河北中考数学复习 第5讲 方程（组）与不等式（组）

河北中考数学复习 第5讲 方程（组）与不等式（组）

第二章　方程(组)与不等式(组)‎ 第5讲　一次方程(组)‎ ‎1. (2019，河北)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是(A)‎ A. x＋5(12－x)＝48 B. x＋5(x－12)＝48 ‎ C. x＋12(x－5)＝48 D. 5x＋(12－x)＝48‎ ‎【解析】 设所用的1元纸币为x张，则5元纸币为(12－x)张．根据用钱总数是48元即可列出方程．‎ ‎2. (2019，河北)已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．‎ ‎【思路分析】 将方程的解代入方程，得到关于a的方程，求解，再求含有a的代数式的值．‎ 解：∵是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，‎ ‎∴2＝＋a.解得a＝.‎ ‎∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9.‎ ‎3. (2019，河北，导学号5892921)利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(D)‎ A. 要消去y，可以将①×5＋②×2‎ B. 要消去x，可以将①×3＋②×(－5)‎ C. 要消去y，可以将①×5＋②×3‎ D. 要消去x，可以将①×(－5)＋②×2‎ ‎【解析】 利用加减消元法解方程组要消去x，可以将①×(－5)＋②×2.‎ ‎4. (2019，河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.‎ ‎(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；‎ ‎(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.‎ ‎【思路分析】 (1)根据多边形的内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断说法的对错，再根据多边形的内角和公式求出边数n.(2)根据等量关系：n边形变为(n＋x)边形，内角和增加360°，列出方程，解方程即可确定x.‎ 解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对．‎ ‎360°÷180°＋2＝2＋2＝4.‎ ‎∴甲同学说的多边形的边数n是4.‎ ‎(2)依题意，得(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°.‎ 解得x＝2.‎ ‎　方程或方程组的解 例1 (2019，淮安)若关于x，y的二元一次方程3x－ay＝1有一个解是则a＝ 4 .‎ ‎【解析】 把代入原方程，得9－2a＝1，即可求出a的值.‎ 针对训练1 已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为(D)‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【解析】 把x＝2代入原方程，得4＋a－9＝0.解得a＝5.‎ ‎　一元一次方程的解法 例2 解方程：2－＝.‎ ‎【思路分析】 根据等式的性质，按一般步骤解方程．‎ 解：去分母，得12－2(2x＋1)＝3(1＋x)．‎ 去括号，得12－4x－2＝3＋3x.‎ 移项，得－4x－3x＝3－12＋2.‎ 合并同类项，得－7x＝－7.‎ 系数化为1，得x＝1.‎ 针对训练2(2019，武汉)解方程：4x－3＝2(x－1)．‎ ‎【思路分析】 本题解一元一次方程的步骤是：去括号，移项，合并同类项，再将系数化为1.‎ 解：去括号，得4x－3＝2x－2.‎ 移项，得4x－2x＝3－2.‎ 合并同类项，得2x＝1.‎ 系数化为1，得x＝.‎ ‎　二元一次方程组的解法 例3 (2019，福建)解方程组： ‎【思路分析】 用加减消元法或代入消元法都可．‎ 解： ‎②－①，得3x＝9.‎ 解得x＝3.‎ 把x＝3代入①，得3＋y＝1.‎ 解得y＝－2.‎ 所以这个方程组的解是 针对训练3(2019，宿迁)解方程组： ‎【思路分析】 用加减消元法或代入消元法都可．‎ 解： ‎①×2，得2x＋4y＝0③.‎ ‎②－③，得x＝6.‎ 把x＝6代入①，得y＝－3.‎ 所以这个方程组的解是 ‎　一次方程(组)的应用 例4 (2019，东营)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”‎ 活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为(B)‎ 例4题图 A. 19元 B. 18元 C. 16元 D. 15元 ‎【解析】 设笑脸气球每个x元，爱心气球每个y元．根据题意，得解得 ∴2x＋2y＝18.(或将方程组中两个方程相加，得4x＋4y＝36.∴2x＋2y＝18.)‎ 例5 (2019，唐山路北区二模)某市对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表：‎ 一户居民一个月用水量设为x m3‎ 水费单价/(元/m3)‎ x≤22‎ a 超出22 m3的部分 a＋1.1‎ 某户居民3月份用水10 m3，缴纳水费23元．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若该户居民4月份所缴水费为71元，求该户居民4月份的用水量．‎ ‎【思路分析】 (1)用水10 m3，由10<22，可得水费共10a元，即10a＝23，求解即可．‎ ‎(2)先判断71元水费的用水量是否超过22 m3，再设用水量为x列方程求解．‎ 解：(1)由题意，得10a＝23.解得a＝2.3.‎ 答：a的值为2.3.‎ ‎(2)设该户居民4月份的用水量为x m3.‎ ‎∵当用水22 m3时，水费为22×2.3＝50.6＜71，‎ ‎∴用水量x＞22.‎ ‎∴22×2.3＋(x－22)×(2.3＋1.1)＝71.解得x＝28.‎ 答：该户居民4月份的用水量为28 m3.‎ 针对训练4(2019，广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意，得(D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 两袋互换1枚后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，乙袋有黄金1枚，白银10枚．两个等量关系是：互换前，甲袋重量＝乙袋重量；互换后，乙袋重量－甲袋重量＝13.‎ 针对训练5 (2019，岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将这批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包．那么这批书共有多少本？‎ ‎【思路分析】 题中等量关系是每包书数目相等．‎ 解：设这批书共有x本．‎ 根据题意，得＝.‎ 解得x＝1 500.‎ 答：这批书共有1 500本．‎ 一、 选择题 ‎1. 在解方程－1＝时，两边同时乘6，去分母后，正确的是(D)‎ A. 3x－1－6＝2(3x＋1) B. (x－1)－1＝2(x＋1)‎ C. 3(x－1)－1＝2(3x＋1) D. 3(x－1)－6＝2(3x＋1)‎ ‎【解析】 方程两边的每一项都要乘6.‎ ‎2. 关于x，y的方程组的解是其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是(A)‎ A. － B. C. － D. ‎【解析】 把x＝1代入x＋y＝3中，得y＝2；再把x，y的值代入x＋py＝0，就可以求出p的值．‎ ‎3. (2019，桂林)若|3x－2y－1|＋＝0，则x，y的值为(D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 根据绝对值的非负性和被开方数的非负性，得解得 ‎4. (2019，重庆B)根据如图所示的程序计算函数y的值．若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于(C)‎ 第4题图 A. 9 B. 7 C. －9 D. －7‎ ‎【解析】 当x＝4时，y＝8＋b；当x＝7时，y＝－1.∴8＋b＝－1.解得b＝－9.‎ ‎5. (2019，烟台)如图，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为(C)‎ 第5题图 A. 28 B. 29 C. 30 D. 31‎ ‎【解析】 根据图中规律，第n个图形中有4n朵玫瑰花，∴4n＝120.解得n＝30.‎ ‎6. (2019，南通)篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是(B)‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【解析】 设该队获胜x场，则负了(6－x)场．根据题意，得3x＋(6－x)＝12.解得x＝3.‎ ‎7. 父子二人并排垂直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2 m. 若设爸爸的身高为 x m，儿子的身高为y m，则可列方程组为(D)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 题中的等量关系有两个，一是父子二人的身高之和为3.2 m，二是水深是爸爸身高的，儿子身高的，两者相等．‎ ‎8. (2019，温州)学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组(A)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 题中的等量关系有两个，一是车一共有10辆，二是座位数与人数相等．‎ ‎9. (2019，福建)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托．” 其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是(A)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 两个等量关系分别是：绳索比竿长5尺，绳索的一半比竿短5尺．‎ ‎10. (2019，恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件赢利20%，另一件亏损20%.在这次买卖中，这家商店(C)‎ A. 不赢不亏 B. 赢利20元 ‎ C. 亏损10元 D. 亏损30元 ‎【解析】 设其中一件衣服进价为x元，另一件进价为y元，则(1＋20%)x＝120，(1－20%)y＝120.解得x＝100，y＝150.∵120×2－100－150＝－10，∴这家商店亏损10元．‎ 二、 填空题 ‎11. (2019，菏泽)一组“数值转换机”按下面的程序计算，若输入的数是36，则输出的结果为106.要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 15 .‎ 第11题图 ‎【解析】 从结果倒推输入的x值，由3x－2＝127，解得x＝43.再由3x－2＝43，解得x＝15.而3x－2＝15没有整数解，故输入的最小正整数为15.‎ ‎12. (2019，凉山州)已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是（ ）.‎ ‎【解析】 正数的两个平方根互为相反数，即3x－2＋5x＋6＝0.解得x＝－.则这个数是(3x－2)2＝.‎ ‎13. (2019，随州)已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋b＝ 5 .‎ ‎【解析】 把代入得解得∴a＋b＝5.‎ ‎14. (2019，德州)对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝ 60 .‎ ‎【解析】 解方程组得∵5<12，∴x◆y＝5×12＝60.‎ 三、 解答题 ‎15. (2019，扬州)对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a＋b.例如3⊗4＝2×3＋4＝10.‎ ‎(1)求2⊗(－5)的值；‎ ‎(2)若x⊗(－y)＝2，且2y⊗x＝－1，求x＋y的值．‎ ‎【思路分析】 (1)a＝2，b＝－5，按指定运算求值．(2)根据指定运算写出关于x，y的方程组，求解后，可得x＋y的值．‎ 解：(1)2⊗(－5)＝2×2－5＝－1.‎ ‎(2)由题意，得 解得 ‎∴x＋y＝.‎ ‎16. (2019，舟山)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：‎ 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 ‎(1)判断上述两个解题过程中有无计算错误．若有误，请在错误处打“×”；‎ ‎(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．‎ ‎【思路分析】 (1)解法一中①－②不能消去未知数；解法二利用整体代入的方法，计算正确．(2)若选解法一，则从第一步改正，一步步做下去；若选解法二，则继续做下去．‎ 解：(1)解法一中的计算有误(标记略)．‎ ‎(2)由①－②，得－3x＝3.‎ 解得x＝－1.‎ 把x＝－1代入①，得－1－3y＝5.‎ 解得y＝－2.‎ 所以原方程组的解是 ‎17. 小赵和小王交流暑假中的活动，小赵说：“我们一家外出旅行了一个星期，这7天的日期数之和是84，你知道我们是几日出去的吗？”小王说：“我假期去舅舅家住了7天，日期数再加上月份数也是84，你能猜出我是几月几日回的家吗？”试试看列出方程，解决小赵、小王的问题．(提示：7月1日—9月1日暑假)‎ ‎【思路分析】 设出中间一天的日期，其他日期用代数式表示出来．小赵的问题用7天日期之和等于84列出方程；小王的问题是日期之和加7(或8)等于84；注意方程的解只能是1到31之间的整数．‎ 解：设小赵外出旅行这一星期中间一天的日期为x日．‎ 根据题意，得(x－3)＋(x－2)＋(x－1)＋x＋(x＋1)＋(x＋2)＋(x＋3)＝84.‎ 解得x＝12.‎ ‎∴12－3＝9.‎ 设小王在舅舅家住的中间一天的日期为y日．‎ 根据题意，得7y＋7＝84或7y＋8＝84.‎ 解得y＝11或y＝(不合题意，舍去)．‎ ‎∴11＋3＝14.‎ 答：小赵是9日出去的．小王是7月14日回的家．‎ ‎18. (2019，张家界)《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少．‎ ‎【思路分析】 两种出资方法，人数相等，羊价相等．设其中一个为未知数，另一个作为等量关系来列方程．‎ 解：设有x人．‎ 根据题意，得5x＋45＝7x＋3.‎ 解得x＝21.‎ ‎∴5×21＋45＝150(元)．‎ 答：有21人，羊价为150元．‎ ‎19. (2019，黄冈)在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子．A型粽子28元/kg，B型粽子24元/kg.若B型粽子的质量比A型粽子的2倍少20 kg，订购两种粽子共用了2 560元，求两种类型粽子各订购了多少千克．‎ ‎【思路分析】 两个等量关系是，A型粽子质量×2－20＝B型粽子质量；A型粽子总价＋B型粽子总价＝2 560元．‎ 解：设A型粽子订购了x kg，B型粽子订购了y kg.‎ 由题意，得 解得 答：A型粽子订购了40 kg，B型粽子订购了60 kg.‎ ‎1. (2019，石家庄长安区质检，导学号5892921)小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花，她们购买的数量如下表所示，小华花的总钱数比小红少8元．下列说法正确的是(A)‎ 百合花 玫瑰花 小华 ‎6枝 ‎5枝 小红 ‎8枝 ‎3枝 A. 买2枝百合花比买2枝玫瑰花多花8元 B. 买2枝百合花比买2枝玫瑰花少花8元 C. 买14枝百合花比买8枝玫瑰花多花8元 D. 买14枝百合花比买8枝玫瑰花少花8元 ‎【解析】 设每枝百合花x元，每枝玫瑰花y元．根据题意，得6x＋5y＋8＝8x＋3y，可以变形为2y＋8＝2x.所以买2枝百合花比买2枝玫瑰花多花8元．‎ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。2. (2019，枣庄，导学号5892921)若二元一次方程组的解为则a－b＝（ ）.‎ ‎【解析】 把代入原方程组，得两式相加，得4a－4b＝7，∴a－b＝.‎ 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。3. (2019，滨州，导学号5892921)若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于a，b的二元一次方程组的解是（ ）.‎ ‎【解析】 把a＋b，a－b分别看作一个整体，根据题意，得解得 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。4. (2019，石家庄裕华区质检)如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数(如图②)分别用a，b，c，d，x表示．‎ 第4题图 ‎(1)若x＝17，则a＋b＋c＋d＝ 68 ；‎ ‎(2)移动十字框，用x表示a＋b＋c＋d＝ 4x ；‎ ‎(3)设M＝a＋b＋c＋d＋x，判断M能否等于2 020，请说明理由．‎ ‎【思路分析】 (1)直接相加即可．(2)观察可得a＝x－12，b＝x－2，c＝x＋2，d＝x＋12，则a＋b＋c＋d＝4x.(3)判断5x＝2 020的解是否满足题意即可．‎ 解：(1)68‎ ‎(2)4x ‎(3)M不能等于2 020.‎ 理由：由(2)知a＋b＋c＋d＝4x，‎ ‎∴M＝4x＋x＝5x.‎ 令5x＝2 020，‎ ‎∴x＝＝404.‎ 因为404是偶数，题中数据都是奇数，‎ 所以M不能等于2 020.‎