巧用基本方法解中考压轴题数学

巧用基本方法解中考压轴题数学

巧用基本方法解中考压轴题 ‎ 面对中考压轴难题，不同的学生有不同的解法，这与学生的认知经验、数学思维能力有直接关系，但不可否认的是，解题方法还是有章可循的，它是平时知识的积累，也是解题技巧、几何模型归纳总结的体现.‎ ‎ 本文以一道中考题为例，介绍如何探寻解题思路.‎ ‎ 一、原题呈现 ‎ (2017年重庆市中考题)如图1，正方形中，，点是对角线上一点，连结，过点作，交于点，连结，交于点，将沿翻折，得到，连结，交于点.若点是的中点，则的周长是 .‎ ‎ 二、解题思路探寻 ‎ 本题虽然是求三角形的周长，实质是求线段的长度.而求解的线段长度常用基本的方法有:勾股定理，三角函数或解直角三角形，构造全等或相似三角形进行线段转化，代数法，面积法等.根据对图形的观察，发现图中有平行相似三角形(型);有两个三垂直全等三角形模型(型);有、、、四点共圆;大胆猜想图中、、是否三点共线，猜想点的位置等隐藏信息.如何利用以上隐藏的条件突破本题?现立足于以上常规思路，寻找解决本题的自然解法，并进行灵活变通，获得巧思妙解.‎ ‎ 1.寻找相似三角形，利用比例式求解 ‎ 解法1 寻找相似三角形，利用比例式求解.‎ 如图1. ∵，‎ ‎∴、、、四点共圆，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴为等腰直角三角形.‎ 由，，‎ 则，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 可求得，.‎ 由折叠，得，‎ ‎，‎ ‎∴在中，‎ ‎.‎ 过点作，则，‎ 为等腰直角三角形，‎ ‎∴，‎ 又∵、、、四点共圆，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 由折叠，得，‎ 得，.‎ 过点作，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 又∵、、、四点共圆，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 由折叠，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的周长为.‎ ‎ 评析 此解法妙在自然.求一个三角形的周长，意在求三条边长的长度.对于中考压轴题，构造相似三角形，利用对应边成比例列出关系式，是常规的方法，符合学生的认知.解法1中，发现、、、四点共圆，妙用圆周角进行角度转化，快速证明了为等腰直角三角形，为问题解决开辟了一条捷径.通过证明两个三角形相似，三角函数的逆运算 证明角相等，可见数学思维能力要求不一般.‎ ‎ 解法2 如图1，由解法I，知 ‎.‎ ‎∴，‎ 即.‎ 又根据解法1，得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴的周长为.‎ ‎ 评析 解法2妙在利用整体思想方法，用相似三角形周长比等于相似比这一性质，不把每一条边都求出来，简化计算，可谓眼前一亮.这是整体思想在初中代数中应用的体现，可见灵活的进行知识迁移，举一反三，提高思维品质非常重要.‎ ‎2.构造直角三角形，利用匀股定理或锐角三角比求解 解法3 如图2，由解法1，得 ‎，，‎ ‎∴，即点为正方形的中心.‎ 由，，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，.‎ 连结，易证，‎ ‎∴.‎ 在中，，‎ 即，‎ ‎∴的周长为.‎ 评析 在初中阶段，利用勾股定理或利用锐角三角比解直角三角形也是求线段长的常见方法之一，解法3利用推导出点为正方形的中心，不仅为构造所求线段，所在的直角三角形提供了便利，也对几何图形有了更清晰的、更直观的理解，为问题的解决提供了一条重要线索.‎ 解法4 如图3，由解法1，得 ‎.‎ ‎ 连结，交与点，由折叠，易知.‎ 由解法1，知 ‎，，‎ ‎∴.‎ 由解法1，知 ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 在中，.‎ ‎∴的周长为.‎ ‎ 评析 解法4利用翻折的性质，构造所求线段的直角三角形.同时利用三角函数关系，证明了点是线段的中点，把复杂图形简单化.‎ ‎ 以上四种方法的共同点都是通过四点共圆巧妙证明为等腰直角三角形，通过圆内斜的相似三角形，列比例式求解长度.‎ ‎ 那么，是否有其他证明为等腰直角三角形的方法?有没有其他求解的解法?是否必须要用到四点共圆?值得思考.‎ ‎3.巧借几何模型，利用基本结论求解 ‎ 解法5 如图4，过点作，交于，交于，连结.构建两组全等三角形，即，得.‎ 易证明，得，‎ ‎∴.‎ 由，易证明，是等腰三角形，利用勾股定理计算得 ‎，.‎ ‎ 再由平行相似证明，‎ 列比例式，可得，‎ 从而得.‎ ‎∴.‎ ‎ 另外两条线段的求解可以参考解法3、解法4，这里不再重复.‎ ‎ 评析 解法5利用常见的两个几何模型.第一个模型为三垂直全等三角形模型(型)，第二个模型是正方形对角线任意点到另外连个顶点距离相等的模型.利用这两个模型，进行线段之间等量替换，从而证明了是等腰直角三角形，自然求出长度.为解题找到了突破口，解决问题水到渠成.‎ ‎4.数形结合，利用解析法求解 ‎ 解法6 如图5，以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，过点作，则根据题意，得 ‎ ，，直线y.‎ 设点，所以可求得 ‎，.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即 解得，‎ ‎∴.‎ 易得，‎ ‎∴为等腰直角三角形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，.‎ 由折叠，得，，‎ 易证，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，，‎ 联立求得.‎ 利用两点间距离公式，分别求得 ‎，，，‎ ‎∴的周长为.‎ ‎ 评析 解法6妙在数形结合，用代数的方法解决几何问题.通过建立合适的平面直角坐标系，求出对应、、的坐标，利用两点间距离公式求解，是一种非常直观高效的方法.‎