中考数学真题分类汇编专题复习七几何综合题答案不全

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专题复习（七）几何综合题 类型 1 类比探究的几何综合题 类型 2 与图形变换有关的几何综合题 类型 3 与动点有关的几何综合题 类型 4 与实际操作有关的几何综合题 类型 5 其他类型的几何综合题 类型 1 类比探究的几何综合题 （2018 苏州） （2018 烟台） （2018 东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图 1，在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= 33 ，BO：CO=1:3，求 AB 的长． 经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图 2）． 请回答：∠ADB= °，AB= ． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC⊥AD， AO= 33 ，∠ABC=∠ACB=75°， BO：OD=1:3，求 DC 的长． （2018 长春） (第 24 题图 1) (第 24 题图 2) (第 24 题图 3) （2018 陕西） （2018 齐齐哈尔） （2018 河南） （2018 仙桃） 问题：如图①，在 Rt△ABC 中，AB  AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 ； 探索：如图②，在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，AB  AC，AD  AE，将△ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试探 索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC  ∠ACB  ∠ADC  45°．若 BD  9，CD  3，求 AD 的长． （2018 襄阳）如图(1)，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GE⊥BC，垂足为点 E，GF⊥CD， 垂足为点 F． (1)证明与推断： ①求证：四边形 CEGF 是正方形； ②推断： AG BE 的值为 ； (2)探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关 系，并说明理由； (3)拓展与运用 正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长 CG 交 AD 于点H．若 AG=6， GH=2 2 ，则 BC= ． （2018 淮安） （2018 咸宁） （2018 黄石）在△ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与 A、B、C 重合）. （1）如图 1，若 EF∥BC，求证： AEF ABC S AE AF S AB AC      （2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为△ABC 的重心， 3 4 AE AB  ,求 AEF ABC S S   的值. （2018 山西） （2018 盐城）【发现】如图①，已知等边 ABC ，将直 角三角形的 60 角顶点 D 任意放在 BC 边上（点 D 不与点 B 、 C 重合），使两边分别交线段 AB 、 AC 于点 E 、 F . （1）若 6AB  ， 4AE  ， 2BD  ，则CF  _______； （2）求证： EBD DCF  . 【思考】若将图①中的三角板的顶点 D 在 BC 边上移动，保持三角板与 AB 、 AC 的两个交点 E 、 F 都存在，连 接 EF ，如图②所示.问点 D 是否存在某一位置，使 ED 平分 BEF 且 FD 平分 CFE ？若存在，求出 BD BC 的值； 若不存在，请说明理由. 【探索】如图③，在等腰 ABC 中， AB AC ，点O 为 BC 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O 处 （其中 MON B   ），使两条边分别交边 AB 、AC 于点 E 、F（点 E 、F 均不与 ABC 的顶点重合），连接 EF . 设 B   ，则 AEF 与 ABC 的周长之比为________（用含 的表达式表示）. （2018 绍兴） （2018 达州） （2018 菏泽） （2018 扬州）问题呈现 如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 D 、 N 和 E 、C ， DN 与 EC 相交于点 P ，求 tan CPN 的值. 方法归纳 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中 CPN 不在直角三角 形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点 M 、 N ，可得 / /MN EC ，则 DNM CPN   ，连接 DM ，那么 CPN 就变换到中 Rt DMN . 问题解决 （1）直接写出图 1 中 tan CPN 的值为_________； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中， AN 与CM 相交于点 P ，求 cos CPN 的值； 思维拓展 （3）如图 3，AB BC ， 4AB BC ，点 M 在 AB 上，且 AM BC ，延长CB 到 N ，使 2BN BC ，连接 AN 交CM 的延长线于点 P ，用上述方法构造网格求 CPN 的度数. （2018 常德）已知正方形 ABCD 中 AC 与 BD 交于O 点，点 M 在线段 BD 上，作直线 AM 交直线 DC 于 E ,过 D 作 DH AE 于 H ,设直线 DH 交 AC 于 N . （1）如图 14，当 M 在线段 BO 上时，求证： MO NO ； （2）如图 15，当 M 在线段OD 上，连接 NE ,当 / /EN BD 时，求证： BM AB ； （3）在图 16，当 M 在线段OD 上，连接 NE ,当 NE EC 时，求证： 2AN NC AC  . （2018 滨州） （2018 湖州） （2018 自贡）如图，已知 AOB 60   ,在 AOB 的平分线 OM 上有一点C ,将一个 120°角的顶点与点C 重合， 它的两条边分别与直线OA OB、 相交于点 D E、 . ⑴当 DCE 绕点 C 旋转到CD与OA垂直时（如图 1），请猜想OE OD 与OC 的数量关系，并说明理由； ⑵当 DCE 绕点C 旋转到CD与OA不垂直时，到达图 2 的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶当 DCE 绕点C 旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图 3 中画出图形，若成立， 请给于证明；若不成立，线段OD OE、 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. （2018 嘉兴、舟山） .（2018 淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 ABC ，其中 AB AC ，在 ABC 的外侧分别以 ,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD ACE， ，分别取 ,BD CE ， BC 的中点 , ,M N G ，连接 ,GM GN .小 明发现了：线段 GM 与GN 的数量关系是 ；位置关系是 . （2）类比思考： 如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 AB AC ，其它条件 不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由. （3）深入研究： 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向 ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ,ABD ACE ，其它 条件不变，试判断 GMN 的形状，并给与证明. 类型 2 与图形变换有关的几何综合题 （2018 宜昌）在矩形 ABCD 中， 12AB  ， P 是边 AB 上一点，把 PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G ，过点 B 作 BE CG ，垂足为 E 且在 AD 上， BE 交 PC 于点 F . (1)如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证: AEB DEC ≌ ； (2) 如图 2，①求证: BP BF ； ②当 AD 25 ，且 AE DE 时，求 cos PCB 的值； ③当 BP 9 时，求 BE EF 的值. 图 1 图 2 图 2 备用图 23.(1)证明：在矩形 ABCD 中， 90 ,A D AB DC     , 如图 1，又 AE DE ， 图 1 ABE DCE   , (2)如图 2， 图 2 ①在矩形 ABCD 中， 90ABC   , BPC 沿 PC 折叠得到 GPC 90PGC PBC     , BPC GPC   BE CG / /BE PG , GPF PFB   BPF BFP   BP BF  ②当 25AD  时， 90BEC   90AEB CED     , 90AEB ABE     , CED ABE   又 90A D     , ABE DEC ∽ AB DE AE CD   ∴设 AE x ，则 25DE x  ， 12 25 12 x x   ， 解得 1 9x  ， 2 16x  AE DE 9, 16AE DE   , 20, 15CE BE   , 由折叠得 BP PG ， BP BF PG   , / /BE PG , ECF GCP ∽ EF CE PG CG   设 BP BF PG y   ， 15 20 25 y y   25 3y  则 25 3BP  在 Rt PBC 中， 25 10 3PC  , 25 3 10cos 1025 10 3 BCPCB PC     ③若 9BP  , 解法一：连接GF ，（如图 3） 90GEF BAE     , / / ,BF PG BF PG ∴四边形 BPGF 是平行四边形 BP BF , 平行四边形 BPGF 是菱形 / /BP GF , GFE ABE   , GEF EAB ∽ EF AB GF BE   12 9 108BE EF AB GF      解法二：如图 2， 90FEC PBC     , EFC PFB BPF     , EFC BPC ∽ EF CE BP CB   又 90BEC A     , 由 / /AD BC 得 AEB EBC   , AEB EBC ∽ AB CE BE CB   AE EF BE BP   12 9 108BE EF AE BP      解法三：（如图 4）过点 F 作 FH BC ，垂足为 H BPF PFEG S BF BF S EF PG BE   四边形 图 4 12 12 BFC BEC SBF EF BC EF BE S BC      9 12 EF BE   12 9 108BE EF    （2018 邵阳） （2018 永州） （2018 无锡） （2018 包头） （2018 赤峰） （2018 昆明） （2018 岳阳） （2018 宿迁） （2018 绵阳） （2018 南充） （2018 徐州） 类型 3 与动点有关的几何综合题 （2018 吉林） （2018 黑龙江龙东） （2018 黑龙江龙东） （2018 广东）已知 Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜边 OB=4，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 60o，如图 25-1 图， 连接 BC. （1）填空：∠OBC=_______o； （2）如图 25-1 图，连接 AC，作 OP⊥AC，垂足为 P，求 OP 的长度； （3）如图 25-2 图，点 M、N 同时从点 O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿 O→C→B 路径匀速运动，N 沿 O→B→C 路径 匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒.设运动时间 为 x 秒，△OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号） （2018 衡阳） （2018 黔东南）如图1，已知矩形 AOCB ， 6AB cm ， 16BC cm ，动点 P 从点 A 出发，以3 /cm s 的速度向 点O 运动，直到点 O 为止；动点Q 同时从点C 出发，以 2 /cm s 的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动. （1）点 P 到达终点O 的运动时间是________ s ，此时点Q 的运动距离是________cm ； （2）当运动时间为 2s 时， P 、Q 两点的距离为________cm ； （3）请你计算出发多久时，点 P 和点Q 之间的距离是10cm ； （4）如图 2 ，以点O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角 坐标系，连结 AC ，与 PQ 相交于点 D ，若双曲线 ky x  过点 D ，问 k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若 不会变化，请求出 k 的值. （2018 青岛）已知：如图，四边形 ABCD ， / / ,AB DC CB AB ， 16 , 6 , 8AB cm BC cm CD cm   ，动点 P 从点 D 开 始沿 DA 边匀速运动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 边匀速运动，它们的运动速度均为 2 /cm s .点 P 和点 Q 同时出发， 以 QA QP、 为边作平行四边形 AQPE ，设运动的时间为  t s ， 0 5t  . 根据题意解答下列问题： （1）用含 t 的代数式表示 AP ； （2）设四边形 CPQB 的面积为  2S cm ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当QP BD 时，求t 的值； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使点 E 在 ABD 的平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明 理由. （2018 广州）如图 12，在四边形 ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数 （2）连接 BD,探究 AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由。 （3）若 AB=1，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 2 2 2+CEAE BE ,求点 E 运动路径的长度。 （2018 温州） （2018 江西） （2018 潍坊） 类型 4 与实际操作有关的几何综合题 （2018 徐州）如图 1，一副直角三角板满足 AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30° 【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板．．．．DEF．．．绕点．．E．旋转．．，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图 2，当 CE 1EA ＝ 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明. （2） 如图 3，当 CE 2EA ＝ 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由. （3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 CE EA ＝m 时，EP 与 EQ 满足的数量关系式 为_________,其中 m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明) 【探究二】若，AC＝30cm，连续 PQ，设△EPQ 的面积为 S(cm2)，在旋转过程中： （1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着 S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应 S 值的取值范围. （2018 成都） （2018 枣庄） （2018 德州） 类型 5 其他类型的几何综合题 （2018 宁波） （2018 安徽）如图 1,Rt△ABC 中,∠ACB=90°，点 D 为边 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E，点 M 为 BD 中点，CM 的延长线 交 AB 于点 F. （1）求证:CM=EM； （2）若∠BAC=50°,求∠EMF 的大小； （3）如图 2,若△DAE≌△CEM,点 N 为 CM 的中点,求证:AN∥EM. 17. （1）证明：∵M 为 BD 中点 Rt△DCB 中，MC= 2 1 BD Rt△DEB 中，EM= 2 1 BD ∴MC=ME （2）∵∠BAC=50° ∴∠ADE=40° ∵CM=MB ∴∠MCB=∠CBM ∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM 同理，∠DME=2∠EBM ∴∠CME=2∠CBA=80° ∴∠EMF=180°-80°=100° （3）同（2）中理可得∠CBA=45° ∴∠CAB=∠ADE=45° ∵△DAE≌△CEM ∴DE=CM=ME= 2 1 BD=DM，∠ECM=45° ∴△DEM 等边 ∴∠EDM=60° ∴∠MBE=30° ∵∠MCB+∠ACE=45° ∠CBM+∠MBE=45° ∴∠ACE=∠MBE=30° ∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75° 连接 AM，∵AE=EM=MB ∴∠MEB=∠EBM=30° ∠AME= 2 1 ∠MEB=15° ∵∠CME=90° ∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM ∴AC=AM ∵N 为 CM 中点 ∴AN⊥CM ∵CM⊥EM ∴AN∥CM （2018 金华、丽水）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12.点 D 在直线 CB 上，以 CA,CD 为边作矩形 ACDE,直线 AB 与 直线 CE,DE 的交点分别为 F,G. （1）如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形. ①若点 G 为 DE 中点，求 FG 的长. ②若 DG=GF，求 BC 的长. （2）已知 BC=9，是否存在点 D,使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由. A BDC F G E 第 24 题图 （2018 金华（丽水））在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12.点 D 在直线 CB 上，以 CA,CD 为边作矩形 ACDE,直线 AB 与直线 CE,DE 的交点分别为 F,G. （1）如图，点 D 在线段 CB 上，四边形 ACDE 是正方形. ①若点 G 为 DE 中点，求 FG 的长. ②若 DG=GF，求 BC 的长. （2）已知 BC=9，是否存在点 D,使得△DFG 是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由. (2018 眉山）如图①，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N 为线段 AM 上的点，且 MB=MN. （1）求证：BN 平分∠ABE； （2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长； （3）如图②，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：△MFN∽△BDC. (2018 泰安) （2018 威海）如图①，在四边形 BCDE 中， BC CD ， DE CD ， AB AE ，垂足分别为 ,C D ， A ， BC AC ， 点 , ,M N F 分别为 , ,AB AE BE 的中点，连接 , ,MN MF NF . (1)如图②，当 4BC  ， 5DE  ， tan 1FMN ∠ 时，求 AC AD 的值； (2)若 1tan 2FMN ∠ ， 4BC  ，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程； (3)连接 , , ,CM DN CF DF ，试证明 FMC△ 与 DNF△ 全等； (4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出. 解：(1)∵ , ,M N F 分别是 , ,AB AE BE 的中点， ∴ BM NF MA  ， MF AN NE  . ∴四边形 MANF 是平行四边形. 又∵ BA AE . ∴平行四边形 MANF 是矩形. 又∵ tan 1FMN ∠ ，∴ 1FN FM  ，即 FN FM . ∴矩形 MANF 为正方形. ∴ AB AE . ∵ 1 2 90 ∠ ∠ ° ， 2 3 90 ∠ ∠ ° ， ∴ 1 3∠ ∠ ， ∵ 90C D ∠ ∠ ° ， ∴ ABC EAD△ ≌△ (AAS) ∴ BC AD ， CA DE . ∵ 4BC  ， 5DE  . ∴ 5 4 AC AD  . (2)可求线段 AD 的长. 由(1)知，四边形 MANF 为矩形， 1 2FN AB ， 1 2MF AE ， ∵ 1tan 2FMN ∠ ，即 1 2 FN FM  ，∴ 1 2 AB AE  . ∵ 1 3∠ ∠ ， 90BCA ADE ∠ ∠ ° ， ∴ ABC FAD△ △ . ∴ AB BC AE AD  . ∵ 4BC  ，∴ 1 4 2 AD  ， ∴ 8AD  . (3)∵ BC CD ， DE CD . ∴ ABC△ 与 ADE△ 都是直角三角形. ∵ ,M N 分别是 ,AB AE 中点. ∴ BM CM ， NA ND . ∴ 4 2 1∠ ∠ ， 5 2 3∠ ∠ . ∵ 1 3∠ ∠ ，∴ 4 5∠ ∠ . ∴ 90 4FMC  ∠ ∠° ， 90 5FND  ∠ ∠° . ∴ FMC FND∠ ∠ . ∵ FM DN ， CM NF . ∴ FMC DNF△ ≌△ (SAS). (4) BMF NFM MAN FNE△ ≌△ ≌△ ≌△ . （2018 武汉）在△ABC 中，∠ABC＝90°、 (1) 如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：△ABM∽△BCN (2) 如图 2，P 是边 BC 上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝ 5 52 ，求 tanC 的值 (3) 如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝ 5 3 ， 5 2 AC AD ，直接写出 tan∠CEB 的值 （2018 贵阳） （2018 哈尔滨） (2018 沈阳)