反比例函数中考数学复习专题

反比例函数中考数学复习专题

第十三讲 反比例函数 ‎【教材链接： 八（下）第十七章反比例函数】‎ ‎【基础知识回顾】‎ 一、 反比例函数的概念：‎ ‎ 一般地：函数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数 ‎ 【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0‎ ‎2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）‎ ‎3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于 】‎ 二、反比例函数的图象和性质：‎ ‎ 1、反比例函数y=（k≠0）的图象是 ，它有两个分支，关于 对称 ‎ 2、反比例函数y=（k≠0）当k>0时它的图象位于 象限，在每一个象限内y随x的增大而 当k<0时，它的图象位于 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ‎ ‎【名师提醒：1、在反比例函数y=中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴 ‎ ‎2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】‎ ‎3、反比例函数中比例系数k的几何意义：‎ ‎ ‎ 双曲线y=（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线 ‎ ‎ ‎ 两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 ，即如图：S矩形ABOC= ‎ ‎ S△AOB= ‎ ‎【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】‎ 三、反比例函数解析式的确定 因为反比例函数y=（k≠0）中只有一个待定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 一、 反比例函数的应用 解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 ‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：反比例函数的图象和性质 例1 （2013•云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 思路分析：根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．‎ 解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确； B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误； C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误； D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误； 故选A．‎ 点评：本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ 例2 （2013•绥化）对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　）‎ A．图象经过点（1，-3）‎ B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 思路分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．‎ 解：A、∵反比例函数y=，∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误； D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确． 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．‎ 对应训练 ‎1．（2013•随州）正比例函数y=kx和反比例函数（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎1．C ‎2．（2013•河北）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论： ①常数m＜-1； ②在每个象限内，y随x的增大而增大； ③若A（-1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k； ④若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上． 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎2．C 考点二：反比例函数解析式的确定 例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数的图象经过点（-1，-2），则k的值是（　　）‎ A．2 B．‎-2 C．-3 D．3 ‎ 思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得 ‎-2=，即2=k-1，‎ 解得k=3．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．‎ 对应训练 ‎4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 考点三：反比例函数k的几何意义 例5 （2013•内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 思路分析：本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．‎ 解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=， 如图，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，‎ ‎ 又∵M为矩形ABCO对角线的交点， ∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|， 由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k， 解得：k=3． 故选C．‎ 点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．‎ 对应训练 ‎5．（2013•锦州）如图，直线y=mx与双曲线交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值为（　　）‎ A．-2 B．‎2 ‎C．4 D．-4‎ ‎5．A 考点四：反比例函数与一次函数的综合运用 例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，‎ 连接AO、BO，下列说法正确的是（　　）‎ A．点A和点B关于原点对称 ‎ B．当x＜1时，y1＞y2 ‎ C．S△AOC=S△BOD ‎ D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大 ‎ 思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．‎ 解：A、，‎ ‎∵把①代入②得：x+1=，‎ 解得：x1=-2，x2=1，‎ 代入①得：y1=-1，y2=2，‎ ‎∴B（-2，-1），A（1，2），‎ ‎∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；‎ B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；‎ C、∵S△AOC=×1×2=1，S△BOD=×|-2|×|-1|=1，‎ ‎∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；‎ D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．‎ 对应训练 ‎6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）‎ A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1 ‎ C．x＞1 D．-2＜x＜1 ‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2013•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（　　）‎ A．y= B．y= C．y= D．y=‎ ‎1．C ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2013•沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数y=x-1与函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎1．C ‎2．（2013•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x-1和的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．A ‎3．（2013•衢州）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜-2 B．m＜‎0 ‎C．m＞-2 D．m＞0‎ ‎3．A ‎4．（2013•兰州）当x＞0时，函数y=-的图象在（　　）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎4．A ‎4．（2013•牡丹江）如图，反比例函数y= (k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（　　）‎ A．y= B．y= C．y= D．y=‎ ‎4．C ‎5．（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最小的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．C 二、填空题 ‎15．（2013•厦门）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 m＞1‎ ‎．‎ ‎15．m＞1‎ ‎16．（2013•黄冈）已知反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6‎ ‎．‎ ‎16．6‎ ‎17．（2013•营口）已知双曲线y=和y=的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB=2CA，则k= -6‎ ‎．‎ ‎17．-6‎ ‎15．（2013•张家界）如图，直线x=2与反比例函数y=和y=-的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是 ．‎ ‎15．‎ 三、解答题 ‎21．‎