莆田市中考数学试卷及答案

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莆田市中考数学试卷及答案

福建省莆田市2013年中考数学试卷 一、精心选一选:本大题共8小题,每小题4分,共32分。每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的,答对的得4分,答错、不答或答案超过一个的一律得0分。‎ ‎1. 2013的相反数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2013‎ B.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎﹣2013‎ C.‎ D.‎ ‎﹣‎ ‎2.下列运算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(a+b)2=a2+b2‎ B.‎ ‎3a2﹣2a2=a2‎ C.‎ ‎﹣2(a﹣1)=﹣2a﹣1‎ D.‎ a6÷a3=a2‎ ‎3.对于一组统计数据:2,4,4,5,6,9.下列说法错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 众数是4‎ B.‎ 中位数是5‎ C.‎ 极差是7‎ D.‎ 平均数是5‎ ‎4.如图,一次函数y=(m﹣2)x﹣1的图象经过二、三、四象限,则m的取值范围是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ m>0‎ B.‎ m<0‎ C.‎ m>2‎ D.‎ m<2‎ ‎5.如图是一个圆柱和一个长方体的几何体,圆柱的下底面紧贴在长方体的上底面上,那么这个几何体的俯视图可能是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎6.如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C、A、B1在同一条直线上,那么旋转角等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎55°‎ B.‎ ‎70°‎ C.‎ ‎125°‎ D.‎ ‎145°‎ ‎7.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,则∠OBC的度数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎40°‎ B.‎ ‎50°‎ C.‎ ‎80°‎ D.‎ ‎100°‎ ‎8.下列四组图形中,一定相似的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 正方形与矩形 B.‎ 正方形与菱形 ‎ ‎ C.‎ 菱形与菱形 D.‎ 正五边形与正五边形 二、细心填一填:本大题共8小题,每小题4分,共32分)‎ ‎9.不等式2x﹣4<0的解集是    .‎ ‎10.小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”,搜索到相关的结果个数约为8650000,将这个数用科学记数法表示为  .‎ ‎11.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,BE=CF,请添加一个条件    ,使△ABC≌△DEF.‎ ‎12.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为  .‎ ‎13.(4分)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是    .‎ ‎14.(4分)经过某个路口的汽车,它可能继续直行或向右转,若两种可能性大小相同,则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为  .‎ ‎15.(4分)如图,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一动点,则DQ+PQ的最小值为   .‎ ‎16.(4分)统计学规定:某次测量得到n个结果x1,x2,…,xn.当函数y=++…+取最小值时,对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”.若某次测量得到5个结果9.8,10.1,10.5,10.3,9.8.则这次测量的“最佳近似值”为    .‎ 三、耐心做一做:本大题共9小题,共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(8分)计算:+|﹣3|﹣(π﹣2013)0.‎ ‎18.(8分)先化简,再求值:,其中a=3.‎ ‎19.(8分)莆田素有“文献名邦”之称,某校就同学们对“莆田历史文化”的了解程度进行随机抽样调查,将调查结果制成如图所示的两幅统计图:‎ 根据统计图的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)本次共调查 60 名学生;‎ ‎(2)条形统计图中m= 18 ;‎ ‎(3)若该校共有学生1000名,则该校约有 200 名学生不了解“莆仙历史文化”.‎ ‎ ‎ ‎20.(8分)定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.‎ 如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.‎ ‎(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;‎ ‎(2)求出线段AD的长.‎ ‎ [来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎21.(8分)如图,▱ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE、AC、AE.‎ ‎(1)求证:△AED≌△DCA;‎ ‎(2)若DE平分∠ADC且与⊙A相切于点E,求图中阴影部分(扇形)的面积.‎ ‎22.(10分)如图,直线l:y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与原点O关于直线l对称.反比例函数y=的图象经过点C,点P在反比例函数图象上且位于C点左侧,过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点.‎ ‎(1)求反比例函数的解析式;‎ ‎(2)求AN•BM的值.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形EFGH的面积为S米2.‎ ‎(1)求S与x的函数关系式;‎ ‎(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0).与y轴交于点C,顶点为D.‎ ‎(1)求顶点D的坐标.(用含a的代数式表示);‎ ‎(2)若△ACD的面积为3.‎ ‎①求抛物线的解析式;‎ ‎②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式.‎ ‎ ‎ ‎25.(14分)在Rt△ABC,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F,NE⊥AB于点E.[来源:学科网]‎ ‎(1)特殊验证:如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:DM=DN,AE=DF;‎ ‎(2)拓展探究:若AC≠BC.‎ ‎①如图2,若D为AB中点,(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;‎ ‎②如图3,若BD=kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数量关系并加以证明.‎ 参考答案 ‎1、B 2、B 3、B 4、D 5、C 6、C 7、A 8、D ‎9、x<2  10、8.65×106  11、AB=DE  12、‎ ‎13、10 14、  15、5 16、10.1‎ ‎17、‎ 解:原式=2+3﹣1=4.‎ ‎ ‎ ‎18、‎ 解:原式=•=,‎ 当a=3时,原式==2.‎ ‎19、‎ ‎19.解:(1)调查的总人数是:24÷40%=60(人),‎ 故答案是:60;‎ ‎(2)m=60﹣12﹣24﹣6=18,故答案是:18;‎ ‎(3)不了解“莆仙历史文化”的人数是:1000×=200.‎ 故答案是:200.‎ ‎20、‎ 解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=72°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,‎ ‎∴AD=BD,BC=BD,‎ ‎∴△ABC∽△BDC,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴AD2=AC•CD.‎ ‎∴点D是线段AC的黄金分割点.‎ ‎(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,‎ ‎∴AD=AC=.‎ ‎21、‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,AD∥BC,‎ ‎∴四边形AECD是梯形,‎ ‎∵AB=AE,‎ ‎∴AE=CD,‎ ‎∴四边形AECD是等腰梯形,‎ ‎∴AC=DE,‎ 在△AED和△DCA中,‎ ‎,‎ ‎∴△AED≌△DCA(SSS);‎ ‎(2)解:∵DE平分∠ADC,‎ ‎∴∠ADC=2∠ADE,‎ ‎∵四边形AECD是等腰梯形,‎ ‎∴∠DAE=∠ADC=2∠AED,‎ ‎∵DE与⊙A相切于点E,‎ ‎∴AE⊥DE,‎ 即∠AED=90°,‎ ‎∴∠ADE=30°,‎ ‎∴∠DAE=60°,‎ ‎∴∠DCE=∠AEC=180°﹣∠DAE=120°,‎ ‎∵四边形ACD是平行四边形,‎ ‎∴∠BAD=∠DCE=120°,‎ ‎∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=60°,‎ ‎∴S阴影=×π×22=π.‎ ‎ ‎ ‎22、:‎ 解:(1)连接AC,BC,由题意得:四边形AOBC为正方形,‎ 对于一次函数y=x+1,令x=0,求得:y=1;令y=0,求得:x=﹣1,‎ ‎∴OA=OB=1,‎ ‎∴C(﹣1,1),‎ 将C(﹣1,1)代入y=得:1=,即k=﹣1,‎ 则反比例函数解析式为y=﹣;‎ ‎(2)过M作ME⊥y轴,作ND⊥x轴,‎ 设P(a,﹣),可得ND=﹣,ME=|a|=﹣a,‎ ‎∵△AND和△BME为等腰直角三角形,‎ ‎∴AN=×(﹣)=﹣,BM=﹣a,‎ 则AN•BM=﹣•(﹣a)=2.‎ ‎23、‎ ‎23、:‎ 解:(1)连接AC、BD,‎ ‎∵花坛为轴对称图形,‎ ‎∴EH∥BD,EF∥AC,‎ ‎∴△BEF∽△BAC,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴△ABC、△BEF是等边三角形,‎ ‎∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x,‎ 在Rt△AEM中,∠AEM=∠ABD=30°,‎ 则EM=AEcos∠AEM=x,‎ ‎∴EH=2EM=x,‎ 故可得S=(4﹣x)×x=﹣x2+4x.‎ ‎(2)易求得菱形ABCD的面积为8cm2,‎ 由(1)得,矩形ABCD的面积为x2,则可得四个三角形的面积为(8+x2﹣4x),‎ 设总费用为W,‎ 则W=20(﹣x2+4x)+40(8+x2﹣4x)‎ ‎=20x2﹣80x+320‎ ‎=20(x﹣2)2+240,‎ ‎∵0<x<4,‎ ‎∴当x=2时,W取得最小,W最小=240元.‎ 即当x为2时,购买花草所需的总费用最低,最低费用为240元.‎ ‎24、‎ 解答:‎ 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),‎ ‎∴抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣1)=ax2+2ax﹣3a,‎ ‎∵y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=a(x+1)2﹣4a,‎ ‎∴顶点D的坐标为(﹣1,﹣4a);‎ ‎(2)如图1,①设AC与抛物线对称轴的交点为E.‎ ‎∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a与y轴交于点C,‎ ‎∴C点坐标为(0,﹣3a).‎ 设直线AC的解析式为:y=kx+t,‎ 则:,‎ 解得:,‎ ‎∴直线AC的解析式为:y=﹣ax﹣3a,‎ ‎∴点E的坐标为:(﹣1,﹣2a),‎ ‎∴DE=﹣4a﹣(﹣2a)=﹣2a,‎ ‎∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×(﹣2a)×3=﹣3a,‎ ‎∴﹣3a=3,解得a=﹣1,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;‎ ‎②∵y=﹣x2﹣2x+3,‎ ‎∴顶点D的坐标为(﹣1,4),C(0,3),‎ ‎∵A(﹣3,0),‎ ‎∴AD2=(﹣1+3)2+(4﹣0)2=20,CD2=(﹣1﹣0)2+(4﹣3)2=2,AC2=(0+3)2+(3﹣0)2=18,‎ ‎∴AD2=CD2+AC2,‎ ‎∴∠ACD=90°,‎ ‎∴tan∠DAC===,[来源:学科网]‎ ‎∵∠PAB=∠DAC,‎ ‎∴tan∠PAB=tan∠DAC=.‎ 如图2,设y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣(x+m)2+4,两条抛物线交于点P,直线AP与y轴交于点F.‎ ‎∵tan∠PAB===,‎ ‎∴OF=1,则F点的坐标为(0,1)或(0,﹣1).‎ 分两种情况:‎ ‎(Ⅰ)如图2①,当F点的坐标为(0,1)时,易求直线AF的解析式为y=x+1,‎ 由,解得,(舍去),‎ ‎∴P点坐标为(,),‎ 将P点坐标(,)代入y=﹣(x+m)2+4,‎ 得=﹣(+m)2+4,‎ 解得m1=﹣,m2=1(舍去),‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣)2+4;‎ ‎(Ⅱ)如图2②,当F点的坐标为(0,﹣1)时,易求直线AF的解析式为y=﹣x﹣1,[来源:学科网ZXXK]‎ 由,解得,(舍去),‎ ‎∴P点坐标为(,﹣),‎ 将P点坐标(,﹣)代入y=﹣(x+m)2+4,‎ 得﹣=﹣(+m)2+4,‎ 解得m1=﹣,m2=1(舍去),‎ ‎∴平移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣)2+4;‎ 综上可知,平移后抛物线的解析式为y=﹣(x﹣)2+4或y=﹣(x﹣)2+4.‎ ‎25、解答:‎ ‎(1)证明:若AC=BC,则△ABC为等腰直角三角形,‎ 如答图1所示,连接OD,则CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2.‎ 在△AND与△CDM中,‎ ‎∴△AND≌△CDM(ASA),‎ ‎∴DM=DN.‎ ‎∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3,‎ ‎∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5,‎ 在△NED与△DFM中,‎ ‎∴△NED≌△DFM(ASA),‎ ‎∴NE=DF.‎ ‎∵△ANE为等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF.‎ ‎(2)①答:AE=DF.‎ 证法一:由(1)证明可知:△DEN∽△MFD,‎ ‎∴,即MF•EN=DE•DF.‎ 同理△AEN∽△MFB,‎ ‎∴,即MF•EN=AE•BF.‎ ‎∴DE•DF=AE•BF,‎ ‎∴(AD﹣AE)•DF=AE•(BD﹣DF),‎ ‎∴AD•DF=AE•BD,∴AE=DF.‎ 证法二:如答图2所示,过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于点Q.‎ ‎∵D为AB中点,‎ ‎∴DQ=PC=PB.‎ 易证△DMF∽△NDE,∴,‎ 易证△DMP∽△DNQ,∴,‎ ‎∴;‎ 易证△AEN∽△DPB,∴,‎ ‎∴,∴AE=DF.‎ ‎②答:DF=kAE.‎ 证法一:由①同理可得:DE•DF=AE•BF,‎ ‎∴(AE﹣AD)•DF=AE•(DF﹣BD)‎ ‎∴AD•DF=AE•BD ‎∵BD=kAD ‎∴DF=kAE.‎ 证法二:如答图3,过点D作DP⊥BC于点P,DQ⊥AC于点Q.‎ 易证△AQD∽△DPB,得,即PB=kDQ.‎ 由①同理可得:,‎ ‎∴;‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴DF=kAE.‎
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