沈阳市2016年中考数学卷

沈阳市2016年中考数学卷

‎2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）‎ ‎1．下列各数是无理数的是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C． D．‎ ‎2．如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×107‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎5．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）‎ A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 ‎6．下列计算正确的是（　　）‎ A．x4+x4=2x8B．x3•x2=x6C．（x2y）3=x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2‎ ‎7．已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（　　）‎ A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7‎ ‎8．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）‎ A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6‎ ‎9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）‎ A． B．4 C．8D．4‎ ‎10．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　）‎ A．y1＜y2B．y1＞y2‎ C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．分解因式：2x2﹣4x+2=　　　　　　．‎ ‎12．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　　　　　　边形．‎ ‎13．化简：（1﹣）•（m+1）=　　　　　　．‎ ‎14．三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为　　　　　　．‎ ‎15．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发　　　　　　h时，两车相距350km．‎ ‎16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+．‎ ‎18．为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．‎ ‎（1）小明诵读《论语》的概率是　　　　　　；‎ ‎（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．‎ ‎19．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：‎ ‎（1）∠CEB=∠CBE；‎ ‎（2）四边形BCED是菱形．‎ ‎20．我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（2016•沈阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．‎ ‎（1）求证：DF⊥AC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．‎ ‎22．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．‎ ‎（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？‎ ‎（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．‎ ‎（1）线段OC的长为　　　　　　；‎ ‎（2）求证：△CBD≌△COE；‎ ‎（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．‎ ‎①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；‎ ‎②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．‎ ‎24．在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．‎ ‎（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．‎ ‎①求证：△ABD是等边三角形；‎ ‎②求证：BF⊥AD，AF=DF；‎ ‎③请直接写出BE的长；‎ ‎（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．‎ 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．‎ ‎（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．‎ ‎①点B的坐标为（　　　　　　、　　　　　　），BK的长是　　　　　　，CK的长是　　　　　　；‎ ‎②求点F的坐标；‎ ‎③请直接写出抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．‎ 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．‎ ‎　‎ ‎2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）‎ ‎1．下列各数是无理数的是（　　）‎ A．0 B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】无理数．‎ ‎【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．‎ ‎【解答】解：0，﹣1，是有理数，是无理数，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（2016•沈阳）如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】画出从上往下看的图形即可．‎ ‎【解答】解：这个几何体的俯视图为．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．‎ ‎　‎ ‎3．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×107‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：5400000用科学记数法表示为5.4×106，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（　　）‎ A．3 B．﹣3 C． D．﹣‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．再由函数图象所在的象限确定k的值即可．‎ ‎【解答】解：∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，‎ ‎∴矩形OAPB的面积S=|k|=3，‎ 解得k=±3．‎ 又∵反比例函数的图象在第一象限，‎ ‎∴k=3．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．‎ ‎　‎ ‎5．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）‎ A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 ‎【考点】随机事件．‎ ‎【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．‎ ‎【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ ‎　‎ ‎6．下列计算正确的是（　　）‎ A．x4+x4=2x8B．x3•x2=x6C．（x2y）3=x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2‎ ‎【考点】整式的混合运算．‎ ‎【专题】存在型．‎ ‎【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵x4+x4=2x4，故选项A错误；‎ ‎∵x3•x2=x5，故选项B错误；‎ ‎∵（x2y）3=x6y3，故选项C正确；‎ ‎∵（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故选项D错误；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．‎ ‎　‎ ‎7．已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（　　）‎ A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】根据众数和中位数的定义求解．‎ ‎【解答】解：数据：3，4，6，7，8，8的众数为8，中为数为6.5．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数定义．‎ ‎　‎ ‎8．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）‎ A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【专题】计算题；一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．‎ ‎【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，‎ 分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，‎ 解得：x1=﹣2，x2=6，‎ 故选B ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）‎ A． B．4 C．8D．4‎ ‎【考点】解直角三角形．‎ ‎【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，‎ cosB=，‎ 即cos30°=，‎ ‎∴BC=8×=4；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　）‎ A．y1＜y2B．y1＞y2‎ C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．‎ ‎【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．‎ ‎【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），‎ 则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．‎ 又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．‎ A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；‎ B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；‎ C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；‎ D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．分解因式：2x2﹣4x+2=　2（x﹣1）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．‎ ‎【解答】解：2x2﹣4x+2，‎ ‎=2（x2﹣2x+1），‎ ‎=2（x﹣1）2．‎ ‎【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．‎ ‎　‎ ‎12．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　五　边形．‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．‎ ‎【解答】解：设多边形的边数是n，则 ‎（n﹣2）•180°=540°，‎ 解得n=5，‎ 故答案为：五．‎ ‎【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．化简：（1﹣）•（m+1）=　m　．‎ ‎【考点】分式的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；分式．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=•（m+1）=m，‎ 故答案为：m ‎【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．三个连续整数中，n是最大的一个，这三个数的和为　3n﹣3　．‎ ‎【考点】列代数式．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】先利用连续整数的关系用n表示出最小的数和中间的整数，然后把三个数相加即可．‎ ‎【解答】解：这三个数的和为n﹣2+n﹣1+n=3n﹣3．‎ 故答案为3n﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是表示出最小整数．‎ ‎　‎ ‎15．在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发　　h时，两车相距350km．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】根据图象，可得A与C的距离等于B与C的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度，根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 AC=BC=240km，‎ 甲的速度240÷4=60km/h，乙的速度240÷30=80km/h．‎ 设甲出发x小时甲乙相距350km，由题意，得 ‎60x+80（x﹣1）+350=240×2，‎ 解得x=，‎ 答：甲车出发h时，两车相距350km，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是　或　．‎ ‎【考点】三角形中位线定理．‎ ‎【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据=计算即可 ‎②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得=计算即可．‎ ‎【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，‎ ‎∵DE是△ABC中位线，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC=10，‎ ‎∵DN′∥EF，‎ ‎∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，‎ ‎∴四边形DEFN′是矩形，‎ ‎∴EF=DN′，DE=FN′=10，‎ ‎∵AB=AC，∠A=90°，‎ ‎∴∠B=∠C=45°，‎ ‎∴BN′=DN′=EF=FC=5，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DO′=．‎ 当∠MON=90°时，‎ ‎∵△DOE∽△EFM，‎ ‎∴=，‎ ‎∵EM==13，‎ ‎∴DO=，‎ 故答案为或．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（）﹣2+．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=1+3﹣﹣4+3，‎ ‎=2．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．‎ ‎（1）小明诵读《论语》的概率是　　；‎ ‎（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；概率公式．‎ ‎【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；‎ ‎（2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种，‎ ‎∴小明诵读《论语》的概率=，‎ 故答案为：；‎ ‎（2）列表得：‎ 小明 小亮 A B C A ‎（A，A）‎ ‎（A，B）‎ ‎（A，C）‎ B ‎（B，A）‎ ‎（B，B）‎ ‎（B，C）‎ C ‎（C，A）‎ ‎（C，B）‎ ‎（C，C）‎ 由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种．‎ 所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=．‎ ‎【点评】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点．‎ ‎　‎ ‎19．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：‎ ‎（1）∠CEB=∠CBE；‎ ‎（2）四边形BCED是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定；全等三角形的性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．‎ ‎（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．‎ ‎【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，‎ ‎∴∠ABC=∠ABD，‎ ‎∵CE∥BD，‎ ‎∴∠CEB=∠DBE，‎ ‎∴∠CEB=∠CBE．‎ ‎（2））∵△ABC≌△ABD，‎ ‎∴BC=BD，‎ ‎∵∠CEB=∠CBE，‎ ‎∴CE=CB，‎ ‎∴CE=BD ‎∵CE∥BD，‎ ‎∴四边形CEDB是平行四边形，‎ ‎∵BC=BD，‎ ‎∴四边形CEDB是菱形．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎20．我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（2016•沈阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．‎ ‎（1）求证：DF⊥AC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．‎ ‎【考点】切线的性质；弧长的计算．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；‎ ‎（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．‎ ‎∵DF是⊙O的切线，D为切点，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴∠ODF=90°．‎ ‎∵BD=CD，OA=OB，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠CFD=∠ODF=90°，‎ ‎∴DF⊥AC．‎ ‎（2）解：∵∠CDF=30°，‎ 由（1）得∠ODF=90°，‎ ‎∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ ‎∴的长===π．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键．‎ ‎　‎ ‎22．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．‎ ‎（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？‎ ‎（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A，B两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；‎ ‎（2）设购买A型号健身器材m套，根据：A型器材总费用+B型器材总费用≤18000，列不等式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．‎ ‎（3）设购买A型号健身器材m套，‎ 根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，‎ 解得：m≥33，‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴m的最小值为34，‎ 答：A种型号健身器材至少要购买34套．‎ ‎【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到相等关系或不等关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．‎ ‎（1）线段OC的长为　　；‎ ‎（2）求证：△CBD≌△COE；‎ ‎（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．‎ ‎①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；‎ ‎②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；‎ ‎（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；‎ ‎（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1的高与底，继而求得答案；‎ ‎②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），‎ ‎∴OA=4，OB=1，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴AB==，‎ ‎∵点C为边AB的中点，‎ ‎∴OC=AB=；‎ 故答案为：．‎ ‎（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，‎ ‎∴OC=BC=AB，‎ ‎∴∠CBO=∠COB，‎ ‎∵四边形OBDE是正方形，‎ ‎∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，‎ ‎∴∠CBD=∠COE，‎ 在△CBD和△COE中，‎ ‎，‎ ‎∴△CBD≌△COE（SAS）；‎ ‎（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，‎ ‎∵C是AB边的中点，‎ ‎∴点C的坐标为：（2，）‎ ‎∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，‎ ‎∴CH=2﹣a，‎ ‎∴S=D1E1•CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；‎ ‎②当1＜a＜2时，S=﹣a+1=，‎ 解得：a=；‎ 当a＞2时，同理：CH=a﹣2，‎ ‎∴S=D1E1•CH=×1×（a﹣2）=a﹣1，‎ ‎∴S=a﹣1=，‎ 解得：a=，‎ 综上可得：当S=时，a=或．‎ ‎【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．‎ ‎（1）如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．‎ ‎①求证：△ABD是等边三角形；‎ ‎②求证：BF⊥AD，AF=DF；‎ ‎③请直接写出BE的长；‎ ‎（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．‎ 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；‎ ‎（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，‎ ‎∴AB=AD，∠BAD=60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形；‎ ‎②由①得△ABD是等边三角形，‎ ‎∴AB=BD，‎ ‎∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，‎ ‎∴AC=AE，BC=DE，‎ 又∵AC=BC，‎ ‎∴EA=ED，‎ ‎∴点B、E在AD的中垂线上，‎ ‎∴BE是AD的中垂线，‎ ‎∵点F在BE的延长线上，‎ ‎∴BF⊥AD，AF=DF；‎ ‎③由②知BF⊥AD，AF=DF，‎ ‎∴AF=DF=3，‎ ‎∵AE=AC=5，‎ ‎∴EF=4，‎ ‎∵在等边三角形ABD中，BF=AB•sin∠BAF=6×=3，‎ ‎∴BE=BF﹣EF=3﹣4；‎ ‎（2）如图所示，‎ ‎∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，‎ ‎∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，‎ 又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，‎ ‎∴∠BAE=∠ABC，‎ ‎∵AC=BC=AE，‎ ‎∴∠BAC=∠ABC，‎ ‎∴∠BAE=∠BAC，‎ ‎∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴AH=BH=AB=3，‎ 则CE=2CH=8，BE=5，‎ ‎∴BE+CE=13．‎ ‎【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．‎ ‎（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．‎ ‎①点B的坐标为（　10　、　0　），BK的长是　8　，CK的长是　10　；‎ ‎②求点F的坐标；‎ ‎③请直接写出抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．‎ 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题．‎ ‎②在RT△BKF中利用勾股定理即可解决问题．‎ ‎③设OA=AF=x，在RT△ACF中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．‎ ‎（2）不变．S1•S2=189．由△GHN∽△MHG，得=，得到GH2=HN•HM，求出GH2，根据S1•S2=•OG•HN••OG•HM即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，‎ ‎∴点B坐标（10，0），‎ ‎∵四边形OBKC是矩形，‎ ‎∴CK=OB=10，KB=OC=8，‎ 故答案分别为10，0，8，10．‎ ‎②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，‎ ‎∴FK==6，‎ ‎∴CF=CK﹣FK=4，‎ ‎∴点F坐标（4，8）．‎ ‎③设OA=AF=x，‎ 在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，‎ ‎∴（8﹣x）2+42=x2，‎ ‎∴x=5，‎ ‎∴点A坐标（0，5），代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5，‎ ‎∴抛物线为y=x2﹣3x+5．‎ ‎（2）不变．S1•S2=189．‎ 理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，‎ ‎∴DG===15，‎ ‎∴CG=CD﹣DG=2，‎ ‎∴OG===2，‎ ‎∵CP⊥OM，MH⊥OG，‎ ‎∴∠NPN=∠NHG=90°，‎ ‎∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，‎ ‎∴∠HGN=∠NMP，‎ ‎∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，‎ ‎∴△GHN∽△MHG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴GH2=HN•HM，‎ ‎∵GH=OH=，‎ ‎∴HN•HM=17，‎ ‎∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=（•2）2•17=289．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△GHN∽△MHG求出HN•HM的值，属于中考压轴题．‎ ‎　‎