2017中考数学分类试题旋转综合题

2017中考数学分类试题旋转综合题

‎2017中考数学分类试题 旋转综合题 ‎2017年10月1--5日 ‎1. （2017年郴州市）如图，△ABC是边长为‎4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=‎6cm，点D从点O出发，沿OM的方向以‎1cm/s的速度运动，当D不与点A重合是，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.‎ ‎ （1）求证：是等边三角形；‎ ‎ （2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？‎ 若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；‎ ‎（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；‎ ‎（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，‎ ‎∴∠DCE=60°，DC=EC，‎ ‎∴△CDE是等边三角形；‎ ‎（2）存在，当6＜t＜10时，‎ 由旋转的性质得，BE=AD，‎ ‎∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，‎ 由（1）知，△CDE是等边三角形，‎ ‎∴DE=CD，‎ ‎∴C△DBE=CD+4，‎ 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，‎ 此时，CD=‎2‎cm，‎ ‎∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；‎ ‎（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，‎ ‎∴当点D与点B重合时，不符合题意，‎ ‎②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，‎ ‎∴∠BED=90°，‎ 由（1）可知，△CDE是等边三角形，‎ ‎∴∠DEB=60°，‎ ‎∴∠CEB=30°，‎ ‎∵∠CEB=∠CDA，‎ ‎∴∠CDA=30°，‎ ‎∵∠CAB=60°，‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=30°，‎ ‎∴DA=CA=4，‎ ‎∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，‎ ‎∴t=2÷1=2s；‎ ‎③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，‎ ‎∴此时不存在；‎ ‎④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，‎ 又由（1）知∠CDE=60°，‎ ‎∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，‎ 而∠BDC＞0°，‎ ‎∴∠BDE＞60°，‎ ‎∴只能∠BDE=90°，‎ 从而∠BCD=30°，‎ ‎∴BD=BC=4，‎ ‎∴OD=‎14cm，‎ ‎∴t=14÷1=14s，‎ 综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•河南22题）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；‎ ‎（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；‎ ‎（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，‎ ‎∴PN∥BD，PN=BD，‎ ‎∵点P，M是CD，DE的中点，‎ ‎∴PM∥CE，PM=CE，‎ ‎∵AB=AC，AD=AE，‎ ‎∴BD=CE，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∵PN∥BD，‎ ‎∴∠DPN=∠ADC，‎ ‎∵PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM=∠DCA，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ADC+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，‎ ‎∴PM⊥PN，‎ 故答案为：PM=PN，PM⊥PN，‎ ‎（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，‎ ‎∵AB=AC，AD=AE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，‎ 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∴△PMN是等腰三角形，‎ 同（1）的方法得，PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM=∠DCE，‎ 同（1）的方法得，PN∥BD，‎ ‎∴∠PNC=∠DBC，‎ ‎∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC ‎=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC ‎=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ACB+∠ABC=90°，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∴△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴MN最大时，△PMN的面积最大，‎ ‎∴DE∥BC且DE在顶点A上面，‎ ‎∴MN最大=AM+AN，‎ 连接AM，AN，‎ 在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，‎ ‎∴AM=2，‎ 在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，‎ ‎∴MN最大=2+5=7，‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．‎ ‎【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大，是一道基础题目．‎ ‎3. （2017年十堰市）已知为直线上一点，，在等腰中，，交于，为的中点，交于．‎ ‎（1）如图1，若点在上，则① （填“”，“”或“”）；②线段、、满足的等量关系式是 ；‎ ‎（2）将图1中的等腰绕点顺时针旋转（），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；‎ ‎（3）将图1中的等腰绕点顺时针旋转（），请你在图3中画出图形，并直接写出线段、、满足的等量关系式 ．‎