中考数学试题汇编之25 相似试题及答案

中考数学试题汇编之25 相似试题及答案

‎ ‎ ‎2009年中考试题专题之25-相似试题及答案 一、选择题 ‎1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：‎ ‎①；②；③；④．‎ 其中单独能够判定的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【关键词】三角形相似的判定.‎ ‎【答案】C ‎2.（2009年上海市)如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】平行线分线段成比例 ‎【答案】A ‎3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为 ‎ (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】B ‎4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：‎ ‎（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形 ‎【答案】D ‎ ‎5.（2009重庆綦江）若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）‎ A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】B ‎6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）‎ A．只有1个 B．可以有2个 ‎ C．有2个以上但有限 D．有无数个 ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】B ‎7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）‎ A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 D B C A N M O ‎【关键词】位似 ‎【答案】C ‎ 8.（2009年江苏省）如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②‎ 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（ ）‎ A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 ‎ ‎ ‎【关键词】平移 ‎【答案】D ‎9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为 A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm ‎【关键词】黄金比 ‎【答案】A ‎10. （2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）‎ A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】B ‎11.（2009恩施市）如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（　　　）‎ A．2 B． C． D． ‎ ‎【关键词】解直角三角形、相似 ‎【答案】B ‎12.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）‎ A．12m B．10m C．8m D．7m ‎　　　‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】A ‎13.（2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为 A． B． C． D．‎ ‎【关键词】旋转 ‎【答案】A ‎14.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm ‎【关键词】黄金比 ‎【答案】C ‎ ‎15. （2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）‎ A.‎ ‎【关键词】相似三角形的判定 ‎【答案】A ‎16.（2009年天津市）在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）‎ A．8，3　　B．8，6　　C．4，3　　D．４，6‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】A ‎17.(2009年牡丹江市)如图， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）‎ ‎①②③④‎ ‎⑤‎ A．1　 B．2 C．3 D．4‎ ‎【关键词】三角形相似的判定和性质 ‎【答案】C ‎18. （2009白银市）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）‎ A．12m B．10m C．8m D．7m ‎【关键词】相似三角形的判定和性质 ‎【答案】A ‎19. （2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5‎ C．11 D．15.5‎ ‎【关键词】线段的比和比例线段 ‎【答案】D ‎20.（2009年衢州）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】D ‎21.（2009年舟山）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为 A．9.5 B．10.5‎ C．11 D．15.5‎ ‎【关键词】线段的比和比例线段 ‎【答案】D ‎22.（2009年舟山）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】D ‎23.（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）‎ ‎ A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2‎ ‎【关键词】相似多边形 ‎【答案】C ‎24. （2009年福州）如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）‎ A．2DE=3MN， B．3DE=2MN， C． 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F ‎【关键词】位似变换 ‎【答案】B ‎ ‎25.（2009年宜宾）若一个图形的面积为2，那么将它与成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【关键词】相似图形的性质 ‎【答案】A.‎ ‎26. ．（2009年广西梧州）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O， 则等于（　　）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】D ‎27.(2009年甘肃定西)如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）‎ A．12m B．10m C．8m D．7m ‎　　　　　　‎ ‎　　‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】A ‎28. (2009年湖州)如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（ ）‎ A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶3 ‎ ‎【关键词】等边三角形的性质，相似的性质 ‎【答案】A ‎29．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )‎ A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张 ‎【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 ‎【答案】C ‎30.（2009年兰州）如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是 A．24m B．25m ‎ C．28m D．30m ‎【关键词】相似三角形、灯光与影子 ‎【答案】D ‎31.（2009年济宁市）如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）‎ ‎ A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2‎ ‎【关键词】相似多边形 ‎【答案】C ‎32. （09湖南怀化）如图1，、分别是、的中点，则（ ）‎ A． 1∶2 B．1∶3 ‎ C．1∶4 D． 2∶3 ‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算 ‎【答案】C ‎33. （2009年山西省）如图，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【关键词】圆周角和圆心角；切线定理；相似三角形有关的计算；相似三角形与圆 ‎【答案】A ‎34．（2009年山西省）如图，在中，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 ‎【答案】B ‎35. （2009年枣庄市）如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，‎ 点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC 的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】B ‎36. （2009呼和浩特）如图，AB是的直径，点C在圆上，，则图中与相似的三角形的个数有（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C B D O A E ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】‎ ‎37.(2009年抚顺市)如图所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为（ ） ‎ A F E C B A．4 B．4.5 C．5 D．6‎ G ‎【关键词】中位线 二、填空题 ‎1.（2009年重庆市江津区）锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ ,‎ ‎【关键词】三角形、正方形、二次函数极值 相似 ‎【答案】‎ ‎2.(2009年滨州)在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为 ．‎ ‎【关键词】三角形位似..‎ ‎【答案】（4，6）‎ ‎3.（2009威海）如图，△ABC与△A′B′C ′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2A A′,S△ABC=8，则S△A′B′C ′=________．‎ ‎【关键词】位似图形 ‎【答案】18‎ ‎4.（2009年吉林省）如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为 ．‎ ‎【关键词】平移，平面直角坐标系内的平移 ‎【答案】7‎ ‎5.（2009山西省太原市）如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=10，则的长约为 ．（结果精确到0.1）‎ 解析：本题考查黄金分割的有关知识，由题意知，‎ ‎∴，解得≈6.2，故填6.2.．‎ ‎【关键词】黄金分割 ‎【答案】6.2.‎ ‎6.（2009烟台市）如图，与中，交于．给出下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④．‎ 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．‎ ‎【关键词】全等、相似 ‎【答案】①，③，④‎ ‎7.（2009年甘肃庆阳）如图11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】（，0） ‎ ‎8.（2009年广西南宁）三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图6所示）.现测得，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．‎ ‎【关键词】投影；相似三角形 ‎【答案】　 ‎ ‎9.（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ▲ ．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】144;‎ ‎10.(2009年牡丹江市)如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ．‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】‎ ‎11. （2009年日照市）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】或2; ‎ ‎12.（2009年重庆）已知与相似且面积比为4∶25，则与的相似比为 ．‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】2:5．‎ ‎13.（2009年莆田）如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m，则=__________m．‎ ‎【关键词】相似三角形 答案：40‎ ‎14. （2009年牡丹江）如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ．‎ ‎【关键词】相似三角形的面积比 ‎【答案】‎ ‎15.（2009年凉山州）已知且，则= ．‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】‎ ‎16. (2009年宁德市)如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为 ____．‎ ‎【关键词】位似 ‎【答案】6‎ ‎17.（2009年湖北荆州）如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】‎ ‎18.（2009年新疆乌鲁木齐市）如图，在中，，若，则 ．‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】8‎ ‎19. （2009年山西省）如图，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．‎ ‎【关键词】相似，中心投影 ‎【答案】（9，0）‎ ‎20. （2009年黄石市）在□ABCD中，在上，若，则 ．‎ ‎【关键词】平行四边形的性质；相似三角形判定和性质 ‎【答案】‎ ‎21.（2009东营）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】或2;‎ 三、解答题 ‎1.（2009年台湾） 某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。‎ ‎【关键词】比例 ‎【答案】A ‎2.（2009年长春）如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．‎ ‎【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ 解：∵四边形是矩形，AB=6‎ ‎∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6‎ 又∵AE=9‎ ‎∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=‎ ‎∵，‎ ‎∴，即 ‎∴EF=‎ ‎3．（2009年长春）如图，在中，，分别以为边向外作和，使．延长交边于点，点在两点之间，连结．‎ ‎（1）求证：． ‎ ‎（2）当时，求的度数． ‎ ‎【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ ‎（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC.‎ 又∵DF=DC，‎ ‎∴AB=DF.‎ 同理EB=AD.‎ 在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC.‎ 又∵∠EBC=∠CDF，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF，‎ ‎∴△ABE≌△FDA.（4分）‎ ‎（2）解：∵△ABE≌△FDA，‎ ‎∴∠AEB=∠DAF.‎ ‎∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,‎ ‎∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.‎ ‎∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.‎ ‎∵∠BAD=32°，‎ ‎∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°，‎ ‎∴∠EBH=58°. ‎ ‎4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，‎ 且DM交AC于F，ME交BC于G．‎ ‎（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；‎ ‎（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．‎ ‎【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ ‎（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）‎ 以下证明△AMF∽△BGM．‎ ‎∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ‎∴△AMF∽△BGM． ‎ ‎（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC ‎∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝分 又∵AMF∽△BGM，∴‎ ‎∴ ‎ 又，∴，‎ ‎∴ ‎ ‎5.（2009年郴州市）如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，‎ ‎（1）求的值，（2）求BC的长 ‎【关键词】相似 ‎【答案】解：（1）因为 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎（2）因为，所以 ‎ 所以 ‎ 因为 所以 ‎ 所以 ‎6.（2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】‎ ‎△ABE 与△ADC相似．理由如下：‎ 在△ABE与△ADC中 ‎∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90o，‎ ‎∵AD是△ABC的边BC上的高，‎ ‎∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．‎ 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA．‎ ‎∴△ABE ～△ADC．‎ ‎7.(2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当为边中点，时，如图2，求的值；‎ ‎（3）当为边中点，时，请直接写出的值．‎ B B A A C O E D D E C O F 图1‎ 图2‎ F ‎【关键词】相似三角形的判定和性质 ‎ ‎【答案】解：（1），．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎；‎ B A D E C O F G ‎（2）解法一：作，交的延长线于．‎ ‎，是边的中点，．‎ 由（1）有，，‎ ‎．‎ ‎，，‎ 又，．‎ ‎，．‎ ‎，，，‎ ‎，．‎ B A D E C O F 解法二：于，‎ ‎．．‎ 设，则，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 由（1）知，设，，．‎ 在中，．‎ ‎．．‎ ‎（3）．‎ ‎8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．‎ ‎（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；‎ ‎（2）在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； ‎ ‎（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．‎ A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 ‎【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2，‎ ‎∴=1，∠D=45°‎ ‎∴PQ=PC即PB=PC，‎ 过点P作PE⊥BC，则BE=。‎ 而∠PBC=∠D=45°‎ ‎∴PC=PB=‎ ‎（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ 设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k ‎∴，‎ ‎=‎ ‎∴‎ 函数定义域为 F E F E A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎（Q）‎ ‎）‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎（3）答：90°‎ 证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎∴Rt△PQF∽Rt△PCE ‎∴∠FPQ=∠EPC ‎∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°‎ ‎8. (2009年陕西省)20．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：‎ 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．‎ 已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．‎ ‎【关键词】利用相似知识测物高 ‎【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2，‎ ‎ DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30．‎ ‎ ∵EF∥AB，‎ ‎∴．‎ 由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5．‎ ‎∴，解之，得BG＝18.75．‎ ‎∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0．‎ ‎∴楼高AB约为20.0米．‎ ‎9. (2009年安顺)如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；‎ （3） ‎△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。‎ ‎【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质 ‎【答案】（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），‎ ‎∴设抛物线解析式为 根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为 (5′)‎ ‎(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）‎ 设对称轴与x轴的交点为F ‎∴四边形ABDE的面积=‎ ‎=‎ ‎==9 ‎ ‎（3）似 如图，BD=；∴BE=‎ DE= ∴, ‎ 即： ,所以是直角三角形 ‎∴,且,‎ ‎∴∽ ‎ ‎10. （2009山西省太原市）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高 为 米． ‎ 甲 小华乙 解析：本题考查相似的有关知识，设路灯高为米，由相似得 ‎，解得，所以路灯甲的高为9米，故填9.‎ ‎【关键词】相似三角形的应用 ‎【答案】9.‎ ‎11. （2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．‎ ‎（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；‎ ‎②四边形为（ ）‎ A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ‎（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；‎ ‎（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．‎ ‎【关键词】平移变换 ‎【答案】‎ ‎12.（2009年吉林省）如图，⊙中，弦相交于的中点，连接并延长至点， 使，连接BC、．‎ O F D A E B C ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的值 ‎【关键词】相似三角形判定和性质 ‎【答案】（1）证明：‎ 是的中位线，‎ 又 ‎（2）解：由（1）知，‎ 又 ‎．‎ ‎13.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．‎ ‎（1）四边形OABC的形状是 ，‎ 当时，的值是 ；‎ ‎（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；‎ ‎②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．‎ ‎（Q）‎ C B A O x P ‎（图3）‎ y Q C B A O x P ‎（图2）‎ y C B A O y x ‎（备用图）‎ ‎（第26题）‎ ‎（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】解：（1）矩形（长方形）； ‎ ‎．‎ ‎（2）①，，‎ ‎．‎ ‎，即，‎ ‎，．‎ 同理，‎ ‎，即，‎ ‎，． ‎ ‎． ‎ ‎②在和中，‎ ‎．‎ ‎．‎ 设，‎ 在中， ，解得．‎ ‎． ‎ ‎（3）存在这样的点和点，使． ‎ 点的坐标是，． ‎ 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．‎ 过点画于，连结，则，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 设，‎ Q C B A O x P y H ‎，‎ ‎，‎ ① 如图1，当点P在点B左侧时， ‎ ‎，‎ 在中，，‎ Q C B A O x P y H 解得，（不符实际，舍去）．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎②如图2，当点P在点B右侧时，‎ ‎，．‎ 在中，，解得．‎ ‎，‎ ‎．‎ 综上可知，存在点，，使．‎ ‎14.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。‎ ‎ ‎ ‎（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；‎ ‎（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；‎ ‎（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。‎ 温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】‎ 解：（1）3， ‎ ‎（2）．‎ D C B A P E F 图1‎ 当时，如图1，连接，‎ 为折痕，，‎ 令为，则，‎ 在中，，‎ ‎，‎ D C F B A P E O 图2‎ H 解得，此时菱形边长为．‎ ‎（3）如图2，过作，‎ 易证，‎ ‎，‎ D C ‎(F)‎ H B A P E O 图3‎ 当与点重合时，如图3，连接，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，‎ 当时，有最大值．‎ 此时，．‎ 综上所述，当取最大值时，，（不写不扣分）．‎ ‎15.（2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．‎ ‎（1）用表示的面积；‎ ‎（2）求出时与的函数关系式；‎ ‎（3）求出时与的函数关系式；‎ ‎（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？‎ E D B C A B C A ‎【关键词】相似、二次函数 ‎【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴ ‎ ‎（4）在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为： ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为： ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时，y最大为： ‎ ‎16.（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．‎ ‎△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．‎ ‎（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】 ‎ 证明：（1）‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 又 ∠ACB=∠DCE=90°，‎ ‎∴ △ACB∽△DCE．‎ ‎（2）‎ ‎∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．‎ 又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°．‎ ‎∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB． ‎ 7．（2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。‎ （1） 求证：DB∥CF。‎ （1） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。‎ ‎【关键词】相似、切线 ‎【答案】证明：‎ ‎（1）连接OF，如图 ‎∵AB且半圆O于F，‎ ‎∴OF⊥AB。‎ ‎∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。‎ ‎∵BC=OD，OD=OF，‎ ‎∴BC=OF。‎ ‎∴四边形OBCF是平行四边形，‎ ‎∴DB∥CF。‎ ‎（2）‎ ‎∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°，‎ ‎∴∠A∠OBF∠BOF ‎∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，‎ ‎∴∠OBF＞∠A ‎∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。‎ ‎∴∠A与∠BOF是对应角。‎ ‎∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=‎ ‎18.（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。‎ （1） 求证：FD2=FB●FC。‎ （2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。‎ ‎【关键词】相似、垂直 ‎【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ‎∴DE=EA ‎∴∠A=∠2 ‎ ‎∵∠1=∠2‎ ‎∴∠1=∠A…‎ ‎∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ‎∴∠FDC=∠FBD ‎∵F是公共角 ‎∴△FBD∽△FDC ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎（2）GD⊥EF 理由如下：‎ ‎∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，‎ ‎∴DG=GC ‎∴∠3=∠4‎ 由（1）得∠4=∠1‎ ‎∴∠3=∠1 ‎ ‎∵∠3+∠5=90°‎ ‎∴∠5+∠1=90°‎ ‎∴DG⊥EF ‎ ‎19、（2009江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：‎ 甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.‎ 乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.‎ 丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.‎ 任务要求 ‎（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；‎ ‎（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm 图3‎ KE ‎【关键词】相似、光影 ‎【答案】解：（1）由题意可知：‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴DE=1200（cm）．‎ 所以，学校旗杆的高度是12m． ‎ ‎（2）解法一：‎ 与①类似得：即 ‎∴GN=208．‎ 在中，根据勾股定理得：‎ ‎∴NH=260． ‎ 设的半径为rcm，连结OM，‎ ‎∵NH切于M，∴‎ 则又 ‎∴∴ ‎ 又．‎ ‎∴解得：r=12．‎ 所以，景灯灯罩的半径是12cm． ‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ 图3‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm KE 解法二：‎ 与①类似得：即 ‎∴GN=208．‎ 设的半径为rcm，连结OM，‎ ‎∵NH切于M，∴ ‎ 则又 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴又． ‎ 在中，根据勾股定理得：‎ 即 解得：（不合题意，舍去）‎ 所以，景灯灯罩的半径是12cm． ‎ ‎20. （2009年湘西自治州如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，‎ 求证：△ADE∽△EFC．‎ ‎【关键词】相似三角形的判定和判定 ‎【答案】证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED＝∠C ‎ 又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A＝∠FEC ‎ ‎∴△ADE∽△EFC ‎ ‎21. （2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】（1）证明：‎ 是直径 是的切线，切点为 ‎（2）‎ ‎22.（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．‎ ‎（1）请你用含的代数式表示．‎ ‎（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？‎ ‎【关键词】分类讨论思想 ‎【答案】解：（1）‎ ‎（2）‎ 的边上的高为，‎ 当点落在四边形内或边上时，‎ ‎=（0）‎ 当落在四边形外时，如下图，‎ 设的边上的高为，‎ 则 ‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述：当时，，取，‎ 当时，，‎ 取，‎ 当时，最大，‎ M N C B E F A A1‎ ‎23. （2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.‎ ‎（1）当为何值时，⊙与相切；‎ ‎（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，‎ 则.‎ ‎∴∽.∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明：∵，，∴∥. ‎ 当时，.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,∴.∴，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴当时，四边形为平行四边形.‎ ‎24.（2009年宜宾）如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】1.‎ ‎25.（2009年广西钦州）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．‎ ‎（1）求证：BC＝CD；‎ ‎（2）求证：∠ADE＝∠ABD；‎ ‎（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．‎ ‎【关键词】切线长定理、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴OB⊥BC．‎ ‎∵OB是⊙O的半径，‎ ‎∴CB为⊙O的切线．‎ 又∵CD切⊙O于点D，‎ ‎∴BC＝CD；‎ ‎（2）∵BE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDE＝90°．‎ ‎∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．‎ 又∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABD＋∠CBD＝90°．‎ 由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．‎ ‎∴∠ADE＝∠ABD；‎ ‎（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．‎ ‎∴△ADE∽△ABD．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴＝，∴BE＝3，‎ ‎∴所求⊙O的直径长为3． ‎ ‎26.（2009年广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；‎ ‎（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；‎ ‎（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【关键词】二次函数、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．‎ ‎（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．‎ ‎∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．‎ 由题意，得△BHP∽△BOC，‎ ‎∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，‎ ‎∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，‎ ‎∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．‎ ‎∴OH＝OB－HB＝4－4t．‎ 由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．‎ ‎∴OQ＝4t．‎ ‎①当H在Q、B之间时，‎ QH＝OH－OQ ‎＝（4－4t）－4t＝4－8t．‎ ‎②当H在O、Q之间时，‎ QH＝OQ－OH ‎＝4t－（4－4t）＝8t－4．‎ 综合①，②得QH＝｜4－8t｜；‎ ‎（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．‎ ‎①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝．‎ 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2＋2t－1＝0．‎ ‎∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．‎ ‎②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．‎ 若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，‎ ‎∴t＝．‎ 若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，‎ 即t2－2t＋1＝0．‎ ‎∴t1＝t2＝1（舍去）．‎ 综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．‎ ‎27.（2009年莆田）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形 ‎（1）解:方法一，如图1，当时,‎ 当时, ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ 设直线的解析式为 则　　　解得 ‎∴直线的解析式为 ‎ 当时,‎ ‎ ‎ 方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设 3分 E D C A F B x O y l ‎（图2）‎ G H M ‎ ‎ 解得 ‎(2)证明：方法一：在中，‎ ‎ ‎ 在中，‎ 由（1）得 方法二：由 （1）知 ‎ ‎ 同理：‎ 同理：‎ 即 ‎ ‎（3）存在.‎ 解：如图3，作轴，垂足为点 9分 E D C O F x y 图3‎ M P l Q 又 ‎ ‎ 设，则 ‎①当时，‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎②当时，‎ ‎ ‎ 解得 综上，存在点、使得与相似. 14分 ‎28.（2009年包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）点是的中点，交于点，若，求的值．‎ ‎【关键词】圆、切线 解：‎ ‎（1），‎ 又，‎ ‎．‎ 又是的直径，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 而是的半径，‎ 是的切线．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．）‎ ‎（3）连接，‎ 点是的中点，，，‎ 而，，而，‎ ‎，，，‎ 又是的直径，，‎ ‎．‎ ‎，． ‎ ‎29. （2009肇庆）．如图 ，在中，，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC 于 E，连接BE． ‎ ‎（1）求证：∠CBE=36°； ‎ ‎（2）求证：． ‎ ‎【关键词】三角形相似 ‎【答案】证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴，‎ ‎∴．∵，∴．∴．（2）由（1）得，在△BCE中，， ‎ ‎∴，∴．在△ABC 与△BEC中，，， ‎ ‎∴． ‎ ‎∴，即． ‎ 故．‎ ‎30. (2009年南充)如图，半圆的直径，点C在半圆上，．‎ ‎（1）求弦的长；‎ ‎（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．‎ ‎【关键词】圆的性质，三角形相似的性质 ‎【答案】解：是半圆的直径，点在半圆上，‎ ‎．‎ 在中， ‎ ‎（2），‎ ‎．，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎31．(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．‎ ‎ (1)求m，n的值；‎ ‎(2)求直线AB的函数解析式；‎ ‎(3)求证：△AEC∽△DFB．‎ ‎【关键词】反比例函数的定义，待定系数法确定一次函数的解析式，相似的判定 ‎【答案】解：（1）由题意得1= ∴m=6‎ ‎ ∴n= ∴n=2‎ ‎ （2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b ‎ 由题意得 ‎ 解得 ‎ ∴直线AB的函数解析式为y=－2x+8。‎ ‎ （3）∵y=－2x+8‎ ‎∴A（0，8），B（4，0）‎ ‎∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEC=∠DFB=Rt∠‎ ‎∵AE=DF=2，CE=BF=1，‎ ‎∴△AEC≌△DFB。‎ ‎32．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’‎ ‎ (1)当BD=3时，求线段DE的长；‎ ‎ (2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．‎ ‎【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 ‎【答案】解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∵DB为直径，‎ ‎∴∠DEB=∠C=90°，‎ 又∵∠B=∠B ，∴△DBE∽△ABC ‎∴ 即 ‎∴DE=。‎ ‎（2）解法一：连结OE，‎ ‎∵EF为半圆O的切线，‎ ‎∴∠DEO+∠DEF=90°，‎ ‎∵∠AEF+∠DEF=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠DEO，‎ ‎∵△DBE∽△ABC，‎ ‎∴∠A=∠EDB，‎ 又∵∠EDO=∠DEO，‎ ‎∴∠AEF=∠A，‎ ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ 解法二：连结OE，‎ ‎∵EF为半圆O的切线，‎ ‎∴∠AEF+∠OEB=90°，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴∠A+∠B=90°，‎ ‎∵OE=OB ‎∴∠OEB=∠B，‎ ‎∴∠AEF=∠A ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ ‎33（2009临沂）如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ ‎【关键词】抛物线的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题 ‎【答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为．‎ ‎（2）存在．‎ 如图，设点的横坐标为，‎ 则点的纵坐标为，‎ 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），．‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，．‎ 类似地可求出当时，．‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或．‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．‎ 由题意可求得直线的解析式为．‎ 点的坐标为．‎ ‎．‎ ‎．‎ 当时，面积最大．‎ ‎．‎ ‎34.（2009年中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求的值．‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】（1）在正方形中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10．‎ ‎（3），‎ 要使，必须有，‎ 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时．‎ x y A D B O C ‎35.（2009年牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 ‎ （1）求的值．‎ ‎ （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？‎ ‎ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用 ‎【答案】（1）解得 ‎ ‎ 在中，由勾股定理有 ‎（2）∵点在轴上，‎ 由已知可知D（6，4）‎ 设当时有 解得 同理时，‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎（3）满足条件的点有四个 ‎36. （2009年凉山州）如图，在方格纸中 ‎（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；‎ ‎（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；‎ A B C ‎（3）计算的面积．‎ ‎【关键词】位似、相似比、面积 ‎【答案】（1）画出原点，轴、轴．，‎ ‎（2）画出图形．‎ ‎（3）．‎ ‎37. （2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.‎ ‎（1）当为何值时，⊙与相切；‎ ‎（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.‎ ‎·‎ 图1‎ 图2‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，‎ 则.‎ ‎∴∽.∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明：∵，，∴∥. ‎ 当时，.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,∴.∴，‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴当时，四边形为平行四边形.‎ ‎38. (2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．‎ ‎（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；‎ ‎（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；‎ ‎（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．‎ N M B E C D F G 图（1）‎ ‎【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用 M B E A C N D F G 图（1）‎ H 解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ‎ ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º ‎∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ‎∴∠BAE＝∠DAG ‎∴△ BAE≌△DAG ‎ ‎（2）∠FCN＝45º ‎ 理由是：作FH⊥MN于H ‎ ‎ ∵∠AEF＝∠ABE＝90º ‎ ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º ‎ ∴∠FEH＝∠BAE ‎ ‎ 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º ‎∴△EFH≌△ABE ‎ ‎∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH ‎∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º ‎ ‎（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变， ‎ 理由是：作FH⊥MN于H ‎ 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 又∵G在射线CD上 ‎∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º ‎ ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ‎ ‎ ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，‎ ‎∴＝＝ ‎∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝ ‎ ‎∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝ ‎39.(2009年潍坊)已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的长．‎ 解：（1）‎ 过点F作，交于点．‎ 为的中点 为的中点，． ‎ 由，得，‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 又 ‎． ‎ ‎40.(2009年咸宁市)如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．‎ ‎（1）证明；‎ C B A D ‎（2）若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．‎ ‎40. （09湖南怀化）如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，．求证：（1）； （2）∽． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、切线定理 ‎【答案】证明：（1）∵OE=OD，∴△ODE是等腰三角形，‎ 又EC=DC，∴C是底边DE上的中点，‎ ‎∴‎ ‎ （2）∵AB是直径，∴∠ACB=，‎ ‎∴∠B+∠BAC=，‎ 又∠DCA+∠ACO=，∠ACO=∠BAC，‎ ‎∴∠DCA=∠B．又∠ADC=∠CDB， ‎ ‎∴△ACD∽△CBD． ‎ ‎41．（09湖南怀化）如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．‎ ‎（1）求与轴的另一个交点D的坐标；‎ ‎（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质 ‎【答案】解 （1）易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根，‎ 所以，‎ 所 如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则 由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，‎ 所以点D的坐标为（0，1）‎ ‎（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，‎ 所以点的坐标为，即 又，‎ 所以解得 ‎42.（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)与 是否相等？请你说明理由；‎ ‎(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．‎ 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段 ‎【答案】解：(1)如图； ‎ ‎(2)与不相等．‎ 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC． ‎ ‎∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．‎ ‎∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．‎ ‎∵据题意，P与D不重合，‎ ‎∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾． ‎ ‎∴假设不成立．‎ ‎∴不成立． ‎ ‎(2) 解法2：与不相等．‎ 理由如下：‎ ‎∵P， A关于MN对称，∴MN垂直平分AP．‎ ‎∴cos∠FAN=． ‎ ‎∵∠D=90°， ∴cos∠PAD=．‎ ‎∵∠FAN=∠PAD，∴=．‎ ‎∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP．‎ ‎∴≠;从而≠． ‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°，‎ ‎∴∠CMP＋∠AMB=90°．‎ ‎∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．‎ ‎∵MN垂直平分，∴MA=MP，‎ ‎∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD． ‎ ‎∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4－x，‎ ‎∴BM=PC=4－x． (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J．‎ ‎∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°．‎ ‎∴矩形HDCJ． (7分)‎ ‎∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ‎ ‎∴OJ:CP=MO:MP=1:2，‎ ‎∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． ‎ ‎∵MC2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． ‎ 解得:x=1．即PD=1，PC=3，‎ ‎∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．‎ 由此画图(图形大致能示意即可)． ‎ ‎（3）解法2：‎ 连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO． ‎ 由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，‎ ‎∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． ‎ ‎∵AM，AH与⊙O相切于点M，H，‎ ‎∴∠AMO=∠AHO=90°，‎ ‎∵OM=OH， AO=AO，‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO． ‎ ‎∴设AM=x，则 AM=AH=x，‎ 由切线性质得，AM⊥PM，‎ ‎∴∠AMP=90°，∴∠BMA+∠CMP=90°．‎ ‎∵∠BMA+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMP ，‎ ‎∵∠B=∠MCP=90°，‎ ‎∵MN为AP的中垂线，∴AM=MP．‎ ‎∴△ABM≌△MCP ． ‎ ‎∴四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，‎ Rt△ABM中，BM=，‎ ‎∴MJ==JC，（9分）‎ ‎∴AB=MC．∴4=2()，∴ ‎ ‎∴AD=BC==7，‎ ‎∴PC==3． ‎ 由此画图(图形大致能示意即可)．‎ ‎43. （2009年湖北荆州）21．（7分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段 BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，‎ 交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F.‎ ‎⑴求证：△ACO∽△NCF；‎ ‎⑵若NC∶CF＝3∶2，求sinB 的值.‎ ‎【关键词】相似三角形综合 ‎【答案】‎ ‎44.（2009年茂名市）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点 ‎ （1）若与相似，则是多少度？ （2分）‎ ‎ （2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？ （4分）‎ ‎ （3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长．（4分）‎ ‎【关键词】二次函数、圆、相似综合题 ‎【答案】（1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠APD的度数是60°或30°．‎ ‎（2）设，∵，，∴， ‎ 又∵，∴，， ‎ ‎∴，而， ‎ ‎∴ ‎ ‎． ‎ ‎∴PC 等于12时，的面积最大，最大面积是． ‎ ‎（3）设以和为直径的圆心分别为、，过 作 于点， ‎ 设的半径为，则．显然，，∴，∴， ‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 又∵和外切，‎ ‎∴． ‎ 在中，有， ‎ ‎∴， ‎ 解得：， ∴．‎ ‎45.（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F. ‎ ‎(1) 求证：DE－BF = EF．‎ ‎(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． ‎ ‎(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．‎ ‎【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似 ‎【答案】(1) 证明:‎ ‎∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG ‎∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°‎ ‎∴ ∠BAF = ∠ADE ‎ ‎∴ △ABF ≌ △DAE ‎ ‎∴ BF = AE , AF = DE ‎ ‎∴ DE－BF = AF－AE = EF ‎ ‎（2）EF = 2FG 理由如下：‎ ‎∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG ‎∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ AF = 2BF , BF = 2 FG ‎ 由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG ‎ ‎(3) 如图 ‎ DE + BF = EF ‎ ‎46．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：‎ ‎（1）当为何值时，？‎ ‎（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．‎ ‎【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 ‎【答案】解：（1）∵‎ ‎∴．‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴当． ‎ ‎（2）∵平行且等于，‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎∴．‎ 过B作，交于，过作，交于．‎ ‎．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（3）．‎ 若，‎ 则有，‎ 解得．‎ ‎（4）在和中，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎∴在运动过程中，五边形的面积不变． ‎ ‎47.（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．‎ ‎【关键词】‎ 正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ 解：（1）在正方形中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10．‎ ‎（3），‎ 要使，必须有，‎ 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时．‎ ‎48.（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算 ‎【答案】（1）解：由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴‎ 由解得∴点的坐标为 ‎∴‎ ‎ （2）解：∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 ‎∴‎ ‎ （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则 A D B E O R F x y y M ‎（图3）‎ G C A D B E O C F x y y G ‎（图1）‎ R M A D B E O C F x y y G ‎（图2）‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 ‎ 当时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=,‎ ‎∴‎ 当时，如图3,为三角形面积，‎ ‎49.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．‎ 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎(N)‎ ‎（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）．‎ ‎（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．‎ ‎【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题 ‎【答案】图2： ‎ ‎ 图3： ‎ 证明：如图2，取的中点，连结、 ‎ ‎∵是的中点，是的中点，‎ ‎∴，， ‎ ‎∴． ‎ 同理，，，‎ ‎∴ ‎ ‎∵，‎ ‎∴, ‎ ‎∴‎ ‎∴． ‎ ‎ ‎ 证明图3的过程与证明图2过程给分相同. ‎ ‎50. （2009年崇左）如图，中，分别是边的中点，相交于．求证：．‎ B C D G E A ‎【关键词】三角形的相似。利用中点做辅助线可得。连接两中点可利用中位线知识得到其结果。‎ ‎【答案】‎ B C D G E A 证明：连结，‎ 分别是边的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎51. （2009东营）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． ‎ ‎（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积； ‎ ‎（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； ‎ ‎（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由． ‎ ‎【关键词】二次函数与面积，相似 ‎【答案】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.‎ 所以，S△EMN= =0.5（平方米）.‎ 即△EMN的面积为0.5平方米. ‎ ‎（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，‎ 即0＜x≤1时， ‎ ‎△EMN的面积S= = ；‎ ‎②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，‎ 即1＜x＜ 时，‎ 如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，‎ ‎∵ E为AB中点，‎ ‎∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝ .‎ 又∵ MN∥CD，‎ ‎∴ △MNG∽△DCG．‎ ‎∴ ，即 ．……4分 故△EMN的面积S＝ ‎ ‎＝ ； ‎ 综合可得： ‎ ‎（3）①当MN在矩形区域滑动时， ，所以有 ； ‎ ‎②当MN在三角形区域滑动时，S= .‎ 因而，当 （米）时,S得到最大值，‎ 最大值S= = = （平方米）. ∵ ，‎ ‎∴ S有最大值，最大值为 平方米.‎ ‎52.（2009年枣庄市）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：‎ 第一步：作一个正方形ABCD；‎ 第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；‎ 第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；‎ 第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．‎ 请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．‎ A B C D E F M N ‎【关键词】黄金矩形 ‎【答案】证明：在正方形ABCD中，取，‎ ‎∵ N为BC的中点，‎ ‎∴ ． ‎ 在中，‎ ‎．‎ 又∵ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ 故矩形DCEF为黄金矩形． ‎ ‎53. （2009年厦门市）已知：在中，．‎ ‎（1）设的周长为，，（≤≤）．写出关于的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；‎ ‎（2）如图，是线段上一点，连接，若．求证：．‎ ‎【关键词】一次函数的图象，相似三角形 ‎【答案】（1）解：y＝7－2x（2≤x≤3）‎ ‎ 画直角坐标系 ‎ 画线段 ‎（2）证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C.‎ ‎ ∵ ∠B＝∠BAD，∴ ∠BAD＝∠C.‎ ‎ 又∵ ∠B＝∠B，‎ ‎ ∴.‎ ‎【关键词】三角形三边关系 ‎【答案】B ‎54.（2009年赤峰市）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA= ，tan∠AOC=1/3，点B的坐标为（m，-2）。‎ ‎ （1）求反比例函数的解析式 ‎ （2）求一次函数的解析式 ‎ （3）在y轴上存在一点P，是的△PDC与△ODC相似，‎ ‎ 请你求出P点的坐标。‎ ‎55.（2009年绵阳市）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°，‎ AB与PC交于Q点．‎ Q P C B A O ‎（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为4，求PC的长．‎ ‎【关键词】圆的性质，相似三角形，三角函数 ‎【答案】（1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60°，∠BAC =∠BPC = 60°，‎ ‎∴ ∠ACB = 180°－∠ABC－∠BAC = 60°，‎ ‎∴ △ABC是等边三角形．‎ ‎（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60°．‎ 又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．‎ ‎∵ ∠BPD =∠BDP = 60°， ∴ PB = BD． ∴ ．‎ ‎（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60°．‎ ‎∵ BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60° = 4，解得BC = 4．‎ 连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．‎ 由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°，从而得∠OCE = 30°，‎ ‎∴ ．‎ 由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°．‎ ‎∴ ∠PCO =（180°－150°）÷2 = 15°．‎ 如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15°，则∠RNG = 30°，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15° = MN．‎ ‎∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30°，GH = GN · sin30°．‎ 于是 RH = GH，MN = RN · sin45°，∴ cos15° =．‎ 在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =．‎ ‎56.(2009年梅州市)如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．‎ ‎（1）求证：； ‎ D C F E A B G ‎（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】（1）证明：∵梯形，， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴． ‎ ‎（2） 由（1），‎ 又是的中点，‎ ‎∴， ‎ ‎∴ ‎ 又∵，， ‎ ‎∴，得． ‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴．‎ ‎ ‎