苏科初三中考冲刺练习无答案

苏科初三中考冲刺练习无答案

‎2019苏科版初三中考冲刺 一、选择题 ‎1．（2019﹒无锡大桥中学）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于 （ ） ‎ A． B． C．3 D．4‎ 选第3题图 选第2题图 选第1题图 ‎2．（2019﹒江阴初级中学）如图，分别过反比例函数y＝ 图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，yn）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An，连接A1P2，A2P3，…，AnPn＋1，…，以A1P1，A1P2为一组邻边作平行四边形A1P1B1P2，其面积为S1，以A2P2，A2P3为一组邻边作平行四边形A2P2B2P3，其面积为S2，…，以AnPn，AnPn＋1为一组邻边作平行四边形AnPnBnPn＋1，其面积为Sn，若S1＋S2＋…＋Sn＞8，则n的最小值为 （ ） ‎ A．9 B．‎8 ‎ C．7 D．6‎ ‎3．（2019﹒江阴南菁实验学校）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1＋t）、C（0，1－t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是 （ ）‎ A．－1 B．‎5 ‎ C．4 D．＋1‎ ‎4．（2019﹒江阴第二中学）二次函数－8x＋m满足以下条件：当－2＜x＜－1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 （　　）‎ A．8 B．－‎10 ‎ C．－42 D．－24‎ ‎5．（2019﹒江阴华士片）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点A的落点依次为，，，…，则的坐标为 （　　）‎ A．（1343，0） B．（1347，0） C．（1343.5，） D．（1347.5，）‎ 选第7题图 选第6题图 选第5题图 ‎6．（2019﹒江阴青阳片）如图，AB为直径，AB＝4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长 （　　）‎ A．随C、D的运动位置而变化，且最大值为4‎ B．随C、D的运动位置而变化，且最小值为2‎ ‎ C．随C、D的运动位置长度保持不变，等于2‎ ‎ D．随C、D的运动位置而变化，没有最值 ‎7．（2019﹒江阴要塞片）如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 （　　）‎ A．1 B． C． D． 第 13 页 选第11题图 选第9题图 选第8题图 ‎ ‎ ‎8．（2019﹒江阴长泾片）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是 （　　）‎ A． B． C．D．‎ ‎9．（2019﹒无锡滨湖区）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝18，，把△ABC绕着点C旋 转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则线段AE的长为 （　　）‎ A．6 B．‎7‎ C．8 D．9 ‎10．（2019﹒无锡惠山区）直线l：y＝mx－m＋1(m为常数，且m≠0)与坐标轴交于A、B两点，若△AOB ‎（O是原点）的面积恰为2，则符合要求的直线l有 （ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎11．（2019﹒无锡锡北片）已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上 （　　）‎ A． B． C． D． ‎12．（2019﹒无锡新吴区）如图，矩形ABCD中，AB＝‎6cm，AD＝‎4cm，点M是边AB的中点，点P是矩 形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋 第 13 页 转一周时,△DMP面积刚好为‎5cm2的时刻有 （　　）‎ ‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 选第14题图 选第13题图 A D B C E F ‎13．（2019﹒无锡宜兴统卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F 交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为 （　　）‎ A．3 B．‎2‎ C． D．2‎ ‎14．（2019﹒江阴敔山湾创新班）图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束．在整个运动过程中，点C运动的路程是 （　　）‎ A．4 B．‎6 ‎ C．－2 D． ‎15．（2019﹒无锡梁溪区）在直角坐标系中，O 为原点，A（0，4），点 B 在直线 y＝kx＋6（k＞0）上， 若以 O、A、B 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，k的值为 （ ）‎ A． B． C．3 D． 二、填空题 ‎1．（2019﹒无锡大桥中学）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－2y）的最大值是________．‎ 第 13 页 填第5题图 填第4题图 填第3题图 填第2题图 填第1题图 A P O B C Q ‎2．（2019﹒江阴初级中学）如图，已知∠AOB＝45°，点P、Q分别是边OA，OB上的两点，将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处.若折叠后PC⊥QB，则∠OPQ的度数是________．‎ ‎3．（2019﹒江阴南菁实验学校）图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其面积为，则图3中线段AB的长为________．‎ ‎4．（2019﹒江阴第二中学）如图，点A（1，），直线l：y＝－x，射线AM、AN分别交x轴负半轴，直线l于点M，N，∠MAN＝60°，则△OMN的面积为 ．‎ l ‎ ‎ ‎5．（2019﹒江阴华士片）如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路‎5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过____________小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）‎ ‎6．（2019﹒江阴青阳片）若，，是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若＝1546，＝1510，则在，，中，取值为2的个数为_______________．‎ 第 13 页 ‎7．（2019﹒江阴要塞片）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，‎ ‎8），点C在OB上运动，过点C作CE⊥AB于点E；D是x轴上一点，作菱形CDEF，当顶点F恰好落在 y轴正半轴上时，点C的纵坐标的值为_______________．‎ 填第13题图 填第11题图 填第9题图 填第8题图 填第7题图 ‎0 ‎ ‎8．（2019﹒江阴长泾片）如图，正方形的顶点、在反比例函数(x＞0）的图象上，顶点、分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数(x＞0）的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则点的坐标为______________．‎ ‎9．（2019﹒无锡滨湖区）如图，在△ABC中，AB＝‎13cm，AC＝‎12cm，BC＝‎5 cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是________cm．‎ ‎10．（2019﹒无锡惠山区）已知，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，点B(m，m)，点C为线段OA上一点(点O为原点)，则AB＋BC的最小值为 ．‎ ‎11．（2019﹒无锡锡北片）如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是___________．‎ ‎12．（2019﹒无锡新吴区）点B（a,5）在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是___________．‎ ‎13．（2019﹒无锡宜兴统卷）如图，在边长为7的正方形ABCD中放入五个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E、F分别在边BC、AD上，则放入的五个小正方形的面积之和为___________．‎ 第 13 页 A B C D E F ‎14．（2019﹒江阴敔山湾创新班）已知Rt△ABC和Rt△A′C′D中，AC＝A′C′，A′D＝1，∠B＝∠D＝90°，∠C＋∠C′＝60°，BC＝2，则这两个三角形的面积和为_____________．‎ ‎15．（2019﹒无锡梁溪区）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 E、F 在 AC 上，∠EBF＝45°，若 AE＝1， CF＝2，则 AB 的长为____________．‎ 三、解答题 ‎1．（2019﹒无锡大桥中学）如图，抛物线＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（－1，0）、C（0，3）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的顶点为P，将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），旋转后的图形为△BO′C′．‎ ‎①当O′C′∥CP时，求α的大小；‎ ‎②△BOC在第一象限内旋转的过程中，当旋转后的△BO′C′有一边与BP重合时，求△BO′C′不在BP上的顶点的坐标．‎ ‎2．（2019﹒无锡大桥中学）如图，在平面直角坐标系中点B坐标为（6，0），点A在第一象限，△AOB为等边三角形，OH⊥AB于点H．动点P、Q分别从B、O两点同时出发，分别沿BO、OA方向匀速移动，它们的速度都是‎1cm/s，当点P到达点O时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），PQ交OH于点M，设四边形AQPB的面积为y．‎ ‎（1）求y和t之间的函数关系式；‎ ‎（2）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）当t为何值时，△OPM为等腰三角形；‎ ‎（4）线段OM有最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．‎ ‎3．（2019﹒江阴初级中学）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_____________，PD＝____________．‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．‎ ‎4．（2019﹒江阴初级中学）【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②同弧所对的圆周角相等.‎ ‎【初步体验】如图，已知△ABC，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注.‎ ‎（1）在图①中AC边上找点D，使DB+DC=AC；‎ 第 13 页 C A B 图①‎ C A B 图②‎ ‎（2）在图②中作△BCE，使∠BCE=∠BAC，CE=BE.‎ ‎【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：‎ ‎（3）如图③，已知线段a和等边△ABC，作△BCM，使∠BMC=∠BAC，BM+CM=a.‎ A B C a M F a A B C 图③‎ 他的做法是：‎ C A B 图④‎ b ‎1．画△ABC的外接圆；‎ ‎2．以A为圆心、AB长为半径画⊙A；‎ ‎3．以C为圆心、a为半径画弧与⊙A交于点F；‎ ‎4．连接CF与△ABC的外接圆交于点M，则△BCM是要画的三角形．‎ 请你给出证明，并直接写出这样的点M有 个．‎ ‎（4）请你仿照小明的做法解决下面的问题：‎ 如图④，已知线段b和△ABC，作△BCN，使∠BNC=∠BAC，BN－CN=b．‎ ‎5．（2019﹒江阴南菁实验学校）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”‎ ‎（1）概念理解：‎ 请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；‎ ‎（2）问题探究；‎ 如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）应用拓展；‎ 如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．‎ ‎6．（2019﹒江阴南菁实验学校）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 第 13 页 的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎7．（2019﹒江阴第二中学）已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[1]＝1，[－1.2]＝－2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y＝x－[x]．‎ ‎（1）当x＝2.15时，求y＝x－[x]的值；‎ ‎（2）当0＜x＜2，求函数y＝x－[x]的表达式，并画出函数图象；‎ ‎（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y＝x－[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．‎ ‎8．（2019﹒江阴第二中学）如图，sin∠AOB＝，点P在射线OB上，且OP＝5，点Q是射线OA上一动点．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．‎ ‎（1）当PC∥QA时，求折痕PQ的长；‎ ‎（2）当PC⊥QA时，求OQ的长；‎ ‎（3）点D在射线OA上，且OD＝2.5， 则CD的最小值为 ．‎ Q C ‎ ‎ ‎9．（2019﹒江阴华士片）如图，已知点，0），点B（0，6），经过AB的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．‎ ‎（1）用含t的代数式表示点P的坐标；‎ ‎（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．‎ ‎10．（2019﹒江阴华士片）如图，在平面直角坐标系中，抛物线－8mx＋‎4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为，0），，0），且＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；‎ ‎（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎11．（2019﹒江阴青阳片）在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离．‎ 一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．‎ ‎（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段____的长度．‎ ‎（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，AD＝2，那么线段AD与线段BC的距离为____________．‎ ‎（3）如图3，若长为‎1cm的线段CD与已知线段AB的距离为‎1.5cm 第 13 页 ‎，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD．‎ 注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域．（保留画图痕迹）‎ ‎12．（2019﹒江阴要塞片）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，D为边AB的中点，一抛物线＋2mx＋m（m＞0）经过点A、D ‎（1）求点A、D的坐标（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，‎ ‎①若抛物线经过点E，求抛物线的解析式；‎ ‎②若抛物线与线段CE相交，直接写出抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标：‎ ‎13．（2019﹒江阴要塞片）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形G，如果线段OP与图形G有公共 点，则称点P为关于图形G的“亲近点”．‎ ‎（1）如图，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．‎ ①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（5，4）这四个点中，关于线段AB的“亲近点”是点 ；‎ ②线段A1B1∥AB，线段A1B1上所有的点都是关于线段AB的“亲近点”，若点A1的横坐标是3，那么线段A1B1最长为　　　　．‎ ‎（2）已知点C（，），⊙C与y轴相切于点D．若⊙E的半径为1，圆心E在直线l：y＝－x＋3上，且⊙E上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”，求点E的纵坐标的取值范围．‎ ‎（3）以M（3，0）为圆心，2为半径作⊙M. 点N是⊙M上到原点最近的点，点Q和T是坐标平面内的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“亲近点”，求△NQT周长的最小值. ‎ 备用图图１‎ ‎14．（2019﹒江阴长泾片）如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若⊙M的半径为5，点A的坐标为（－4，0），‎ ‎（1）求tan∠PAC的值；‎ ‎（2）求直线PA的解析式；‎ 第 13 页 ‎（3）若点Q为⊙M上任意一点，连接OQ、PQ，问的比值是否发生变化？若不变求出此值；若变化，说明变化规律．‎ ‎15．（2019﹒江阴长泾片）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线交于A，B两点，其中点A的横坐标是－2．‎ ‎（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．‎ ‎（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN＋3MP的长度最大？最大值是多少？‎ ‎16．（2019﹒无锡滨湖区）如图（1），矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是射线CD上的一个动点，把 ‎△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F．‎ ‎（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长；‎ ‎（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；‎ ‎（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值．‎ ‎17．（2019﹒无锡滨湖区）如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝‎5cm，BC＝‎3cm，动点P在线段AC上以‎5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．‎ ‎（1）当点A′落在边BC上时，求出此时x的值；‎ ‎（2）当动点P从点A运动到点C过程中，当x为的何值时，△ A′BC是以A′B为腰的等腰三角形； ‎ ‎（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以‎5cm/s的速度从点B运动到 ‎ 点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′， ‎ ‎ 当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．‎ ‎18．（2019﹒无锡惠山区）如图，一次函数y＝－x＋m(m＞0)的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，点C 在线段OA上，点C的横坐标为n，点D在线段AB上，且AD＝2BD，将△ACD绕点D旋转180°后得到 ‎△A‎1C1D． ‎ ‎（1）若点C1恰好落在y轴上，试求的值；‎ ‎（2）当n＝4时，若△A‎1C1D被y轴分得两部分图形的面积比为3：5‎ 第 13 页 ‎，求该一次函数的解析式．‎ O A B C D C1‎ A1‎ x y ‎19．（2019﹒无锡惠山区）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：‎ 三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为 BC的中点，根据“中线长定理”，可得：AB＋AC＝2AD＋2BD．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：‎ 解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB＝AE＋BE，‎ 同理可得：AC＝AE＋CE，AD＝AE＋DE，‎ 为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，‎ A B C D O x y ‎（图4）‎ ‎∴AB＋AC＝AE＋BE＋AE＋CE＝……‎ A B C D ‎（图1）‎ A B C D E ‎（图2）‎ O A E C B F ‎（图3）‎ ‎（1）请你完成小明剩余的证明过程；‎ 理解运用：‎ ‎（2） ① 在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝_______；‎ ‎② 如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为________；‎ 拓展延伸：‎ ‎（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A(−3，4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．‎ ‎ 请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．‎ ‎20．（2019﹒无锡锡北片）知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图）‎ ‎（1）实际运用：如果要求纸箱的高为‎0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为‎0.3立方米．‎ ‎①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板的面积是多少平方米？‎ ‎②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．‎ ‎（2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．‎ ‎21．（2019﹒无锡锡北片）如图1，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y 第 13 页 轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）‎ ‎（2）如图2，若半径为1的⊙P从点A出发，沿A－B－D－C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，‎ ‎①t为何值时，⊙P与y轴相切？‎ ‎②在整个运动过程中⊙P与x轴有公共点的时间共有几秒？简述过程．‎ ‎（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？‎ ‎22．（2019﹒无锡新吴区）如图，A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线＋bx＋c（a≠0）经过点D．‎ ‎（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，点P（m，n）在抛物线上，且锐角∠POB＋∠BCD＜90°，求m的取值范围．‎ ‎23．（2019﹒无锡新吴区）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD.‎ ‎（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题： 在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，‎ ‎ ∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．‎ ‎（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12，求BD的长．‎ ‎24．（2019﹒无锡宜兴统卷）如图1，已知以AE为直径的半圆圆心为O，半径为5，矩形ABCD的顶点B在直径AE上，顶点C在半圆上，AB＝8，点P为半圆上任一点（不与A、E两点重合）‎ ‎（1）矩形ABCD的边BC的长为 ．‎ ‎（2）将矩形沿直线AP折叠，点B落在点B＇‎ ‎①点B＇到直线AE的最大距离是 ．‎ ‎②当点P与点C重合时，如图2所示，A B＇交DC于点M，‎ 求证：四边形AOCM是菱形；并通过证明判断CB＇与半圆的位置关系.‎ ‎③当EB＇∥BD时，直接写出EB＇的长为 ．‎ 图1‎ ‎ ‎图2‎ ‎25．（2019﹒无锡宜兴统卷）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝‎5cm，BD⊥AC于D，BD＝‎4cm，点M从A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，连接PM，设运动时间为t （0＜t≤3），线段CM的长度记作，线段BP的长度记作y2，y1与y2关于时间t 第 13 页 的函数变化情况如图2所示，‎ ‎（1）如图2可知，点M的运动速度是每秒 cm；当t为 秒时，四边形PQCM是平行四边形，在图2中反映这一情况的点是 ．‎ ‎（2）设四边形PQCM的面积为Scm2，求S与t之间的函数关系式.‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.‎ 图1‎ ‎ ‎图2‎ F t E y ‎5‎ ‎3‎ ‎3‎ H G O ‎26．（2019﹒江阴敔山湾创新班）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、E（3，）三点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）．‎ ‎27．（2019﹒无锡梁溪区）如图，点 M（4，0），以点 M 为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B．已 知抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A 和 B，与 y 轴交于点 C． ‎ ‎（1）求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ‎ ‎（2）点 P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PC－PA 的最大值．‎ ‎（3）CE 是过点 C 的⊙M 的切线，E 是切点，CE 交 OA 于点 D，求 OE 所在直线的函数关系式．‎ ‎28．（2019﹒无锡梁溪区）如图，直线x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（3）当t取什么范围时，点（4，）在正方形PQMN覆盖，请直接写出t的取值范围．‎ 第 13 页