大庆市2013年中考数学卷

大庆市2013年中考数学卷

黑龙江省大庆市2013年中考数学试卷 ‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（3分）（2013•大庆）下列运算结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ a2•a3=a6‎ C．‎ a2•a3=a5‎ D．‎ a2+a3=a6‎ 考点：‎ 二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数幂的乘法．‎ 分析：‎ 根据二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法分别进行计算，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：A、=a，（a≥0），故本选项错误；‎ B、a2•a3=a5，故本选项错误；‎ C、a2•a3=a5，故本选项错误；‎ D、a2+a3=a6，同类项，不能合并，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了二次根式的化简、合并同类项、同底数幂的乘法，记准法则是解题的关键，注意同底数幂的乘法与幂的乘方很容易混淆．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•大庆）若实数a满足a﹣|a|=2a，则（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a＞0‎ B．‎ a＜0‎ C．‎ a≥0‎ D．‎ a≤0‎ 考点：‎ 绝对值．‎ 分析：‎ 先求出|a|=﹣a，再根据绝对值的性质解答．‎ 解答：‎ 解：由a﹣|a|=2a得|a|=﹣a，‎ ‎∴a≤0．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值的性质，比较简单，熟记绝对值的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•大庆）已知两圆的半径分别是3和6，若两圆相交，则两圆的圆心距可以是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎9‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 根据两圆相交时圆心距与两圆半径之间的数量关系进行解答．‎ 解答：‎ 解：∵半径分别为3和6的两圆相交，‎ 又∵3+6=9，6﹣3=3，‎ ‎∴这两圆的圆心距d的取值范围是3＜d＜9．‎ 只有B选项符合．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了圆与圆的位置关系．解此题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•大庆）对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 它的图象必经过点（﹣1，3）‎ B．‎ 它的图象经过第一、二、三象限 ‎　‎ C．‎ 当x＞1时，y＜0‎ D．‎ y的值随x值的增大而增大 考点：‎ 一次函数的性质．‎ 分析：‎ 根据一次比例函数图象的性质可知．‎ 解答：‎ 解：A、将点（﹣1，3）代入原函数，得y=﹣3×（﹣1）+1=4≠3，故A错误；‎ B、因为k=﹣3＜0，b=1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误；‎ C、正确；‎ D、当x=1时，y=﹣2＜0，故C正确．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•大庆）若不等式组的解集为0＜x＜1，则a的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．‎ 分析：‎ 求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出方程，求出方程的解即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵解不等式①，得x＞，‎ 解不等式②，得x＜，‎ ‎∴原不等式组的解集为：＜x＜，‎ ‎∵不等式组的解集为0＜x＜1，‎ ‎∴=0，=1，‎ 解得：a=1，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式组的解集得出关于a的方程．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•大庆）已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 梯形中位线定理；反比例函数的图象；反比例函数的应用．‎ 分析：‎ 根据梯形的中位线定理和梯形的面积的计算方法确定两个变量之间的函数关系，然后判断其图象即可．‎ 解答：‎ 解：梯形的面积=×梯形上、下底之和×高，符合k=hx，‎ 故h=（x＞0，h＞0）‎ 所以是反比例函数．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，解题的关键是根据实际问题列出函数关系式．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•大庆）已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣4‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据函数图象得到﹣3＜x＜1时，y＜0，即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：令y=0，得到x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，‎ 解得：x=1或x=﹣3，‎ 由函数图象得：当﹣3＜x＜1时，y＜0，‎ 则m的值可能是0．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，求出x的范围是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•大庆）图1所示的几何体，它的俯视图为图2，则这个几何体的左视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．‎ 分析：‎ 根据图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形，上面一层有一个正方形，然后找到从左面看到的图形即可．‎ 解答：‎ 解：由图示几何体和俯视图可知该几何体底面一层有三个正方形，上面一层有一个正方形，‎ 则从左面看易得图形：．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，注意左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 等边三角形的判定与性质 分析：‎ 依题意画出图形，过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得点D为AC1中点，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果．‎ 解答：‎ 解：依题意画出图形，如下图所示：‎ 过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形．‎ 又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，‎ ‎∴点D为AC1的中点，‎ ‎∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=；‎ 同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=，‎ ‎∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•大庆）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 ‎　‎ B．‎ 当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形 ‎　‎ C．‎ 当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形 ‎　‎ D．‎ 当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形 考点：‎ 菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．‎ 分析：‎ 根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可．‎ 解答：‎ 解：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；‎ B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；‎ C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵两条对角线AC与BD互相垂直，‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；‎ D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定，熟练掌握相关判定是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11．（3分）（2013•大庆）计算：sin260°+cos60°﹣tan45°=　　．‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值．‎ 分析：‎ 将特殊角的三角函数值代入计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=（）2+﹣1‎ ‎=+﹣1‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•大庆）在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≥﹣　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即2x+1≥0．‎ 解答：‎ 解：依题意，得2x+1≥0，‎ 解得x≥﹣．‎ 点评：‎ 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•大庆）地球的赤道半径约为6 370 000米，用科学记数法记为　6.37×106　米．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将6 370 000用科学记数法表示为：6.37×106．‎ 故答案为：6.37×106．‎ 点评：‎ 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•大庆）圆锥的底面半径是1，侧面积是2π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为　180°　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算 分析：‎ 根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．‎ 解答：‎ 解：∵侧面积为2π，‎ ‎∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×1×l=2π，‎ 解得：l=2，‎ ‎∴扇形面积为2π=，‎ 解得：n=180，‎ ‎∴侧面展开图的圆心角是180度．‎ 故答案为：180°．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•大庆）某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为　1500　元．‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用．‎ 分析：‎ 首先假设原价为x元，根据降价20%后应为（1﹣20%）x，再根据又降低了100元，此时售价为1100元得出等式求出即可．‎ 解答：‎ 解：设原价为x元，根据题意得出：‎ ‎（1﹣20%）x﹣100=1100‎ 解得：x=1500．‎ 故答案为：1500．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元一次方程的应用；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•大庆）袋中装有4个完全相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与所得的两位数大于30的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，所得的两位数大于30的有6种情况，‎ ‎∴所得的两位数大于30的概率为：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•大庆）已知 ‎…‎ 依据上述规律 计算的结果为　　（写成一个分数的形式）‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类 分析：‎ 根据已知得出原式=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵‎ ‎…‎ ‎∴‎ ‎=×[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]‎ ‎=×（1﹣）‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•大庆）如图，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为　　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；等边三角形的性质．‎ 分析：‎ 设与相交于点O，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，得到它的面积等于△ABC面积的三分之一，利用等边三角形的面积公式：×边长2，即可求得阴影部分的面积．‎ 解答：‎ 解：如图，设与相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之一，‎ ‎∴S阴影部分=××12=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等边三角形的面积公式：×边长2．‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分46分）‎ ‎19．（2013•大庆）计算：﹣++（π﹣3）0．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题涉及零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=0.5﹣++1‎ ‎=0.5﹣2++1‎ ‎=1．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、负指数幂、立方根、二次根式化简等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎20．（2013•大庆）已知ab=﹣3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．‎ 考点：‎ 因式分解的应用．‎ 分析：‎ 由a+b=﹣3，ab=2，可得a2+b2=10，因为（a2+b2）ab=a3b+ab3，所以a3b+ab3=﹣30．‎ 解答：‎ 解：∵a+b=2，‎ ‎∴（a+b）2=4，‎ ‎∴a2+2ab+b2=4，‎ 又∵ab=﹣3，‎ ‎∴a2+b2=10，‎ ‎∴（a2+b2）ab=a3b+ab3=﹣30．‎ 点评：‎ 本题为代数式求值题，主要考查整体思想，是一道比较基础的题目，要认真掌握，并确保得分．‎ ‎　‎ ‎21．（2013•大庆）如图，已知一次函数y=k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=（k2≠0）的图象在第一象限的交点为C，过点C作x轴的垂线，垂足为D，若OA=OB=OD=2．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）求反比例函数的解析式．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）由OA与OB的长，确定出A与B的坐标，代入一次函数解析式中求出k1与b的值，即可确定出一次函数解析式；‎ ‎（2）由OD的长，确定出D坐标，根据CD垂直于x轴，得到C与D横坐标相同，代入一次函数解析式求出C的纵坐标，确定出C坐标，将C坐标代入反比例解析式中求出k2的值，即可确定出反比例解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）∵OA=OB=2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（0，2），‎ 将A与B代入y=k1x+b得：，‎ 解得：，‎ 则一次函数解析式为y=x+2；‎ ‎（2）∵OD=2，‎ ‎∴D（2，0），‎ ‎∵点C在一次函数y=x+2上，且CD⊥x轴，‎ ‎∴将x=2代入一次函数解析式得：y=2+2=4，即点C坐标为（2，4），‎ ‎∵点C在反比例图象上，‎ ‎∴将C（2，4）代入反比例解析式得：k2=8，‎ 则反比例解析式为y=．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（2013•大庆）某班同学在一次综合实践活动中，对本县居民参加“全民医保”情况进行了调查，同学们利用节假日随机调查了3000人，对调查结果进行了统计分析，绘制出两幅不完整的统计图：‎ ‎[注：图中A表示城镇职工基本医疗保险；B表示城镇居民基本医疗保险；C表示“新型农村合作医疗”；D表示其他情况]‎ ‎（1）补全条形统计图；‎ ‎（2）在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为　25%　；扇形统计图中D区域所对应的圆心角的大小为　36°　．‎ ‎（3）据了解，国家对B类人员每人每年补助210元．已知该县人口数约为100万，请估计该县B类人员每年享受国家补助共多少元？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 分析：‎ ‎（1）“新型农村合作医疗”的人数=这次调查的总人数×45%，“城镇职工基本医疗保险”的人数=2000﹣B表示的人数﹣C表示的人数﹣D表示的其他情况的人数．‎ ‎（2）用B表示的“城镇居民基本医疗保险”的人数÷这次调查的总人数可得B类人数占被调查人数的百分比．‎ ‎（3）该县B类人员每年享受国家补助的总钱数=国家对B类人员每人每年补助的钱数×100×B类人员所占的百分比．‎ 解答：‎ 解：（1）如下图．‎ ‎（2）500÷2000=25%，即在本次调查中，B类人数占被调查人数的百分比为25%．‎ D区域区域的圆心角为：=36°；‎ ‎（3）210×100×25%=5250（万元）．‎ 答：该县B类人员每年享受国家补助共5250万元．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．‎ ‎（1）求证：CF=DG；‎ ‎（2）求出∠FHG的度数．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；‎ ‎（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，‎ ‎，‎ ‎∴△CBF≌△DBG（SAS），‎ ‎∴CF=DG；‎ ‎（2）解：∵△CBF≌△DBG，‎ ‎∴∠BCF=∠BDG，‎ 又∵∠CFB=∠DFH，‎ ‎∴∠DHF=∠CBF=60°，‎ ‎∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．‎ ‎　‎ ‎24．（6分）（2013•大庆）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）求A，B两点的坐标；‎ ‎（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．‎ 考点：‎ 垂径定理；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结AC，过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得MA=MB；由C点坐标得到OM=2，CM=‎ ‎，再根据勾股定理可计算出AM，可可计算出OA、OB，然后写出A，B两点的坐标；‎ ‎（2）利用待定系数法求二次函数的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图 ‎∵点C的坐标为（2，），‎ ‎∴OM=2，CM=，‎ 在Rt△ACM中，CA=2，‎ ‎∴AM==1，‎ ‎∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，‎ ‎∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；‎ ‎（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得 ‎，‎ 解得．‎ 所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2013•大庆）如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．‎ ‎（1）求DE的长；‎ ‎（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求的值．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．‎ 分析：‎ ‎（1）先由圆周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的长；‎ ‎（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出=，则DA=3CD，再证明△FCD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°．‎ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，‎ ‎∴BD=AB=4．‎ 在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，‎ ‎∴DE=BD=2；‎ ‎（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，‎ ‎∴DE∥AB，‎ ‎∴===，‎ ‎∴CA=4CD，‎ ‎∴DA=3CD．‎ ‎∵CF∥AB，‎ ‎∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，‎ ‎∴△FCD∽△BAD，‎ ‎∴===．‎ 点评：‎ 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，求出DE的长，进而得到DA=3CD是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）（2013•大庆）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．‎ ‎（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；‎ ‎（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；根的判别式．‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；‎ ‎（2）由根的判别式得出方程ax2+3x+=0有实数根的所有情况，利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解；（1）画树状图得出：‎ 总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，‎ 正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，‎ 故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：；‎ ‎（2）∵方程ax2+3x+=0有实数根的条件为：9﹣ab≥0，‎ ‎∴满足ab≤9的结果共有14种：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），‎ ‎（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）‎ ‎∴关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率为：=．‎ 点评：‎ 此题主要考查了根的判别式和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎27．（9分）（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：‎ sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）‎ ‎（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；‎ ‎（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值；一元二次方程的解 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ ‎（1）按照题目所给的信息求解即可；‎ ‎（2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意得，‎ sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，‎ cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣，‎ sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；‎ ‎（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，‎ ‎∴三个内角分别为30°，30°，120°，‎ ‎①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，‎ 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，‎ 解得：m=0，‎ 经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，‎ ‎∴m=0符合题意；‎ ‎②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意；‎ ‎③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，，‎ 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，‎ 解得：m=0，‎ 经检验不是方程4x2﹣1=0的根．‎ 综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．‎ 点评：‎ 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．‎ ‎　‎ ‎28．（9分）（2013•大庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3．‎ ‎（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值；‎ ‎（2）设=t，试用t表示EF的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，=4S1S3．‎ 考点：‎ 相似形综合题．3718684‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；‎ ‎（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出====，所以NE=，根据EF=FN+NE即可得出结论；‎ ‎（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根据三角形的面积公式可用t表示出S1，S3，S2，由s22=4S1S3．即可得出t的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵S1=AD•AF=x，‎ S3=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，‎ ‎∴S1S3=x（3﹣x）‎ ‎=（﹣x2+3x）‎ ‎=[﹣（x﹣）2+]‎ ‎=﹣（x﹣）2+（0＜x＜3），‎ ‎∴当x=时，S1S3的最大值为；‎ ‎（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，‎ ‎∵=t，‎ ‎∴AF=tFB，‎ ‎∵BM=MC=AD=1，‎ ‎∴====，‎ ‎∴NE=，‎ ‎∴EF=FN+NE=1+=；‎ ‎（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，‎ ‎∴FB=，‎ ‎∴AF=tFB=，‎ ‎∴S1=AD•AF=×=，‎ S3=BC•FB=×2×=；‎ S2=AB•FE=×3×=，‎ ‎∴S1S3=，S22=，‎ ‎∴=4×，即4t2﹣4t+1=0，解得t=．‎ 点评：‎ 本题考查的是相似形综合题，熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题的关键．‎