挑战压轴题中考数学压轴题精选精析

挑战压轴题中考数学压轴题精选精析

中考数学压轴题精选精析 25．（2010 广东广州，25，14 分）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 （3，0），（0，1），点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 y ＝－ 1 2 x ＋b 交折线 OAB 于点 E． （1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与b 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1， 试探究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该 重叠部分的面积；若改变，请说明理由. C D B AEO x y 【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点 E 在 OA 边上， 只需求出这个三角形的底边 OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公 式即可；②如果点 E 在 AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、 △OAE、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定 重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化． 【答案】（1）由题意得 B（3，1）． 若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝ 3 2 若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝ 5 2 若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1 ①若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ 3 2 ，如图 25-a， 图 1 此时 E（2b，0） ∴S＝ 1 2 OE·CO＝ 1 2 ×2b×1＝b ②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 3 2 ＜b＜ 5 2 ，如图 2 图 2 此时 E（3， 3 2b  ），D（2b－2，1） ∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[ 1 2 (2b－1)×1＋ 1 2 ×(5－2b)·( 5 2 b )＋ 1 2 ×3( 3 2b  )]＝ 25 2 b b ∴ 2 31 2 5 3 5 2 2 2 b b S b b b         （2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，则矩形 OA1B1C1 与 矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 图 3 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形 DNEM 为菱形． 过点 D 作 DH⊥OA，垂足为 H， 由题易知，tan∠DEN＝ 1 2 ，DH＝1，∴HE＝2， 设菱形 DNEM 的边长为 a， 则在 Rt△DHM 中，由勾股定理知： 2 2 2(2 ) 1a a   ，∴ 5 4a  ∴S 四边形 DNEM＝NE·DH＝ 5 4 ∴矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 5 4 ． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化， 关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养 学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度． 【推荐指数】★★★★★ （10 浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线 y＝－ 1 2 x2＋x＋4 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于 点 B． （1）求 A、B 两点的坐标，并求直线 AB 的解析式； （2）设 P（x，y）（x＞0）是直线 y＝x 上的一点，Q 是 OP 的中点（O 是原点），以 PQ 为对角线作正方形 PEQF，若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，求 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形 PEQF 与△OAB 公共部分的面积为 S，求 S 关于 x 的函 数解析式，并探究 S 的最大值． （10 重庆潼南）26.（12 分）如图, 已知抛物线 cbxxy  2 2 1 与 y 轴相交于 C，与 x 轴 相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D，连结 DC，当△DCE 的面积最 大时，求点 D 的坐标； （3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标， 若不存在，说明理由. AB C E D x y o 题图26 AB C x y o 备用图 （10 重庆潼南）26. 解：（1）∵二次函数 cbxxy  2 2 1 的图像经过点 A（2，0）C(0,－ 1) ∴      1 022 c cb 解得： b=－ 2 1 c=－1-------------------2 分 ∴二次函数的解析式为 12 1 2 1 2  xxy --------3 分 （2）设点 D 的坐标为（m，0） （0＜m＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC 得， OC DE AO AD  --------------4 分 ∴ 12 2 DEm  ∴DE= 2 2 m -----------------------------------5 分 ∴△CDE 的面积= 2 1 × 2 2 m ×m = 24 2 mm  = 4 1)1(4 1 2  m 当 m=1 时，△CDE 的面积最大 ∴点 D 的坐标为（1，0）--------------------------8 分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 12 1 2 1 2  xxy 设 y=0 则 12 1 2 10 2  xx 解得：x1=2 x2=－1 ∴点 B 的坐标为（－1，0） C（0，－1） 设直线 BC 的解析式为：y=kx＋b ∴      1 0 b bk 解得：k=-1 b=-1 ∴直线 BC 的解析式为: y=－x－1 在 Rt△AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC= 5 ∵点 B(－1,0) 点 C（0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点 C 为顶点且 PC=AC= 5 时， 设 P(k, －k－1) 过点 P 作 PH⊥y 轴于 H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在 Rt△PCH 中 k2+k2=  2 5 解得 k1= 2 10 ， k2=－ 2 10 ∴P1（ 2 10 ，－ 12 10  ） P2（－ 2 10 ， 12 10  ）---10 分 ②以 A 为顶点，即 AC=AP= 5 设 P(k, －k－1) 过点 P 作 PG⊥x 轴于 G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣ 在 Rt△APG 中 AG2＋PG2=AP2 （2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, －2) ----------------------------------11 分 ③以 P 为顶点，PC=AP 设 P(k, －k－1) 过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q PL⊥x 轴于点 L ∴L(k,0) ∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA= 2 k ∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜ 在 Rt△PLA 中 ( 2 k)2=(k－2)2＋(k＋1)2 解得：k= 2 5 ∴P4( 2 5 ,－ 2 7 ) ------------------------12 分 综上所述： 存在四个点：P1（ 2 10 ，－ 12 10  ） P2（- 2 10 ， 12 10  ） P3(1, －2) P4( 2 5 ,－ 2 7 ) （10 四川宜宾）24．(本题满分 l2 分)将直角边长为 6 的等腰 Rt△AOC 放在如图所示的平面 直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C、A 分别在 x、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A、 C 及点 B(–3，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当 △APE 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最 大面积相等?若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由． 24 题图 （10 浙江宁波）26、如图 1、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，□ABCD 的顶点 A 的坐标 为（－2，0），点 D 的坐标为（0， 32 ），点 B 在 x 轴的正半轴上，点 E 为线段 AD 的 中点，过点 E 的直线l 与 x 轴交于点 F，与射线 DC 交于点 G。 （1）求 DCB 的度数; （2）连结 OE，以 OE 所在直线为对称轴，△OEF 经轴对称变换后得到△ FOE  ，记直线 FE  与射线 DC 的交点为 H。 ①如图 2，当点 G 在点 H 的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG 的面积为 33 ，请直接写出点 F 的坐标。 26、解：（1） 60 （2）（2， 32 ） （3）①略 ②过点 E 作 EM⊥直线 CD 于点 M ∵CD∥AB ∴  60DABEDM ∴ 32 3260sin  DEEm ∵ 3332 1 2 1  GHMEGHS EGH ∴ 6GH ∵△DHE∽△DEG ∴ DE DH DG DE  即 DHDGDE 2 当点 H 在点 G 的右侧时，设 xDG  ， 6 xDH ∴ )6(4  xx 解： 11321331 x ∴点 F 的坐标为（ 113  ，0） 当点 H 在点Ｇ的左侧时，设 xDG  ， 6 xDH ∴ )6(4  xx 解： 1331 x ， 1331 x （舍） ∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ∴ 133  DGAF ∵ 5132133  AFAOOF ∴点Ｆ的坐标为（ 513  ，0） 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是 1F （ 113  ，0）， 2F （ 513  ，0） y x CD A O B E G F （图 1） x CD A O B E G H F F y （图 2） x CD A O B E y （图 3） x CD A O B E y （图 3） Ｍ （10 江苏南通）28．（本小题满分 14 分）已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A（－4，3）、B（2， 0）两点，当 x=3 和 x=－3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点 C（0，－2）的 直线 l 与 x 轴平行，O 为坐标原点． （1）求直线 AB 和这条抛物线的解析式； （2）以 A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A，判断直线 l 与⊙A 的位置关系，并说明理由； （3）设直线 AB 上的点 D 的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上的动点， 当 △PDO 的周长最小时，求四边形 CODP 的面积． （10 浙江义乌）24．如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B（6， 3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标； （2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移， 分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1．设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A1、 B1 的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含 S 的代数式表示 2x － 1x ， 并求出当 S=36 时点 A1 的坐标； （3）在图 1 中，设点 D 坐标为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度 沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动．P、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动．设 P、Q 两点的 运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与 直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴．．．围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值； 若不存在，请说明理由． －1 y xO （第 28 题） 1 2 3 4 －2 －4 －3 3 －1 －2－3－4 41 2 图 2 O1 A1 O y x B1C1 D M C B AO y x 图 1 D M （10 浙江义乌）24．解：（1）对称轴：直线 1x  ……………………………………………………..… 1 分 解析式： 21 1 8 4y x x  或 21 1( 1)8 8y x   ……………………………….2 分 顶点坐标：M（1， 1 8  ）……….…………………………………………..3 分 （2）由题意得 2 1 3y y  2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 8 4 8 4y y x x x x      3……………………………………..1 分 得： 2 1 2 1 1 1( )[ ( ) ] 38 4x x x x    ①…………….………………….……2 分 1 2 1 2 2( 1 1) 3( ) 62 x xs x x       得： 1 2 23 sx x   ②….………………………………………..………..3 分 把②代入①并整理得： 2 1 72x x s   (S＞0) (事实上，更确切为 S＞6 6 )4 分 当 36s  时， 2 1 2 1 14 2 x x x x      解得： 1 2 6 8 x x    (注：S＞0 或 S＞6 6 不写 不扣 分) 把 1 6x  代入抛物线解析式得 1 3y  ∴点 A1（6，3）………5 分 （3）存在………………………………………………………………….…..……1 分 解法一：易知直线 AB 的解析式为 3 3 4 2y x  ，可得直线 AB 与对称轴的 交点 E 的坐标为 31, 4     ∴BD=5，DE=15 4 ，DP=5－t，DQ= t 当 PQ ∥ AB 时， DQ DP DE DB  5 15 5 4 t t 得 15 7t  ………2 分 下面分两种情况讨论: 设直线 PQ 与直线 AB、x 轴的交点分别为点 F、G ①当 0  15 7t  时，如图 1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ ∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴ DQ DP DB DE  ∴ 5 155 4 t t 得 20 15 7 7t   ∴ 20 7t  (舍去)…………………………3 分 CBAOyx图DMEPQ F G x y O x＝1 第 25 题 A C B 2 当15 7  1 8t   时，如图 1-2 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ∴ DQ DP DB DE  ∴ 5 155 4 t t ， ∴ 20 7t  ∴当 20 7t  秒时，使直线 PQ 、直线 AB 、 x 轴围成的三角形与直线 PQ 、 直 线 AB 、 抛 物 线 的 对 称 轴 围 成 的 三 角 形 相 似………………………………4 分 (注:未求出 15 7t  能得到正确答案不扣分) 解法二：可将 2 8 4 x xy   向左平移一个单位得到 2 1 8 8 xy   ,再用解法一 类似的方法可求得 2 1 72x x S    , 1 (5,3)A , 20 7t  ∴ 2 1 72x x S   1(6,3)A , 20 7t  . （10 安徽省卷）23.如图，已知△ABC∽△ 111 CBA ，相似比为 k （ 1k ），且△ABC 的三边 长分别为 a、b 、 c （ cba  ），△ 111 CBA 的三边长分别为 1a 、 1b 、 1c 。 ⑴若 1ac  ，求证： kca  ； ⑵若 1ac  ，试给出符合条件的一对△ABC 和△ 111 CBA ，使得 a、b 、c 和 1a 、 1b 、 1c 进都 是正整数，并加以说明； ⑶若 1ab  ， 1bc  ，是否存在△ABC 和△ 111 CBA 使得 2k ？请说明理由。 （10 山东聊城）25．（本题满分 12 分）如图，已知抛 物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝1，且抛物线经过 A（—1，0）、B（0，—3） 两点，与 x 轴交于另一点 B． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴 x＝1 上求一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小， 并求出此时点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x＝1 上的一动点，求使∠PCB＝90°的点 P 的坐标． （10 四川眉山）26．如图，Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半 轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（ 3 ，0）、（0，4），抛物线 22 3y x bx c   经过 B 点，且顶点在直线 5 2x  上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若△DCE 是由△ABO 沿 x 轴向右平移得到的，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 M 作 MN 平行于 y 轴交 CD 于点 N．设点 M 的横坐标为 t，MN 的长度为 l．求 l 与 t 之间的函数关系式，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标． 26．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 22 5( )3 2y x m   …（1 分） ∴ 22 54 ( )3 2 m    ∴ 1 6m   ……………………………………………………………（3 分） ∴所求函数关系式为： 2 22 5 1 2 10( ) 43 2 6 3 3y x x x      …………（4 分） （2）在 Rt△ABO 中，OA=3，OB=4， ∴ 2 2 5AB OA OB   ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5 分） ∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6 分） 当 5x  时， 22 105 5 4 43 3y       当 2x  时， 22 102 2 4 03 3y       ∴点 C 和点 D 在所求抛物线上． …………………………（7 分） （3）设直线 CD 对应的函数关系式为 y kx b  ，则 5 4 2 0 k b k b      解得： 4 8,3 3k b   ． ∴ 4 8 3 3y x  ………（9 分） ∵MN∥y 轴，M 点的横坐标为 t， ∴N 点的横坐标也为 t． 则 22 10 43 3My t t   ， 4 8 3 3Ny t  ，……………………（10 分） ∴ 2 2 24 8 2 10 2 14 20 2 7 34 ( )3 3 3 3 3 3 3 3 2 2N Ml y y t t t t t t                  ∵ 2 03   ， ∴当 7 2t  时， 3 2l 最大 ， 此时点 M 的坐标为（ 7 2 ， 1 2 ）． ………………………………（12 分） （10 浙江杭州）24. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的解析式是 y = 2 4 1 x +1， 点 C 的坐标为(–4，0)，平行四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物 线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在 x 轴上. (1) 写出点 M 的坐标； (2) 当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时. ① 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围； ② 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为 1：2 时，求 t 的值. 24. (本小题满分 12 分) (1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，且 AB = OC = 4， ∵A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是 2 和– 2， 代入 y = 2 4 1 x +1 得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M(0，2)， (2) ① 过点 Q 作 QH  x 轴，设垂足为 H， 则 HQ = y ，HP = x–t ， 由△HQP∽△OMC，得： 42 txy  , 即： t = x – 2y , ∵ Q(x,y) 在 y = 2 4 1 x +1 上 ， ∴ t = – 2 2 1 x + x –2. ---2 分 当点 P 与点 C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得 x = 1 5 , 当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x =  2 （第 24 题） （第 24 题） ∴x 的 取 值 范 围 是 x  1 5 , 且 x 2 的 所 有 实 数 . ---2 分 ② 分两种情况讨论： 1）当 CM > PQ 时，则点 P 在线段 OC 上， ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ， ∴点 M 纵坐标为点 Q 纵坐标的 2 倍，即 2 = 2( 2 4 1 x +1)，解得 x = 0 ， ∴t = – 202 1 + 0 –2 = –2 . --- 2 分 2）当 CM < PQ 时，则点 P 在 OC 的延长线上， ∵CM∥PQ，CM = 2 1 PQ， ∴ 点 Q 纵 坐 标 为 点 M 纵 坐 标 的 2 倍 ， 即 2 4 1 x +1=22 ， 解 得 ： x =  32 . ---2 分 当 x = – 32 时，得 t = – 2)32(2 1 – 32 –2 = –8 – 32 , 当 x = 32 时 ， 得 t = 32 –8. ---2 分 （10 浙江温州）24．(本题 l4 分)如图，在 RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BBl∥AC．动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连结 DG．设点 D 运动的时间为 t 秒． (1)当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长度； (2)当△DEG 与△ACB 相似时，求 t 的值； (3)以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后的图形为 A′C′． ①当 t> 5 3 时，连结 C′C，设四边形 ACC′A ′的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式； ②当线段 A ′C ′与射线 BB，有公共点时，求 t 的取值范围(写出答案即可)． （10 重庆）26．已知：如图（1），在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边△OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点 C 在第四象限，OC ＝AC，∠C＝120°．现有两动点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单 位的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A→O→B 运动，当其中一个 点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积 S 与运动的时间 t 之间的函数关系，并写出自变 量 t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出 所有符合条件的点 D 的坐标； （3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与 OB、AB 交于点 M、N，连接 MN．将∠ MCN 绕着 C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB 上．试 判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发 生变化，请说明理由． （10 安徽芜湖）24．（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO，其 顶点为 A（0，1）、B（－3 3，1）、C（－3 3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过 E（－ 3，1）、F（－4 3 3 ，0）的直线 EF 向右下方翻折，B、C 的对应点分别为 B′、C′． （1）求折痕所在直线 EF 的解析式； （2）一抛物线经过 B、E、B′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线 EF 上求一点 P，使得△PBC 周长最小？如能，求出点 P 的坐标；若不能， 说明理由． 解： （10 甘肃兰州）28.（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、 AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3；抛物线 cbxxy  2 经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E（4,0） （1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平 行移动，同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时 间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）. ① 当 4 11t 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； ② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的 坐标；若无可能，请说明理由． 图 1 第 28 题图 图 2 28. （本题满分 11 分） 解：（1）因抛物线 cbxxy  2 经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0） 故可得 c=0,b=4 所以抛物线的解析式为 xxy 42  …………………………………………1 分 由 xxy 42   22 4y x   得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分 （2）① 点 P 不在直线 ME 上. 已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得      42 04 bk bk ，解得      8 2 b k 所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. …………………………………………3 分 由已知条件易得，当 4 11t 时，OA=AP= 4 11 ， )4 11,4 11(P …………………4 分 ∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. ∴ 当 4 11t 时，点 P 不在直线 ME 上. ……………………………………5 分 ②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5 ∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分 ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7 分 （ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形 的高为 AD，∴ S= 2 1 DC·AD= 2 1 ×3×2=3. （ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S= 2 1 (CD+PN)·AD= 2 1 [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分 当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分 而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5 综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5， 当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分 当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分 说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ） 也可以,不扣分） （10 江苏盐城）28．（本题满分 12 分）已知：函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点． 1 -2 1 A x y O B P M C Q E D （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次．．函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A，P 为图象上 的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标； （3）在(2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物 线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由． 28．解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分) 当a≠0时，△=1- 4a=0，a = 1 4 ，此时，图象与x轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=1 4 x2+x+1……（3 分） （2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC⊥x 轴于点C． ∵y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y=1 4 x2+x+1，则顶点为 B（-2，0），图象与 y 轴的交点 坐标为 A（0，1）………（4 分） ∵以 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B ∴PB⊥AB 则∠PBC=∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA ∴ AO BC OB PC  ，故 PC=2BC，……………………………………………………（5 分） 设 P 点的坐标为(x，y)，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x<-2 ∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即 y=-4-2x， P 点的坐标为(x，-4-2x) ∵点 P 在二次函数 y=1 4 x2+x+1 的图象上，∴-4-2x=1 4 x2+x+1…………………（6 分） 解之得：x1=-2，x2=-10 ∵x<-2 ∴x=-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7 分） （3）点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………………………………（8 分） 由（2）知：C 为圆与 x 轴的另一交点，连接 CM，CM 与直线 PB 的交点为 Q，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 D，取 CD 的中点 E，连接 QE，则 CM⊥PB，且 CQ=MQ ∴QE∥MD，QE=1 2 MD，QE⊥CE ∵CM⊥PB，QE⊥CE PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB ∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =1 2 CE=2QE=2×2BE=4BE，又 CB=8，故 BE=8 5 ，QE=16 5 A x y OB ∴Q 点的坐标为(-18 5 ，16 5 ) 可求得 M 点的坐标为(14 5 ，32 5 )…………………………………………………（11 分） ∵1 4 (14 5 )2+(14 5 )+1 =144 25 ≠32 5 ∴C 点关于直线 PB 的对称点 M 不在抛物线y=ax2+x+1 上……………………（12 分） (其它解法，仿此得分) （10 浙江台州）24．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点 P，Q 都是斜边 AB 上的 动点，点 P 从 B 向 A 运动（不与点 B 重合），点 Q 从 A 向 B 运动，BP=AQ．点 D，E 分别是 点 A，B 以 Q，P 为对称中心的对称点， HQ⊥AB 于 Q，交 AC 于点 H．当点 E 到达顶点 A 时， P，Q 同时停止运动．设 BP 的长为 x，△HDE 的面积为 y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求 y 关于 x 的函数解析式并求 y 的最大值； （3）当 x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？ 24．（14 分）（1）∵A、D 关于点 Q 成中心对称，HQ⊥AB， ∴ CHQD  =90°，HD=HA， ∴ AHDQ  ，…………………………………………………………………………3 分 ∴△DHQ∽△ABC． ……………………………………………………………………1 分 （2）①如图 1，当 5.20  x 时， ED= x410  ，QH= xAAQ 4 3tan  ， 此时 xxxxy 4 15 2 3 4 3)410(2 1 2  ． …………………………………………3 分 当 4 5x 时，最大值 32 75y ． ②如图 2，当 55.2  x 时， ED= 104 x ，QH= xAAQ 4 3tan  ， 此时 xxxxy 4 15 2 3 4 3)104(2 1 2  ． …………………………………………2 分 当 5x 时，最大值 4 75y ． （第 24 题） H （图 1） （图 2） ∴y 与 x 之间的函数解析式为         ).55.2(4 15 2 3 ),5.20(4 15 2 3 2 2 xxx xxx y y 的最大值是 4 75 ．……………………………………………………………………1 分 （3）①如图 1，当 5.20  x 时， 若 DE=DH，∵DH=AH= xA QA 4 5 cos  ， DE= x410  ， ∴ x410  = x4 5 ， 21 40x ． 显然 ED=EH，HD=HE 不可能； ……………………………………………………1 分 ②如图 2，当 55.2  x 时， 若 DE=DH， 104 x = x4 5 ， 11 40x ； …………………………………………1 分 若 HD=HE，此时点 D，E 分别与点 B，A 重合， 5x ； ………………………1 分 若 ED=EH，则△EDH∽△HDA， ∴ AD DH DH ED  ， x x x x 2 4 5 4 5 104  ， 103 320x ． ……………………………………1 分 ∴当 x 的值为 103 320,5,11 40,21 40 时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分） （10 浙江金华）24. (本题 12 分) 如图，把含有 30°角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中，A，B 两点坐标分别为 （3，0）和(0，3 3 ）.动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动，点 P 在 AO，OB， BA 上运动的速度分别为 1， 3 ，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘 l 从 x 轴的位置 开 始以 3 3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持 l∥x 轴），且分别与 OB， AB 交于 E，F 两点﹒设动点 P 与动直线 l 同时出发，运动时间为 t 秒，当点 P 沿折线 AO-OB-BA 运动一周时，直线 l 和动点 P 同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过 A，B 两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当 t﹦4 时，点 P 的坐标为 ▲ ；当 t ﹦ ▲ ，点 P 与点 E 重合； （3）① 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P′. 在运动过程中，若形成的四边形 PEP′F 为 菱形，则 t 的值是多少？ ② 当 t﹦2 时，是否存在着点 Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点 Q 的 坐标； 若不存在，请说明理由． 24．(本题 12 分) 解：（1） 333  xy ；………4 分 （2）（0, 3 ）， 2 9t ；……4 分（各 2 分） （3）①当点 P 在线段 AO 上时，过 F 作 FG ⊥ x 轴， G 为垂足（如图 1） ∵ FGOE  , FPEP  ,∠ EOP ∠ FGP 90° ∴△ EOP ≌△ FGP ，∴ PGOP  ﹒ 又∵ tFGOE 3 3 ,∠ A 60°,∴ tFGAG 3 1 60tan 0  而 tAP  ，∴ tOP  3 , tAGAPPG 3 2 由 tt 3 23  得 5 9t ；………………………………………………………………1 分 当点 P 在线段 OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点 P 在线段 BA 上时， 过 P 作 PH ⊥ EF ， PM ⊥ OB ， H 、 M 分别为垂足（如图 2） ∵ tOE 3 3 ,∴ tBE 3 333  ,∴ 33 60tan 0 tBEEF  ∴ 6 9 2 1 tEFEHMP  ， 又∵ )6(2  tBP 在 Rt△ BMP 中， MPBP  060cos 即 6 9 2 1)6(2 tt  ，解得 7 45t ．…………………………………………………1 分 ②存在﹒理由如下： ∵ 2t ，∴ 33 2OE , 2AP ， 1OP 将△ BEP 绕点 E 顺时针方向旋转 90°，得到 △ ECB （如图 3） B F AP E O x y l ( 第 24 题 图) y B F AP E O x y G P′P′ (图 1) B F A P E O x y M P′ H （图 2) B F AP E O x Q′ B′ QC C1 D1 (图 3) ∵ OB ⊥ EF ，∴点 B在直线 EF 上， C 点坐标为（ 33 2 ， 33 2 －1） 过 F 作 FQ ∥ CB ，交 EC 于点 Q, 则△ FEQ ∽△ ECB 由 3 QE CE FE EB FE BE ，可得 Q 的坐标为（－ 3 2 ， 3 3 ）………………………1 分 根据对称性可得，Q 关于直线 EF 的对称点 Q（－ 3 2 ， 3 ）也符合条件．……1 分 （10 山东烟台）26、（本题满分 14 分） 如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点 A（1,0），B(0,-3),与 x 轴交于另一点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使△PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角 梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 （10 江苏泰州）27.（12 分） （10 江苏泰州）28.（14 分）如图，⊙O 是 O 为圆心，半径为 5 的圆，直线 y kx b  交 坐标轴于 A、B 两点。 (1)若 OA=OB ①求 k ②若 b=4，点 P 为直线 AB 上一点，过 P 点作⊙O 的两条切线，切点分别这 C、D，若∠ CPD=90°，求点 P 的坐标； (2)若 1 2k   ，且直线 y kx b  分⊙O 的圆周为 1：2 两部分，求 b. （10 江苏淮安）28．(本小题满分 12 分) 如题 28(a)图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为(12，0)，点 B 坐标为(6，8)，点 C 为 OB 的中点，点 D 从点 O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以 2 个单位长度／秒的速 度运动一周． (1)点 C 坐标是( ， )，当点 D 运动 8.5 秒时所在位置的坐标是( ， )； (2)设点 D 运动的时间为 t 秒，试用含 t 的代数式表示△OCD 的面积 S,并指出 t 为何值 时，S 最大； (3)点 E 在线段 AB 上以同样速度由点 A 向点 B 运动，如题 28(b)图，若点 E 与点 D 同时 出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以 点 A．O 为对应顶点的情况)： 题 28(a)图 题 28(b)图 （10 江苏扬州）28．（本题满分 12 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD 是斜 边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与△ABC 的直角边相交于点 F，设 AE ＝x，△AEF 的面积为 y． （1）求线段 AD 的长； （2）若 EF⊥AB，当点 E 在线段 AB 上移动时， ①求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ②当 x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值； （3）若 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 两点均不重合），点 E 在斜边 AB 上移动，试问：是 否存在直线 EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直 线 EF，请说明理由． （10 湖南衡阳）23．（11 分）已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC△ 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止），过点 M N、 分别作 AB 边的垂线，与 ABC△ 的 其它边交于 P Q、 两点，线段 MN 运动的时间为t 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面 积； （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为 t ．求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． C P Q BA M NC P Q BA M N （10 江苏苏州）29．(本题满分 9 分)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B．已知 A、 B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式； (2)设 M(m，n)是抛物线上的一点(m、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以 M、B、 O、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P，PA2+PB2+PM2＞28 是 否总成立?请说明理由． 1． 已知：抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    ，顶点 (1, 4)C  ，与 x 轴交于 A、B 两点， ( 1,0)A  。 （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线的对称轴交于点 F，依 次连接 A、D、B、E，点 Q 为线段 AB 上一个动点（Q 与 A、B 两点不重合），过点 Q 作QF AE 于 F ，QG DB 于G ，请判断 QF QG BE AD  是否为定值；若是， 请求出此定值，若不是，请说明理由； （3） 在（2）的条件下，若点 H 是线段 EQ 上一点，过点 H 作 MN EQ ， MN 分别 与边 AE 、 BE 相交于 M 、 N ，（ M 与 A 、 E 不重合， N 与 E 、B 不重合）， 请判断 QA EM QB EN  是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 C P Q BA M N （10 云南楚雄）24、（本小题 13 分）已知：如 图，⊙A 与 y 轴交于 C、D 两点，圆心 A 的坐标 为（1，0）， ⊙A 的半径为 5 ，过点 C 作⊙A 的切线交 x 于 点 B（－4，0）。 （1）求切线 BC 的解析式； （2）若点 P 是第一象限内⊙A 上一点，过点 P 作⊙A 的切线与直线 BC 相交于点 G，且∠ CGP=120°，求点 G 的坐标； （3）向左移动⊙A（圆心 A 始终保持在 x 上），与直线 BC 交于 E、F，在移动过程中是否存 在点 A，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由。 （10 上海）25．如图 9，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°.半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D， 与边 AC 相交于点 E，连结 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P. （1）当∠B＝30°时，连结 AP，若△AEP 与△BDP 相似，求 CE 的长； （2）若 CE=2，BD=BC，求∠BPD 的正切值； 第 26 题图 A B x G F M H E N Q O D C y （3）若 1tan 3BPD  ，设 CE=x，△ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式. 图 9 图 10( 备 用 ) 图 11(备用) （10 辽宁丹东）26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H 的坐标为（－8，0）， 点 N 的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O 旋转 180°的图形 OABC，并写出顶点 A，B，C 的坐标（点 M 的对应点为 A， 点 N 的对应点为 B， 点 H 的对应点为 C）； （2）求出过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （3）截取 CE=OF=AG=m，且 E，F，G 分别在线段 CO，OA，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；面积 S 是否存在最小值?若 存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形 BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．写出 此时 m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由． 26．（1） 利用中心对称性质，画出梯形 OABC． ··················································· 1 分 ∵A，B，C 三点与 M，N，H 分别关于点 O 中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ····························································3 分 （写错一个点的坐标扣 1 分） 第 26 题图 O MN H A CE F D B ↑ →－8 (－6，－4) x y （2）设过 A，B，C 三点的抛物线关系式为 2y ax bx c   ， ∵抛物线过点 A（0，4）， ∴ 4c  ．则抛物线关系式为 2 4y ax bx   ． ···········································4 分 将 B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 36 6 4 4 64 8 4 0 a b a b        ， ．·····················································································5 分 解得 1 4 3 2 a b      ， ． ························································································ 6 分 所求抛物线关系式为： 21 3 44 2y x x    ．··············································· 7 分 （3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ·················································8 分 ∴ AGF EOF BECEFGB ABCOS S S S S   △ △ △四边形 梯形 2 1 OA（AB+OC） 1 2  AF·AG 1 2  OE·OF 1 2  CE·OA mmmmm 42 1)8(2 1)4(2 18642 1  ）（ 2882  mm （ 0＜ m ＜4） ········································· 10 分 ∵ 2( 4) 12S m   ． ∴当 4m  时，S 的取最小值． 又∵0＜m＜4，∴不存在 m 值，使 S 的取得最小值． ······································ 12 分 （4）当 2 2 6m    时，GB=GF，当 2m  时，BE=BG．··································14 分 （10 湖南益阳）20.如图 9，在平面直角坐标系中，已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A（－2， 0），B（6，0），C（0，3）. (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作 CD 平行于 x 轴交抛物线于点 D，写出 D 点的坐标，并求 AD、BC 的交点 E 的 坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形 CEDP 的形状，并说明理由. 20．解：⑴ 由于抛物线经过点 )3,0(C ，可设抛物线的解析式为 )0(32  abxaxy ， 则      03636 0324 ba ba ， 解得      1 4 1 b a ∴抛物线的解析式为 34 1 2  xxy ……………………………4 分 ⑵ D 的坐标为 )3,4(D ……………………………5 分 直线 AD 的解析式为 12 1  xy 直线 BC 的解析式为 32 1  xy 由        32 1 12 1 xy xy 求得交点 E 的坐标为 )2,2( ……………………………8 分 ⑶ 连结 PE 交CD 于 F ， P 的坐标为 )4,2( 又∵ E )2,2( ， )3,4(),3,0( DC ∴ ,1 EFPF 2 FDCF ，且 PECD  ∴四边形CEDP 是菱形 ……………………………12 分 （10 江苏连云港）28．（本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为 2．函数 y＝－x＋2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为 AB 上一动点 （1）连接 CO，求证：CO⊥AB； P A C D E B o x y 1 1 1 9图 A B x P O · ·C y （2）若△POA 是等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）当直线 PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线 PO 与⊙C 相交时，设交点为 E、 F，点 M 为线段 EF 的中点，令 PO＝t，MO＝s，求 s 与 t 之间的函数关系，并写出 t 的取值范围． （10 江苏宿迁）28．（本题满分 12 分）已知抛物线 cbxxy  2 交 x 轴于 )0,1(A 、 )0,3(B ， 交 y 轴于点C ，其顶点为 D ． （1）求b 、 c 的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接 BC ，过点O 作直线 BCOE  交抛物线的对称轴于点 E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形； （3）问 Q 抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的 3 1 ？若 存在，求出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 28、（1）求出： 4b ， 3c ，抛物线 的对称轴为：x=2 ………………3 分 (2) 抛物线的解析式为 342  xxy ，易得 C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1） 设抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（2，0），连接 OD，DB，BE ∵  OBC 是等腰直角三角形，  DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD= 45 ∴OE∥BD ∴四边形 ODBE 是梯形 ………………5 分 在 ODFRt 和 EBFRt 中， OD= 512 2222  DFOF ，BE= 512 2222  FBEF ∴OD= BE ∴四边形 ODBE 是等腰梯形 ………………7 分 (3) 存在， ………………8 分 由题意得： 2 9332 1 2 1  DEOBS ODBE四边形 ………………9 分 设点 Q 坐标为（x，y）， （第 28 题） （第 28 题 2） 由题意得： yyOBS OBQ 2 3 2 1 三角形 = 2 3 2 9 3 1 3 1 ODBES四边形 ∴ 1y 当 y=1 时，即 1342  xx ，∴ 221 x ， 222 x ， ∴Q 点坐标为（2+ 2 ，1）或(2- 2 ，1) ………………11 分 当 y=-1 时，即 1342  xx ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1） 综上所述，抛物线上存在三点 Q 1 （2+ 2 ，1），Q 2 (2- 2 ，1) ，Q 3 （2，-1） 使得 OBQS三角形 = ODBES四边形3 1 ． ………………12 分 （10 江苏南京）28.（8 分） 如图，正方形 ABCD 的 边长是 2，M 是 AD 的中点，点 E 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止，连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F，过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G，连结 EG、FG。 （1）设 AE= x 时，△EGF 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范 围； （2）P 是 MG 的中点，请直接写出点 P 的运动路线的长。 （10 山东青岛）24．（本小题满分 12 分）已知：把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如图（1）摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、C（E）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°， AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm． 如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动，在 E F Q1 Q3 Q2 △DEF 移动的同时，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动. 当△DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时，△DEF 停止移动，点 P 也随之停止移动．DE 与 AC 相交 于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？ （2）连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存 在某一时刻 t，使面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由． （3）是否存在某一时刻 t，使 P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的 值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用） 解：（1） （2） （3） 24．（本小题满分 12 分） 解：（1）∵点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上， ∴AP = AQ. ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°， ∴∠EQC = 45°. ∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知：CE = t，BP =2 t， ∴CQ = t. ∴AQ = 8－t. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则 AP = 10－2 t. ∴10－2 t = 8－t. 解得：t = 2. 答：当 t = 2 s 时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. ··················· 4 分 （2）过 P 作 PM BE ，交 BE 于 M， ∴ 90BMP   . A D B C F（E） 图（1） A D B C FE 图（2） P Q A B C 图（3）（用圆珠笔或钢笔画图） 图（2） Q A D B C FE P M 在 Rt△ABC 和 Rt△BPM 中， sin AC PMB AB BP   ， ∴ 8 2 10 PM t  . ∴PM = 8 5 t . ∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t. ∴y = S△ABC－S△BPE = 1 2 BC AC － 1 2 BE PM = 1 6 82   －  1 86 t t2 5    = 24 24 245 5t t  =  24 8435 5t   . ∵ 4 05a   ，∴抛物线开口向上. ∴当 t = 3 时，y 最小= 84 5 . 答：当 t = 3s 时，四边形 APEC 的面积最小，最小面积为 84 5 cm2.············· 8 分 （3）假设存在某一时刻 t，使点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 过 P 作 PN AC ，交 AC 于 N， ∴ 90ANP ACB PNQ       . ∵ PAN BAC   ，∴△PAN ∽△BAC. ∴ PN AP AN BC AB AC   . ∴ 10 2 6 10 8 PN t AN  . ∴ 66 5PN t  ， 88 5AN t  . ∵NQ = AQ－AN， ∴NQ = 8－t－( 88 5 t ) = 3 5 t ． ∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F 在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN， ∴△QCF∽△QNP . ∴ PN NQ FC CQ  . ∴ 6 36 5 5 9 t t t t   . ∵ 0 t   ∴ 66 35 9 5 t t   解得：t = 1. 答：当 t = 1s，点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 12 分 （10 山东威海）25.（12 分） （1）探究新知： ①如图，已知 AD∥BC，AD＝BC，点 M，N 是直线 CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等． CE A D B F 图（3） P QN A B D CM N 图 ① ②如图，已知 AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点 M 是直线 CD 上任一点，点 G 是直线 EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由． （2）结论应用： 如图③，抛物线 cbxaxy  2 的顶点为 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于 点 D．试探究在抛物线 cbxaxy  2 上是否存在除点 C 以外的点 E，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点 E 的坐标，若不存在，请说明理由． ﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ A 备用图 C D B O x y A 图 ③ C D B O x y C 图 ② A B DM F EG 25．（本小题满分 12 分） ﹙1﹚①证明：分别过点 M，N 作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点 E，F． ∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形． ∴ AB∥CD． ∴ ME= NF． ∵ S△ABM＝ MEAB 2 1 ，S△ABN＝ NFAB 2 1 ， ∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1 分 ②相等．理由如下：分别过点 D，E 作 DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为 H，K． 则∠DHA=∠EKB=90°． ∵ AD∥BE， ∴ ∠DAH=∠EBK． ∵ AD＝BE， ∴ △DAH≌△EBK． ∴ DH=EK． ……………………………2 分 ∵ CD∥AB∥EF， ∴ S△ABM＝ DHAB 2 1 ，S△ABG＝ EKAB 2 1 ， ∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3 分 ﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4 分 解：因为抛物线的顶点坐标是 C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为 4)1( 2  xay . 又因为抛物线经过点 A(3，0)，将其坐标代入上式，得   4130 2  a ，解得 1a . ∴ 该抛物线的表达式为 4)1( 2  xy ，即 322  xxy ． ………………………5 分 ∴ D 点坐标为（0，3）． 设直线 AD 的表达式为 3 kxy ，代入点 A 的坐标，得 330  k ，解得 1k . ∴ 直线 AD 的表达式为 3 xy ． 过 C 点作 CG⊥x 轴，垂足为 G，交 AD 于点 H．则 H 点的纵坐标为 231  ． ∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6 分 设点 E 的横坐标为 m，则点 E 的纵坐标为 322  mm ． 过 E 点作 EF⊥x 轴，垂足为 F，交 AD 于点 P，则点 P 的纵坐标为 m3 ，EF∥CG． 由﹙1﹚可知：若 EP＝CH，则△ADE 与△ADC 的面积相等． ①若 E 点在直线 AD 的上方﹙如图③-1﹚， A B D CM N 图 ① E F H C 图 ② A B DM F EG K A C D B O x y H G F P E 则 PF= m3 ，EF＝ 322  mm ． ∴ EP＝EF－PF＝ )3(322 mmm  = mm 32  ． ∴ 232  mm ． 解得 21 m ， 12 m ． ……………………………7 分 当 2m 时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ∴ E 点坐标为（2，3）． 同理 当 m=1 时，E 点坐标为（1，4），与 C 点重合． ………………………………8 分 ②若 E 点在直线 AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚， 则 mmmmmPE 3)32()3( 22  ． ……………………………………………9 分 ∴ 232  mm ．解得 2 173 3 m ， 2 173 4 m ． ………………………………10 分 当 2 173m 时，E 点的纵坐标为 2 17122 1733  ； 当 2 173m 时，E 点的纵坐标为 2 17122 1733  ． ∴ 在抛物线上存在除点 C 以外的点 E，使得△ADE 与△ACD 的面积相等，E 点的坐标为 E1（2，3）； )2 171 2 173(2  ，E ； )2 171 2 173(3  ，E ． ………………12 分 ﹙其他解法可酌情处理﹚ （10 四川巴中）31．如图 12 已知△ABC 中，∠ACB＝90°以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一 1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点 C 的坐标 （2）若抛物线 2y ax bx c   过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式． （3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y=－x－1 交（2）中的抛物线于点 E，那 么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在， 求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。 （10 湖南常德）25.如图 9，已知抛物线 21 2y x bx c x   与 轴交于点 A（-4，0）和 B（1， 0）两点，与 y 轴交于 C 点. A 图③－3 C D B O x y H G F P E A 图③－2 C D B O x y H GF P E (1)求此抛物线的解析式； (2)设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF∥AC 交 BC 于 F，连接 CE，当 CEF 的面积是 BEF 面 积的 2 倍时，求 E 点的坐标； (3)若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 P 点运 动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标. （10 湖南常德）26.如图 10，若四边形 ABCD、四边形 CFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE， AG⊥CE. 4．当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 11 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由. 5．当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 12 的位置时，延长 CE 交 AG 于 H，交 AD 于 M. ①求证：AG⊥CH; ②当 AD=4，DG= 2 时，求 CH 的长。 （10 浙江绍兴）24.如图,设抛物线 C1:   51 2  xay , C2:   51 2  xay ,C1 与 C2 的 交点为 A, B,点 A 的坐标是 )4,2( ,点 B 的横坐标是－2. （1）求 a 的值及点 B 的坐标； （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H, A BO C 图 9 y x A B C D EF 图 110 G A D 图 11 F E B C G A D B C E F H M 图 12 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为 l ,且 l 与x轴交于点N. ① 若l 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为 (1, 2)，求点 N 的横坐标； ② 若l 与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围. 24．（本题满分 14 分） 解：（1）∵ 点 A )4,2( 在抛物线 C1 上，∴ 把点 A 坐标代入   51 2  xay 得 a =1. ∴ 抛物线 C1 的解析式为 422  xxy , 设 B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图 1， ∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且 DH⊥x 轴，∴ 点 M 在 DH 上，MH=5. 过点 G 作 GE⊥DH,垂足为 E, 由△DHG 是正三角形,可得 EG= 3 , EH=1， ∴ ME＝4. 设 N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, 由△MEG∽△MHN,得 HN EG MH ME  , ∴ 1 3 5 4  x , ∴ x 134 5  , ∴ 点 N 的横坐标为 134 5  ． ② 当点Ｄ移到与点 A 重合时,如图 2， 直线 l 与 DG 交于点 G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作 x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0）， ∵ A (2, 4), ∴ G ( 322  , 2), ∴ NQ= 322 x ，ＮF = 1x , GQ=2, MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF， ∴ MF GQ NF NQ  , ∴ 5 2 1 322   x x , 第 24 题图 1 第 24 题图 2 ∴ 3 8310 x . 当点 D 移到与点 B 重合时,如图 3， 直线 l 与 DG 交于点 D,即点 B, 此时点 N 的横坐标最小. ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4), 设 N（x，0）， ∵ △BHN∽△MFN， ∴ MF BH FN NH  ， ∴ 5 4 1 2   x x , ∴ 3 2x . ∴ 点 N 横坐标的范围为 3 2 ≤x≤ 3 8310  . （10 广东中山）22．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上， DF=2．动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可 运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN， 当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PWQ．设动点 M、N 的速 度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？ 当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值． （10 山东济宁）23．（10 分） 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ， 1 ）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B ， C 两点（点 B 在点C 的左侧）. 已知 A 点坐标为（ 0 ，3）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点C 为圆心的圆与直线 BD 相 切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ，C 两点之间，问：当点 P 运动到 什么位置时， PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积. 第 22 题图（2） A B CD F 第 22 题图（1） A B M CFD N W P Q M N WP Q A y D 23．（1）解：设抛物线为 2( 4) 1y a x   . ∵抛物线经过点 A （0，3），∴ 23 (0 4) 1a   .∴ 1 4a  . ∴抛物线为 2 21 1( 4) 1 2 34 4y x x x      . ……………………………3 分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4 分 证明：当 21 ( 4) 1 04 x    时， 1 2x  ， 2 6x  . ∴ B 为（2，0），C 为（6，0）.∴ 2 23 2 13AB    . 设⊙C 与 BD 相切于点 E ，连接CE ，则 90BEC AOB     . ∵ 90ABD   ，∴ 90CBE ABO   . 又∵ 90BAO ABO   ，∴ BAO CBE   .∴ AOB ∽ BEC . ∴ CE BC OB AB  .∴ 6 2 2 13 CE  .∴ 8 2 13 CE   .…………………………6 分 ∵抛物线的对称轴l 为 4x  ，∴C 点到l 的距离为 2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7 分 (3) 解：如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点Q . 可求出 AC 的解析式为 1 32y x   .…………………………………………8 分 设 P 点的坐标为（ m ， 21 2 34 m m  ），则Q 点的坐标为（ m ， 1 32 m  ）. ∴ 2 21 1 1 33 ( 2 3)2 4 4 2PQ m m m m m         . ∵ 2 21 1 3 3 27( ) 6 ( 3)2 4 2 4 4PAC PAQ PCQS S S m m m             , ∴当 3m  时， PAC 的面积最大为 27 4 . 此时，P 点的坐标为（3， 3 4  ）. …………………………………………10 分 (10 四 川 南 充 )22. 已 知 抛 物 线 21 42y x bx    上 有 不 同 的 两 点 E 2( 3, 1)k k   和 F 2( 1, 1)k k    ． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线 21 42y x bx    与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和 B，M 为 AB 的中点，∠PMQ 在 AB 的同侧以 M 为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP 交 y 轴于点 C，MQ 交 x 轴于点 D．设 AD 的长为 m（m＞0），BC 的长为 n，求 n 和 m 之间的函数关系式． （3）当 m，n 为何值时，∠PMQ 的边过点 F． B A M C DOP Q x y 11. 解：（1）抛物线 21 42y x bx    的对称轴为 12 2 bx b        ． ……..（1 分） ∵ 抛物线上不同两个点 E 2( 3, 1)k k   和 F 2( 1, 1)k k    的纵坐标相同， ∴ 点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，则 ( 3) ( 1) 12 k kb      ，且 k≠－2． ∴ 抛物线的解析式为 21 42y x x    ． ……..（2 分） （2）抛物线 21 42y x x    与 x 轴的交点为 A（4，0），与 y 轴的交点为 B（0，4）， ∴ AB＝ 4 2 ，AM＝BM＝ 2 2 ． ……..（3 分） 在∠PMQ 绕点 M 在 AB 同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM 中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线 AB 上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴ ∠BCM＝∠AMD． 故 △BCM∽△AMD． ……..（4 分） ∴ BC BM AM AD  ，即 2 2 2 2 n m  ， 8n m  ． 故 n 和 m 之间的函数关系式为 8n m  （m＞0）． ……..（5 分） （3）∵ F 2( 1, 1)k k    在 21 42y x x    上， ∴ 2 21 ( 1) ( 1) 4 12 k k k          ， 化简得， 2 4 3 0k k   ，∴ k1＝1，k2＝3． 即 F1（－2，0）或 F2（－4，－8）． ……..（6 分） ①MF 过 M（2，2）和 F1（－2，0），设 MF 为 y kx b  ， 则 2 2 2 0. k b k b      ， 解得， 1 2 1. k b     ， ∴ 直线 MF 的解析式为 1 12y x  ． 直线 MF 与 x 轴交点为（－2，0），与 y 轴交点为（0，1）． 若 MP 过点 F（－2，0），则 n＝4－1＝3，m＝ 8 3 ； 若 MQ 过点 F（－2，0），则 m＝4－（－2）＝6，n＝ 4 3 ． ……..（7 分） ②MF 过 M（2，2）和 F1（－4，－8），设 MF 为 y kx b  ， 则 2 2 4 8. k b k b       ， 解得， 5 3 4.3 k b      ， ∴ 直线 MF 的解析式为 5 4 3 3y x  ． 直线 MF 与 x 轴交点为（ 4 5 ，0），与 y 轴交点为（0， 4 3  ）． 若 MP 过点 F（－4，－8），则 n＝4－（ 4 3  ）＝16 3 ，m＝ 3 2 ； 若 MQ 过点 F（－4，－8），则 m＝4－ 4 5 ＝16 5 ，n＝ 5 2 ． ……..（8 分） 故当 1 1 8 ,3 3, m n     2 2 6, 4 ,3 m n   3 3 3 ,2 16 3 m n     或 4 4 16 ,5 5 2 m n     时，∠PMQ 的边过点 F． (10 湖北黄冈)25．（15 分）已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    顶点为 C（1，1）且过原点 O. 过抛物线上一点 P（x，y）向直线 5 4y  作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）. （1）求字母 a，b，c 的值； （2）在直线 x＝1 上有一点 3(1, )4F ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证 明此时△PFM 为正三角形； （3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM＝PN 恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由. 25．（1）a＝－1，b＝2，c＝0 （2）过 P 作直线 x=1 的垂线，可求 P 的纵坐标为 1 4 ，横坐标为 11 32  .此时，MP＝ MF＝PF＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当 t＜ 5 4 ，x＜1 时，PM 与 PN 不可能相等，同理，当 t＞ 5 4 ，x＞1 时，PM 与 PN 不可能相等. （10 辽宁本溪）26. 如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点， 点 A 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上， 5 3OA OC ， ． （1）在 AB 边上取一点 D ，将纸片沿OD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，求点 D ， E 的坐标； （2）若过点 D E， 的抛物线与 x 轴相交于点 ( 5 0)F  ， ，求抛物线的解析式和对称轴方程； （3）若（2）中的抛物线与 y 轴交于点 H ，在抛物线上是否存在点 P ，使 PFH△ 的内心 在坐标轴．．．上？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由． （4）若（2）中的抛物线与 y 轴相交于点 H ，点Q 在线段OD 上移动，作直线 HQ ，当点 Q 移动到什么位置时， O D， 两点到直线 HQ 的距离之和最大？请直接写出此时点Q 的坐 标及直线 HQ 的解析式． A (第 26 题) （10 辽宁鞍山）③如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD ＝21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 BC D O F E y x 3 55 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出 发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒）． （1）设△BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式 （2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2AO＝OB 时，求 t 的值． （4）是否存在时刻 t，使得 PQ⊥BD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由． （10 浙江衢州）24. (本题 12 分)△ABC 中，∠A=∠B=30°，AB= 2 3 ．把△ABC 放在平面直 角坐标系中，使 AB 的中点位于坐标原点 O(如图)，△ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． (1) 当点 B 在第一象限，纵坐标是 6 2 时，求点 B 的横坐标； (2) 如果抛物线 2y ax bx c   (a≠0)的对称轴经过点 C，请你探究： ① 当 5 4a  ， 1 2b   ， 3 5 5c   时，A，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明 理由； ② 设 b=-2am，是否存在这样的 m 的值，使 A，B 两点不可能同时在这条抛物线上？ 若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由． 24. (本题 12 分) 解：(1) ∵ 点 O 是 AB 的中点， ∴ 1 32OB AB  ． ……1 分 设点 B 的横坐标是 x(x>0)，则 2 2 26( ) ( 3)2x   ， … … 1 分 解得 1 6 2x  ， 2 6 2x   (舍去)． ∴ 点 B 的横坐标是 6 2 ． ……2 分 (2) ① 当 5 4a  ， 1 2b   ， 3 5 5c   时，得 25 1 3 5 4 2 5y x x   ……(＊) 25 5 13 5( )4 5 20y x   ． ……1 分 以下分两种情况讨论． 情况 1：设点 C 在第一象限(如图甲)，则点 C 的横坐标为 5 5 ， A B Q C P D O y x C B A 1 1 -1 -1 第 24 题 B C A x y FO D E 3tan30 3 13OC OB      ． ……1 分 由此，可求得点 C 的坐标为( 5 5 ， 2 5 5 )， ……1 分 点 A 的坐标为( 2 15 5  ， 15 5 )， ∵ A，B 两点关于原点对称， ∴ 点 B 的坐标为( 2 15 5 ， 15 5  )． 将点 A 的横坐标代入(＊)式右边，计算得 15 5 ，即等 于点 A 的纵坐标； 将点 B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得 15 5  ，即 等于点 B 的纵坐标． ∴ 在这种情况下，A，B 两点都在抛物线上． ……2 分 情况 2：设点 C 在第四象限(如图乙)，则点 C 的坐标为( 5 5 ，- 2 5 5 )， 点 A 的坐标为( 2 15 5 ， 15 5 )，点 B 的坐标为( 2 15 5  ， 15 5  )． 经计算，A，B 两点都不在这条抛物线上． ……1 分 (情况 2 另解：经判断，如果 A，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而 已知的抛物线开口向上．所以 A，B 两点不可能都在这条抛物线上) ② 存在．m 的值是 1 或-1． ……2 分 ( 2 2( )y a x m am c    ，因为这条抛物线的对称轴经过点 C，所以-1≤m≤1．当 m=±1 时，点 C 在 x 轴上，此时 A，B 两点都在 y 轴上．因此当 m=±1 时，A，B 两点不可能同 时在这条抛物线上) （10 浙江湖州）24．（本小题 12 分）如图，已知直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于 E 和 F． （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （3）连结 EF，设△BEF 与△BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时 S 最小，并求出这个 最小值． （10 福建福州）22.（满分 14 分） 如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 2y x 上，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A，OA=5。 O y x C B A (甲) 1 1 -1 -1 O y x C B A (乙) 1 1 -1 -1 若抛物线 21 6y x bx c   过点 O、A 两点。 （1）求该抛物线的解析式； （2）若 A 点关于直线 2y x 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，⊙O1 是以 BC 为直径的圆。过原点 O 作 O1 的切线 OP，P 为 切点（P 与点 C 不重合），抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切？若存在， 求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。 （10 山东莱芜）24.（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 cbxaxy  2 交 x 轴于 )0,6(),0,2( BA 两点，交 y 轴于点 )32,0(C . （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线 xy 2 交于点 D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙D 交 y 轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的 位置，使得△PGA 的面积被直线 AC 分为 1︰2 两部分. 24. （本小题满分 12 分） 解：（1）∵抛物线 cbxaxy  2 经过点 )0,2(A ， )0,6(B ， )320( ，C ． （第 24 题图） x y O A C B D E F ∴         32 0636 024 c cba cba ， 解得             32 33 4 6 3 c b a . ∴抛物线的解析式为： 3233 4 6 3 2  xxy . …………………………3 分 （2）易知抛物线的对称轴是 4x .把 x=4 代入 y=2x 得 y=8，∴点 D 的坐标为（4,8）． ∵⊙D 与 x 轴相切，∴⊙D 的半径为 8． …………………………4 分 连结 DE、DF，作 DM⊥y 轴，垂足为点 M． 在 Rt△MFD 中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF= 2 1 ． ∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6 分 ∴劣弧 EF 的长为：  3 168180 120 ． …………………………7 分 （3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b. ∵直线 AC 经过点 )32,0(),0,2( CA . ∴      32 02 b bk ，解得      32 3 b k .∴直线 AC 的解析式为： 323  xy . ………8 分 设点 )0)(3233 4 6 3,( 2  mmmmP ，PG 交直线 AC 于 N， 则点 N 坐标为 )323,(  mm .∵ GNPNSS GNAPNA ::  . ∴①若 PN︰GN=1︰2，则 PG︰GN=3︰2，PG= 2 3 GN. 即 3233 4 6 3 2  mm = ）（ 3232 3  m . 解得：m1=－3， m2=2（舍去）. 当 m=－3 时， 3233 4 6 3 2  mm = 32 15 . ∴此时点 P 的坐标为 )32 15,3( . …………………………10 分 ②若 PN︰GN=2︰1，则 PG︰GN=3︰1， PG=3GN. 即 3233 4 6 3 2  mm = ）（ 3233  m . 解得： 121 m ， 22 m （舍去）.当 121 m 时， 3233 4 6 3 2  mm = 342 . ∴此时点 P 的坐标为 )342,12( . 综上所述，当点 P 坐标为 )32 15,3( 或 )342,12( 时，△PGA 的面积被直线 AC 分成 1︰2 两部分． …………………12 分 x y O A C B D E F P G N M