南京市中考数学试题及答案解析

南京市中考数学试题及答案解析

南京市2011年初中毕业生学业考试数学 数学注意事项：‎ 1． 本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．‎ 2． 请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．‎ 3． 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．‎ 4． 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．的值等于 A．3 B．－3 C．±3 D． ‎ ‎2．下列运算正确的是 A．a2＋a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．(a2)3=a8 ‎ ‎3．在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%．则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为 A．0.736×106人 B．7.36×104人 C．7.36×105人 D．7.36×106 人 ‎4．为了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是 A．随机抽取该校一个班级的学生 ‎ B．随机抽取该校一个年级的学生 ‎ C．随机抽取该校一部分男生 ‎ D．分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生 ‎ ‎5．如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是 ‎(第6题)‎ A B B P x y y=x ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为，则a的值是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．－2的相反数是________．‎ ‎8．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1=____________．‎ ‎(第12题)‎ B A D C E ‎(第11题)‎ B A M O ‎(第8题)‎ B A C D E l ‎1‎ ‎9．计算=_______________．‎ ‎10．等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为___________㎝．‎ ‎11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________． ‎ ‎12．如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．‎ ‎(第14题)‎ A B C D F E A B O P ‎(第12题)‎ ‎13．如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°．‎ ‎14．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°＜a＜180°），则∠a=______．‎ ‎15．设函数与的图象的交战坐标为（a，b），则的值为__________．‎ ‎16．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：‎ ‎①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；‎ ‎②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．‎ 三、解答题（本大题共12小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．‎ ‎18．（6分）计算 ‎19．（6分）解方程x2－4x＋1=0‎ ‎20．（7分）某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如下．‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎0‎ 第一组 第二组 第三组 组别 ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ 训练前 训练后 ‎①‎ 训练前后各组平均成绩统计图 训练后第二组男生引体 向上增加个数分布统计图 ‎10%‎ ‎50%‎ ‎20%‎ ‎20%‎ 增加8个 增加6个 增加5个 个数没有变化 ‎②‎ ‎(第20题)‎ 平均成绩（个）‎ ‎⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数；‎ ‎⑵小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多．”你同意小明的观点吗？请说明理由；‎ ‎⑶你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点．‎ A B C D E F ‎(第21题)‎ ‎21．（7分）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．‎ ‎⑴求证：△ABF≌△ECF ‎⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC 是矩形．‎ ‎22．（7分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min．设小亮出发x min后行走的路程为y m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系．‎ ‎⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min．‎ ‎⑵①当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；‎ ‎②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎1950‎ ‎3000‎ ‎80‎ x/min y/m O ‎(第22题)‎ ‎23．（7分）从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：‎ ‎⑴抽取1名，恰好是女生；‎ ‎⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．‎ ‎24．（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．‎ ‎⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；‎ ‎⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．‎ ‎25．（7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ A B E C D h ‎37°‎ ‎45°‎ ‎(第25题)‎ ‎26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．‎ ‎⑴当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；‎ ‎⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．‎ A B C P Q O ‎(第26题)‎ ‎27．（9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．‎ ‎⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．‎ ‎⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．‎ ‎①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．‎ B B B C C C A A A D P E ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎(第27题)‎ ‎28．（11分）‎ 问题情境 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？‎ 数学模型 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．‎ 探索研究 ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎（第28题）‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ‎⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．‎ ① 填写下表，画出函数的图象：‎ ② x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎……‎ ‎②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；‎ ‎③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．‎ 解决问题 ‎⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．‎ 答案：‎ 一.选择题：ACCDBB 二.填空：‎ ‎7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4 ‎ ‎17.解：‎ ‎ ‎ 解不等式①得：‎ 解不等式②得：‎ 所以，不等式组的解集是．‎ 不等式组的整数解是，0，1． ‎ ‎18.‎ ‎19. 解法一：移项，得．‎ 配方，得，‎ ‎ ‎ 由此可得 ‎，‎ 解法二：‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎20.解：⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是≈67%．‎ ‎⑵不同意小明的观点，因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（个）．‎ ‎（3）本题答案不唯一，我认为第一组训练效果最好，因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大．‎ ‎21.证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.‎ ‎∵EC=DC, ∴AB=EC．‎ 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，‎ ‎∴⊿ABF≌⊿ECF．‎ ‎（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．‎ ‎∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ‎ ‎∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．‎ 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．‎ 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，‎ ‎∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．‎ 又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形． ‎ ‎22. 解⑴3600，20． ‎ ‎⑵①当时，设y与x的函数关系式为．‎ 根据题意，当时，；当，．‎ ‎ ‎ ‎ 所以，与的函数关系式为．‎ ‎②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800（），‎ 缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（）．‎ 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（）． ‎ 把代入，得y=55×60—800=2500．‎ 所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（）．‎ ‎23. 解⑴抽取1名，恰好是女生的概率是．‎ ‎⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生（记为事件A）的结果共6种，所以P（A）=．‎ ‎24.解：⑴当x=0时，．‎ 所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．‎ ‎⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；‎ ‎②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，． ‎ 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．‎ ‎25.在中，＝．‎ ‎∴EC＝≈（）．‎ 在中，∠BCA＝45°，∴‎ 在中，＝．∴．∴（）． ‎ 答：电视塔高度约为120． ‎ ‎26.解⑴直线与⊙P相切．‎ 如图，过点P作PD⊥AB, 垂足为D．‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，‎ ‎∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm．‎ ‎∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC．‎ ‎∴,即，∴PD =2.4(cm) ．‎ 当时，(cm) ‎ ‎∴，即圆心到直线的距离等于⊙P的半径． ‎ ‎∴直线与⊙P相切．‎ ‎⑵ ∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径．∴ OP．∵P为BC的中点，∴． ‎ ‎∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切． ‎ ‎∴或，∴=1或4． ‎ ‎∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4． ‎ ‎27. 解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．‎ ‎∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．‎ ‎∴E是△ABC的自相似点． ‎ ‎⑵①作图略． ‎ 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；‎ ‎（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．‎ 则P为△ABC的自相似点．‎ ‎②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．‎ ‎∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．‎ ‎∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，‎ ‎∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．‎ ‎∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．‎ ‎∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．‎ ‎28. 解⑴①，，，2，，，．‎ 函数的图象如图．‎ ‎②本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．‎ ‎③‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 当=0，即时，函数的最小值为2． ‎ ‎⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为． ‎