ ‎（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．‎ ‎∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，‎ ‎∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，‎ ‎∵点B是的中点，‎ ‎∴∠BOD=30°，‎ ‎∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，‎ ‎∵⊙O的直径CD为4，‎ ‎∴OA=OA′=2，‎ ‎∴A′B=2．‎ ‎∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．‎ ‎（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，‎ 连接DB′并延长交AC于P．‎ ‎（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．‎ 点评：‎ 此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．‎ ‎　‎ ‎14．（2009•漳州）几何模型：‎ 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．‎ 问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．‎ 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．‎ 模型应用：‎ ‎（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　　；‎ ‎（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；‎ ‎（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．4204949‎ 专题：‎ 压轴题；动点型．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；‎ ‎（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；‎ ‎（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC垂直平分BD，‎ ‎∴PB=PD，‎ 由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，‎ 在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；‎ ‎（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，‎ PA+PC的最小值即为A′C的长，‎ ‎∵∠AOC=60°‎ ‎∴∠A′OC=120°‎ 作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°‎ ‎∵OA′=OA=2‎ ‎∴A′D=‎ ‎∴；‎ ‎（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．‎ 由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，‎ ‎∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，‎ 在Rt△MON中，MN===10．‎ 即△PQR周长的最小值等于10．‎ 点评：‎ 此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．‎ ‎　‎