中考数学阅读理解题专题
中考百分百——备战2018中考专题
(阅读理解题)
一、知识网络梳理
阅读理解题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材料;二是考查内容.它要求学生根据阅读获取的信息回答问题.提供的阅读材料主要包括:一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内容既有考查基础的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的.
这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。涉及到的数学知识很多，几乎涉及所有中考内容。
阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势。
题型1考查解题思维过程的阅读理解题
言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高数学素质的前提。数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测解题者理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的。
题型2考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题
理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握概念的内涵或实质，理解概念间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识。这类试题意在检测解题者对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力。
题型3考查归纳、探索规律能力的阅读理解题
对材料信息的加工提练和运用，对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。这类试题意在检测解题者的数学化能力以及驾驭数学的创新意识和才能。
题型4考查掌握新知识能力的阅读理解题
命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力。
解阅读新知识，应用新知识的阅读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错。
第一课时 代数阅读题
［目标导学］
此类阅读理解题一般以数式的运算、方程（不等式）的计算以及函数知识为背景，考查相关的知识；内容可以包括定义新思路、新方法，这主要是考查学生的理解应变能力，也可以是提供全新的的阅读材料，介绍新知识，用来考查学生的学以致用的能力。
［例题精析］
例1（07资阳）已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°
解不等式组（2）得x〈
所以（3x－2）(2x－1)＞0的解集为x>或x〈
作业题：①求分式不等式〈0的解集。
②通过阅读例题和作业题①，你学会了什么知识和方法？
2.（04大连） 阅读材料，解答问题：
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(－3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5……(如图12所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则
即△P1P2P3的面积为1。”
问题：
⑴求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；
⑵猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图13)
⑶若将抛物线改为抛物线，其它条件不变，猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)
［课后训练］
一.基础训练:
1. （03青岛）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”．
T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
2. 先阅读下列材料，然后解答题后的问题．
材料：从A、B、C三人中选择取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作．
一般地，从个元素中选取个元素组合，记作．
问题：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有 种．
3. （2003年广西壮族自治区中考题）阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5，-15，45，……的第4项是 ．
（2）如果一列数，，，，……是等比数列，且公比为，那么根据规定，有
所以
（用和的代数式表示）
（3）一等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．
4（07甘肃白银等3市）阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：
方法一：教材中方法 方法二：
∵ ax2+bx+c=0，
∴ 4a2x2+4abx+4ac=0，
配方可得： ∴ (2ax+b)2=b2-4ac．
当 b2-4ac≥0时，
2ax+b=±，
∴ 2ax=-b±．
当 b2-4ac≥0时， ∴ x=．
请回答下列问题：
（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？
（2）说说你有什么感想？
二.拓展训练:
1.（03青岛）在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全．腾飞中学初三（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高．如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示：
⑴ 若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；
⑵ 根据日中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式；
⑶ 根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话．
2（04烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图1所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。
图1
如图2所示，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1和A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。
图2
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。
问题（1）：有n台机床时，P应设在何处？
问题（2）：根据问题（1）的结论，求的最小值。
3（07安徽芜湖）阅读以下材料，并解答以下问题．
“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N= m + n种不同的方法，这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法， 这就是分步乘法计数原理． ”如完成沿图1所示的街道从A点出发向B点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)， 会有多种不同的走法，其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出．
(1) 根据以上原理和图2的提示， 算出从A出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？
(2) 运用适当的原理和方法算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有多少种?
(3) 现由于交叉点C道路施工，禁止通行． 求如任选一种走法，从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是多少?
解：
第二课时 几何阅读题
［目标导学］
此类阅读理解题包括新知识定义的阅读、理解和应用，几何量变化后的规律探索，几何计算和证明过程的判断与推理等。
［例题精析］
例1.阅读下列语句：
（1） 响应中央号召，开发大西南！
（2） “法轮功”是邪教。
（3） 若=1，则x=1.
（4） 台湾是中华人民共和国不可分割的领土。
（5） 两直线平行，同位角相等。
在上述语句中，属于真命题的句子是第（ ）句。
分析: 命题是判断一件事情的句子。而真命题是题设成立能推出结论一定正确的命题。
解: 属于真命题的句子是第（（2）、（4）、（5） ）句。
［解题启示］
此题主要是考查真命题的概念。判断是否真命题首先看是否是命题，再判断其真假性。
例2. （04广西玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=，sinc=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有 ．
∴………………（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步，由条件 ∠B；
第二步，由条件 ∠C；
第三步，由条件 c．
（2）一货轮在C处测得灯塔A 在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确到0.1．参考数据：sin=0.643，sin=0.906， sin=0.904，sin=0.966）．
分析: 本题取材于高中代数中的“正弦定理”内容，关键要通过阅读、自学，从中了解正弦定理的内容及其证明并要会简单应用。
解：（1）第一步：a、b、∠A；；第二步：∠A、∠B；∠A+∠B+∠C=180
第三步：a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，或
（2）解：依题意，可求得∠ABC=，∠A=
BC=28.4×=14.2
∵，∴AB=
答：货轮距灯塔A的距离约为21.3海里．
［解题启示］
近几年来，中考题中出现了与高中或大学知识有关的“渗透型”试题，这类试题较好地考查了学生的自学能力，也体现了新课程思想理念，故在复习中要引起重视。
例3（07浙江衢州）请阅读下列材料：
问题：如图（2），一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的先端AC。如下图（2）所示：
设路线1的长度为，则
比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！
路线2：高线AB + 底面直径BC。如上图（1）所示：
设路线2的长度为，则
∴ ∴
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算：
路线1：___________________；
路线2：__________
∵ ∴ ( 填>或<)
所以应选择路线____________(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短。
解：（1）
∴
所以要选择路线1较短。
（2）
＝－＝＝
当时，；当＞时，＞；当＜时，＜。
例4．（05南京）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋角为90°。
（1） 判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（ ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 （写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 。
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件
①是轴对称图形，但不是中心对称图形：
②既是轴对称图形，又是中心对称图形：
分析：解答本题的关键是读懂材料中的“旋转对称图形”和“旋转角”两个概念。
解：（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形
例4（07山西临汾）阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积．
（1）如图①，当时，
设切于点，连结，
，
O
B
A
C
r
图①
，
，．
在中，
，，
，,
,
．
（2）如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ；
（3）如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求；
（4）如图④，根据以上探索过程，请直接写出 ．
O
B
A
C
r
图②
O
B
A
C
r
图③
O
B
A
C
r
图④
解：（1）． 2分
（2）如图③，当时，设切于点，连结，
，，
O
B
A
C
r
图③
，， 3分
，， 4分
， 5分
． 6分
（3）． 8分
［课堂训练］
一.基础训练:
1. 阅读：由于我们已经学过三角形内角和定理，因此，我们可以过多边形的一个顶点引对角线，将多边形分成三角形，利用三角形的内角和定理来研究多边形的内角和。
读了这段内容，我们初步了解将多边形的问题转化为（ ）问题的思想方法，了解到（ ）的辩证唯物主义观点。
2. （05安徽）下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习等腰三角形有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知等腰三角形ABC的角A等于30°, 请你求出其余两角.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “其余两角是30°和120°”; 王华同学说: “其余两角是75°和75°.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
(1) 假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么?
(2) 通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)
3. （06北京课标B卷）请阅读下列材料：
问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组
成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
图1
图2
图3
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
图4
图5
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
解：
二.拓展训练:
1. （04青海省湟中县）阅读材料：
图（6）
P
A
C
B
D
如图（6）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P.
求证：S四边形ABCD=
证明：AC⊥BD→
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=
=
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为______________________________________________________
___________________________________________________________________________________________.
（2）已知：如图（7），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.
D
P
B
C
A
图7
2. （04无锡）读一读，想一想，做一做
（1）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×
4的小方格棋盘，图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.
①在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置.
②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可）.
1
2
3
4
1
2
3
4
Q
行
列
乙
1
2
3
4
1
2
3
4
丙
1
2
3
4
1
2
3
4
Q
甲
（2）现有足够的2×2，3×3的正方形和2×3的矩形图片A、B、C（如图），现从中各选取若干个图片拼成不同的图形.请你在下面给出的方格纸中，按下列要求分别画出一种示意图（说明：下面给出的方格纸中，每个小正方形的边长均为1. 拼出的图形，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠.画图必须保留拼图的痕迹）
①选取A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，在下面的图1中拼成一个正方形；
②选取A型4块，B型图片1块，C型图片4块，在下面的图2中拼成一个正方形；
③选取A型3块，B型图片1块，再选取若干块C型图片，在下面的图3中拼成一个距形.
A
B
C
［课后训练］
一.基础训练:
1. (2003·兰州)通过阅读所得的启示来回答问题(阅读中的结论可以直接用).
阅读:在直线上有n个不同的点,则此图中共有多少条线段?
分析:通过画图尝试,得表格
图形
直线上点的个数
共有线段条数
两者关系
A1 A2
2
1
1=0+1
A1 A2 A3
3
3
3=0+1+2
A1 A2 A3 A4
4
6
6=0+1+2+3
A1 A2 A3 A4 A5
5
10
10=0+1+2+3+4
……
…
…
…
A1 A2 A3 A4 A5 … An
n
=0+1+2+3…+(n-1)
问题:某学校初三年级共有8个班进行辩论赛,规定进行单循环赛(每两班之间赛一场),问该初三年级的辩论赛共进行多少场次?
2. （05台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
……①（其中、、为三角形的三边长，为面积）.
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
……②（其中）.
⑴ 若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
⑵ 你能否由公式①推导出公式②？请试试.
3. （04绍兴）课本第五册第65页有一题：
已知一元二次方程的两个根满足，且a，b，c分
是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边.若a=c，求∠B的度数.小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答.
（1） 若在原题中，将方程改为，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的的值作怎样的改变？并说明理由.
（2） 若在原题中，将方程改为（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的的值应改为多少（不必说明理由）？
二.拓展训练:
1. （05佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
2. （05资阳）阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
综合训练
(时间90分钟,总分100分)
一. 填空(每题3分,共24分):
1. 先阅读下列(1)题然后解答(2)、(3)题：
(1)用分组分解法分解多项式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)，组内公因式分别为x、y，组间公因式为m＋n，最后分解结果为：(m＋n)(x＋y)
(2)也可以这样分解：mx＋nx＋my＋ny＝(______)＋(______)，组内公因式分别为______，组间公因式为______，最后分解结果为：______．
(3)上述两种分组的目的都是______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公式法分解．请你设计一个关于字母x、y的二次四项式因式分解，要求要用到分组分解法和完全平方公式：_________．
2. 阅读下面一题的解题过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答．
已知a为实数，化简．
解：-a·＝(a-1)·
答：____________
3. 阅读下列证明过程：
已知，如图1四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
图1
读后完成下列各小题．
(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：_________．
(2)作DE∥AB的目的是：__________．
(3)有人认为第9步是多余的，你的看法呢？为什么？答：________．
(4)判断四边形ABED为平行四边形的依据是：_________．
(5)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是__________．
(6)若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答______．
4. 阅读下面材料并完成填空．
你能比较两个数20062007和20072006的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1和(n＋1)n的大小(n≥1的整数)．然后，从分析n＝1，n＝2，n＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)
①12______21； ②23______32； ③34______43；
④45＞54； ⑤56＞65； ⑥67＞76； ⑦78＞87；…
(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系是：_________．
(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20062007______20072006(填“＞”“＜”或“＝”)．
5. 如图△ABC中，BC＝a，
若、分别是AB、AC的中点，则；
若、分别是、的中点，则；
若、分别是、的中点，则；…………
若、分别是、的中点，则 ．（，且n
为整数）
6. （05年四川内江）阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
经过研究，这个问题的一般性结论是，期中是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：观察下列三个特殊的等式：
将这三个等式的两边相加，可以得到。
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7. （05年四川）下表是某市2004年城市居民收支情况抽样调查表，阅读表内信息，完成以下问题。
项 目
2004年（元）
2003年（元）
同比增长（%）
可
支
配
收
入
工薪收入
8077.85
6349.41
27.2
经营性收入
289.77
222.53
30.2
财产性收入
110.92
59.93
85.1
转移性收入
3118.97
3353.76
-7.0
小计
11597.51
9985.63
消
费
食品
3595.12
3060.34
17.5
支
出
衣着
800.72
699.14
14.5
家庭设备用品及服务
484.00
419.95
15.3
医疗保健
715.17
689.22
3.8
交通和通讯
936.31
708.32
32.2
教育文化娱乐服务
1099.44
1094.92
0.4
居住
623.13
732.98
-15.0
杂项商品和服务
417.87
355.03
17.7
小计
8671.76
7759.90
（1）说明该市城市居民可支配收入的主要来源是( )收入；
（2）该市城市居民可支配收入中同比增长最快的是( )收入;
（3）从该市城市居民在消费支出方面的信息，你能得出哪些结论？试写出其中的两条( ).
8. （03南京）阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些回所覆盖．
例如：图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
⑴ 边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
⑵ 边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
⑶ 长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．
二.选择(每题4分,共16分):
9. （05绍兴）“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
（A）代入法 （B）换元法 （C）数形结合 （D）分类讨论
10. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是数( )
A．8 B．15 C．20 D．30
11. 如果一个图形绕一个定点旋转一个角a (0°＜a ≤180°)，能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．例如，正三角形绕着它的中心旋转
120°(如图2)，能够与原来的正三角形重合，因而正三角形是旋转对称图形．图3是一个五叶风车的示意图，它也是旋转对称图形(a ＝72°)．
图2 图3
显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，是旋转对称图形的有( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
12.(05河北) 法国的“小九九”从“一一得一” 到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了。右面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例。若用法国“小九九”计算7×9，左右手依次伸出手指的个数是（ ）
A、2，3 B、3，3 C、2，4 D、3，4
三.解答题(13题5分，14、15题各6分，16、17、18、19、20题各7分，21题8分):
13. （05杭州）我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
14. (02年大连市)阅读材料，解答问题．
阅读材料：
当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线y＝x2-2mx＋m2＋2m-1，①
有y＝(x-m)2＋2m-1，②
∴ 抛物线的顶点坐标为(m，2m-1)．
当m的值变化时，x、y的值也随之变化．因而y值也随x值的变化而变化．
将③代入④，得y＝2x-1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y＝2x-1．
(1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是______，其中运用了______公式．由③、④得到⑤所用的数学方法是______；
(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y＝x2-2mx＋2m2-3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式．
.
15阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图4，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．
图4
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
A．两个球体 B．两个锥体
C．两个圆柱体 D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；②相似体表面积的比等于______；③相似体体积比等于______．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)
16．（山东省临沂市）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是。
类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：
（1）将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，
再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
（2）函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
（3）一般地，函数（，且）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的变换得到？
17. （新疆）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足是E，BF⊥CD，垂足是F，求证：CE＝DF．小明同学是这样证明的：
证明：∵ OM⊥CD 订正：
？
∴ CM＝MD
∵ AE∥OM∥BF
？
∴ ME＝MF
？
∴ ME－CM＝MF－MD
即 CE＝DF
横线及问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰．但证明过程欠完整，相信你再思考一下，一定能写出完整的证明过程”．请你帮助小明订正此题，好吗？
18. （05年南京市中考题）如果将点P绕定点M旋转1800后与点Q重合那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时P与点O关于点M是线段PQ的中点．
如图2-4-14，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0），点列，，，……中的相信两点都关于△ABO的一个顶点对称；点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与关于O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称点与点关于点O，对称中心分别是A、B、O、A、B、O、……且这些对称中心依次循环，已知点坐标是（1，1），试求出点，，坐标．
19(06绍兴) 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?
(1)阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．
求证：△ABC≌△A1B1C1．
(请你将下列证明过程补充完整)
证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1 D1⊥C1 A1于D1.
则∠BDC=∠B1D1C1=900，
∵BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD=B1D1．
(2)归纳与叙述：
由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
20（06青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．
（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
21(南昌) 问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°．则BM=CN：
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点．BM
与CN相交于点O，若∠BON=90°．则BM=CN.
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.
任务要求
(1)请你从①．②，③三个命题中选择一个进行证明；
(说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分)
(2) 请你继续完成下面的探索；
①如图4，在正n(n≧3)边形ABCDEF中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立(不要求证明)
②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还
成立，若成立，请给予证明．若不成立，请说明理由
(I)我选
证明
参考答案
第一课时
［课堂训练］
一． 基础训练
1．101030，或103010，或301010: 2。（1）换元；（2）。
3．（1） ， ，
（2）4×16=64 ， + =
（3） + =
证明：设=b1 , =b2
则，
∴
∴b1+b2=
即 + =
一. 拓展训练
1．由有理数除法法则“两数相除，异号得负”有：
（1）或（2）
解（1）得，解（2）得这个方程组无解。
所以原不等式组的解集为。
由此学会了一元二次不等式和分式不等式的一种解法。
2．（1）四边形P1P2P3P4的面积=△P1 H1 P4面积－梯形P1H1 H2 P2面积－梯形P2 H2 H3 P3 面积－△P3H3 P4面积=×9×3－（9+4）－（4+1）－=4
四边形P2P3P4P5的面积=4
（2）四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积=〔+〕×3－〔+〕－〔+〕－〔+〕=4
⑶猜想四边形Pn－1PnPn+1Pn+2的面积=4。
［课后训练］
一. 基础训练:
1．153； 2。15； 3。（1） （2） （3）．
4（1）都采用配方法。方法一是将二次项的系数化为1，方法二是将二次项系数变成一个平方式。方法一较好。
一. 拓展训练:
1．（1）略。（2）根据图中各点的排列规律，猜想各点可能在一个二次函数的图象上。设二次函数的解析式为s=a+bn+c,∵(2,1)、(3,3)、(4,6)三点在二次函数图象上，
∴
16a+4b+c=6 解得：a=,b=－,c=0
∴函数解析式为：s=－n。
（3）当n=56时，s=－×56=1540.
故该班56名同学间共通了1540次电话。
2．（1）当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何地方
当n为奇数时，P应设在第台的位置
（2）根据绝对值的几何意义，求的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当时，原式的值最小。
最小值是：+…+|309-616|+|309-617|=308+307+…+1+1+2+…+308=308×309=95172
3(1)∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，
∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．
故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1，
答:从A点到B点的走法共有35种． ……………………………………5分
(1) 方法一: 可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．
完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点． 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．
∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种． ………………………10分
方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段．运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种． 从A点到各交叉点的走法数见图4．
∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．………10分
(3) P(顺利开车到达B点)= ．
答:任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是． ………………12分
第二课时
［课堂训练］
一. 基础训练:
1． 三角形； 事物在一定的条件下可以相互转化。
2．(1)上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和l 20°．
图4
图5
(2)感受中答有“分类讨论”，“考虑问题要全面"等能体现分类讨论思想的即可
3．所画图形如图所示．
二.拓展训练:
1．（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
（2）S梯形=25(cm2)
2．（1）①答：（2，3）表示“皇后Q”的位置在棋盘中的第2列、第3行.
棋盘中不受该“皇后Q”控制的四个位置是：（1，1）、（3，1）、（4，2）、（4，4）
②略
（2）略（动手操作后容易画出）
［课后训练］
一.基础训练:
1．(8-1)×4=28(场次)； 2。(1)
；
又 ，
∴ .
⑵
∴
3．（1）∵ ∠B=120°，a=c， ∴ b=a，△=5a2＞0.
又∵ ==.
∴ =.
（2）=
二.拓展训练:
1．（1）设直线OM的函数关系式为．
则∴．
∴直线OM的函数关系式为．
（2）∵的坐标满足，∴点在直线OM上．
（或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）
∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．
∴∠SQR=∠SRQ．
∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．
∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．
∴∠POS=2∠SOB．
∴∠SOB=∠AOB．
（3）以下方法只要回答一种即可．
方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．
2．如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边
重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 .
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .
∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，
而 ab>S，a>b，
∴ L1- L2>0，即L1> L2 .
同理可得，L2> L3 .
∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
综合训练
1．(2)mx＋my nx＋ny m、n (x＋y) (x＋y)(m＋n)；
(3)提取公因式；如1-x2＋2xy-y2＝1-(x2-2xy＋y2)＝1-(x-y)2＝(1＋x-y)(1-x＋y)
2．∵ a＜0，
∴ ＋a··
3．(1)没有错误； (2)为了证明AD∥BC； (3)并不多余； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (5)梯形及等腰梯形的定义； (6)不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形．
4．(1)＜ ＜ ＞ (2)nn＋1＜(n＋1)n(n≤2) nn＋1＞(n＋1)n(n≥3) (3)＞
5．
6．（1）343400（或）；
（2）；（3）。
7．(1)可支配收入的主要来源是工薪收入；
（2）可支配收入中同比增长最快的是财产性收入；
（3）略。
8．（1）；（2）；（3），1。
9．C 10。B 11。C 12。C
13．①、④是相似图形，②、③不一定是相似图形
理由：两个圆和两个正六边形分别为形似图形，因为它们的对应元素都成比例；两个菱形和两个长方形都不是，因为它们的对应元素不一定都成比例（或举出具体的反例）。
14．(1)配方法、完全平方法、消元法
(2)y＝x2-2mx＋2m2-3m＋1＝x2-2mx＋m2＋m2-3m＋1＝(x-m)2＋m2-3m＋1
∴ 该抛物线顶点坐标为(m，m2-3m＋1)
将①代入②，得y＝x2-3x＋1．
∴ 所给抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x的关系式为y＝x2-3x＋1
15．(1)A；
(2)①相似比，②相似比的平方，③相似比的立方；
(3)设他的体重为x千克，根据题意得解得x＝60.75(千克)
答：他的体重是60.75千克．
16．(1)y=;y=;
（2）上，1；
y=可转化为y=+1
它的图象可由反比例函数y=的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到。
（1） 函数y=可转化为y=.
当a>0时，y=的图象可由反比例函数y=的图象
左平移a个单位，再向上平移一个单位得到。
当a<0时, y=的图象可由反比例函数y=的图象向左平移-a个单位，再向上平移一个单位得到。
17
18．的坐标为（1，-1）， 的坐标为（1，1） 的坐标为（1，-3）
19．（1）又∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．
∴△ADB≌△A1D1B1，
∴∠A=∠A1，
又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1．
（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，
AB=A1B 1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1 。
20．（1）
因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．
∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝＝n2
（2）
因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个， 即n2 个．
∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2 ．
21．（1）根据选择命题的难易程度评分，以下答案供参考：
（1） 如选命题①
证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°
∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3
又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN
∴BM=CN
（2）如选命题②
证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°
∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3
又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
（3）如选命题③
证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°
∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°
∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
(2)①答：当∠BON=时结论BM=CN成立．
②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立
证明；如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
