中考数学专题大讲堂谈谈平面几何辅助线技巧之平移对称旋转

中考数学专题大讲堂谈谈平面几何辅助线技巧之平移对称旋转

凌波微步，左右逢源，斗转星移 ‎——谈谈平面几何辅助线技巧之平移对称旋转 虽然平面几何日趋式微，但它却是初中数学最重要的学习内容之一，对于培养学生形象思维能力和逻辑思维能力有着重要的作用。也是很多学生学习的“瓶颈”，尤其在全国中考压轴题和杯赛联赛中，平面几何的推理和计算已然成了令人头痛的“珍珑棋局”，在网络上和平时的教学中老师们碰到的难题中平面几何题占了非常大的比例，而流传江湖的各种各样的“网络红题”，把我们虐的死去活来。‎ 平面几何博大精深，我们常常看到平几高手们在平几题目中画出如神来之笔的辅助线，赞叹不已。他们是怎么思考的呢？今天我以图形变换的观点对初中平面几何辅助线的作法聊聊我的一些粗浅看法，偷窥一下大神们在几何辅助线构造中的“武林秘籍”。辅助线的功能是“沟通”和“显现”，沟通这部分图形和那部分图形的关系，显现可用定理和判断的依据。在添加辅助线时，不应有思维定式，要具体情况具体分析。在初中阶段，几何图形的变换主要有：平移，对称，旋转和位似。前三种为全等变换，是今天要讲的几种辅助线方法。‎ 第一套“秘籍”：凌波微步——平移法。‎ 把图形G 上的所有点都按一定的方向移动一个相同的距离 d ，移动后的点构成的图形G'，这样的由图形G 到G' 的变换叫做平移变换，简称平移。‎ A 点经过平移变换得到点 A' 称为 A 点在该平移变换下的象，同时，A 称为 A' 的原象； 对于平移变化前后的线段，角，图形也同样引入“原象”“象”的概念。‎ 很明显，平移有以下的基本性质：‎ 1. 对线段而言，象与原象平行且相等；（平行四边形）‎ 2. 对角而言，象与原象的对应边平行且方向相同；‎ 3. 象与原象时全等图形。‎ 平移的主要功能：把分散的线段，角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个基本 图形中，产生进一步的更加深入的结果。或者，经过平移产生新的图形，而使得问题 得以转化。‎ 一．平移计算角度 例 1. Rt△ACD ， ÐC = 90° ， CE = AB ， DE = BC ，求ÐAFB 的度数.‎ 解析：‎ 例 2：△ABC ， AB = AC ， AD = DE = EC = CB ，求ÐBAC .‎ 解析：‎ 学 二．平移计算线段 例 1.‎ 四边形 ABCD ， AB ^ BC ， AD ^ DC ， △ABD 的两高 AN ， DM 交于点 H .‎ 设 BD = a ， AH = b ，求 AC .‎ 解析：‎ 例 2：‎ 四边形 ABCD ， AB = CD = 3 ， ÐABC = 2ÐADC ， ÐABC + ÐBCD = 240° ，‎ ÐB＜ÐC ，求BC .‎ 解析：‎ 三．比较线段大小 例 1 已知 AB = CD ，且 AB ^ CD 于O ，求证： BC + AD ³ ‎2 AB .‎ 解析如图：‎ 第二套“秘籍”：左右逢源——对称法 把图形G 沿着直线l 折过来，如果和图形G' 重合，那么我们称这两个图形关于直线l 对称， 这两个图形互为轴对称图形，直线l 叫做对称轴。‎ 轴对称的基本性质：‎ 1. 对应点间的线段，被对称轴垂直平分。（垂直平分线，角平分线）‎ 2. 对应线段（或延长线）的交点在对称轴上。‎ 对称变换可以使条件相对集中，也可以构造出新的图形，在图形中有角的平分线， 等腰三角形，正方形，菱形等时，就有了对称变换的基础，有时需添加辅助线以创造这个条件。‎ ‎（注：中心对称本质是旋转 180°，所以未放在这块。）‎ 一．对称法计算角度例 1‎ ‎△ABC 边BC 上一点D ， ÐABC = 42° ， ÐDAB = 27° ， DC = AB .‎ 求证： ÐACB = 42° .‎ 解析：‎ 例 2‎ 四边形 ABCD ， AB ^ AC ， AB = AC ， ÐABD = 30° ， ÐADB = 15° .‎ 求： ÐACD .‎ 解析：‎ 二．对称法计算长度例 1.‎ Rt△ABC ， ÐB = 15° ，斜边 AB = 8 ，求 AC × BC .‎ 解析：‎ 例 2‎ Rt△ABC ， ÐACB = 90° ， ÐECF = 60° ， CE = 5 ， CF = 3 ， AE = FB 求： AE .‎ 解析：‎ 例 3.‎ 四边形 ABDC ， ÐBAD = ÐCAD = 60° ， 2ÐCBD = 3ÐBCA ， AD = 5 ， AC = 2‎ 求： AB + BC .‎ 解析：‎ 三．对称法在最值问题中的应用 将军饮马等问题我们比较熟悉，时间关系，我们不再阐述。‎ 第三套“秘籍”：斗转星移——旋转法 把图形G 绕平面上一个定点O 旋转一个角度q，得到图形G' ，这样的由图形G 到图形G' 的变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，q叫做旋转角， G' 叫做G 的象； G 叫做G' 的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形。‎ 显然，旋转变换具有以下基本性质：‎ 1. 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等。‎ 2. 对应直线的交角等于旋转角。‎ 旋转变换多用再等腰三角形，正三角形，正方形等（等线段共顶点）比较规则的图形上， 其功能还是把分散的条件相对集中，以便于诸条件的综合与推演。‎ 一. 旋转法计算角度 例：△ABC 外一点 E ， AB = AC = BE ， D 在 AC 上， BD = BC ， EA = ED 求证： ÐBDE = 150° .‎ 二.旋转法计算长度 例 1‎ ‎△ABC ， ÐABC = 30° ， AB = 3 ， BC = 4 ，正△ACD ，求： BD .‎ 解析：‎ 例 2‎ 等腰Rt△ABC 外一点D ， AB = AC ， ÐADB = 45° ， AD = 4 ， BD = 3‎ 求： CD .‎ 解析：‎ 三.旋转法在最值问题中的应用 费马点等问题，时间关系，不再这里阐述。‎ 一些想法 最后，对于平面几何的学习，我们有以下一些的观点：‎ 1. 掌握足量的题型与运用几何方法是学好几何的两大法宝。‎ 2. 适当增加习题难度，攻克难题，提升能力。‎ 3. 适度“憋题”与研究答案相结合。‎ 4. 克服恐惧心理，理性分析题干主旨。‎ 5. 深刻理解几何术语的广泛意义。‎ 6. 动手作图与图形运算相结合。‎ 7. 优化——展现几何之美，也是几何能力的标志。‎ 8. 熟记模型，收集题型，归纳方法，建立体系。‎