中考数学试题压轴题汇编
2010年中考数学试题压轴题汇编(一)
1．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
C
P
D
O
B
A
E
【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长；
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知＝DE (AB＋AC＋BC)，又因为，所以，所以AB＋AC＋BC＝，由于DH＝DG＝DE，所以在Rt△CDH中，CH＝DH＝DE，同理可得CG＝DE，又由于AG＝AE，BE＝
BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝DE＋，可得＝DE＋，解得：DE＝，代入AB＋AC＋BC＝，即可求得周长为．
【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，
∴△ABC的周长为．
【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
C
D
B
A
E
O
【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
若直线经过点A（3，0）时，则b＝
若直线经过点B（3，1）时，则b＝
若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，
图1
此时E（2b，0）
∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2
图2
此时E（3，），D（2b－2，1）
∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝
∴
（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！
图3
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED＝∠NED
又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，
设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴
∴S四边形DNEM＝NE·DH＝
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
3、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。
（1）求的度数;
（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;
y
x
C
D
A
O
B
E
G
F
（图1）
x
C
D
A
O
B
E
G
H
F
y
（图2）
x
C
D
A
O
B
E
y
（图3）
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。
解：（1）
（2）（2，）
（3）①略
②过点E作EM⊥直线CD于点M
∵CD∥AB
x
C
D
A
O
B
E
y
（图3）
Ｍ
∴
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴即
当点H在点G的右侧时，设，
∴
解：
∴点F的坐标为（，0）
当点H在点Ｇ的左侧时，设，
∴
解：，（舍）
∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ
∴
∵
∴点Ｆ的坐标为（，0）
综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）
4．(重庆市)已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
解：（1）过点作于点．（如图①）
∵，，
∴．
∵，， ∴．
在Rt中，． （1分）
（ⅰ）当时，,,；
过点作于点．（如图①）
在Rt中，∵，∴，
∴．
即 ． （3分）
26题答图②
（ⅱ）当时，（如图②）
，．
∵，，∴．
∴．
即．
故当时，，当时，． （5分）
（2）或或或． （9分）
（3）的周长不发生变化．
26题答图③
延长至点，使，连结．（如图③）
∵，
∴≌．
∴，．…（10分）
∴．
∴．
又∵．
∴≌．∴． （11分）
∴．
∴的周长不变，其周长为4． （12分）
5．(义乌市卷)如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B
（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；
图2
O1
A1
O
y
x
B1
C1
D
M
C
B
A
O
y
x
图1
D
M
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）对称轴：直线…………………………………………………….. 1分
解析式：或…………………………2分
顶点坐标：M（1，）……….……………………………………3分
（2）由题意得
3……………………………….1分
得：①…………….………………….2分
得： ②….………………………………………..……3分
把②代入①并整理得：(S＞0) (事实上，更确切为S＞6)4分
当时， 解得：(注：S＞0或S＞6不写不扣 分)
把代入抛物线解析式得 ∴点A1（6，3）………5分
（3）存在………………………………………………………………….….…1分
解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的
C
B
A
O
y
x
图1-1
D
M
E
P
Q
F
G
交点E的坐标为
∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ= t
当∥时，
得 ………2分
下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G
①当时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ
∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴
∴ 得 ∴(舍去)…………………………3分
C
B
A
O
y
x
图1-2
D
M
E
F
P
Q
G
② 当时，如图1-2
∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE
∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD
∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB
∴
∴， ∴
∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分
解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得
, ,
∴
6．（湖州卷）（本小题12分）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．
第24题
B
C
A
x
y
F
O
D
E
解：（1）由题意可得A(0，2)， B(2，2)， C(3，0),
设所求抛物线的解析式为,
则 解得 . ………………..3分
∴ 抛物线的解析式为 . ….……………………..1分
（2）设抛物线的顶点为G，则.过点G作GH⊥AB，垂足为H，
则AH=BH=1，GH=.
∵ EA⊥AB, GH⊥AB, ∴ EA∥GH ,
∴ GH是△EBA的中位线，
∴ . ………………2分
过点B作BM⊥OC，垂足为M，则BM=OA=AB.
∵ ∠EBF=∠ABM=90 º， ∴ ∠EBA=∠FBM=90 º-∠ABF，
∴ Rt△EBA≌Rt△FBM ，∴ .
∵ CM=OC-OM=3-2=1，∴ CF=FM+CM=. …………….2分
（3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，
∴BF2= FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .
∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF.
则， ….1分
又∵， ……….1分
∴，即， ….1分
∴当a=2（在0
PQ时，则点P在线段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，
∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分
2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM = PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，
解得： x = ±. ---2分
当x = –时，得t = –––2 = –8 –,
当x =时， 得t =–8. ---2分
14.（兰州市 本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
图1 第28题图 图2
解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为…………………………………………1分
由
得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
（2）① 点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=－2x+8. …………………………………………3分
由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=－2x+8. [来源:Zxxk.Com]
∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,－t 2+4t) ………………………6分
∴ AN=－t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN－AP=(－t 2+4 t)－ t=－t 2+3 t=t(3－t)≥0 , ∴ PN=－t 2+3 t
………………………………………………………………………7分
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(－t 2+3 t)]×2=－t 2+3 t+3……………8分
当－t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2………………………………………9分
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分
当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）
15．（盐城市本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
A
x
y
O
B
1
-2
1
A
x
y
O
B
P
M
C
Q
E
D
解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)
当a≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）
（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x
轴于点C．
∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）………（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴，故PC=2BC，……………………………………………………（5分）
设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x<-2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1…………………（6分）
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x<-2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）
（3）点M不在抛物线上……………………………………………
（8分）
由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=
∴Q点的坐标为(-，)
可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）
∵=≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）
(其它解法，仿此得分)
B
F
A
P
E
O
x
y
(第24题图)
16. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合；
（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′.
在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）；………4分 （2）（0,），；……4分（各2分）B
F
A
P
E
O
x
y
G
P′
P′
(图1)
（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）
∵,,∠∠90°
∴△≌△，∴﹒
又∵,∠60°,∴
B
F
A
P
E
O
x
y
M
P′
H
（图2)
而，∴,
由得 ；…………………1分
当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段上时，
过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）
∵,∴,∴
∴， 又∵
在Rt△中，
即，解得．…………………………………………………1分
B
F
A
P
E
O
x
Q′
B′
Q
C
C1
D1
(图3)
y
②存在﹒理由如下：
∵，∴,，
将△绕点顺时针方向旋转90°，得到
△（如图3）
∵⊥，∴点在直线上，
C点坐标为（，－1）
过作∥，交于点Q,
则△∽△
由，可得Q的坐标为（－，）………………………1
分
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分
17.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
第24题图
（1）求的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的
直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1.
∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) .
（2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，
第24题图1
∴ ME＝4.
设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为．
第24题图2
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，
直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,
设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF，
∴ ,
第24题图3
图4
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3，
直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，
∴ , ∴ .
∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
18. (丽水市卷)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
O
y
x
C
B
A
(第24题)
1
1
-1
-1
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当，，时，A，B两点是否都
在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不
可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；
若不存在，请说明理由．
解：
O
y
x
C
B
A
(甲)
1
1
-1
-1
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分
点A的坐标为(，)，
∵ A，B两点关于原点对称，
O
y
x
C
B
A
(乙)
1
1
-1
-1
∴ 点B的坐标为(，)．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，
点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
19.（益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.
解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为
，则，
解得
∴抛物线的解析式为 ……………………………4分
⑵ 的坐标为 ……………………………5分
直线的解析式为
直线的解析式为
由
求得交点的坐标为 ……………………………8分
⑶ 连结交于，的坐标为
又∵，
∴，且
∴四边形是菱形 ……………………………12分
20．(丹东市)如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 1分
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分
（写错一个点的坐标扣1分）
O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
－8
(－6，－4)
x
y
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），
∴．则抛物线关系式为． 4分
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
5分
解得 6分
所求抛物线关系式为：． 7分
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA
（ 0＜＜4） 10分
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 12分
（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG． 14分
21.（威海市12分）
（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．
A
B
D
C
M
N
图 ①
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
（2）结论应用：
如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚
A
图 ③
C
D
B
O
x
y
解：﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F．
A
B
D
C
M
N
图 ①
E
F
∵ AD∥BC，AD＝BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
∴ AB∥CD．
∴ ME= NF．
∵S△ABM＝，S△ABN＝，
∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分
②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．
H
C
图 ②
A
B
D
M
F
E
G
K
则∠DHA=∠EKB=90°．
∵ AD∥BE，
∴ ∠DAH=∠EBK．
∵ AD＝BE，
∴ △DAH≌△EBK．
∴ DH=EK． ……………………………2分
∵ CD∥AB∥EF，
∴S△ABM＝，S△ABG＝，
∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3分
﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.
又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.
∴ 该抛物线的表达式为，即． ………………………5分
∴ D点坐标为（0，3）．
设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.
∴ 直线AD的表达式为．
过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为．
∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．
A
图 ③-1
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等．
①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，
则PF=，EF＝．
∴ EP＝EF－PF＝=．
∴ ．
解得，． ……………………………7分
当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．
∴ E点坐标为（2，3）．
同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分
②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则． ……………………………………………9分
∴．解得，． ………………………………10分
当时，E点的纵坐标为；
当时，E点的纵坐标为．
∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ………………12分
﹙其他解法可酌情处理﹚
A
图③－3
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
A
图③－2
C
D
B
O
x
y
H P
G
F
P
E
22.( 湖北省恩施自治州 12分) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
图11
解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ……………………2分
解得：
所以二次函数的表达式为： ……………………………3分
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴=．…………………6分
∴=
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）…………………………8分
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.
= ……………10分
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的
面积． ………………12分
23．（河南省11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C
三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
24．（贵州省遵义市14分）如图，已知抛物线的顶点坐
（27题图）
标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两
点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C
沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，
交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，
问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，
求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）（3分）
∵抛物线的顶点为Q（2，-1）
∴设
将C（0，3）代入上式，得
∴， 即
（2）（7分）分两种情况：
①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令=0, 得
解之得,
∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)
∴P1(1,0)
②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴
∴
∵D2在上, P2在上,
∴设D2(,), P2(,)
∴()+()=0
, ∴, (舍)
∴当=2时,
==-1
∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)
(3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,-1), ∴可令F(,1)
∴
解之得: ,
∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)
25．（龙岩市14分）如图①，将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得△A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1．
（1）求证：△ADC∽△A1DF；
（2）若α=30°，求∠AB1A1的度数；
（3）如图②，当α=45°时，将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0＜x＜），△ABC与△A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式．
图① 图② 备用图
（第25题图）
解：
（1）证明：如图①，根据旋转变换的性质易知
∠CAD=∠FA1D 1分
∵ ∠1=∠2 2分
∴ △ADC∽△A1DF 4分
（2）解：
图①
（法一） ∵ CA=CA1=CB=CB1=
∵ 点A、A1、B、B1均在以C为圆心 半径为的圆上， 2分
∴ ∠AB1A1= 4分
（法二） 如图①，
∵ AC=B1C
∴ ∠4=∠3 1分
∵ ，∠A1CB1=90°
∴ ∠ACB1=120° 2分
∴ ∠4==30° 3分
∴ ∠AB1A1=∠CB1A1∠4=45°30°=15° 4分
（法三）如图①，
∵ AC=B1C
∴ ∠4=∠3 1分
∵ ∠CAB=∠CB1A1
∴ ∠CAB∠3=∠CB1A1∠4
即 ∠B1AB=∠AB1A1 2分
∵ ∠5=∠B1AB+∠AB1A1
∴ ∠5=2∠AB1A1 3分
∵ △ADC∽△A1DF
∴ ∠5=
∴ ∠AB1A1= 4分
（3）解：△A1B1C在平移的过程中，易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、
△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形 1分
∵ AB==2
∴ 当α=45°时，CE=CD=AB=1
情形①：当0＜x＜1时（如图②所示），
△A2B2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG 2分
（法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2FSRt△AC2GSRt△HB2E
∵ C2C=x
∴ CH=x，AC2=，B2E=HE=
∴ AG=C2G=AC2=
∴ S平行四边形AC2B2F=AC2·CE=（）·1=
图②
SRt△AC2G=·AG2=
SRt△HB2E=·B2E2= 3分
∴ S五边形C2HEFG=
= 4分
（法二） S五边形C2HEFG= SRt△A2B2C2SRt△A2FGSRt△HB2E
∵ C2C=x
∴ AC2=，B2E=
∴ C2G=AC2=
A2G=A2C2C2G =
∴ SRt△A2B2C2=A2==1
SRt△A2FG=A2G2=
SRt△HB2E =B2E2= 3分
∴ S五边形C2HEFG=
= 4分
（法三） S五边形C2HEFG= SRt△ABCSRt△AC2GSRt△C2HCSRt△FBE
∵ C2C=x
∴ AC2=，CH=，BE=
∴ AG=C2G=AC2=
∴ SRt△ABC=A==1
SRt△ AC2G =AG2=
SRt△C2HC =C2C2=
SRt△FBE =BE2= 3分
∴ S五边形C2HEFG=
= 4分
情形②：当1≤x＜时（如图③所示），
△A2B2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG 5分
（法一） S直角梯形C2B2FG
=S平行四边形C2B2FASRt△AC2G
=AC2·CEAG2
=
= 6分
（法二） S直角梯形C2B2FG
= SRt△A2B2C2SRt△A2FG
图③
=
= 6分
26. (湖南省郴州市)如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
第26题
图（1）
图（2）
解：
（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）………..2分
（2）当b＝0时，直线为，由解得，
所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
，
所以（利用同底等高说明面积相等亦可） ……..4分
当时，仍有成立. 理由如下
由，解得，
所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），
作轴，轴，垂足分别为F、G，则，
而和是同底的两个三角形，
所以. …………………..6分
（3）存在这样的b.
因为
所以
所以，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，为直角三角形 …………………..8分
因为
所以 ，而
所以，解得，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. ………………….10分
27. (湖南省怀化市本题满分10分)
图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
图9
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，
使,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分
沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，请你结合这个
新的图象回答：当直线与此
图象有两个公共点时，的取值范围.
解:(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，
所以 ………………………………………2分
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）………………………………4分
(2) 在二次函数的图象上存在点P，使…………………………5分
设则，又,
∴
图1
∵二次函数的最小值为-4，∴.
当时，.
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分
（3）如图1，当直线经过A点时，可得……………8分
当直线经过B点时，可得…………9分
由图可知符合题意的的取值范围为……10分
28．（湖南省株洲市本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得；
② 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．
图1
图2
·
B
解：（1） ……… 2分
（2）设抛物线的解析式为：，当时，，即；当时，，即，依题意得：，解得：．
∴抛物线的解析式为：． ……… 6分
（3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： ①
②
又，得，分别代入①、②得：，
∴
得：
又
∴ ………10分
方法二：过点作，垂足为，设，则，得：
∵
∴ ………10分
2010年中考数学试题压轴题汇编(二)
29．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
第24题图
解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得
得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分
(2)设C(x0，y0)，则有
解得∴C(4，3)．……………………………………………6分
由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．
∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………………………………8分
第24题图
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分
(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：
30．（济宁市10分）
如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
(第23题)
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
解：（1）设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分
证明：当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分
(第23题)
(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.…………………………………………8分
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.
∵,
∴当时，的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分
31．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
第22题图（2）
A
B
C
D
F
第22题图（1）
A
B
M
C
F
D
N
W
P
Q
M
N
W
P
Q
32．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =
8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
A
D
B
C
F
（
E
）
图（1）
A
D
B
C
F
E
图（2）
P
Q
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
A
B
C
图（3）
解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
图（2）
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
（2）过P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =－= －
= = .
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N，
C
E
A
D
B
F
图（3）
P
Q
N
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
33、（南充市）已知抛物线上有不同的两点E和F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
B
A
M
C
D
O
P
Q
x
y
解：（1）抛物线的对称轴为． ……..（1分）
∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．
∴ 抛物线的解析式为． ……..（2分）
（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴ AB＝，AM＝BM＝． ……..（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴ ∠BCM＝∠AMD．
故 △BCM∽△AMD． ……..（4分）
∴ ，即 ，．
故n和m之间的函数关系式为（m＞0）． ……..（5分）
（3）∵ F在上，
∴ ，
化简得，，∴ k1＝1，k2＝3．
即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分）
①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为．
直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．
若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；
若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝． ……..（7分）
②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为．
直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．
若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；
若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝． ……..（8分）
故当 或时，∠PMQ的边过点F．
34. (（衢州卷）本题12分)
O
y
x
C
B
A
1
1
-1
-1
△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
O
y
x
C
B
A
(甲)
1
1
-1
-1
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分
点A的坐标为(，)，
∵ A，B两点关于原点对称，
O
y
x
C
B
A
(乙)
1
1
-1
-1
∴ 点B的坐标为(，)．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，
解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1分
设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分
解得 ，(舍去)．
∴ 点B的横坐标是． ……2分
(2) ① 当，，时，得 ……(＊)
． ……1分
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，
点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
35.（莱芜市本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
（第24题图）
x
y
O
A
C
B
D
E
F
解：（1）∵抛物线经过点，，．
∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：. …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分
∴劣弧EF的长为：
． …………………………7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ………8分
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为. …………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． …………………12分
36. （舟山卷 本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
(2) 如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：
① 当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
O
y
x
C
B
A
(第24题)
1
1
-1
-1
解：(1) ∵ 点O是AB的中点， ∴ ． ……1分
设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分
解得 ，(舍去)．
∴ 点B的横坐标是． ……2分
(2) ① 当，，时，得 ……(＊)
． ……1分
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，
O
y
x
C
B
A
(甲)
1
1
-1
-1
． ……1分
由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分
点A的坐标为(，)，
∵ A，B两点关于原点对称，
O
y
x
C
B
A
(乙)
1
1
-1
-1
∴ 点B的坐标为(，)．
将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；
将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．
∴ 在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ……2分
情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，
点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．
经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． ……1分
(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)
② 存在．m的值是1或-1． ……2分
(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)
37．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=，x1·x2=
由| x1－x2|====，
由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－
即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
38．（河北省本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
解：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2＋130 x，
w外 = x2＋（150）x．
（3）当x = = 6500时，w内最大；分
由题意得 ，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 =．
若w内 ＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内 ＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
39． (德州市本题满分11分)
已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
x
y
O
A
B
C
P
Q
D
E
G
M
N
F
x
y
O
A
B
C
P
Q
M
N
第23题图
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入得
解得：a=1，b=-2．
∴．-------------------2分
配方得：，所以对称轴为x=1．-------------------3分
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点 -------------------8分
∴S=，
=．
由=．
．
∴S=．-------------------10分
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴04.8，x<12,所以.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0< x≤4.8)
……………………8分
当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04
当时，因为，所以当时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.
因为24>23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …10分
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
48．(绵阳市)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
解：（1）由题意，得 解得，b =－1．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．
设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．
所以直线BD的解析式为y =x + 3．
由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y =x +．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则 KN = yK－yN =－（t +）=．
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．
即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．
49．（钦州市本题满分10分）
如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为 ▲ ；用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ；(3分)
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)
（备用图）
解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分） 3分
（2）∵S△OMP =×OM×， 4分
∴S =×（6 -t）×=+2t．
＝（0 < t <6）． 6分
∴当时，S有最大值． 7分
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：．
（备用图）
R2
T1
T2
R1
D2
D1
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，
解方程组得
∴直线ON与MT的交点R的坐标为．
∵S△OCN ＝×4×3＝6，∴S△ORT ＝ S△OCN ＝2． 8分
① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝••••RD1•OT ＝••b＝2.
∴， b =.
∴b1 ＝，b2 ＝（不合题意，舍去）
此时点T1的坐标为（0，）. 9分
② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则
S△R2NE＝•EN•R2D2 =••＝2.
∴，b=.
∴b1＝，b2＝（不合题意，舍去）．
∴此时点T2的坐标为（0，）．
综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．…10分
50.( 福建省南平市14分)如图1，已知点B（1，3）、C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.
（1）填空：A点坐标为（____，____），D点坐标为（____，____）；
（2）若抛物线y= x2+bx+c经过C、D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由.
（提示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=－，顶点坐标是（－，）
O
y
x
A
D
B
C
图1
O
y
x
A
B
C
备用图
·
解：（1） A(-2,0) ,D(-2,3)
(2)∵抛物线y= x2+bx+c 经过C(1,0), D(-2,3)
代入，解得：b=- ,c=
∴ 所求抛物线解析式为：y= x2 － x+
（3） 答：存在
解法一： 设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的解析式为：y= x2 － x++h =(x -1)² + h
此时抛物线与y轴交点E(0,+h)
当点M在直线y=x+2上，且满足直线EM∥x轴时
则点M的坐标为（）
又 ∵M在平移后的抛物线上，则有
+h=(h--1)²+h
解得： h= 或 h=
（і）当 h= 时，点E（0，2），点M的坐标为（0，2）此时，点E,M重合，不合题意舍去。
（ii）当 h=时，E（0，4）点M的坐标为（2，4）符合题意
综合（i）（ii）可知，抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴。
解法二：∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M,E重合时，它们的纵坐标相等。
∴EM不会与x轴平行
当点M在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴
则平移后的抛物线的解析式为∵y=x²++h =(x - 1)² + h
∴ 抛物线与Y轴交点E(0,+h)
∵抛物线的对称轴为：x=1
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，+h)时，直线EM∥x轴
将（2，+h)代入y=x+2得，+h=2+2 解得：h=
∴ 抛物线向上平移个单位能使EM∥x轴
51. (河池市 本小题满分12分)
如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；
M
C
B
O
A
图11
（2）求△的面积；
（3）求过，，三点的抛物线的解析式；
（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该
抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形
为平行四边形，求点的坐标．
M
C
B
O
A
D
解：（1）4 ；. …………………（2分）
（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，
∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ………（3分）
又 ∵ OA=2BC
∴ AM＝2CM ，CM＝AC ………………（4分）
所以 ………（5分）
（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）
（3）设抛物线的解析式为
由抛物线的图象经过点,,.所以
……………………………（6分）
解这个方程组，得，， ………………（7分）
所以抛物线的解析式为 ………………（8分）
（4）∵ 抛物线的对称轴是CD，
① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点； …（9分）
② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，
∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以. ………………………………………（11分）
同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.（12分）
综上所述，点F的坐标为，. ………（12分）
52．(安徽省)如图，已知，相似比为k（k>1），且的三边长分别为a、b、c（a>b>c），的三边长分别为、、.
（1）若c=a1，求证：a=kc；
[证]
（2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、、都是正整数，并加以说明；
[解]
（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由.
[解]
第23题图
解:（1）证：，且相似比为
又 （3分）
（2）解：取 （8分）
此时且 （10分）
注：本题也是开放型的，只要给出的和符合要求就相应赋分.
（3）解：不存在这样的和.理由如下：
若则
又，
（12分）
，而
故不存在这样的和，使得 （14分）
注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.
53．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：
（2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为.
，
.
.
[此时需说明]. 6分
设二次函数解析式为：
抛物线经过、、.
得到解得
. 9分
（3）能，可以在直线上找到点，连接.
由于、在一条直线上，故的和最小，
由于为定长，所以满足周长最小. 10分
设直线的解析式为：
. 12分
. 14分
[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]
54.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.
解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax2+bx－6
由 解得：a= ,b=－
∴该抛物线的解析式为y=x2－x－6 -----------------3分
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12)
C在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a=
∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－6 --------3分
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC==10=AD
∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分
由已知∠PDC=∠ACD
∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分
DB=AB－AD=20-10=10
∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒)
∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3
∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分
（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ==3 --------------------9分
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：
解得：
∴y=3x-6
当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3) ------------------------10分
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.
设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：
42+y2=90 即y=±
∴M2（1，） M3（1，－） -----------------------11分
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)
设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)2+52=90 即y=－3±
∴M4(1, －3＋) M5((1, －3－) --------------------12分
综上所述：存在这样的五点：
M1(1, －3), M2（1，）, M3（1，－）, M4(1, －3＋),
M5((1, －3－).
55．（山东省滨州市 本题满分l0分）
如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?
解：①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中，
∵OD=MC，AD=BC，
∴△AOD≌△BMC．
∴OA=MB=MA．………………………………………l分
设菱形的边长为2m，
在Rt△AOD中，
解得m=1． http://www.czsx.com.cn
∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）………………… 4分
②设抛物线的解析式为y=（—2）2+
代入A点坐标可得=—
抛物线的解析式为y=—（—2）2+……………………………………7分
③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k
代入D（0，）可得k=5
所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5…………………………9分
平移了5一=4个单位．…………………………………………………l0分
56.（山东省烟台市 本题满分14分）
如图，已知抛物线y=x2+bx－3a过点A（1，0），B（0，－3），与x轴交于另一点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x2+bx－3a中，得
1+b－3a=0
－3a=－3
a=1
解得
b=2
∴抛物线的解析式为
y=x2+2x－3………………………………………4分
（2）令y=0，得x2+2x－3=0，
解得x1=－3，x2=1
∴点C（－3，0）……………………………………………………5分∵B（0，－3）
∴△BOC为等腰直角三角形.
∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分
所以可设点P（x，－3+x）
则有－3+x=x2+2x－3，∴x=－1，所以P点坐标为（－1，－4）………………………10分
（3）由（2）知，BC⊥BP
当BP为直角梯形一底时，由图象可知点Q不可能在抛物线上.
若BC为直角梯形一底，BP为直角梯形腰时，
∵B（0，－3），C（－3，0），
∴直线BC的解析式为y=－x－3…………………………11分
∵直线PQ∥BC，且P（－1，－4），
∴直线PQ的解析式为y=－（x+1）－3－1
即y=－x－5…………………………………………………12分
y=－x－5
联立方程组得
y=x2+2x－3
解得x1=－1，x2=－2…………………………………………………………………………13分
∴x=－2，y=－3，即点Q（－2，－3）
∴符合条件的点Q的坐标为（－2，－3）………………………………………………14分
57．(四川省成都市)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．
（1）求直线及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；
（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴，。
将 代入，得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。
∵，
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，
∴，
∴
∴，解得
∴点P的坐标为
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
① 当⊙Q与y轴相切时，有，即。
当时，得，∴
当时，得，∴
① 当⊙Q与x轴相切时，有，即
当时，得，即，解得，∴
当时，得，即，解得，∴，。
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。
（Ⅱ）设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。
由，得，即，
∵△=
∴此方程无解。
由，得，即，
解得
∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。
58．(四川省泸州市本题满分l2分)
已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：
(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．
解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为
(2)①当直线位于时，此时过点,
∴，即。
②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。
∴方程有一根，
∴，即
当时，满足，
由①②知，或。
（3）∵
∵当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，
∴应同时满足下列三方面的条件：
①方程的判别式△=，
②抛物线的对称轴满足，
③当时，函数值，当时，函数值
即，解得。
∴当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点．
59.( 珠海市)如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.
(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。
解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°
在△ABE中，AB＝6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(，6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
∴
所以BD所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
又∵FG⊥OA
∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H（，） …………4分
∵B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上
∴
∴抛物线的解析式是
(2)∵MP=
MN=6-
H=MP-MN=
由得
该函数简图如图所示：
当00，即HP>MN
60．(山西省)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N
．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
D
E
（第26题 图1）
F
C
O
M
N
x
y
解：（1）作轴于点则四边形为矩形，
∴ （1分）
∴
在中，
（2分）
∴点的坐标为 （3分）
（2）作轴于点则
∴ （4分）
∴
又∵
∴∴
∴
∴点的坐标为 （5分）
又∵点的坐标为
设直线的解析式为
则解得
∴直线的解析式为 （7分）
（3）答：存在 （8分）
①如图1，当时，四边形为菱形.
作轴于点，则轴，
∴
∴
又∵当时，解得
∴点的坐标为∴
在中，
∴
∴
∴点的坐标为
∴点的坐标为 （10分）
②如图2，当时，四边形为菱形.延长交轴于点则轴.
∵点在直线上，
∴设点坐标为
在中，
∴
解得（舍去），
∴点的坐标为
∴点的坐标为 （12分）
③如图3，当时，四边形为菱形.连接交于点则与互相垂直平分，
∴
∴
∴∴
∴点的坐标为 （14分）
综上所述，轴上方的点有三个，分别为
（其它解法可参照给分）.
61.（湖北省襄樊市 本小题满分12分）
如图7，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？
图7
（3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？
解：（1）四边形是平行四边形，
1分
抛物线过点， 2分
由题意，有解得 3分
所求抛物线的解析式为 4分
（2）将抛物线的解析式配方，得
抛物线的对称轴为 5分
欲使四边形为等腰梯形，则有
7分
（3）欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，
有或
即或
①若在轴的同侧.当时，=， 8分
当时，即
解得 9分
②若在轴的异侧.当时，， 10分
当时，，即.解得
.故舍去. 11分
当或或或秒时，以为顶点的三角形与以点
为顶点的三角形相似. 12分
