中考复习专题——切线的证明方法

中考复习专题——切线的证明方法

切线的证法 1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线 2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）‎ 例：.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若=,求的值。‎ 练习2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。‎ ‎（1）求证：EF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠ABC=,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。‎ ‎3. 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.‎ ‎4.已知如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.‎ （1） 求证：AE与⊙O相切；‎ （1） 当BC=4，cosC=时，求⊙O的半径。‎ 一. 平行证相切（1.已知平行、2.角相等平行、3.中位线平行）‎ 例5.如图，AB是⊙O的直径，BCAB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G。‎ ‎ （1）求证：点E是弧BD的中点；‎ ‎ （2）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎ （3）若sin∠BAD=,⊙O的半径为5，求DF的长。‎ 练6.如图，在等腰⊿ABC中，AB=AC,O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D,DE⊥AC交AC于E.‎ (1) 求证DE时是⊙O的切线；‎ (2) 若⊙O与AC相切于F，AB=AC=‎5cm，sinA=,求⊙O的半径长。‎ ‎7.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.‎ ‎(1).求证：AB=AC ‎(2).求证:DE为⊙O的切线.‎ ‎(3).若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长. ‎ ‎8.如图 ，矩形中，．点是上的动点，以为直径的与交于点，过点作于点． ‎ ‎（1）当是的中点时： ‎ ‎①的值为______________； ‎ ‎② 证明：是的切线； ‎ ‎（2）试探究：能否与相切?若能，求出此时的长；若不能，请说明理由．‎ D E O C B G F A ‎9．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．‎ ‎ （1）求证：BF=EF；‎ ‎ （2）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎ （3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3，‎ 求BD和FG的长度．‎ 一. 角度转化证切线（中线证直角、角度转化证直角）‎ 例10．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦AD、CD的长．‎ ‎11..如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO.‎ ‎(1).求证BD是⊙O的切线。‎ ‎(2).若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且⊿BEF的面积为8，cos∠BFA=，求⊿ACF的面积。‎ ‎12.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC.‎ ‎(1).求证：MN是半圆的切线 ‎(2).设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.求证：FD=FG ‎(3).若△DFG的面积为4.5，且DG=5,GC=4.试求△BCG的面积 ‎13. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．‎ ‎(1) 求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎(2) 点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么?‎ ‎(3) 在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．‎ ‎14.如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC.‎ ‎（1）求证：AC2＝AE·AB；‎ ‎（2）延长EC到点P，连结PB，若PB＝PE，‎ 试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由.‎ ‎15.如图所示，AB是半圆O的直径，C是半径OA上的一点，PC⊥AB,点D是半圆上位于PC右侧的一点，连接AD交线段PC于点E,且PD=PE.‎ (1) 求证：PD是⊙O的切线；‎ (2) 若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x,PD=y.‎ ① 求y关于x的函数关系式 ② 当x=1时，求tan∠BAD的值. ‎ ‎16.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．‎ O N B P C A M ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）点是弧AB的中点，交于点，‎ 若，求MN×MC的值．‎ ‎17.如图，扇形 OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是弧上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE,点M在DE上，DM=2EM,过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPO=∠CDE.‎ ‎(1)求证：DM=r；‎ ‎(2)求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；‎ ‎(3)设y=CD+‎3CM,当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式。‎