中考圆的综合题训练含答案A级

中考圆的综合题训练含答案A级

圆综合复习 ‎1、如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．‎ ‎（1）求B、C两点的坐标；‎ ‎（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；‎ ‎（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．‎ ‎2．如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．‎ ‎（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；‎ ‎（2）求证：BF=BD；‎ ‎（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．‎ ‎3．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）‎ ‎（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　 　°；‎ ‎（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；‎ ‎（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．‎ ‎4.如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．‎ ‎（1）当圆C经过点A时，求CP的长；‎ ‎（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；‎ ‎（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．‎ 备用图 ‎5.如图，在⊙的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点，射线AP交于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.‎ ‎（1）求证：△PAC∽△PDF；‎ ‎（2）若AB=5，=，求PD的长；‎ ‎（3）在点P运动过程中，设，，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）‎ ‎，‎ ‎6．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．‎ ‎（1）使∠APB=30°的点P有　 　个；‎ ‎（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；‎ ‎（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．‎ ‎7、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：△ADP∽△BDA；‎ ‎（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．‎ ‎8、四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．‎ ‎（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：∠ACF=90°；‎ ‎（3）连接AF，过A、E、F三点作圆，如图2，若EC=4，∠CEF=15°，求的长．‎ ‎9、如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．‎ ‎（1）若直线AB与有两个交点F、G．‎ ‎①求∠CFE的度数；‎ ‎②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；‎ ‎（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　10、已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）‎ ‎（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；‎ ‎（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；‎ ‎（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎11、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG.‎ （1） 试说明四边形EFCG是矩形；‎ （2） 当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，‎ ‎①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；‎ ‎②求点G移动路线的长.‎ ‎12、如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求证：四边形ABHP是菱形；‎ ‎（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．‎ ‎13、阅读资料：‎ 小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：‎ 如图l，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长刚交切线PC于点P．连接AC，BC，OC．‎ 因为PC是⊙O 的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．‎ 又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC与△PCB中，又因为∠P=∠P，所以△PAC～△PCB，所以=，即PC2=PA·PB．‎ 问题拓展：‎ ‎（1）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2），等式PC2=PA·PB，还成立吗?请证明你的结论．‎ 综合应用：‎ ‎（2）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P．‎ ‎①当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；‎ ‎②D是BC的中点，PD交AC于点E．求证： ‎ ‎14、图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．‎ ‎（1）点O到弦AB的距离是　　，当BP经过点O时，∠ABA′=　　°；‎ ‎（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：‎ ‎（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．‎ ‎15、阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）‎ ‎（1）【理解与应用】‎ 如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　_________　．‎ ‎（2）【类比与推理】‎ 如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；‎ ‎（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎16、在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．‎ ‎（1）写出∠AMB的度数；‎ ‎（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．‎ ‎①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；‎ ‎②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．‎ ‎17、已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18、如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP。‎ ‎（1）求△OPC的最大面积；‎ ‎（2）求∠OCP的最大度数；‎ ‎（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线.‎ ‎19.如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．‎ ‎（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；‎ ‎（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；‎ ‎（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．‎ 圆综合大题复习答案 ‎1． ‎ 解答：‎ 解：（1）连接PA，如图1所示．‎ ‎∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．‎ ‎∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．‎ ‎（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：‎ ‎∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．‎ ‎∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．‎ ‎∴点M的坐标为（﹣2，）．‎ ‎（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．‎ ‎∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．‎ ‎2．（8分）解答：‎ ‎（1）解：连接OB，OD，‎ ‎∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∴∠BOD=120°，∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴劣弧的长为：×π×3=2π；‎ ‎（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，‎ ‎∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；‎ ‎（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，‎ ‎∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，‎ 在△PBG和△PBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．‎ ‎3．（9分）（2014•苏州）解答：‎ 解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，‎ ‎∴∠OAD=45°，‎ ‎∵AB=4cm，AD=4cm，‎ ‎∴CD=4cm，AD=4cm，‎ ‎∴tan∠DAC===，‎ ‎∴∠DAC=60°，‎ ‎∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，‎ 故答案为：105；‎ ‎（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，‎ 连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，‎ 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，‎ 在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，‎ ‎∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；‎ ‎（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，‎ 如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，‎ 设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，‎ ‎∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，‎ 在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，‎ ‎∴t1=2﹣，‎ ‎②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，‎ 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，‎ 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．‎ ‎4、2014上海 ‎5、2014成都 ‎6．（9分）（2014•淄博）‎ 解答： 解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，‎ 以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．‎ 在优弧AP1B上任取一点P，如图1，‎ 则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数．‎ ‎（2）①当点P在y轴的正半轴上时，‎ 过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．‎ ‎∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．‎ ‎∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．‎ ‎∴点C的坐标为（3，2）．‎ 过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，‎ ‎∵点C的坐标为（3，2），∴CD=3，OD=2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．‎ ‎∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=．‎ ‎∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．‎ ‎②当点P在y轴的负半轴上时，‎ 同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．‎ 综上所述：满足条件的点P的坐标有：‎ ‎（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．‎ ‎（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．‎ ‎①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．‎ ‎∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===∴OP=∴P（0，）．‎ ‎②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣）．理由：‎ ‎①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），‎ 连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．‎ ‎∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，‎ 同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，‎ 此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．‎ ‎7．（10分）（2014•襄阳）解答： （1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，‎ ‎∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DAE=∠APE=90°，‎ ‎∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，‎ ‎∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；‎ ‎（2）PA+PB=PC，‎ 证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，‎ ‎∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，‎ 在△BPA和△BFC中，，‎ ‎∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；‎ ‎（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，‎ ‎∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，AP2=CP•PD，∴AP2=（3+AP）•1，解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．‎ ‎8．（10分）（2014•南宁）‎ 解答： 解：（1）BE=FH．‎ 证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE，‎ 在△ABE和△EHF中，‎ ‎∴△ABE≌△EHF（AAS）∴BE=FH．‎ ‎（2）由（1）得BE=FH，AB=EH，∵BC=AB，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠HCF=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．‎ ‎（3）由（2）知∠HCF=45°，∴CF=FH．∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．‎ 如图2，过点C作CP⊥EF于P，则CP=CF=FH．‎ ‎∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，∴△CPE∽△FHE．∴，即，∴EF=4．∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，‎ ‎∴的弧长为：=2π．‎ ‎9．（12分）（2014•泰州）解答： 解：（1）连接CD，EA，‎ ‎∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，‎ ‎（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，‎ ‎∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）‎ ‎∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，‎ ‎∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．‎ ‎∴4≤b＜5，‎ ‎（3）如图，‎ 当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，‎ 连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，‎ ‎∴P（，）．‎ ‎10．（2014•湖州）‎ 证明：（1）如图，连接PM，PN，‎ ‎∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，‎ ‎∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，‎ ‎∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，‎ 在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），‎ ‎∴PE=PF，‎ ‎（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，‎ 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，‎ ‎∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，‎ ‎∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，‎ ‎②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，‎ 同理可证△PMF≌△PNE，‎ ‎∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，‎ ‎∴b+a=1+t+1﹣t=2，‎ ‎∴b=2﹣a，‎ ‎（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，‎ ‎∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）‎ ‎∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，‎ ‎∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE ‎ ‎∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1‎ 当△OEQ∽△MPF∴=∴=，‎ 解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，‎ ‎=，解得，t=，‎ ‎（Ⅱ）如图4，当t＞2时，‎ ‎∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）‎ ‎∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，‎ ‎∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，‎ 由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1‎ 当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，‎ 当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，‎ 所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似．‎ ‎11. （2014 徐州本题10分）‎ ‎（1）∵CE是⊙O的直径，点F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，‎ 又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四边形EFCG是矩形···························2分 ‎（2）①∵四边形EFCG是矩形，∴∠BCD=90°，∴BDC=.‎ ‎∵∠CEF=∠BDC，∴CEF=BDC，即···········3分 ‎∴‎ ‎∵当点F与点B重合时，CF=BC=4；‎ 当⊙O与射线BD相切时，点F与点D重合，‎ 此时CF=CD=3；‎ 当CF⊥BD时，‎ ‎∴.‎ ‎∴当CF=cm时，·····················6分 当CF=4cm时，.································8分 ‎②如答图4，连接DG，并延长DG交BC得延长线与点G’.‎ ‎∵∠BDG=∠FEG=90°，又∵∠DCG’=90°，∴点G得移动路线为线段DG’,·······9分 ‎∵CD=3cm，∴CG’=∴DG’=··············10分 ‎12．（12分）（2014•荆州）‎ 解答： 解：（1）证明：连接OH，如图①所示．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．‎ ‎∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．‎ ‎∵OH=OA=，∴sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H，‎ ‎∴OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA===．∴AB=3．∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．‎ ‎（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．‎ 如图②所示，点G落到AD上．‎ ‎∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．‎ 由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．‎ ‎∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．‎ 此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．‎ ‎∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．‎ ‎（3）①如图①，‎ 在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GE•FG=x•x=x2．‎ ‎②如图③，‎ ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．∵tan∠SRG===，∴SG=（x﹣2）．∴S△SGR=SG•RG=•（x﹣2）•（3x﹣6）．‎ ‎=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2，∴S=S△GEF﹣S△SGR=x2﹣（x﹣2）2．‎ ‎=﹣x2+6x﹣6．‎ 综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．‎ 当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．‎ ‎∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．‎ ‎∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．‎ ‎∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．‎ ‎∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．‎ 在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x）．‎ 解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，∴S=x2=×（3﹣）2=﹣6．‎ ‎∴FG与⊙O相切时，S的值为﹣6．‎ ‎13解：（1）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC2=PA·PB仍然成立．‎ 证法一：如图1，连接PO，并延长交⊙O于点D，E，连接BD，AE．‎ 图1‎ ‎∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE， （2分）‎ ‎∴△PBD～△PEA．‎ ‎∴=，即PA·PB=PD·PE， （4分）‎ 由图1知PC2=PD·PE，∴PC2=PA·PB． （6分）‎ 证法二：如图2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC．‎ ‎∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD， （2分）‎ ‎∴∠CAD=∠PCD=90°，即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，‎ ‎∴∠D=∠2． （4分）‎ ‎∵∠D=∠B，∴∠B=∠2，∠P=∠P，∴△PBC～△PCA，‎ ‎∴=，即PC2=PA·PB． （6分）‎ ‎（2）①由（1）得PC2=PA·PB，PC=12，AB=PA，‎ PC2=PA·PB=PA（PA+AB）=2PA2，‎ ‎∴2PA2=144，PA=±6，PA=-6无意义，舍去．‎ ‎∴PA=6． （8分）‎ ‎②证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，‎ ‎∴=，=． （10分）‎ ‎∵D为BC的中点，∴BD=CD．‎ ‎∴=，∴=． （12分）‎ PC2=PA·PB．‎ ‎===，即=． （14分）‎ 证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，‎ ‎∴=，=．（10分）‎ ‎∵D为BC的中点，∴BD=CD．∴=，∴=． （12分）‎ PC2=PA·PB．‎ ‎===，即= （14分）‎ ‎14河北解答：‎ 解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．‎ ‎∵OH⊥AB，AB=2，∴AH=BH=．‎ ‎∵OB=2，∴OH=1．∴点O到AB的距离为1．‎ ‎②当BP经过点O时，如图1②所示．‎ ‎∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，∴sin∠OBH==．∴∠OBH=30°．由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．‎ ‎∴∠ABA′=60°．故答案为：1、60．‎ ‎（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．‎ ‎∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．‎ ‎∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG⊥BP，∴BG=PG=．∴BP=2．∴折痕的长为2．‎ ‎（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，‎ Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°．‎ Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°．‎ 综上所述：线段BA′与优弧只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．‎ ‎15．（12分）（2014•漳州）解答：‎ 解：（1）如图2，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．‎ ‎∵AB=BC=2，‎ ‎∴AC=2．∴OA=．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．‎ ‎（2）如图3，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．‎ ‎∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值为．‎ ‎（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．‎ 理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．‎ ‎∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．‎ ‎∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．‎ 同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．‎ ‎∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．‎ ‎16．（10分）（2014•常州）解答：‎ 解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，‎ ‎∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OA=OM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°∴∠AMB=90°；‎ ‎（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，‎ ‎∴OM==2，OD=2OH=2，∴OB=4，∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=5，∴E点坐标（5，0）‎ ‎②∵OD=2，Q的纵坐标为t，∴S=．‎ 如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，‎ ‎∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，‎ 此时S=；‎ 如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，‎ ‎∴OP=2，∵OP•OQ=20，∴t=OQ=5，此时S=；∴S的取值范围5≤S≤10．‎ ‎17解答： 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．‎ ‎∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵点P是AC中点，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．‎ ‎∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，‎ ‎∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．‎ 设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，‎ ‎∴∴∴直线DP的解析式为y=x﹣5．‎ ‎（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．‎ ‎∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）‎ ‎②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，‎ ‎∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．‎ ‎（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．‎ 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．‎ ‎∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．‎ ‎∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．‎ ‎∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．‎ ‎19．（8分）（2014•株洲）解答：‎ 解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．‎ ‎∵AB与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AB．‎ ‎∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB•sin∠HAB=×=．‎ ‎∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC的面积为．‎ ‎（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，‎ 线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．‎ ‎∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．‎ ‎（3）连接MQ，如图3所示．‎ ‎∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．‎ ‎∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=AB．‎ ‎∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．‎ ‎∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥AB．‎ ‎∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．‎ ‎∴CM的长度为．‎