北京中考数学一模试卷图形与证明题汇编

北京中考数学一模试卷图形与证明题汇编

O D C BA （昌平区一模） 7.如图，已知，AB 是⊙ 的直径，点 C，D 在⊙ 上， ∠ABC=50°，则∠D 为 A．50° B．45° C．40° D． 30° 答案：C ８．已知：如图 ,在等边三角形 ABC 中，M、N 分别是 AB、AC 的 中点，D 是 MN 上任意一点，CD、BD 的延长线分别与 AB、AC 交 于 F、E，若 ，则等边三角形 ABC 的边长为 A. B. C. D.1 答案： C 11．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 5，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=6，则菱形 ABCD 的面积为 . 答案： 24 16．如图，已知线段 与 相交于点 ，联结 ， 为 的中点， 为 的中点，联结 ．若∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC． 答案：证明：∵ ∴OB=2OE，OC=2OF. ∵ ∴OE=OF. ∴O B=OC. ∵ ∴△AOB≌△DOC. ∴AB=DC. 19．在梯形 ABCD 中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，BC=2cm. (1)求∠CBD 的度数； (2)求下底 AB 的长. 答案：解：∵ , ∴ . ∵ , ∴ ∵ ∥CD, ∴ ∵BC=CD, ∴ ∴ . ∴ . O O 1 1 6CE BF + = 8 1 1 4 2 1 AC BD O AB DC、 E OB F OC EF E F OB OC、 分别是 、 的中点， ,OEF OFE∠ = ∠ , ,AOB DOC A D∠ = ∠ ∠ = ∠ O D C A B E F ADBD ⊥ °=∠ 90ADB °=∠ 60A °=∠ 30ABD AB °=∠=∠ 30CBDABD °=∠=∠ 30CBDCDB °=∠ 60ABC ABCA ∠=∠ NM CB A E D F O F A B C D E D C BA ∴梯形 ABCD 是等腰梯形. ∴AD=BC=2. 在中， ， ， ∴AB=2AD=4. 20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD⊥弦 BC 于点 F，且交⊙O 于点 E，若∠AEC=∠ODB． （1）判断直线 BD 和⊙O 的位 置关系，并给出证明； （2）当 AB=10，BC=8 时，求 BD 的长． 答案：1）答 ：BD 和⊙O 相切. 证明：∵OD⊥BC, ∴∠OFB=∠BFD =90°, ∴∠D+∠3=90°. ∵∠4=∠D=∠2,　　　　 ∴∠2+∠3=90°, ∴∠OBD=90°, 即 OB⊥BD. ∵点 B 在⊙O 上， ∴BD 和⊙O 相切. (2) ∵OD⊥BC,BC=8, ∴BF=FC=4. ∵ AB=10, ∴OB=OA=5. 在 Rt△OFB 中, ∠OFB = 90°, ∵OB=5,BF=4, ∴OF=3. ∴tan∠1= . 在 Rt△OBD 中, ∠OBD =90°, ∵tan∠1= , OB=5, ∴ 24 ． 已知， 点 P 是∠MON 的平分线上的一动点， 射线 PA 交射线 OM 于点 A，将射线 PA 绕点 P 逆时针旋 转交射线 ON 于点 B，且使∠APB+ ∠MON=180°. （1）利用图 1，求证：PA=PB； （2）如图 2，若点 是 与 的交点，当 时，求 PB 与 PC 的比值； （3）若∠MON=60°，OB=2，射线 AP 交 ON 于点 ，且满足且 ， 请借助图 3 补全图形，并求 的长. °=∠ 90ADB °=∠ 30ABD 3 4= OF BF 3 4= OB BD 3 20=BD C AB OP 3POB PCBS S∆ ∆= D PBD ABO∠ = ∠ OP 3 21 4 F O D B C E A C A O P B M N T 图 1 图 2 T N M B P O A 答案：解：（1）在 OB 上截取 OD =OA，连接 PD， ∵OP 平分∠MON， ∴∠MOP=∠NOP． 又∵OA=OD，OP=OP， ∴△AOP≌△DOP．　　 ∴PA=PD，∠1=∠2． ∵∠APB+∠MON=180°， ∴∠1+∠3=180°． ∵∠2+∠4=180°， ∴∠3=∠4． ∴PD=PB． ∴PA=PB．　　 （2）∵PA=PB， ∴∠3=∠4． ∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4． ∴∠2=∠4． ∵∠5=∠5， ∴△PBC∽△POB． 　 ∴ ． （3）作 BE⊥OP 交 OP 于 E， ∵∠AOB=600，且 OP 平分∠MON， ∴∠1=∠2=30°． ∵∠AOB+∠APB=180°， ∴∠APB=120°． ∵PA=PB， ∴∠5=∠6=30°． ∵∠3+∠4=∠7， ∴∠3+∠4=∠7=(180° 30°)÷2=75°． ∵在 Rt△OBE 中，∠3=600，OB=2 ∴∠4=150，OE= ，BE=1 ∴∠4+∠5=450， ∴在 Rt△BPE 中，EP=BE=1 ∴OP= 3 3PS =∆ ∆= POBS BC PB PC − 3 13 + D 1 2 34 A O P B M N T 5 1 2 4 3 T N M B P O A C 7 6 1 2 4 3 5 E C A O P B M N T 图 3 T N M B P O A C 40° O A B C D (第 11 题图) （朝阳区一模） 11．如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=40°， 点 D 是弧 BAC 上一点，则∠D 的度数是______． 答案：50° 18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形 ABCD 翻折，使得点 B 落在 CD 边上的点 E 处，折痕 AF 交 BC 于点 F，求 FC 的长． 答案： 解：由题意，得 AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. 在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得 DE=3. 在矩形 ABCD 中，DC=AB= 5. ∴CE=DC-DE=2. 设 FC=x，则 EF=4-x. 在 Rt△CEF 中， .解得 . 即 FC= . 21．已知：如图，⊙O 的半径 OC 垂直弦 AB 于点 H，连接 BC，过点 A 作弦 AE∥BC，过点 C 作 CD∥BA 交 EA 延长线于点 D，延长 CO 交 AE 于点 F． （1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若 BC＝5，AB＝8，求 OF 的长． 答案：（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA， ∴∠DCF=∠AHF=90°. ∴CD 为⊙O 的切线. （2）解：∵OC⊥AB，AB＝8， ∴AH=BH= =4. 在 Rt△BCH 中，∵BH=4，BC=5， ∴CH=3. ∵AE∥BC，∴∠B=∠HAF. ∴△HAF≌△HBC. ∴FH=CH=3，CF=6. 连接 BO，设 BO=x，则 OC=x，OH=x-3. F E DA B C ( )222 42 xx −=+ 2 3=x 2 3 2 AB E O B H C AD F E O B H C AD F 在 Rt△BHO 中，由 ，解得 ∴ . 23．如图，在直角梯形 ABC D 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8， ，CA=CD，E、F 分别是线段 AD、AC 上的动点（点 E 与点 A、D 不重合），且∠FEC=∠ACB，设 DE=x， CF=y. （1）求 AC 和 AD 的长； （2）求 y 与 x 的函数关系式； （3）当△EFC 为等腰三角形时，求 x 的值. 答案：解：（1）∵ AD∥BC，∠B=90°， ∴∠ACB=∠CAD. ∴tan∠ACB =tan∠CAD= . ∴ . ∵AB=8， ∴BC=6. 则 AC=10 过点 C 作 CH⊥AD 于点 H， ∴CH=AB=8,则 AH=6. ∵CA=CD, ∴AD=2AH=12. （2）∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D. ∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD， ∴∠FEC=∠D. ∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D， ∴∠1=∠2. ∴△AEF∽△DCE. ∴ ，即 . ∴ . （3）若△EFC 为等腰三角形. ①当 EC=EF 时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD. 由 12-x=10，得 x=2. ( ) 222 34 xx =−+ 6 25=x 6 11=−= OCCFOF 3 4tan =∠CAD 3 4 3 4= BC AB AE CD AF DE = x-12 10 y-10 x = 105 6 10 1y 2 +−= xx F CB DA E ②当 FC=FE 时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE， ∴CE=AE=12-x. 在 Rt△CHE 中，由 ，解得 ③当 CE=CF 时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE， 此时点 F 与点 A 重合，故点 E 与点 D 也重合，不合题意，舍去 综上，当△EFC 为等腰三角形时，x=2 或 . 7．一元钱硬币的直径约为 24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A．12 mm　 　B．12 mm　　 C．6mm　　 D．6 mm 答案：A 答案：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠F． ∵点E 是 AB 的中点， ∴BE=AE. 在△BCE 和△AFE 中， ∠1=∠F， ∠3=∠2， BE=AE， ∴△BCE≌△AFE. （2）相等， 平行. （大兴区一模） 3．如图，△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 边上的点，AB∥DE， 若 AD＝5，CD ＝3，DE ＝4，则 AB 的长为 ( ) ( ) 222 8612 +−=− xx 3 11=x 3 11=x 3 3 3 2 1 F E B C A D A． B． C． D． 答案：A 7．如图 3，四边形 OABC 为菱形，点 A、B 在以点 O 为圆心的弧 DE 上， 若 OA=3，∠1=∠2,则扇形 ODE 的面积为 A. 　　 B. 2 　　 C. 　　 D. 3 答案：D 11．如图，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 都是⊙O 上的点， 则∠ACE＋∠BDE＝ ． 答案： 90º . 15．已知，在△ABC 中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC. 求证：DE=FB. 答案：证明：∵DE∥AB ∴∠B=∠DEC 又∵FG∥AC ∴∠FGB=∠C ∵BE=GC ∴BE+EG=GC+EG 即 BG=EC 在△FBG 和△DEC 中 ∴△FBG≌△DEC ∴DE=FB 19．已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底 AD = 8，AB=12,CD 边的垂直平分线交 BC 边于点 G，且交 AB 的延长线于点 E，求 AE 的长. 答案： 解：联结 DG ∵EF 是 CD 的垂直平分线 ∴DG=CG ∴∠GDC=∠C, 且∠C =45° ∴∠DGC=90° ∵AD∥BC,∠A=90° ∴∠ABC=90° ∴四边形 ABGD 是矩形 ∴BG=AD=8 ∴∠FGC =∠BGE =∠E= 45° ∴BE=BG=8 ∴AE=AB+BE=12+8=20 20．如图，在边长为 1 的正方形网格内，点 A、B、C、D、E 均在格点 处.请你判断∠x+∠y 的度数，并加以证明. 答案：∠x+∠y=45°. 证明：如图，以 AG 所在直线为对称轴，作 AC 的轴对称图 形 AF，连结 BF， 3 32 3 16 3 10 3 8 3 π2 π 5 π2 π    ∠=∠ = ∠=∠ CFGB ECBG DECB y x G F E D CB A 2 1 E D C B A O E G F E D CB A ∵网格中的小正方形边长为 1，且 A 、B、F 均在格点处， ∴AB=BF= ，AF= . ∴ ∴△ABF 为等腰直角三角形，且∠ ABF=90° ∴∠BAF=∠BFA=45° ∵AF 与 AC 关于直线 AG 轴对称， ∴∠FAG=∠CAG. 又∵AG∥EC， ∴∠x=∠CAG. ∴∠x=∠FAG. ∵DB∥AG， ∴∠y=∠BAG. ∴∠x+∠y=∠FAG+∠BAG =45°. 23．在平面直角坐标系 中，矩形 ABCO 的面 积为 15，边 OA 比 OC 大 2，E 为 BC 的中点， 以 OE 为直径的⊙O′交 x 轴于 D 点，过点 D 作 DF⊥AE 于 F. （1） 求OA，OC的长； （2） 求证：DF 为⊙O′的切线； （3）由已知可得，△AOE 是等腰三角形.那么在直线 BC 上是 否存在除点 E 以外的点 P，使△AOP 也是等腰三角形？如果存 在，请你证明点 P 与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明 理由. 答案： （1）解：在矩形 ABCO 中，设 OC=x，则 OA=x+2， 依题意得，x(x+2)=15. 解得 （不合题意，舍去） ∴ OC=3 ，OA=5 . （2）证明：连结 O′D，在矩形 OABC 中， ∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E 为 BC 的中点， ∴△OCE≌△ABE . ∴ EO=EA . ∴∠EOA=∠EAO . 又∵O′O= O′D， ∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO. ∴ O′D∥EA . ∵ DF⊥AE， ∴ DF⊥O′D . 又∵点 D 在⊙O′上，O′D 为⊙O′的半径， ∴ DF 为⊙O′的切线. （3）答：存在 . 13 26 222 BFABAF += xOy .5,3 21 −== xx ① 当 OA=AP 时，以点 A 为圆心，以 AO 为半径画弧，交 BC 于点 和 两点， 则△AO 、△AO 均为等腰三角形. 证明：过 点作 H⊥OA 于点 H，则 H=OC=3， ∵ A =OA=5， ∴ AH=4，OH=1. ∴ （1,3）. ∵ （1,3）在⊙O′的弦 CE 上，且不与 C、E 重合， ∴ 点 在⊙O′内. 类似可求 （9,3）. 显然，点 在点 E 的右侧， ∴点 在⊙O′外. ② 当 OA=OP 时，同①可求得， （4,3）， （-4,3）. 显然，点 在点 E 的右侧，点 在点 C 的左侧 因此，在直线 BC 上，除了 E 点外，还存在点 ， ， ， ，它们分别使△AOP 为 等腰三角形，且点 在⊙O′内，点 、 、 在⊙O′外. 24．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD=BC,∠A、∠B 均为锐角． (1) 当∠A=∠B 时，则 CD 与 A B 的位置关系是 CD AB，大小关系是 CD AB； (2) 当∠A>∠B 时，（1）中 C D 与 A B 的大小关系是否还成立， 证明你的结论． 答案：解：（1）答：如图 1， CD∥AB ，CD+ D C BA ∴ ∴ DC+ ., BFADABDF ==      256 81)4 3( 4 或 n）（ 4 31− 图1 D' D CB A 图2 D CB A A . 30°　 B. 40°　 C. 60°　 D . 70° 答案：A 4．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 边的中点． 若 DE=2，则 AB 的长度是 A．6 B．5 C．4 D．3 答案：C 6．已知圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则圆锥的侧面积等于 A．11 B．10 C．9 D．8 答案：D 8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，E、F 分别是 AB、AD 的中点.动点 从点 B 出发， 沿 B→C→D→F 方向运动至点 处停止 ．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ， 当 取到最大值时，点 应运动到 A． 的中点处 B． 点处 C． 的中点处 D． 点处 答案：B 16. 如图，在四边形 ABCD 中， AC 是∠DAE 的平分线，DA∥CE， ∠AEB=∠CEB. 求证：AB=CB. 答案：证明：∵AC 是∠DAE 的平分线， ∴∠1=∠2. 又∵AD∥EC， ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴AE=CE. 在△ABE 和△CBE 中， AE=CE， ∠AEB=∠CEB， BE=BE， ∴△ABE≌△CBE. ∴AB=CB. Com] π π π π R F R x EFR△ y y R BC C CD D A B CD E 2 3 1 18．如图，在平行四边形 中，过点 A 分别作 AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F． （1）求证： ∠BAE=∠DAF； （2）若 AE=4，AF= ， ，求 CF 的长． 答案：证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D. 又 AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD. ∴∠BAE=∠DAF. （2）在 Rt△ABE 中，sin∠BAE= ，AE=4,可求 AB=5. 又∵∠BAE=∠DAF， ∴ sin∠DAF=sin∠BAE= . 在 Rt△ADF 中，AF= , sin∠DAF = ,可求 DF= ∵ CD=AB=5. ∴CF=5- = ． 20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 M 交⊙O 于点 D，CB⊥AB 交 AD 的延长线于 C． （1）求证：AD＝DC； （2）过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E，若 DE＝2，CE=1， 求⊙O 的半径． 答案：（1）证明：在⊙O 中，OD⊥AB，CB⊥AB， ∴AM＝MB，OD∥BC. ∴AD＝DC. （2）∵DE 为⊙O 切线， ∴OD⊥DE ∴四边形 MBED 为矩形. ∴DE∥AB. ∴MB=DE=2，MD=BE＝EC=1. 连接 OB. 在 R t△OBM 中，OB2=OM2+BM2. 解得 OB= . ABCD  24 5 3sin 5BAE∠ = 5 3 5 3 5 24 5 3 5 18 5 18 5 7 2 5 A B C D E F M O A B C D E 22. 如图 1，在△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于 D，BD＝2，DC＝3，求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图 1.她分别以 AB、AC 为对称轴， 画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，得到 四边形 AEGF 是正方形.设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值. （1）请你帮小萍求出 x 的值. (2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题： 如图 2，在△ABC 中，∠BAC＝30°，AD⊥BC 于 D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得 到四边形 AEGF，求△BGC 的周长.（画图所用字母与图 1 中的字母对应） 图 1 图 2 答案：解： （1）设 AD=x，由题意得，BG=x－2，CG=x-3. 在 Rt△BCG 中，由勾股定理可得 . 解得 . （2）参考小萍的做法得到四边形 AEGF，∠EAF=60°， ∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4. 连结 EF，可得 △AEF 为等边三角形. ∴ EF=4. ∴ ∠FEG=∠EFG= 30°. ∴ EG=FG. 在△EFG 中，可求， . ∴△EFG 的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG= 2 2 2( 2) ( 3) 5x x− + − = 6x = 4 33EG = 8 33 G F E D CB A F O E D C BA （20 题图） （房山区一模） 4．如图，AB 为圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E， 联结 OC，若 OC=5，AE=2，则 CD 等于 A．3 B．4 C．6 D．8 答案：D 11．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上， DE//BC，若 AD：AB=3：4， DE=6，则 BC= ________． 答案： 8； 15．（本小题满分 5 分）如图，A、B、C 三点 在同一条直线上，AB=2BC，分别以 AB，BC 为边做正方形 ABEF 和正方形 BCMN， 联结 FN，EC． 求证：FN=EC 答案：证明：在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中 AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90° ∵ AB=2BC ∴ EN=BC ∴△FNE≌△EBC ∴FN=EC 19．（本小题满分 5 分）在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=6，过点 C 作射线 CP∥AB， 在射线 CP 上截取 CD=2，联结 AD，求 AD 的长． 答案：解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，过点 C 作 CF⊥AB 于 F，则 DE∥CF ∵CP∥AB， ∴四边形 DEFC 是矩形 ∵在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=6，CD=2 ∴AF=CF= AB=3 ∴EF=CD=2,DE=CF=3 ∴AE=1 在△ADE 中，∠AED=90°,DE =3,AE=1 ∴AD= 20．（本小题满分 5 分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC、AC 于点 D、E， 1 2 10 A B C D E （11 题图） OE D C BA （4 题图） FE P D C BA O F E D C BA 联结 EB 交 OD 于点 F． （1）求证：OD⊥BE； （2）若 DE= ，AB=5，求 AE 的长． 答案：解：（1）联结 AD ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=∠AEB =90° --- 1 分 ∵AB=AC，∴CD=BD ∵OA=OB，∴OD//AC ∴OD⊥BE （2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5, DE= ∴AC=AB=5, BC=2DE=2 , 在△ABE、△BCE 中，∠CEB=∠AEB=90°，则有 设 AE=x, 则 解得：x=3 ∴AE=3 方法二：∵OD⊥BE，∴BD=DE，BF=EF 设 AE=x,∴OF= ，在△OBF、△BDF 中，∠OFB=∠BFD=90° ∴ ∵DE= ，AB=5， ∴ 解得：x=3， ∴AE=3 方法三：∵BE⊥AC AD⊥BC, ∴S△ABC= BC·AD= AC·BE, ∴BC·AD=AC·BE ∵BC=2DE=2 ，AC=AB=5 ∴BE=4 , ∴AE=3 25．（本小题满分 7 分） 已知：等边三角形 ABC 5 5 5 2 2 2 2AB AE BC EC− = − ( ) ( )2 22 25 2 5 5x x− = − − 1 2 x 2 2 2 2BD DF OB OF− = − 5 2 2 2 25 1 5 1( 5) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x x− − = − 2 1 2 1 5 C A B P 图 1 E C P B A B’ C A B P D （1） 如图 1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°． 试猜想线段 BP、PC、AP 之间的数量关系,并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°． 求证：PA+PD+PC＞BD 答案：猜想：AP=BP+PC （1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，联结 CE ∵∠BPC=120° ∴∠CPE=60°，又 PE=PC ∴△CPE 为等边三角形 ∴CP=PE=CE，∠PCE=60° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC，∠BCA=60° ∴∠ACB=∠PCE， ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE ∴△ACP≌△BCE ∴AP=BE ∵BE=BP+PE ∴AP=BP+PC （2）方法一： 在 AD 外侧作等边△AB′D 则点 P 在三角形 ADB′外 　　 ∵∠APD=120°∴由（1）得 PB′=AP+PD 在△PB′C 中，有 PB′+PC＞CB′， ∴PA+PD+PC＞CB′ ∵△AB′D、△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB，AB′=AD， ∠BAC=∠DA B′=60° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD 即：∠BAD=∠CAB′ ∴△AB′C≌△ADB ∴C B′=BD ∴PA+PD+PC＞BD 方法二：延长 DP 到 M 使 PM=PA，联结 AM、BM ∵∠APD=120°， ∴△APM 是等边三角形， ∴AM=AP，∠PAM=60° ∴DM=PD+PA ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60° ∴△AMB≌△APC ∴BM=PC M P D CB A C B A P D 图 2 AB C D E F O D C BA O F E D C BA 3 2 1 AB C D E F 在△BDM 中，有 DM + BM＞BD， ∴PA+PD+PC＞BD （丰台区一模） 11．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于 点 D， 交⊙O 于点 C，且 CD＝l，则弦 AB 的长是 ． 答案：6 19.已知:如图，在四边形 ABFC 中， =90°, 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 CF=AE. (1) 求证：四边形 BECF 是菱形； (2) 当 的大小为多少度时,四边形 BECF 是正方形？ 答案：解：⑴∵ EF垂直平分BC, ∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° 又∵ ∠ACB=90° ∴EF∥AC ∴E为AB中点， 即BE=AE ∵CF=AE ∴CF=BE ∴CF=FB=BE=CE ∴四边形是BECF菱形. ⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF是正方形. 20．在Rt 中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△ AFC 沿AC翻折得 ，且点E恰好落在直径AB上. （1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论. （2）若OB=BD=2,求CE的长． 答案：（ 1）直线FC与⊙O的位置关系是_相切_； 证明：联结OC ∵OA=OC，∴∠1=∠2，由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90° ∴∠3=∠2 ∴OC∥AF，∴∠F=∠OCD=90°，∴FC与⊙O相切 （2）在Rt△OCD中，cos∠COD= ∴∠COD=60° 在R t△OCD中，CE=OC·sin∠COD= 22．认真阅读下列问题，并加以解决： 问题 1：如图 1，△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使 △ABC 的两个顶点 成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条 件的所有矩形在图 1 中画出来； ACB∠ BC A∠ △AFD △AEC OC 1 OD 2 = 3 A BC A B C E D C B A 图 1 图 2 问题 2：如图 2，△ABC 是锐角三角形，且满足 BC＞AC＞AB，按问题 1 中的要求把它补 成矩形．请问符合 要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）； 问题 3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足 BC＞AC＞AB，现将它补成矩形．要 求：△ABC 有两个 顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面 积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）． 答案：解：（1） （2）符合要求的矩形最多可以画出 3 个，它们面积之间的数量关系是 相 等 ；………4’ (3) 不相等 ． 15. 已知：如图，∠B =∠D，∠DAB=∠EAC，AB=AD． 求证：BC=DE． 答案：证明：∵∠DAB=∠EAC ∴∠DAB+∠ BAE =∠EAC+∠BAE ∵即∠DAE=∠BAC 在△DAE 和△BAC 中 ∴BC=DE B D AB AD BAC DAE ∠ = ∠  = ∠ = ∠ （燕山区一模） 3．已知一个等腰三角形有两边的长分别为 2 和 5，则它的周长为 A．7 B．9 C．12 D．9 或 12 答案：C 10．已知⊙O1、⊙O2 的半径分别是 2cm、3cm，当它们相切时，圆心距 O1 O2= ． 答案： 1cm 或 5cm 11．已知△ABC 中，D、E 分别是两边 AB 和 AC 的中点，若△ABC 的面积是 8cm2，则四边形 BCED 的面积是 cm2． 答案：6 15．已知：如图，点 D 在 AB 的延长线上，AB＝DE， ∠A＝∠CBE＝∠E. 判断△ABC 和△BDE 是否全等？ 并证明你的结论. 答案： 全等 证明：∵∠CBE =∠E， ∴ BC∥DE. 又∵点 D 在 AB 的延长线上， ∴∠CBA=∠D. 在△ABC 和△EDB 中, 又∵∠A=∠E, AB=DE, ∴△ABC≌△EDB. 21．如图，等腰△ABC 中，AE 是底边 BC 上的高， 点 O 在 AE 上，⊙O 与 AB 和 BC 分别相切. （1）⊙O 是否为△ABC 的内切圆？请说明理由. （2）若 AB=5， BC=4，求⊙O 的半径. 答案： ⑴ 是 理由是：∵⊙O 与 AB 相切，把切点记作 D. 联结 OD，则 OD⊥AB 于 D. 作 OF⊥AC 于 F， ∵AE 是底边 BC 上的高， ∴AE 也是顶角∠BAC 的平分线. ∴OF=OD=r 为⊙O 的半径. ∴⊙O 与 AC 相切于 F. 又∵ ⊙O 与 BC 相切， ∴⊙O 是△ABC 的内切圆. ⑵ ∵OE⊥BC 于 E， ∴点 E 是切点，即 OE=r. 由题意，AB=5，BE= AB=2， ∴ AE= = . ∵Rt△AOD∽Rt△ABE， ∴ ， 2 1 22 2-5 21 BE OD AB OA = D F 即 . 解得，r= . ∴ ⊙O 的半径是 . 24．已知：如图，等边△ABC 中，AB=1，P 是 AB 边 上一动点，作 PE⊥BC，垂足为 E；作 EF⊥AC， 垂足为 F；作 FQ⊥AB，垂足为 Q. （1）设 BP=x，AQ=y，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当点 P 和点 Q 重合时，求线段 EF 的长； （3）当点 P 和点 Q 不重合，但线段 PE、FQ 相交时，求它们与线段 EF 围成的三角形 周长的取值范围. 24.答案：⑴∵△ABC 是等边三角形，AB=1. ∴∠A=∠B=∠C=60°, BC=CA=AB=1. 又∵∠BEP=∠CFE=∠FQA=90°, BP=x. ∴BE= x, CE=1- x, CF= - x, AF=1-( - x)= + x. ∴AQ= AF= ( + x), ∴ y= x+ . ⑵由方程组 得 x = . ∴当点 P 和点 Q 重合时，x = ， ∴EF= CF= ( - x)= . ⑶设线段 PE、FQ 相交于点 M， 易证△MEF 是等边三角形， 且当点 P 和点 A 重合时，EF 最短为 . ∴ ≤ m ＜ . 25．已知：如图，在梯形 ABCD 中，∠BCD=90°， tan∠ADC=2，点 E 在梯形内，点 F 在梯形外， 2 r 5 r-21 = 7 212 7 212 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 8 1 4 1    += =+ .4 1x8 1y 1,yx 3 2 3 2 3 3 2 1 4 1 3 3 4 3 4 33 3 3 题图 第 5 题图 A O P C B ，∠EDC=∠FBC，且 DE=BF． （1）判断△ECF 的形状特点，并证明你的结论； （2）若∠BEC=135°，求∠BFE 的正弦值． 答案： 答案：⑴ 是等腰直角三角形. …………………………………………1 分 证明：作 AH⊥CD 于 H， ∵梯形 ABCD 中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，即∠ADC≠90°. ∴ AB∥CD，AH=BC，AB=CH. 又∵ ，即 CH+DH=2AB=2CH ∴ DH=CH，CD=2DH. ∵ tan∠ADC= =2， ∴ AH=2DH=CD=BC. 在△EDC 和△FBC 中， 又∵∠EDC=∠FBC，DE=BF， ∴△EDC≌△FBC. ∴CE=CF, ∠ECD=∠FCB. ∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°, ∴∠FCB+∠ECB=90°，即∠ECF=90°. ∴△ECF 是等腰直角三角形. …………… ⑵ ∵ 在等腰 Rt△ECF 中，∠ECF=90°， ∴ ∠CEF=45°，CE= EF. 又∵∠BEC=135°， =0.5 ， ∴ ∠BEF=90°， = . 不妨设 BE= ，EF= 4，则 BF= . ∴sin∠BFE= = = . （延庆县一模） 5．如图是一张矩形纸片 ， ，若将纸片沿 折叠， 使 落在 上，点 的对应点为点 ，若 ， 则 的长是 A． B． C． D． 答案：A 11．如图,⊙ 是等边三角形 的外接圆,点 在劣弧 上, ,则 的度数为_____________. 、 0.5CD AB CE BE == 0.5CD AB = DH AH 2 2 CE BE EF BE 4 2 2 18 BF BE 18 2 3 1 ABCD cm10AD = DE DC DA C F cmBE 6= DC cm4 cm6 cm8 cm10 O ABC P AB ABP∠ 22= BCP∠ H F E D B A C 第 19 题图 D C B A答案： 19. 已知如图：直角梯形 中， ， ， ， , 求：梯形 的面积； 答案：解：过点 D 做 ，CD=26 在 中， ∴DE=24 ∴由勾股定理得：CE=10 ∴BE=CD-CE=16 ∵ ， ∴ ∵ ∴四边形 ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=16 ∴ 20．如图， 是等腰三角形， ，以 为 直径的⊙ 与 交于点 ， ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ． （1）求证： 是⊙ 的切线； （2）若⊙ 的半径为 ， ，求 的值． 答案：证明： （1）连结 AD，OD ∵AC 是直径 ∴ ∵AB=AC ∴D 是 BC 的中点 ∵O 是 AC 的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 是⊙ 的切线 （2）由（1）可知， ∴ ∴ ∴ ∴FC=2 ∴AF=6 38 ABCD BCAD // 90=∠BAD 26CD ==BC 13 12sin =C ABCD EBCDE 于点⊥ DCERt∆ 26 DE CD DE 13 12sin ===C 90=∠BAD EBCDE 于点⊥ DE//BC BCAD // 5042 DEBCADSABCD =+= ）（ ABC∆ ACAB = AC O BC D ABDE ⊥ E ED AC F DE O O 2 1=BE Acos BCAD ⊥ AB//OD ABDE ⊥ DEOD ⊥ DE O AEOD // AE OD FA FO = BEAB OD ACFC OCFC −=+ + 14 2 4 2 −=+ + FC FC A B F C D E O 第 20 题图 ∴ 15．如图， , , , 交于点 . 求证： . 答案： 证明: ∵ ∴ 即: 在 ∴ ∴ （西城区一模） 7．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°， 若 AD=CD=6，则 AB 的长等于（　　）． A．9 B．12 C． D．18 答案：D 8．如图，点 A 在半 径为 3 的⊙O 内，OA= ，P 为⊙O 上一点， 当∠OPA 取最大值时，PA 的长等于（ ）. A． B． C． D． 答案：B 10．如图，甲、 乙两盏路灯相距 20 米. 一天晚上，当小明从 路灯甲走到距路灯乙底部 4 米处时，发现自己的身影顶部 正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为 1.6 米，那么 路灯甲的高为 米． 答案: 16. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 平分∠ABC，AF∥DC， 连接 AC，CF. 求证：（1）AF=CF；（2）CA 平分∠DCF. 答案： 证明：如图 2. （1）∵ 平分 ， ∴ ． 在△ABF 与△CBF 中， 6 3 3+ 2 1cos == AF AEA AEAB = ACAD = EACBAD ∠=∠ DEBC， O AEDABC ∠=∠ EACBAD ∠=∠ DACEACDACBAD ∠+∠=∠+∠ EADBAC ∠=∠ EADBAC ∆∆ 和 AEAB = EADBAC ∠=∠ ACAD = EADBAC ∆≅∆ AEDABC ∠=∠ 3 3 2 6 3 2 2 3 8 BF ABC∠ ABF CBF∠ = ∠ , , , AB CB ABF CBF BF BF = ∠ = ∠  = 图 2 ∴ △ABF≌△CBF． ∴ ． （2）∵ ， ∴ ． ∵ ∥ ， ∴ ． ∴ ，即 平分 ． 20．如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片， 为 CD 边上的 点， =3．将纸片沿某条直线折叠，使点 B 落 在点 处，点 A 的对应点为 ，折痕分别与 A D，BC 边交于点 M，N． （1）求 BN 的长；（2）求四边形 ABNM 的面积. 答案：解：如图 3． （1）由题意，点 A 与点 ，点 与点 分别 关于直线 对称， ∴ ， ． 设 ，则 ． ∵ 正方形 ， ∴ ． ∴ ． ∵ =3， ∴ ． 解得 ． ∴ ． （2）∵ 正方形 ， ∴ AD∥BC， ． ∵ 点 M，N 分别在 AD，BC 边上， ∴ 四边形 ABNM 是直角梯形． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 在 Rt△ 中，∵ ， ， ， ∴ ． ∵ ， AF CF= AF CF= FCA FAC∠ = ∠ AF DC FAC DCA∠ = ∠ FCA DCA∠ = ∠ CA DCF∠ B′ CB′ B′ A′ A′ B B′ MN AM A M′= BN B N′= BN B N x′= = 9CN x= − ABCD o90C∠ = 2 2 2CN B C B N′ ′+ = CB′ 2 2 2(9 ) 3x x− + = 5x = 5BN = ABCD o90A∠ = ' 5BN B N= = 9BC = 4NC = 4sin 1 5 ∠ = 4tan 1 3 ∠ = 1 2 90∠ +∠ = ° 2 3 90∠ +∠ = ° 3 1∠ = ∠ 4sin 3 sin 1 5 ∠ = ∠ = DB P′ 90 D∠ = ° 6DB DC B C′ ′= − = 4sin 3 5 DB PB ′∠ = =′ 15 2PB′ = 9A B AB′ ′ = = 图 3 ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在 Rt△ 中，∵ ， ， ， ∴ ．…………………………………………………………………4 分 ∴ ．…………………5 分 21．如图，D 是⊙O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且 AB＝AD＝AO． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F， △BEF 的面积为 8，且 cos∠BFA＝ ， 求△ACF 的面积． 答案：（1）证明：连接 BO．（如图 4） ∵ AB＝AD， ∴ ∠D＝∠ABD． ∵ AB＝AO， ∴ ∠ABO＝∠AOB． 又∵ 在△OBD 中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°， ∴ ∠OBD＝90°． ∴ BD⊥BO． ∵ 点 B 在⊙O 上， ∴ BD 是⊙O 的切线 ． （2）解：∵ ∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF ， ∴ △ACF∽△BEF ． ∵ AC 是⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上， ∴ ∠ABC＝90°． ∵ 在 Rt△BFA 中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝ ， ∴ ． 又∵ ＝8 ， 3 2A P A B PB′ ′ ′ ′= − = 4 3∠ = ∠ 4tan 4 tan 3 3 ∠ = ∠ = A MP′ 90 A A′∠ = ∠ = ° 3 2A P′ = 4tan 4 3 A M A P ′∠ = =′ 2A M′ = 1 1 63( ) (2 5) 92 2 2ABNMS AM BN AB= + × = × + × =梯形 3 2 3 2= AF BF 2 4( ) 9 BEF ACF S BF S AF ∆ ∆ = = BEFS∆ 图 4 ∴ ＝18 ． 25．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D，E 分别为 CB，CA 延长线上的点，BE 与 AD 的交点为 P. （1）若 BD=AC，AE=CD，在图 1 中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2）若 ， ，求∠APE 的度数. 答案：解：（1）如图 9，∠APE= 45 °. 2）解法一：如图 10，将 AE 平移到 DF， 连接 BF，EF． 则四边形 AEFD 是平行四边形． ∴ AD∥EF，AD=EF． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． ∵ ∠C=90°， ∴ ． ∴ ∠C=∠BDF． ∴ △ACD∽△BDF． ∴ ，∠1=∠2． ∴ ． ∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF⊥AD ． ∴ BF⊥EF． ∴ 在 Rt△BEF 中， ． ∴ ∠APE=∠BEF =30°． 解法二：如图 11，将 CA 平移到 DF，连接 AF，BF，EF． 则四边形 ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C=90°， ∴ 四边形 ACDF 是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在 Rt△AEF 中， ， 在 Rt△BDF 中， ， ACFS∆ 3AC BD= 3CD AE= 3AC BD= 3CD AE= 3= BD AC 3== DF CD AE CD AC CD BD DF = 180 90BDF C∠ = ° − ∠ = ° 3AD AC BF BD = = 3EF AD BF BF = = 3tan 3 BFBEF EF ∠ = = 3tan 3 3 AE AE AF CD ∠ = = = 3tan 1 3 BD BD DF AC ∠ = = = 图 10 图 11 图 9 ∴ ． ∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD=∠EFB． 又∵ ， ∴ △ADF∽△EBF． ∴ ∠4=∠5． ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5， ∴ ∠APE=∠3=30°． （通州区一模） 6．如图，⊙O 的半径为 2，直线 PA、PB 为⊙O 的切线， A、B 为切点，若 PA⊥PB，则 OP 的长为（ ） A． B．4 C． D．2 答案：C 16．已知：如图， ， ， 是经过点 的一条直线，过点 、B 分 别作 、 ，垂足为 E、F，求证： . 答案：证明： ， 在 和 中 . ≌ （ ）. （3）按要求应该由哪位同学担任学生会干部职务，请你计算出他的最 后得分. 20．已知，如图，矩形 绕着它的对称中心 O 按照顺时针方向旋 转 60°后得到矩形 DFBE，连接 AF，CE. 请你判断四边形 AFED 是 我们学习过的哪种特殊四边形，并加以证明. 3 1 30∠ = ∠ = ° 3 2 DF AF BF EF = = 4 2 2 2 90ACB∠ = ° AC BC= CD C A AE CD⊥ BF CD⊥ CE BF=  CDAE ⊥ CDBF ⊥ ∴ °=∠=∠ 90BFCAEC∴ °=∠+∠ 90BBCF  ,90°=∠ACB∴ °=∠+∠ 90ACFBCF∴ BACF ∠=∠ BCF∆ CAE∆    = ∠=∠ ∠=∠ BCAC BACE BFCAEC ∴ BCF∆ CAE∆ AAS∴ BFCE = ABCD OF D E CB A F E D C B A 答案：解：判断：等腰梯形 证明：连结 、 依题意可知： , AO=OD=OE=OF 是矩形的对角线 点 在一条直线上， 都是等边三角形， 且 ≌ ≌ = = ,且 四边形 是等腰梯形 21．如图在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，0)，以点 A 为圆心，2 为半径的圆与 x 轴交于 O，B 两点，C 为⊙A 上 一点，P 是 x 轴上的一点，连结 CP，将⊙A 向上平移 1 个单 位 长度，⊙A 与 x 轴交于 M、N，与 y 轴相切于点 G，且 CP 与⊙A 相切于点 C， . 请你求出平移后 MN 和 PO 的长. 答案：解： （1）过点 A 作 轴，垂足为 H，连结 AM AM=2,AH=1,根据勾股定理得：MH= , MN= （2） CP 是⊙A 切线，且 满足要求的 C 有两个：C1、C2 如图， 或 当 时， CP 是⊙A 切线， = , 在 中，AH=1, 同理可求 的长是 或 AO DO °=∠=∠ 60DOEAOD  EF∴ FOE 、、∴ °=∠ 60AOF∴ DOEAODAOF ∆∆∆ 、、 AOF∆ AOD∆ DOE∆ ( )SAS∴ DEAF = ADO∠ DOE∠ °60∴ EFAD // EFAD ≠ ∴ AFED 60CAP∠ = ° xAH ⊥  3∴ 32  °=∠ 60CAP ∴ °=∠ 6011 APC °=∠ 6022 APC °=∠ 6011 APC ∴ 11PAC∠ °90 21 =AC∴ 41 =AP HAPRt 1∆ 41 =AP ∴ 151 =HP ∴ 2151 −=OP 152 =HP ∴ 2152 +=OP ∴ OP 215 − 215 + HP1 P2 C1 G y xO NM C2 B A BAO y x E A B C D O OF E D CB A （顺义区一模） 7．如图， 内接于圆 ， ， ， 是圆 的直径， 交 于点 ，连结 ，则 等于 A． B． C． D． 答案：C 16 已知：如图， 中， ， 于 ， 于 ， 与 相交于点 ．求证： ； 答案： 证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ ∴ 19．已知：如图，梯形 ABCD 中， ∥ ， ， ， ，点 E 在 BC 边上，将△CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 处． （1）求 的度数； （2）求△ 的面积． 答案：解：(1) 过点 D 作 于 F . ∵ , , , ∴ 四边形 是正方形. ∴ , 在 Rt 中， ∴ ∵ , , ∴ ∴ , ABC△ O 50A = ∠ 60ABC = ∠ BD O BD AC E DC BEC∠ 50° 60° 70° 110° ABC△ 45ABC∠ = ° CD AB⊥ D BE AC⊥ E BE CD F BF AC= CD AB⊥ 90BDC CDA∠ = ∠ = ° 45ABC∠ = ° 45DCB ABC∠ = ∠ = ° DB DC= BE AC⊥ 90AEB∠ = ° 90A ABE∠ + ∠ = ° 90CDA∠ = ° 90A ACD∠ + ∠ = ° ABE ACD∠ = ∠ BDF∆ CDA∆ BDC CDA DB DC ABE ACD ∠ = ∠  = ∠ = ∠ BDF∆ CDA∆ BF AC= AD BC 90B∠ = ° 4AD AB= = 7BC = 'C 'C DE∠ 'C DE DF BC⊥ AD BC 90B∠ = ° AD AB= ABFD 4DF BF AB= = = 3FC = DFC∆ 2 2 2 24 3 5CD DF FC= + = + = ' 5C D = AD FD= 90A DFC∠ = ∠ = ° 'C D CD= 'AC D FCD∆ ≅ ∆ 'ADC FDC∠ = ∠ ' 3AC FC= = C' E D CB A ∴ ∵ ∴ (2) 设 ， 则 ， ∵ ∴ 在 Rt 中 解方程，得 ∴ 20. 已知：如图， 是 的直径， 切 于 ， 交 于 ， 为 边的 中点，连结 ． (1) 是 的切线； (2) 若 ， 的半径为 5， 求 的长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案：（1） 证明：连结 和 ∵ 是 的直径， 切 于 ， ∴ , , ∴ 在 Rt 中， 为 边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 是 的切线 (2) 连结 在 Rt 中 ∵ ， 的半径为 5 ∴ ∵ , ∴ ' ' ' ' 90ADF ADC C DF FDC C DF C DC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° 'C DE CDE∠ = ∠ ' 45C DE∠ = ° EC x= 7BE x= − 'C E x= ' 3AC = ' 1BC = 'BEC∆ 2 2(7 ) 1x x− + = 25 7x = ' 1 1 25 50 14 72 2 7 7 7C DE CDES S EC DF∆ ∆= = ⋅ = × × = = AB O BC O B AC O P D BC DP DP O 3cos 5A = O DP OP BP AB O BC O B 90APB∠ = ° AB BC⊥ 90ABC ABP PBC∠ = ∠ + ∠ = ° BPC∆ D BC BD PD= BPD PBD∠ = ∠ OB OP= OPB OBP∠ = ∠ 90OPD OPB BPD OBP PBD ABC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° PD OP⊥ DP O OD ABC∆ 3cos 5A = O 50 cos 3 ABAC A = = OA OB= DC DB= 1 25 2 3OD AC= = O P CDB A O P CDB A A B D C PO 在 Rt 中 24． 已知：如图，等边△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，点 F 是 AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点 M 在线段 DF 上，∠ABE＝∠DBM． （1）猜想：线段 AE、MD 之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长 BM 到 P，使 MP＝BM，连接 CP，若 AB＝7 ，AE＝ ， 求 tan∠BCP 的值． 答案：（1）猜想： 证明：∵ △ABC 是等边三角形，点 D 为 BC 边的中 点， ∴ ∵ ∠BAE＝∠BDF , ∠ABE＝∠DBM ∴ ∽ ∴ 即 （2）解：如图， 连接 EP 由（1） ∽ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 在 Rt△AEB 中，AB＝7，AE＝ ∴ = ∴ ∵ ， ，∠ABE＝∠DBM ∴ OPD∆ 22 2 225 20 2( ) 5 63 3 3PD OD OP= − = − = = 72 2AE MD= 2AB BC BD= = ABE∆ DBM∆ 2AE AB DM DB = = 2AE MD= ABE∆ DBM∆ 2BE AB BM DB = = 2BE BM= MP BM= 2BP BM= BE BP= 60EBP ABE ABP PBC ABP ABC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = ° EBP∆ EM BP⊥ 90BMD∠ = ° 90AEB∠ = ° 72 BE 21=22 AE-AB 3tan 2BAE∠ = AB CB= BE BP= ABE CBP∆ ≅ ∆ ∴ ∴ = （石景山区一模） 3．已知：如图， ，等边 的顶点 在直线 上，边 与直线 所夹锐角为 ，则 的度数为 A． B． C． D． 答案：C 6．已知：⊙O 的半径为 2cm，圆心到直线 l 的距离为 1cm，将直线 l 沿垂直于 l 的方向平移， 使 l 与⊙O 相切，则平移的距离是 A．1 cm B．2 cm C．3cm D．1 cm 或 3cm 答案：D 8．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒 ， ， 分别为棱 ， 上 的点，且 ，若将这个正方体纸盒沿折 线 裁剪并展开，得到的平面图形是 A．一个六边形 B．一个平行四边形 C．两个直角三角形 D． 一个直角三角形和一个直角梯形 答案：B 11 ． 已 知 ： 如 图 ， ， 为 ⊙O 的 弦 ， 点 在 上 ， 若 ， ， ，则 的长为 ． 答案： 6 Q P H G FE D C BA BCP BAE∠ = ∠ tan BCP∠ 3tan 2BAE∠ = ml ∥ ABC△ B m BC m °20 α∠ °60 °45 °40 °30 ABCD EFGH− P Q FB GC 12 , 2FP PB GQ QC= = AP PQ QH− − AB BC D AB 4=OD 10=BC °=∠=∠ 60BODB DB 第 11 题图 DA O B C 第 3 题图 l 20° mB A α C 15．如图，在△ 中， ， 于 ，点 在线段 上， ， 点 在线段 上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△ ≌△ ． （1） ∥ ； （2） ． 答案：情况一、添加条件： // 证明: ∵ ∥ ∴ ∵ , ∴ ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ 情况二、添加条件： 证明：过点 作 于 ∵ , ∴ 在 和 中 ∵ ∴ ≌ ∴ 在 和 中 ∴ ≌ 19 ． 已 知 ： 如 图 ， 直 角 梯 形 中 ， ， ，求 的长． 答案：解：如图，过 A 作 AH⊥FC 于 H 则四边形 为矩形 ∵ ∴AH= ，HD= 2 ∴CF=CH+HD+DF=4+2+2=8， ∴BF= 20．已知：如图，在矩形 中，点 在对角线 上，以 的长为半径的⊙ 与 ABC BCAB ⊥ ACBE ⊥ E F BE 21 ∠=∠ D EC AFD AFB DF BC DFBF = DF BC DF BC CFDE ∠=∠ BCAB ⊥ ACBE ⊥ °=∠+∠=∠+∠ 90EBCCEBCABF CABF ∠=∠ ADFABF ∠=∠ ABF∆ ADF∆    = ∠=∠ ∠=∠ AFAF ADFABF 21 AFD∆ AFB∆ DFBF = F ABFG ⊥ G ACBE ⊥ 21 ∠=∠ EFFG = BGFRt∆ DEFRt∆ °=∠=∠ 90DEFBGF    = = DFBF EFFG BGFRt∆ ( )HLDEFRt∆ EDFGBF ∠=∠ ABF∆ ADF∆    = ∠=∠ ∠=∠ AFAF ADFABF 21 AFD∆ AFB∆ ABCD ADABCDABCD =°=∠°=∠ ，， 6090 4, 2AB DF= = BF ABCH ABCHAHBC == , 60 , 4CDA AD AB= = =∠ =°60sinAD 2 3 =°60cosAD 2 2 2 19BC CF+ = ABCD O BD OD O 2 1 F A B C D E G 2 1 F A B C D E ， 分别交于点 E、点 F，且∠ =∠ ． （1）判断直线 与⊙ 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 ， ，求⊙ 的半径． 答案：解：(1)直线 与⊙O 相切 证明：联结 在矩形 中, ∥ ∴∠ =∠ ∵ ∴∠ =∠ 又∵∠ =∠ ∴∠ =∠ ∵矩形 ,∠ ∴ ∴ ∴ ∴直线 与⊙O 相切 (2) 联结 方法 1： ∵四边形 是矩形, ∴ , ∵∠ =∠ ∴ ∴ 在 中,可求 ∴勾股定理求得 在 中， 设⊙O 的半径为 则 ∴ = 方法 2：∵ 是⊙O 的直径 ∴ ∵四边形 是矩形 ∴ , ∵∠ =∠ ∴ 设 ，则 ∵ ∴ ∵ AD BD ABE DBC BE O 3 3sin =∠ABE 2=CD O BE OE ABCD AD BC ADB DBC OEOD = OED ODE ABE DBC ABE OED ABDC °= 90A °=∠+∠ 90AEBABE °=∠+∠ 90AEBOED °=∠ 90BEO BE EF ABCD 2=CD °=∠=∠ 90CA 2== CDAB ABE DBC =∠CBDsin 3 3sin =∠ABE 32sin =∠= CBD DCBD AEBRt∆ 2=AE 6=BE BEORt∆ °=∠ 90BEO 222 OBEBEO =+ r ( ) ( )222 326 rr −=+ r 2 3 DF °=∠ 90DEF ABCD °=∠=∠ 90CA 2== CDAB ABE DBC =∠CBDsin 3 3sin =∠ABE xBDxDC 3, == xBC 2= 2=CD 22=BC ABECBD ∠=∠ tantan O F E D CB A O F E D CB A ∴ ∴ ∴ ∴ 为 中点． ∵ 为直径，∠ ∴ ∴ ∴⊙O 的半径为 22．在边长为 1 的正方形网格中，正方形 与正方形 的位置如图所示． （1）请你按下列要求画图： ① 联结 交 于点 ； ② 在 上取一点 ，联结 ， ，使△ 与△ 相似； （2）若 是线段 上一点，连结 并延长交四边形 的一边于点 ，且满足 ，则 的值为______ _______． 答案：（1）如图所示 （2）1、 或 2 （平谷区一模） 3．如图，已知 AB∥CD，∠C =35°，BC 平分∠ABE，则∠ABE 的度数是 A．17.5° B．35° C．70° D．105° 答案：C 8．如图， 是 的直径，弦 ， 是弦 的中点， ．若动点 以 的速度从 点出发沿着 方向运动，设运动时间为 ，连结 ， 当 是直角三角形时， （s）的值为 A． B．1 C． 或 1 D． 或 1 或 答案 D： 11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD⊥AB 于点 D、交⊙O 于点 E， ∠ C=60°， 如果⊙O 的半径为 2，那么 OD= ． Q R AB AE BC DC = 222 2 AE= 2=AE E AD DF °= 90FED ABEF // 32 1 == BDDF 2 3 ABFE EFCD BD EF M AE P BP MP PEM PMB BD FQ ABCD BDFR 2 1= QR FQ 3 2 AB O⊙ 2cmBC = F BC 60ABC∠ = ° E 2cm/s A A B A→ → ( )(0 3)t s t <≤ EF BEF△ t 4 7 4 7 4 7 4 9 P M F E D CB A A B O D C E 答案：1 15．已知：如图， 在 上， ． 求证：△ABC≌DEF． 答案：证明： ， ． 又 ， ，即 ． 在△ABC 与△DEF 中， ． 19．已知，如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC,∠A=90°，∠C=45°， BE⊥DC 于 E，BC=5，AD:BC=2:5. 求 ED 的长. 答案：解：作 DF⊥BC 于 F,EG⊥BC 于 G. ∵∠A=90°，AD∥BC ∴ 四边形 ABFD 是矩形. ∵ BC=5,AD:BC=2:5. ∴ AD=BF=2. ∴ FC=3. 在 Rt△DFC 中， ∵ ∠C=45°， ∴ DC= . 在 Rt△BEC 中， ∴ EC= ∴ DE= 20．如图，在 中， ， 是角平分线， 平分 交 于点 ，经过 两点的 交 于 点 ，交 于点 ， 恰为 的直径． （1）求证： 与 相切； （2）当 时，求 的半径． 答案：解：（1）证明：连结 ，则 ． ∴ ． ∵ 平分 ． C F、 BE A D AC DF BF EC∠ = ∠ =， ∥ ， AC DF ∥ ACE DFB∴∠ = ∠ ∴ ACB DFE∠ = ∠ BF EC= BF CF EC CF∴ − = − BC EF=    = ∠=∠ ∠=∠ , , , EFBC DFEACB DA ABC DEF∴△ ≌△ 23 2 25 2 2 2 2523 =− ABC△ AB AC= AE BM ABC∠ AE M B M， O⊙ BC G AB F FB O⊙ AE O⊙ 14 cos 3BC C= =， O⊙ OM OM OB= 1 2∠ = ∠ BM ABC∠ O B G E C M A F E B C DA A B C F E D A B C F E D O B G E C M A F 1 2 3 ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 在 中， ∵ ， 是角平分线， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ 与 相切． （2）解：在 中， ， 是角平分线， ∴ ． ∵ ， ∴ , 在 中， ， ∴ ． 设 的半径为 ，则 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 解得 ．∴ 的半径为 ． 24．已知点 A，B 分别是两条平行线 ， 上任意两点，C 是直线 上一点，且 ∠ABC=90°，点 E 在 AC 的延长线 上,BC＝ AB (k≠0). （1）当 ＝1 时，在图（1）中，作 ∠BEF＝∠ABC，EF 交直线 于 点 F.，写出线段 EF 与 EB 的数 量关系，并加以证明； （2）若 ≠1，如图(2)，∠BEF＝∠ ABC，其它条件不变，探究线段 EF 与 EB 的数量关系，并说明理由． 答案：解：（1）正确画出图形 ． 证明：如图（1），在直线 上截取 ，连结 ． ， ， ． ， . 1 3∠ = ∠ 2 3∠ = ∠ OM BC∥ AMO AEB∠ = ∠ ABC△ AB AC= AE AE BC⊥ 90AEB∠ = ° 90AMO∠ = ° OM AE⊥ AE O⊙ ABC△ AB AC= AE 1 2BE BC ABC C= ∠ = ∠， 14 cos 3BC C= =， 2=BE .3 1cos =∠ABC ABE△ 90AEB∠ = ° 6cos BEAB ABC = =∠ O⊙ r 6AO r= − OM BC∥ AOM ABE△ ∽△ OM AO BE AB = 6 2 6 r r−= 3 2r = O⊙ 3 2 m n n k k m k EF EB= m AM AB= ME BC kAB= 1k = BC AB∴ = 90ABC∠ =  45CAB ACB∴∠ = ∠ =  F M nm C BA E 图（1） ， ， ． ， ． ， ． ， ． ．又 ， ． . ． （2） ． 说明：如图(2)，过点 作 ， ，垂足为 ． ． ， ， ． 四边形 为矩形． ， ． , ． ． ． ． 在 和 中， ， ． 18．在平面直角坐标系中， 点坐标为 ， 点坐标为 ． （1）如图①，若直线 ， 上有一动点 ，当 点的坐标为　　　　时， 有 ； （2）如图②，若直线 与 不平行， 在过点 的直线 上是否存在点 ，使 ，若有这样的点 ， 求出它的坐标．若没有，请简要说明理由. 答案：解：（1） （2）设 ， 连接 ，过 作 于 ， 于 ， 因为 ， 　　 ， 　　 ，新课标第一网 所以 . 　　 ， 　　 ， ． 所以 坐标 或 ． m n ∥ 45MAE ACB CAB∴∠ = ∠ = ∠ =  90FAB∠ =  AE AE= MAE BAE∴△ ≌△ EM EB∴ = AME ABE∠ = ∠ 90BEF ABC∠ = ∠ =  180FAB BEF∴∠ + ∠ =  180ABE EFA∴∠ + ∠ =  180AME EMF∠ + ∠ =  EMF EFA∴∠ = ∠ EM EF∴ = EF EB∴ = 1EF EBk = E EM m⊥ EN AB⊥ M N， m n ∥ 90ABC∠ =  90MAB∴∠ =  ∴ MENA ME NA∴ = 90MEN∠ =  90BEF ABC∠ = ∠ =  MEF NEB∴∠ = ∠ MEF NEB∴△ ∽△ ME EF EN EB ∴ = AN EF EN EB ∴ = Rt ANE△ Rt ABC△ tan EN BCBAC kAN AB ∠ = = = 1EF EBk ∴ = A (0 4)， C (10 0)， AB OC∥ AB P P PO PC= AB OC A 4y x= − + P 90OPC∠ = ° P (5 4)， ( 4)P x x− +， OP PC， P PE OC⊥ E PN OA⊥ N 2 2 2( 4)OP x x= + − + 2 2 2( 4) (10 )PC x x= − + + − 2 2 2OP PC OC+ = 2 2 2 2 2( 4) ( 4) (10 ) 10x x x x+ − + + − + + − = 2 9 8 0x x− + = 1 1x = 2 8x = P (13)， (8 4)−， 图(2) A B C M E N m n F N M O F E C BA N M O F E C BA （密云县一模） 6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC＝70°， 则∠AOC 的度数等于 A．140° B．130° C．120° D．110° 答案：A 10.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上， 如果∠1=35°，那么∠2 是_______°． 答案：55 16. 已知：如图，平行四边形 ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F， 求证：∠BAE＝∠DCF. 答案：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB∥CD 且 AB＝CD ∴∠ABE＝∠CDF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴∠AEB＝∠CFD＝900 ∴Rt△ABE≌Rt△CDF ∴∠BAE＝∠DCF 20. 如图，AB 是 的直径， ，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N,交 BC 的延长线于点 E,直线 CF 交 EN 于点 F,且 （1）证明 CF 是 的切线 (2) 设⊙O 的半径为 1．且 AC=CE,求 MO 的长. 答案：（1）证明：连结 0C, ∵AB 是 直径， ∴∠ACB=90 0 O 30BAC∠ = ° .ECF E∠ = ∠ O O 2 1 ∵∠BAC=30 ,∴∠ABC=60 又∵OB=OC, ∴∠0CB=∠OBC=60 在 Rt EMB 中，∵∠ABC=60 ∴∠E=30 ∴∠OCF=90 ∴CF 是⊙O 的切线. （2）在 Rt△ACB 中，∠A=30 ,∠ACB=90 ∴AC= ,BC=1 ∴BE= +1 在 Rt△BEM 中，∠E=30 ,∠BME=90 ∴MB= ∴MO= 24.如图，边长为 5 的正方形 的顶点 在坐标原点处，点 分别在 轴、 轴 的正半轴上，点 是 边上的点（不与点 重合）， ，且与正方形外角平分 线 交于点 . （1）当点 坐标为 时，试证明 ； （2）如果将上述条件“点 坐标为（3，0）”改为“点 坐标为（ ，0）（ ）”，结论 是否仍然成立，请 说明理由； （3）在 轴上是否存在点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，请证明；若不 存在，请说明理由. 答案：解：（1）过点 作 轴，垂足为 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由题意知: ∴ 得 ∴ 在 和 中 ∴ 故 （2） 仍成立. 同理 ∴ 由题意知: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  3 3 1 3 2 + 3 1 2 − OABC O A C、 x y E OA A EF CE⊥ AC P E (3 0)， CE EP= E E t 0t > CE EP= y M BMEP P PH x⊥ H 2 1 90∠ = ∠ = ° EF CE⊥ 3 4∠ = ∠ COE EHP△ ∽△ CO EH OE HP = 5CO = 3OE = 2EH EA AH HP= + = + 5 2 3 HP HP += 3HP = 5EH = Rt COE△ Rt EHP△ 2 2 34CE CO OE= + = 2 2 34EP EH PH= + = CE EP= CE EP= .COE EHP△ ∽△ CO EH OE HP = 5CO = OE t= 5EH t HP= − + AE HO M C y B G P F x B P G O F AE C y G F E D CB A ∴ 整理得 ∵点 不与点 重合 ∴ ∴ ∴在 和 中 ∴ （3） 轴上存在点 ，使得四边形 是平行四边形. 过点 作 交 轴于点 ∴ ∴ 在 和 中 ∴ ∴ 而 ∴ 由于 ∴四边形 是平行四边形. （门头沟区一模） 4．如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点， 点 E、F 分别是 OD、OC 的中点．如果 AC=10，BC=8， 那么 EF 的长为 A．6 B．5 C．4 D．3 答案： 6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，交⊙O 于点 D． 若∠CDB=30°，⊙O 的半径为 ，则弦 CD 的长是 A． B．3 C． D．9 答案： 15．已知：如图，EF∥BC，点 F、点 C 在 AD 上， AF=DC， EF=BC． 求证：AB=DE． 答案： 证明：∵ ， ∴ ． ， ∴ ． 在△ 与△ 中， ∴ ． ∴AB=DE． 3 3 2 2 3 AF DC= AC DF= EF BC ∥ EFD BCA∠ = ∠ ABC DEF , , , BC EF BCA EFD AC DF = ∠ = ∠  = ABC DEF△ ≌△ 5 5 t HP t HP − += ( ) ( )5 5t HP t t− = − E A 5 0t− ≠ HP t= 5EH = Rt COE△ Rt EHP△ 225CE t= + 225EP t= + CE EP= y M BMEP B BM EP∥ y M 5 90CEP∠ = ∠ = ° 6 4∠ = ∠ BCM△ COE△ 6 4 BC OC BCM COE ∠ = ∠  = ∠ = ∠ BCM COE△ ≌△ BM CE= CE EP= BM EP= BM EP∥ BMEP E D C BA O FO D CB A E A Ｂ Ｃ F E D 图 1 A CB D O· 图1 D CB A O 图2 E D CB A O 19．已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC、∠DAB 的平分线 DF、AE 分别与线段 BC 相交于点 F、E，DF 与 AE 相交于点 G． （1）求证：AE⊥DF； （2）若 AD=10，AB=6，AE=4，求 DF 的长． 答案： 解：（1）在□ABCD 中， ， ∴∠ADC+∠DAB=180°． DF、AE 分别是∠ADC、∠DAB 的平分线， ∴ ， ． ∴ ． ∴ ． ∴AE⊥DF． （2）过点 D 作 ，交 BC 的延长线于点 H， 则四边形 AEHD 是平行四边形，且 FD⊥DH． ∴DH=AE=4，EH=AD=10. 在□ABCD 中， ， ∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA． ∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA． ∴DC=FC，AB=EB． 在□ABCD 中，AD=BC=10，AB=DC=6， ∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4． ∴FE=BE－BF=6－4=2． ∴FH= FE+EH= 12． 在 Rt△FDH 中， . 20．已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，连结 BD． （1）如图 1，若 BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O 的直径 AB 的长； （2）如图 2，若 E 是 BC 的中点，连结 ED ，请你判断直线 ED 与⊙O 的位置关系，并证 明你的结论． 答案：解：（1）如图 1，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB=90°． 则∠CDB=∠ADB=90°． ∴∠C+∠CBD=90°． ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBD=90°． ∴∠C=∠ABD． ∴△ADB∽△BDC． AB DC∥  1 2ADF CDF ADC∠ = ∠ = ∠ 1 2DAE BAE DAB∠ = ∠ = ∠ 1 ( ) 902ADF DAE ADC DAB∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ° 90AGD∠ = ° DH AE∥ AD BC∥ 2 2 2 212 4 8 2DF FH DH= − = − = H G F E D CB A 图 2 A CB D E O· ∴ ． ∵BD：CD =3：4，AD=3， ∴BD=4． 在 Rt△ABD 中， ． （2）直线 ED 与⊙O 相切． 证明：如图 2，连结 OD． 由（1）得∠BDC=90°． ∵E 是 BC 的中点， ∴DE=BE． ∴∠EDB=∠EBD． ∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD． ∵∠OBD+∠EBD=90°， ∴∠ODB+∠EDB=∠ODE=90°． ∴ED 是⊙O 的切线．　 （怀柔区一模） 3．已知⊙O1、⊙O2 的半径分别为 5cm、8cm，且它们的圆心距为 8cm，则⊙O1 与⊙O2 的位 置关系为 A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 答案：B 7．如图是一个圆锥形冰淇淋，已知它的母线长是 5cm，高是 4cm， 则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是 A． B． C． D． 答案：B 15．（本题满分 5 分） 如图, 已知：BF=DE,∠1=2，∠3=∠4 求证：AE=CF． 证 明： 19. （本题满分 5 分）如图，已知 AB 为⊙O 的直径,DC 切 ⊙O 于点 C,过 D 点作 DE⊥AB,垂足为 E,DE 交 AC 于点 F. 求证：△DFC 是 等腰三角形. 证明： 答案：证明：连结 OC，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵DC 是切线 ∴∠DCF=900-∠OCA ∵DE⊥AB ∴∠DFC=900-∠OAC ∵∠OAC=∠OCA， ∴∠DFC=∠DCF 即△DFC 是等腰三角形. 如图， 中，AB=10，BC=6，E、F 分别是 AD、DC 的中点，若 EF=7，则四边形 EACF 的周长是 AD BD BD CD = 2 2 2 23 4 5AB AD BD= + = + = 210 cmπ 29 cmπ 220 cmπ 2cmπ ABCD A B D C E F A．20 B．22 C．29 D．31 答案：C （海淀区一模） 11. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 H，若∠D=30°， CH=1cm，则 AB= cm． 答案： 15．如图，点 C、D 在线段 AB 上，E、F 在 AB 同侧， DE 与 CF 相交于点 O，且 AC=BD， CO=DO， . 求证：AE=BF. 答案：证明：在△COD 中, ∵ CO=DO, ∴ ∠ODC=∠OCD. ∵ AC=BD, ∴ AD=BC. ∵ ∴ △ADE≌△BCF. ∴ AE=BF. 19．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且 AC⊥AB，求 AB 的 长． 答案：解：过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，则∠AED=∠DEC=90°. ∵ AC⊥AB， ∴ ∠BAC=90°. ∵ ∠B=60°, ∴ ∠ACB=30°. ∵ AD∥BC， ∴ ∠DAC=∠ACB=30°. 2 3 A B∠ = ∠ , , , A B AD BC EDA FCB ∠ = ∠  = ∠ = ∠ A D CB A B OC H D A C D B E F O A D CB E ∴ 在 Rt△ADE 中，DE= AD=3，AE= ，∠ADE=60°. ∵ ∠ADC=105°， ∴ ∠EDC=45°. ∴ 在 Rt△CDE 中， CE=DE=3. ∴ AC=AE+CE= . ∴ 在 Rt△ABC 中，AB=AC tan∠ACB= . 20. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，点 C 在⊙O 上， CF⊥OC，且 CF=BF. （1）证明 BF 是⊙O 的切线; （2）设 AC 与 BF 的延长线交于点 M，若 MC=6，求∠MCF 的大小. 答案：20．证明：连接 OF. （1） ∵ CF⊥OC, ∴ ∠FCO=90° . ∵ OC=OB， ∴ ∠BCO=∠CBO. ∵ FC=FB， ∴ ∠FCB=∠FBC. ∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC. 即 ∠FBO=∠FCO=90°. ∴ OB⊥BF. ∵ OB 是⊙O 的半径, ∴ BF 是⊙O 的切线. （2） ∵ ∠FBO=∠FCO=90°， ∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°. ∵ OA=OC， ∴ ∠ACO=∠A. ∴ ∠FCM=∠M. 易证△ACB∽△ABM, ∴ . 1 2 2 2 3 3AD DE− = 3 3 3+ ⋅ 3(3 3 3) 3 33 + × = + AC AB AB AM = A F C O B M A F C O B M ∵ AB=4，MC=6， ∴ AC=2. ∴ AM=8，BM= = . ∴cos∠MC F = cosM = = . ∴ ∠MCF=30°. 25．在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，tan∠BAC= . 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合），连结 BD，F 为 BD 中点. （1）若过点 D 作 DE⊥AB 于 E，连结 CF、EF、CE，如图 1． 设 ，则 k = ； （2）若将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如 图 2 所示． 求证：BE-DE=2CF； （3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD 中 点，求线段 CF 长度的最大值． 答案： 解：（1）k=1； （2）如图 2，过点 C 作 CE 的垂线交 BD 于点 G，设 BD 与 AC 的交点为 Q. 由题意，tan∠BAC= ， ∴ . ∵ D、E、B 三点共线， ∴ AE⊥DB. ∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ . ∴ . ∴ GB=DE. ∵ F 是 BD 中点， 2 2AM AB− 4 3 BM AM 3 2 1 2 CF kEF= 1 2 1 2 BC DE AC AE = = BCG ACE△ ∽△ 1 2 BC GB AC AE = = 2图 B D E A F C G Q BC A D E F B D E A F C B A C 1图 2图 备图 ∴ F 是 EG 中点. 在 中， , ∴ . （3）情况 1：如图，当 AD= 时，取 AB 的中点 M，连结 MF 和 CM， ∵∠ACB=90°， tan∠BAC= ，且 BC= 6, ∴AC=12，AB= . ∵M 为 AB 中点，∴CM= , ∵AD= ， ∴AD= . ∵M 为 AB 中点，F 为 BD 中点， ∴FM= = 2. ∴当且仅当 M、F、C 三点共线且 M 在线段 CF 上时 CF 最大，此时 CF=CM+FM= . 情况 2：如图，当 AD= 时，取 AB 的中点 M， 连结 MF 和 CM， 类似于情况 1，可知 CF 的最大值为 . 综合情况 1 与情况 2，可知当点 D 在靠近点 C 的 三等分点时，线段 CF 的长度取得最大值为 . Rt ECG△ 1 2CF EG= 2BE DE EG CF− = = 1 3 AC 1 2 6 5 3 5 1 3 AC 4 1 2 AD 2 3 5+ 2 3 AC 4 3 5+ 4 3 5+ A D M F C B A D F C M B