初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型

初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型

中点模型 授课日期 时 间 主 题 中点模型 教学内容 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？‎ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？‎ ‎1. 直角三角形斜边中线定理：‎ 如图，在中，，为中点，则有：。‎ ‎2. 三线合一：‎ 在中:（1）；（2）平分；（3），（4）.‎ ‎“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。‎ ‎3. 中位线定理：如图，在中，若，，则且。‎ ‎4. 中线倍长(倍长中线)：‎ 如图（左图），在中，为中点，延长到使，联结，则有：≌。‎ 作用：转移线段和角。‎ ‎ ‎ 例1： 如图所示，已知为中点，点在上，且，求证：.‎ 提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明 试一试：如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：。‎ 证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG 类比倍长中线易得：△BDE≌△CDG 所以∠BED=∠DGC，BE=CG 因为BE=AC，所以AC=GC 所以∠EAC=∠DGC，‎ 因为∠BED=AEF 所以∠AEF=∠FAE 所以AF=EF 例2：如图,已知中，为高线，点是的中点，点是的中点..求证： 。‎ 证明：联结EM、DM 在Rt△BEC中，在Rt△BDC中 所以EM=DM，又因为EN=ND，所以 例3：如图，在中，为的平分线，为的中点，，‎ 求证：。‎ 证明：延长FM至点G，使得FM=MG，联结BG 类比倍长中线易得：△BMG≌△CMF 所以∠G=∠CFM，BG=CF 因为AD∥EM，所以∠BAD=∠E，∠DAF=∠EFA 因为∠BAD=∠DAC，∠AFE=∠CFM 所以∠E=∠AFE=∠CFM=∠G 所以BE=BG=CF，AE=AF 因为AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+BE=BE+BE=2BE 所以 试一试：如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证：。 ‎ 提示：延长AB，CF交于点E，证明出BE=AC-AB，再根据中位线的性质就可得证 ‎1. 在梯形中，，，为的中点，求证：‎ 提示：延长AE、BC交于点F，‎ 易证△ADE≌△FCE，得AD=CF，AE=EF。‎ 因为，所以AB=BF，‎ 所以AE⊥BE ‎2. 如图，已知：中，是的中点，。求证：‎ 证明：延长ED至点G，使得ED=DG，联结CG、FG 因为 ，所以△BDE≌△CDG 所以∠B=∠DCG，BE=CG 因为，所以∠B+∠ACB=∠DCG+∠ACB=90°‎ 所以 因为，ED=DG，所以EF=FG 所以 ‎3. 如图，在正方形中，是中点，联结，作交于点，交于点，‎ 求证：。‎ 提示：延长DA、CF交于点G 易证：△AFG≌△BFC，所以AG=BC=AD 因为，所以 ‎ ‎4. 如图，在四边形中，，分别是的中点，的延长线分别交的延长线。 求证：. ‎ 证明：联结BD，取BD的中点M，再分别联结ME、MF，‎ ‎∵E、F分别是DC、AB边的中点，‎ ‎∴ME∥CD， EM=CD， MF∥BA，MF=BA．‎ ‎∵AB=CD，∴EM=MF， ∴∠MEF=∠MFE．‎ ‎∵EM∥CH，∴∠MEF=∠CHE ‎∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGE ‎∴∠CHF=∠BGE；‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、 的中点。求证：（1）（2）.‎ 提示：（1）等腰三角形三线合一可得 ‎ （2）中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得 ‎2. 已知：和都是直角三角形，点在上，且，如图，联结，设为的中点，联结。求证：。‎ 证明：延长CM、DB交于点F 因为，所以 所以CE∥DB，所以，‎ 因为DM=ME，所以△DMF≌△EMC，所以CM=MF 因为，所以BM=CM ‎【预习思考】‎ ‎1. 角平分线的性质定理：‎ ‎2. 角平分线的性质定理逆定理：‎ ‎3. 还有哪些性质或定理与角平分线有关？‎ 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？‎ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？‎