中考数学菱形综合复习试题及答案

中考数学菱形综合复习试题及答案

‎2017年中考数学 一轮复习专题 菱形 综合复习 一 选择题：‎ ‎1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）‎ ‎ A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分   D．对角线互相垂直 ‎2.如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（　　）‎ ‎ A．8     B．9     C．11    D．12‎ ‎3.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.则四边形AECF是(　 　)‎ ‎  A．梯形        B．长方形   C．菱形      D．正方形 ‎4.如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　 　）‎ ‎ A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm ‎5.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（　　）‎ ‎ A．10cm2       B．20cm2      C．40cm2       D．80cm2‎ ‎6.如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）‎ ‎ A．3cm  B．4cm  C．2.5cm     D．2cm ‎7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）‎ ‎ A．2     B．3     C．  D．2‎ ‎8.如图所示，在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E ,F 为垂足,AE=ED,则∠EBF 等于（ ） ‎ ‎ A．75°     B．60°     C．50°  D．45° ‎ ‎9.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　 ）‎ ‎ A．  B．  C．5     D．4‎ ‎10.如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点C，则k的值为（　　）‎ ‎ A．﹣12 B．﹣6    C．6        D．12‎ ‎　‎ ‎11.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF=24°，则∠DAB等于( )‎ ‎   A．100°     =   B．104°         C．105°           D．110°‎ ‎12.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（　　）‎ ‎ A．20m  B．25m   C．30m  D．35m ‎13.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（　　）‎ ‎ A．2cm   B．3cm   C．4cm   D．3cm ‎14.如图，菱形ABCD的对角线相交于坐标原点，点A的坐标为（a，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），点C的坐标为（2，c），那么a，c的值分别是（　　）‎ ‎ A．a=﹣1，c=﹣   B．a=﹣2，c=﹣2  C．a=1，c=   D．a=2，c=2‎ ‎15.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（　　）‎ ‎ A．2     B．1.8 C.3 D．‎ ‎16.如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A．30°    B．45°     C．22.5° D．135°‎ ‎17.如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，则△OCE的面积为（　 　）‎ A．2    B．4    C．；D．； ‎ ‎18.已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，则点E的坐标为（　　）‎ ‎ A．（5，8） B．（5，10） C．（4，8） D．（3，10）‎ ‎19.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）‎ ‎ A．2  B．3  C．5        D．6‎ ‎20.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（　　）‎ ‎ A．1个  B．2个    C．3个 D．4个 二 填空题:‎ ‎21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　　 使其成为菱形（只填一个即可）．‎ ‎22.如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为　　．‎ ‎23.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是　 　．‎ ‎24.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD=      时，平行四边形CDEB为菱形。  ‎ ‎25.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD是直角三角形时，AP的长为        .‎ ‎26、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　 　．‎ ‎27.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　　 ．‎ ‎28.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8,2），点D的坐标为（0，2），则点C坐标为　　　　．‎ ‎29.如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是　　 ．‎ ‎30.如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2016B2016C2016D2016的面积是　　　　　　．‎ 三 简答题:‎ ‎31.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD.‎ ‎（1）求∠AOD的度数；‎ ‎（2）求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎32.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC边上取一点E，使BE=4，连结AE，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．‎ ‎（1）求证:四边形AEFD是菱形；‎ ‎（2）求四边形AEFD的两条对角线的长.‎ ‎                 ‎ ‎33.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；‎ ‎（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．‎ ‎34.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．‎ ‎（1）求证：四边形BMDN是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．‎ ‎35.如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG.‎ ‎(1)证明：四边形CEFG是菱形；‎ ‎(2)若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；‎ ‎(3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG=CG，请写出你的探究过程．‎ ‎36.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．‎ ‎（1）求证：四边形EGFH是菱形； ‎ ‎（2）若AB=1，则当∠ABC＋∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．‎ ‎37.如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．‎ ‎（1）求证：▱ABCD是菱形；‎ ‎（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=（AF+AB）．‎ ‎38.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证：OE=OF；‎ ‎(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；‎ ‎(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．‎ ‎39.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．‎ ‎（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？‎ ‎40.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，连接BD，∠PBQ=60°，将∠PBQ绕点B任意旋转，交边AD，CD分别于点E、F（不与菱形的顶点重合），设菱形ABCD的边长为a（a为常数）‎ ‎（1）△ABD和△CBD都是 　 三角形；‎ ‎（2）判断△BEF的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在运动过程中，四边形BEDF的面积是否变化，若不变，求出其面积的值（用a表示）；若变化，请说明理由．‎ ‎（4）若a=3，设△DEF的周长为m，直接写出m的取值范围．‎ 参考答案 ‎1、D．2、D 3、C　 4、A．5、A．6、A．7、D．8、B 9、A．10、B．11、B  12、C．13、B．14、B．‎ ‎15、D．16、C．17、C；18、C 19、C． 20、C．‎ ‎21、　AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC　 22、6　．23、　cm　．24、 25、2或26、　3　．‎ ‎27、 28、　（4，4）　． 29、　15　． 30、　　．‎ ‎31、【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，‎ ‎∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，‎ ‎∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；‎ ‎（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，‎ ‎∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，‎ ‎∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，‎ ‎∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎32、（1）证明：∵△ABE平移至△DCF的位置.∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF ‎∵四边形ABCD为矩形.∴AD∥BC，AD=BC，∠B=90°.∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD.‎ ‎∴四边形AEFD为平行四边形.在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE=--‎ ‎∵AD=5, ∴AD=AE.∴四边形AEFD为菱形. ‎ ‎（2）连结DE、AF. 求出DE=. 求出AF=‎ ‎33、【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．‎ 又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．‎ ‎（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．‎ 又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．‎ ‎34、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，‎ ‎∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON，‎ ‎∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，‎ 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，所以MD长为5．‎ ‎35、(1)证明：根据翻折的方法可得EF＝EC，∠FEG＝∠CEG.‎ 又∵GE＝GE，∴△EFG≌△ECG.∴FG＝GC.‎ ‎∵线段FG是由EF绕F旋转得到的，∴EF＝FG.∴EF＝EC＝FG＝GC.∴四边形FGCE是菱形．‎ ‎（2）连接FC交GE于O点．根据折叠可得BF＝BC＝10.‎ ‎∵AB＝8，∴在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF＝＝6.∴FD＝AD－AF＝10－6＝4.‎ 设EC＝x，则DE＝8－x，EF＝x，在Rt△FDE中，FD2＋DE2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.‎ 解得x＝5.即CE＝5.S菱形CEFG＝CE·FD＝5×4＝20.‎ ‎（3）当＝时，BG＝CG，理由：由折叠可得BF＝BC，∠FBE＝∠CBE，‎ ‎∵在Rt△ABF中，＝，∴BF＝2AF.∴∠ABF＝30°.‎ 又∵∠ABC＝90°，∴∠FBE＝∠CBE＝30°，EC＝BE.∵∠BCE＝90°，∴∠BEC＝60°.‎ 又∵GC＝CE，∴△GCE为等边三角形．∴GE＝CG＝CE＝BE.∴G为BE的中点．∴CG＝BG＝BE. ‎ ‎36、（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，‎ ‎∴FG＝CD，HE＝CD，FH＝AB，GE＝AB．‎ ‎∵AB＝CD，∴FG＝FH＝HE＝EG．∴四边形EGFH是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．‎ ‎∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．∴∠HFC＋∠GFB＝∠ABC＋∠DCB＝90°．‎ ‎∴∠GFH＝90°．∴菱形EGFH是正方形．‎ ‎∵AB＝1，∴EG＝AB＝．∴正方形EGFH的面积＝()2＝．‎ ‎37、解答：解：（1）证明：∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠2=∠ACB，‎ 又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形；‎ ‎（2）∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE=∠EBC，‎ 又∵AF=AE，∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，∴∠EBC=∠BEC，∴BC=CE，‎ ‎∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，∴OA=（AF+BC），又∵AB=BC，∴OA=（AF+AB）．‎ ‎38、(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.‎ 同理：OC＝OE.∴OE＝OF.‎ ‎（2）由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.‎ 而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°. ∴EF＝13.∴OC＝EF＝.‎ ‎（3）连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．理由如下：由(1)知OE＝OF，‎ 当点O移动到AC中点时，有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形． 又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形． ‎ ‎39、【解答】解：（1）OE=OF．证明如下：‎ ‎∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．同理可证OC=OF．‎ ‎∴OE=OF．四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，‎ 而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．‎ 理由如下：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；‎ ‎∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，‎ 又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．‎ ‎∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．‎ ‎40、【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°‎ ‎∴△ABD和△CBD都是等边三角形；故答案为：等边；‎ ‎（2）△BEF是等边三角形，理由：由（1）知，△ABD和△CBD都是等边三角形，‎ ‎∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC ‎∵∠EBF=60°，∴∠EBD=∠CBF，‎ 在△BDE与△BCF中，，∴△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∴△BEF是等边三角形；‎ ‎（3）不变，理由：∵△ABD是等边三角形，AB=a，∴AB边上的高=a，∴S△ABD=a2，‎ ‎∵△BDE≌△BCF，∴S四边形BFDE=S△ABD=a2，∴在运动过程中，四边形BEDF的面积不变化；‎ ‎（4）∵△BDE≌△BCF，∴DE=CF，∴DF+DE=DF+CF=3，‎ ‎∵△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵BF＜3，∴△DEF的周长＜6，‎ 当BF⊥CD时，BF=，∴△DEF的周长=3+，∴m的取值范围是3+≤m＜6．‎ ‎　‎