北京市朝阳区中考数学一模试卷解析版

北京市朝阳区中考数学一模试卷解析版

‎2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是（　　）‎ A．a B．b C．c D．d ‎2．（3分）京津冀一体化是由京津唐工业基地的概念发展而来，涉及到的人口总数约为90 000 000人．将90 000 000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.9×108 B．9×107 C．90×106 D．9×106‎ ‎3．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．棱柱 B．圆锥 C．球 D．圆柱 ‎4．（3分）如图，直线l1∥l2，若∠1=70°，∠2=60°，则∠3的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎5．（3分）一个试验室在0：00﹣4：00的温度T（单位：℃）与时间t （单位：h）的函数关系的图象如图所示，在0：00﹣2：00保持恒温，在2：00﹣4：00匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为（　　）‎ A．5℃ B．10℃ C．20℃ D．40℃‎ ‎6．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）‎ A．x2﹣3=（10﹣x）2 B．x2﹣32=（10﹣x）2 C．x2+3=（10﹣x）2 D．x2+32=（10﹣x）2‎ ‎7．（3分）小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：‎ 他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是（　　）‎ A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．②④⑤‎ ‎8．（3分）如图，广场中心的菱形花坛ABCD的周长是40米，∠A=60°，则A，C两点之间的距离为（　　）‎ A．5米 B．5米 C．10米 D．10米 ‎9．（3分）某班25名同学在一周内做家务劳动时间如图所示，则做家务劳动时间的众数和中位数分别是（　　）‎ A．2和1.5 B．1.5和1.5 C．2和2.5 D．1.75和2‎ ‎10．（3分）如图1，在△ABC中，AB=BC，AC=m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为AC边上的一个动点，连接PD，PB，PE．设AP=x，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是（　　）‎ A．PD B．PB C．PE D．PC 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）分解因式：3m2﹣6m+3=　 　．‎ ‎12．（3分）某水果公司购进10 000kg苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如下表：‎ 苹果总质量n（kg）‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎1000‎ 损坏苹果质量m（kg）‎ ‎10.50‎ ‎19.42‎ ‎30.63[来源:1]‎ ‎39.24‎ ‎49.54‎ ‎101.10‎ 苹果损坏的频率（结果保留小数点后三位）‎ ‎0.105‎ ‎0.097‎ ‎0.102‎ ‎0.098‎ ‎0.099‎ ‎0.101‎ 估计这批苹果损坏的概率为　 　（结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有　 　kg．‎ ‎13．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为　 　．‎ ‎14．（3分）某同学看了下面的统计图说：“这幅图显示，从2019年到2019年A市常住人口大幅增加．”你认为这位同学的说法是否合理？答：　 　 （填“合理”或“不合理”），你的理由是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，图中的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式：　 　．‎ ‎16．（3分）阅读下面材料：‎ 在数学课上，老师提出如下问题：‎ 尺规作图：作一条线段的垂直平分线．‎ 已知：线段AB．‎ 求作：线段AB的垂直平分线．‎ 小红的作法如下：‎ 如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；‎ ‎②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；‎ ‎③作直线CD．‎ 所以直线CD就是所求作的垂直平分线．‎ 老师说：“小红的作法正确．”‎ 请回答：小红的作图依据是　 　．‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎17．（5分）计算：（）﹣1﹣（π﹣2）0+|﹣2|+2sin60°．‎ ‎18．（5分）已知x2﹣2x﹣1=0．求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）的值．‎ ‎19．（5分）解不等式组．‎ ‎20．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，AE，DF交于点O．‎ 求证：AE⊥DF．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎21．（5分）“五•一”假期的某天，小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园，已知小明家到公园的路程为15km，小东家到公园的路程为12km，小明骑车的平均速度比小东快3.5km/h，结果两人同时到达公园．求小东从家骑车到公园的平均速度．‎ ‎22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（m，2），与y轴分别交于点B．‎ ‎（1）求m和b的值；‎ ‎（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是2，请直接写出点C的坐标．[来源:1ZXXK]‎ ‎23．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．‎ ‎（1）求证：四边形ADBE是矩形；‎ ‎（2）连接DE，交AB于点O，若BC=8，AO=，求cos∠AED的值．‎ ‎24．（5分）阅读下列材料：‎ ‎2019年3月29日，习主席来到了北京市朝阳区将台乡参加首都义务植树活动，他指出爱绿护绿是每个公民的职责，造林绿化是功在当代、利在千秋的事业．首都北京一直致力于创造绿色低碳的良好生态环境，着力加大城区规划建绿.2019年，城市绿化覆盖率达到46.8%，森林覆盖率为40%，园林绿地面积67048公顷.2019年，城市绿化覆盖率比上年提高0.6个百分点，森林覆盖率为41%.2019年，城市绿化覆盖率达到48.4%，森林覆盖率为41.6%，生态环境进一步提升，园林绿地面积达到81305公顷.2019年，城市绿化覆盖率达到48.1%，森林覆盖率为42.3%，园林绿地面积比上年增加408公顷．‎ 根据以上材料解答下列问题：‎ ‎（1）2019年首都北京园林绿地面积为　 　公顷；‎ ‎（2）用统计表将2019﹣2019年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率表示出来．‎ ‎25．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：△BDF是等边三角形；‎ ‎（2）连接AF、DC，若BC=3，写出求四边形AFCD面积的思路．‎ ‎26．（5分）有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．‎ 小华根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．‎ 下面是小华的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）函数y=的自变量x的取值范围是　 　；‎ ‎（2）下表是y与x的几组对应值．‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎6‎ ‎6‎ m ‎…‎ 求m的值；‎ ‎（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；‎ ‎（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　．‎ ‎27．（7分）在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=x2﹣mx+m2+m﹣2的顶点在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点Q是x轴上一点，‎ ‎①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ=45°，求点P的坐标；‎ ‎②抛物线与直线y=2交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ=45°，求n的取值范围．‎ ‎28．（7分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE=AD，‎ ‎（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB=110°时，求∠DAE的度数；‎ ‎（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE=AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．‎ ‎①依题意补全图形；‎ ‎②求证：BF=DE．‎ ‎29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B旋转90°，分别得到线段B P1，B P2，称点P1，P2为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图．‎ ‎（1）已知点A（0，4），‎ ‎①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为　 　；‎ ‎②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；‎ ‎（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙‎ C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．‎ ‎2019年北京市朝阳区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．‎ ‎【解答】解：由图可知：c到原点O的距离最短，‎ 所以在这四个数中，绝对值最小的数是c．‎ 故选：C．‎ ‎2．‎ ‎【解答】解：90 000 000=9×107，‎ 故选：B．‎ ‎3．‎ ‎【解答】解：根据俯视图和左视图为矩形是柱体，根据主视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．‎ 故选：D．‎ ‎4．‎ ‎【解答】解：∵直线l1∥l2，‎ ‎∴∠4=∠1=70°，‎ ‎∴∠3=180°﹣∠2﹣∠4=50°，‎ 故选：B．‎ ‎5．‎ ‎【解答】解：由函数图象知t=2时，温度T=20℃，当t=4时，温度T=40℃，‎ ‎∴开始升温后试验室每小时升高的温度为=10（℃），‎ 故选：B．‎ ‎6．‎ ‎【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，‎ 根据勾股定理得：x2+32=（10﹣x）2．‎ 故选：D．‎ ‎7．‎ ‎【解答】解：∵看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，‎ ‎∴④⑤的选项重复，‎ 故选取合理的是①②③．‎ 故选：A．‎ ‎8．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O，‎ ‎∵菱形花坛ABCD的周长是40米，∠BAD=60°，‎ ‎∴AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=∠BAD=30°，AD=10米，‎ ‎∴OA=AD•cos30°=10×=5（米），‎ ‎∴AC=2OA=10米．‎ 故选：D．‎ ‎9．‎ ‎【解答】解：2小时出现了8次，出现的次数最多，则众数为2；‎ 因为共有25个人，按大小顺序排列在中间的这个同学的做家务时间是1.5小时，则中位数为1.5．‎ 故选：A．‎ ‎10．‎ ‎【解答】解：A错误，观察图2可知PD在x=取得最小值．‎ B、错误．观察图2可知PB在x=取得最小值．‎ C、正确．观察图2可知PE在x=取得最小值．‎ D、错误．观察图2可知PC在x=m取得最小值为0．‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．‎ ‎【解答】解：3m2﹣6m+3‎ ‎=3（m2﹣2m+1）‎ ‎=3（m﹣1）2．‎ 故答案为：3（m﹣1）2．‎ ‎12．‎ ‎【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以可估计苹果损坏率大约是0.1；‎ 根据题意得：‎ ‎10000×0.1=1000（kg）‎ 答：损坏的苹果约有1000kg．‎ 故答案为：0.1，1000．‎ ‎13．‎ ‎【解答】解：连接OA，如图，‎ ‎∵∠ACO=45°，OA=OC，‎ ‎∴∠ACO=∠CAO=45°，‎ ‎∴∠AOC=90°，‎ ‎∴∠B=45°．‎ 故答案为：45°‎ ‎14．‎ ‎【解答】解：这位同学的说法合理，‎ 理由：由函数图象可知函数图象上升的比较陡，从而可知从2019年到2019年A市常住人口大幅增加，‎ 故答案为：由函数图象可知函数图象上升的比较陡，从而可知从2019年到2019年A市常住人口大幅增加．‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab；‎ 故答案：（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab（答案不唯一）．‎ ‎16．‎ ‎【解答】解：如图，∵由作图可知，AC=BC=AD=BD，‎ ‎∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．‎ 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎17．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣1+2﹣+=3．‎ ‎18．‎ ‎【解答】解：原式=x2﹣2x﹣1+x2﹣4x+x2﹣4‎ ‎=3x2﹣6x﹣3‎ ‎∵x2﹣2x﹣1=0‎ ‎∴原式=3（x2﹣2x﹣1）‎ ‎=0‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：‎ 解不等式①，得x≤3． 解不等式②，得x＞﹣1；‎ ‎∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．‎ ‎20．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥DC，‎ ‎∴∠BAD+∠ADC=180°．‎ ‎∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的角平分线，‎ ‎∴∠EAD=∠BAD，∠FDA=∠ADC．‎ ‎∴∠EAD+∠FDA=90°．‎ ‎∴∠AOD=90°．‎ ‎∴AE⊥DF．‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：设小东从家骑车到公园的平均速度为xkm/h，‎ 解得，x=14，‎ 经检验x=14是原分式方程的解，‎ 答：小东从家骑车到公园的平均速度14km/h．‎ ‎22．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（m，2）在双曲线y=上，‎ ‎∴2=，得m=2，‎ ‎∵点A（2，2）直线y=x+b上，‎ ‎∴2=，得b=1，‎ 由上可得，m的值是2，b的值是1；‎ ‎（2）∵直线y=x+1与y轴交于点B，‎ ‎∴当x=0时，y=1，‎ 即点B的坐标为（0，1），‎ 又∵点C在y轴上，且△ABC的面积是2，点A（2，2），‎ ‎∴，得BC=2，‎ ‎∴点C的纵坐标为：1+2=3或1﹣2=﹣1，‎ ‎∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．‎ ‎23．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AE∥BC，BE∥AD，‎ ‎∴四边形ADBE是平行四边形．‎ ‎∵AB=AC，AD是BC边的中线，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ 即∠ADB=90°．‎ ‎∴四边形ADCE为矩形．‎ ‎（2）∵在矩形ADCE中，AO=，‎ ‎∴DE=AB=5．‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴AE=DB=4‎ ‎∴在Rt△ADE中，cos∠AED==．‎ ‎24．‎ ‎【解答】解：（1）2019年首都北京园林绿地面积为81305+408=81713公顷，‎ 故答案为：81713；‎ ‎（2）统计表如下：‎ ‎2019﹣2019年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率统计表 年份 项目 ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ ‎2019‎ 城市绿化覆盖率 ‎46.8%‎ ‎47.4%‎ ‎48.4%‎ ‎48.1%‎ 森林覆盖率 ‎40%‎ ‎41%‎ ‎41.6%‎ ‎42.3%‎ ‎25．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE，如图，‎ ‎∵AC切⊙O于点E，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ ‎∴∠OEA=90°，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠AOE=60°，∠B=60°，‎ ‎∵OD=OE，‎ ‎∴△ODE为等边三角形，‎ ‎∴∠ODE=60°，‎ ‎∴△BDF是等边三角形；‎ ‎（2）解：如图，作DH⊥AC于点H，如图，‎ ‎①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，可求AB，AC的长；‎ ‎②由∠AEO=90°，∠OAE=30°，可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的长；‎ ‎③由（1）可知BF=BD，可求CF的长；‎ ‎④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积．‎ ‎26．‎ ‎【解答】解：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≠2，‎ 故答案为：x≠2；‎ ‎（2）当x=7时，y===；‎ ‎∴m=；‎ ‎（3）该函数的图象如下图所示：‎ ‎（4）答案不唯一，函数图象关于直线x=2对称．‎ 故答案为：函数图象关于直线x=2对称．‎ ‎27．‎ ‎【解答】解：（1）y=x2﹣mx+m2+m﹣2=（x﹣m）2+m﹣2，‎ 由题意，可得m﹣2=0．‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴y=（x﹣2）2．‎ ‎（2）①由题意得，点P是直线y=x与抛物线的交点．‎ ‎∴x=（x﹣2）2，‎ 解得x1=3+，x2=3﹣．‎ ‎∴P点坐标为（3+，3+）或（3﹣，3﹣）．‎ ‎②∵∠POQ=45°，‎ ‎∴E点或F点的横、纵坐标的绝对值相等，‎ ‎∴当E点移动到点（2，2）时，n=2．‎ 当F点移动到点（﹣2，2）时，n=﹣6．[来源:Z#xx#k.Com]‎ 由图象可知，符合题意的n的取值范围是﹣6≤n≤2．‎ ‎28．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠AEB=110°，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠DAE=∠AEB﹣∠ACB=20°；‎ ‎（2）①补全图形，如图所示．‎ ‎②证明：由题意可知∠AEF=90°，EF=AE．‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°．‎ ‎∴∠BEF=∠DAE．‎ ‎∵在△EBF和△ADE中，‎ ‎∴△EBF≌△ADE（SAS）．‎ ‎∴DE=BF．‎ ‎29．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1中，作P1M⊥x轴于M．‎ ‎∵AB=BP1，∠AOB=∠P1MB=90°，易证∠ABO=∠P1，‎ ‎∴△ABO≌△BP1M，‎ ‎∴OA=BM，OB=P1M，‎ 当A（0，4），B（1，0）时，BM=4，P1M=1，OM=5，‎ ‎∴P1（5，1），‎ ‎∵P2与P1关于B对称，‎ ‎∴P2（﹣3，﹣1），‎ 当A（0，4），B（﹣2，0）时，同法可得P1（2，﹣2），P2（﹣6，2），‎ 故答案为（5，1），（﹣3，﹣1）和（2，﹣2），（﹣6，2）‎ ‎②如图2中，取N（4，0），则OA=ON，作P1M⊥x轴于M．‎ ‎∵△ABO≌△BP1M，‎ ‎∴OA=BM=ON，OB=P1M，‎ ‎∴OB=MN=P1M，‎ ‎∴△P1MN是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠P1NM=45°，‎ ‎∴点P1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，‎ 易知这条直线的解析式为y=x﹣4，‎ ‎∴P1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x﹣4，‎ 同法可得P2（x，y），在直线y=﹣x﹣4，‎ ‎∴y与x之间的关系式：y=x﹣4或y=﹣x﹣4．‎ ‎（2）如图3中，‎ 由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”P（x，y），‎ y与x之间的关系式：y=x﹣m或y=﹣x﹣m，‎ 由题意可知，当直线y=x﹣m或y=﹣x﹣m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，‎ 易知相切时m=±1或±5，‎ 观察图象可知，满足条件的m的范围为：﹣5≤m≤﹣1或1≤m≤5．‎