春季人教版九年级数学下册中考动态问题导学案

春季人教版九年级数学下册中考动态问题导学案

中考复习课 ‎《中考动态问题》导学案 ‎【导学目标】‎ ‎1．使学生理解并掌握中考试题中常见的动点、动线及图形运动问题。‎ ‎2．让学生学会用数形结合、分类讨论等数学思想来构建方程、函数模型，培养学生的数学思维能力。‎ ‎3．让学生在合作交流的学习过程中，体验动态问题中的分类讨论思想，体验到成功的乐趣，从而增强学习数学的自信心。‎ ‎【导学重点】动态问题中的分类讨论思想，注意分类讨论周全，不要遗漏。‎ ‎【导学难点】利用相关的知识和方法（如方程、函数、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，构建相应的数学模型进行求解.‎ ‎【导学过程】‎ 一、专题介绍 动态问题越来越成为中考的重中之重，也是很多学生较困惑的题型。首先要明确动态问题的题型特点，深刻理解解题要领在哪里，再加上具备扎实的基础知识，答好动态问题并没有那么难。‎ 理解以下四点非常关键：‎ ‎1．动非静，易生变，要有充分的分类讨论意识。‎ ‎2．运动的过程可以理解为由无数个静止时刻构成，因此所求问题大致有三种形式：极值、定值、特殊值。‎ ‎3．尝试动手画图，作出符合要求的基本示意图。‎ ‎4．方程求值、函数求值（极值）意识。‎ 二、典例剖析 例1 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为 .‎ ‎【设计意图】考查动态问题中点在特殊时刻或点运动到特殊位置时取最值。‎ ‎【解析过程】 ‎ 步骤一：审题，特殊时刻为“PQ取最小值时”.‎ 步骤二：作图，线段PQ的长度与线段PO有关，即存在PQ2=PO2-OQ2，当PO最小时（PO⊥l），PQ取最小值，如图.‎ 步骤三：求值. 利用提示图的特殊时刻性质PQ2=PO2-OQ2计算求值.‎ 答案：‎ 变式练习：如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，过点P作⊙‎ O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 .‎ 例2 （2019,吉林）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1 cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ．设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．‎ ‎(1)填空：AB=　 　cm，AB与CD之间的距离为　 cm；‎ ‎(2)当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；‎ ‎(3)直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．‎ ‎【设计意图】本题是动态型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．本题第（2）（3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算．同时通过中考真题的学习，让学生体会到动态问中分类讨论的思想。‎ ‎【思路分析】‎ ‎（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．‎ ‎（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：‎ ‎①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；‎ ‎②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；‎ ‎③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．‎ ‎（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：‎ ‎①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示；‎ ‎②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．‎ ‎【规范解答】‎ ‎（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm， ∴AC⊥BD，‎ ‎∴AB=，‎ 设AB与CD间的距离为h，∴△ABC的面积S=AB•h，‎ 又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×AC•BD=××6×8=12，‎ ‎∴AB•h=12，∴h==．‎ ‎（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ=，cosθ=．‎ ‎①当4≤x≤5时，如图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．‎ ‎∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．‎ 过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=（5﹣x）．‎ ‎∴y=S△APQ=QA•PH=×3×（5﹣x）=﹣x+6；‎ ‎②当5＜x≤9时，如图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．‎ PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．‎ 过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=（10﹣x）．‎ ‎∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD ‎=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD ‎=AC•BD﹣BQ•OA﹣（BD•OC﹣QD•PH）﹣PD×h ‎=×6×8﹣（9﹣x）×3﹣[×8×3﹣（x﹣1）×（10﹣x）]﹣（10﹣x）×‎ 图1-1‎ 图1-2‎ 图1-3‎ ‎③当9＜x≤10时，如图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．‎ y=S△APQ=AB×h=×5×=12．‎ 综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：‎ y=．‎ ‎（3）有两种情况：‎ 图2-1‎ 图2-2‎ ‎①若PQ∥CD，如图2﹣1所示．此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．‎ ‎∵PQ∥CD， ∴，即， ∴x=；‎ ‎②若PQ∥BC，如图2﹣2所示．此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．‎ ‎∵PQ∥BC， ∴，即， ∴x=．‎ 综上所述，满足条件的x的值为或．‎ 三、方法总结 动态问题解题三步骤：‎ ‎1．审题 2．作图 3．求解 ‎◇利用特殊图形(特殊时刻)性质求解 ‎◇数学思想 ‎ 设未知数，列方程求解，并判断是否符合实际情况.‎ ‎◇模糊作图 作出特殊时刻的示意图.‎ ‎◇数学思想 分类讨论，注意是否存在符合题意的多种情况，需要分类作图.‎ ‎◇认真审题 运动过程中，出现特殊图形时刻？并求值.‎ 四、当堂检测 ‎【设计意图】通过3道中考真题的演练，让学生学有方向，复习更有针对性。‎ ‎1．（2019,黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（　　）‎ ‎　A． B． C． D．‎ ‎2．（2019,广西玉林市、防城港市）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. （2019•青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：‎ ‎(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？‎ ‎(2)设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎(3)是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．‎ 在Rt△AOB中，AB==10．‎ ‎∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．‎ 又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．‎ ‎∴=．即=，∴DF=t．‎ ‎∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF．‎ 即10﹣t=t，解这个方程，得t=．∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．‎ ‎（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，‎ 即10•CG=×12×16，∴CG=．‎ ‎∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG=（10﹣t+t）•=t+48．‎ ‎∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．‎ 同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．‎ ‎∴y=（t+48）﹣t2=﹣t2+t+48．‎ ‎（3）若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则﹣t2+t+48=×96，‎ 即5t2﹣8t﹣48=0，解这个方程，得t1=4，t2=﹣（舍去）‎ 如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，‎ 当t=4时，∵△PBN∽△ABO，‎ ‎∴==，即==．∴PN=，BN=．‎ ‎∴EM=EQ﹣MQ==．‎ PM=BD﹣BN﹣DQ==．‎ 在Rt△PME中，PE===（cm）．‎ 五、中考指津 ‎①全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考查运动中变与不变的量及其位置关系；②应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；③在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解.‎ 六、板书设计 ‎1．方法总结 动态问题解题三步骤：‎ ‎1．审题 2．作图 3．求解 ‎◇利用特殊图形(特殊时刻)性质求解 ‎◇数学思想 ‎ 设未知数，列方程求解，并判断是否符合实际情况.‎ ‎◇模糊作图 作出特殊时刻的示意图.‎ ‎◇数学思想 分类讨论，注意是否存在符合题意的多种情况，需要分类作图.‎ ‎◇认真审题 运动过程中，出现特殊图形时刻？并求值.‎ ‎2．中考指津 ‎①全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考查运动中变与不变的量及其位置关系；‎ ‎②应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；‎ ‎③在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解.‎