初中数学试卷中考压轴题精选含详细答案

初中数学试卷中考压轴题精选含详细答案

一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2010•顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．‎ ‎（1）求直线l1、l2的解析式；‎ ‎（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…‎ 照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，…‎ ‎①求点B1，B2，A1，A2的坐标；‎ ‎②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标；并求当动点C到达An处时，运动的总路径的长？‎ ‎2．（2010•莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．‎ ‎3．（2009•资阳）已知Z市某种生活必需品的年需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y1=﹣4x+190，y2=5x﹣170．当y1=y2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y1＜y2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y1＞y2时，称该商品的供求关系为供不应求．‎ ‎（1）求该商品的稳定价格和稳定需求量；‎ ‎（2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？‎ ‎4．（2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ ‎5．（2009•桂林）如图已知直线L：y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标．‎ ‎（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式．‎ ‎（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6．（2009•防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD=S1，S△NOA=S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．‎ ‎7．（2009•大兴安岭）直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．‎ ‎（1）直接写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎8．（2008•云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．‎ ‎（1）若过点P（2，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；‎ ‎（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．‎ ‎9．（2008•厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．‎ ‎（1）求OB和OM的值；‎ ‎（2）求直线OD所对应的函数关系式；‎ ‎（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ ‎10．（2008•天门）如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．‎ ‎（1）点N的坐标为（　_________　，　_________　）；（用含x的代数式表示）‎ ‎（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；‎ ‎（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．‎ ‎11．（2008•乐山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标xA，xB是关于x的方程x2﹣（m+2）x+n﹣1=0的两根．‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；‎ ‎（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎12．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；‎ ‎（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；‎ ‎（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．‎ ‎13．（2007•遵义）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）当t为何值时，△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标；‎ ‎（3）△ACD的面积是否有最大值？若有，此时t为何值；若没有，请说明理由．‎ ‎14．（2007•株洲）已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．‎ ‎（1）求A，B，C三点的坐标；‎ ‎（2）若⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O1O2的解析式；‎ ‎（3）若直线O1O2分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎15．（2007•镇江）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，an表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．‎ 图：‎ 表：‎ ‎ n ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎…‎ ‎ an ‎ 1‎ ‎3 ‎ ‎7 ‎ ‎15 ‎ ‎…‎ ‎（1）根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为　_________　．‎ 若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．‎ ‎（2）设直线l2：y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．‎ ‎①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．‎ ‎②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎16．（2007•咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1．‎ 操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上．‎ 探究：‎ ‎（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）‎ ‎（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b．‎ ‎①求b与k的函数关系式；‎ ‎②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．‎ ‎17．（2007•厦门）已知点P（m，n）（m＞0）在直线y=x+b（0＜b＜3）上，点A、B在x轴上（点A在点B的左边），线段AB的长度为b，设△PAB的面积为S，且S=b2+b．‎ ‎（1）若b=，求S的值；‎ ‎（2）若S=4，求n的值；‎ ‎（3）若直线y=x+b（0＜b＜3）与y轴交于点C，△PAB是等腰三角形，当CA∥PB时，求b的值．‎ ‎18．（2007•乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；‎ ‎（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R的取值范围．‎ ‎19．（2007•随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=﹣x﹣6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，﹣4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．‎ ‎（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；‎ ‎（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）‎ ‎①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；‎ ‎②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）‎ ‎20．（2007•邵阳）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转α角（0°＜α≤360°），可得△COD．‎ ‎（1）求点A，B的坐标；‎ ‎（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE∽△ABO；‎ ‎（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）当α=30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．‎ ‎21．（2007•韶关）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E．设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．‎ ‎（1）求M、D两点的坐标；‎ ‎（2）当P在什么位置时，PA=PB求出此时P点的坐标；‎ ‎（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积．‎ ‎22．（2007•衢州）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形．‎ ‎（1）写出B2，Bn两点的坐标；‎ ‎（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；‎ ‎（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎23．（2007•黔东南州）某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图）．‎ ‎（1）求y与x的关系式；‎ ‎（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额﹣成本）为s（元），则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？此时的销售量是多少件？‎ ‎24．（2007•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．‎ ‎（1）求B，C两点的坐标；‎ ‎（2）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直线AD的解析式．‎ ‎25．（2007•梅州）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；‎ ‎（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；‎ ‎（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．‎ ‎26．（2007•聊城）某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积．已知公园A，B分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮1608m2和1200m2出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：‎ ‎ 公园A ‎ 公园B ‎ 路程（千米）‎ ‎ 运费单价（元）‎ 路程（千米） ‎ 运费单价（元） ‎ 甲地 ‎ ‎ 30‎ ‎ 0.25‎ ‎ 32‎ ‎ 0.25‎ ‎ 乙地 ‎ 22‎ ‎ 0.3‎ ‎ 30‎ ‎ 0.3‎ ‎（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）‎ ‎（1）分别求出公园A，B需铺设草坪的面积；（结果精确到1m2）‎ ‎（2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．‎ ‎27．（2007•佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．‎ ‎（1）求点B，点C的坐标；‎ ‎（2）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线MD的解析式；‎ ‎（3）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O，P，C，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．（2007•济南）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．‎ ‎（1）求过点A，B的直线的函数表达式；‎ ‎（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．‎ ‎29．（2007•黑龙江）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；‎ ‎（3）在第（2）问的条件下，y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎30．（2007•哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，﹣2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若点H的坐标为（﹣1，﹣1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．‎ 答案与评分标准 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2010•顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．‎ ‎（1）求直线l1、l2的解析式；‎ ‎（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…‎ 照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，…‎ ‎①求点B1，B2，A1，A2的坐标；‎ ‎②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标；并求当动点C到达An处时，运动的总路径的长？‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）根据直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，求得k=1，再由与直线l2：相交于点P（﹣1，0），分别求出b和m的值．‎ ‎（2）由直线l1的解析式，求出A点的坐标，从而求出B1点的坐标，依次类推再求得A1、B2、A2的值，从而得到An、Bn，进而求出点C运动的总路径的长．‎ 解答：解：（1）∵y=kx+b平行于直线y=x﹣1，‎ ‎∴y=x+b ‎∵过P（﹣1，0），‎ ‎∴﹣1+b=0，‎ ‎∴b=1‎ ‎∴直线l1的解析式为y=x+1；（1分）‎ ‎∵点P（﹣1，0）在直线l2上，‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴直线l2的解析式为；（2分）‎ ‎（2）①A点坐标为（0，1），‎ 则B1点的纵坐标为1，设B1（x1，1），‎ ‎∴；‎ ‎∴x1=1；‎ ‎∴B1点的坐标为（1，1）；（3分）‎ 则A1点的横坐标为1，设A1（1，y1）‎ ‎∴y1=1+1=2；‎ ‎∴A1点的坐标为（1，2），即（21﹣1，21）；（4分）‎ 同理，可得B2（3，2），A2（3，4），即（22﹣1，22）；（6分）‎ ‎②经过归纳得An（2n﹣1，2n），Bn（2n﹣1，2n﹣1）；（7分）‎ 当动点C到达An处时，运动的总路径的长为An点的横纵坐标之和再减去1，‎ 即2n﹣1+2n﹣1=2n+1﹣2．（8分）‎ 点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据点的坐标求出点与点的距离是解题的基础．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．‎ ‎2．（2010•莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD=．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）抛物线y=﹣x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴的正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处．‎ 考点：待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与几何变换；等腰三角形的判定；翻折变换（折叠问题）。‎ 专题：综合题；压轴题。‎ 分析：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，将A、C两点坐标代入即可求解；‎ ‎（2）由题意得：若△DMC为等腰三角形，则可分为三种情况讨论，即DC为底；DM为底；CM为底三种情况；‎ ‎（3）可根据对称性求得点O′的坐标，然后求得点E的坐标，由待定系数法求得新抛物线的解析式即可求得．‎ 解答：解：（1）设直线AC的解析式y=kx+b，‎ 又∵OA=1，OC=2，‎ ‎∴A（0，1），C（2，0）代入函数解析式求得：k=，b=1‎ 直线AC的函数解析式：y=‎ ‎（2）若DC为底边，‎ ‎∴M的横坐标为，‎ 则点M的坐标为（，）‎ ‎∴直线DM解析式为：y=x﹣，‎ ‎∴P（0，﹣）；‎ 若DM为底，则CD=CM=，‎ ‎∴AM=AN=﹣，‎ ‎∴N（﹣，1），‎ 可求得直线DM的解析式为y=（+2）x﹣（+2），‎ ‎∴P（0，）‎ 若CM为底，则CD=DM=‎ ‎∴点M的坐标为（，）‎ ‎∴直线DM的解析式为y=﹣x+，‎ ‎∴点P的坐标为（0，）‎ ‎（3）根据对称性可得点O′的坐标为（，1）或（2，1）‎ ‎∴点E的坐标为（0，）或（0，）‎ ‎∴设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k ‎∴h=，k=或h=，k=，‎ ‎∴抛物线y=﹣x2经过向左平移个单位，再向上平移个单位；或向右平移个单位，向上平移个单位．‎ 点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意答案的不唯一性，解题时要注意别漏解．‎ ‎3．（2009•资阳）已知Z市某种生活必需品的年需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元/件）在一定范围内分别近似满足下列函数关系式：y1=﹣4x+190，y2=5x﹣170．当y1=y2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量；当y1＜y2时，称该商品的供求关系为供过于求；当y1＞y2时，称该商品的供求关系为供不应求．‎ ‎（1）求该商品的稳定价格和稳定需求量；‎ ‎（2）当价格为45（元/件）时，该商品的供求关系如何？为什么？‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）因为当y1=y2时，称该商品的价格为稳定价格，需求量为稳定需求量，所以有﹣4 x+190=5x﹣170，解之即可．‎ ‎（2）令x=45，分别求出y1、y2中相应的y值，进行判断即可．‎ 解答：解：（1）由y1=y2，得：﹣4x+190=5x﹣170 （2分）‎ 解得x=40 （3分）‎ 此时的需求量为y1=﹣4×40+190=30（4分）‎ 因此，该商品的稳定价格为40元/件，稳定需求量为30万件．‎ ‎（2）当x=45时，y1=﹣4×45+190=10 （5分）‎ y2=5×45﹣170=55 （6分）‎ ‎∴y1＜y2（7分）‎ ‎∴当价格为45元/件时，该商品供过于求．（8分）‎ 点评：本题只需仔细分析题意，利用方程即可求解．‎ ‎4．（2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式．‎ ‎（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来．‎ ‎（3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时：设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，证明△AQP∽△CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的长，在直角△OHB中，根据勾股定理，可以得到tan∠OQC．‎ 当P点在BC边上运动时，可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．‎ 解答：解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）‎ ‎∵A（﹣3，4），‎ ‎∴AE=4 OE=3，‎ ‎∴OA==5，‎ ‎∵四边形ABCO为菱形，‎ ‎∴OC=CB=BA=0A=5，‎ ‎∴C（5，0）（1分）‎ 设直线AC的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+．（1分）‎ ‎（2）由（1）得M点坐标为（0，），‎ ‎∴OM=，‎ 如图（1），当P点在AB边上运动时 由题意得OH=4，‎ ‎∴HM=OH﹣OM=4﹣=，‎ ‎∴s=BP•MH=（5﹣2t）•，‎ ‎∴s=﹣t+（0≤t＜），2分 当P点在BC边上运动时，记为P1，‎ ‎∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，‎ ‎∴△OMC≌△BMC，‎ ‎∴OM=BM=，∠MOC=∠MBC=90°，‎ ‎∴S=P1B•BM=（2t﹣5），‎ ‎∴S=t﹣（＜t≤5），2分 ‎（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，‎ ‎∵∠AOC=∠ABC，‎ ‎∴∠AOM=∠ABM，‎ ‎∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，‎ ‎∴∠MPB=∠AOH，‎ ‎∴∠MPB=∠MBH．‎ 当P点在AB边上运动时，如图（2）‎ ‎∵∠MPB=∠MBH，‎ ‎∴PM=BM，‎ ‎∵MH⊥PB，‎ ‎∴PH=HB=2，‎ ‎∴PA=AH﹣PH=1，‎ ‎∴t=，（1分）‎ ‎∵AB∥OC，‎ ‎∴∠PAQ=∠OCQ，‎ ‎∵∠AQP=∠CQO，‎ ‎∴△AQP∽△CQO，‎ ‎∴==，‎ 在Rt△AEC中，AC===4，‎ ‎∴AQ=，QC=，‎ 在Rt△OHB中，OB===2，‎ ‎∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，‎ ‎∴OK=，AK=KC=2，‎ ‎∴QK=AK﹣AQ=，‎ ‎∴tan∠OQC==，（1分）‎ 当P点在BC边上运动时，如图（3）‎ ‎∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，‎ ‎∴tan∠MPB=tan∠MBH，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴BP=，‎ ‎∴t=，（1分）‎ ‎∴PC=BC﹣BP=5﹣．‎ 由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ CQ=AC=，‎ ‎∴QK=KC﹣CQ=，‎ ‎∵OK=，‎ ‎∴tan∠OQK=．（1分）‎ 综上所述，当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为．‎ 当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．‎ 点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，求三角函数值的问题可以转化为求直角三角形的边的比的问题．‎ ‎5．（2009•桂林）如图已知直线L：y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．‎ ‎（1）求点A、点B的坐标．‎ ‎（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式．‎ ‎（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题；动点型；开放型。‎ 分析：（1）令x=0以及y=0代入直线解析式可求出A，B的坐标；‎ ‎（2）做PD⊥y轴于D，根据勾股定理得出PB2=PD2+BD2，BP2=PD2+BD2．得出y与x的关系式即可；‎ ‎（3）依题意可得AB2=OA2+OB2=AF2=52，求出关于x的值代入解析式，求出y值即可，求出点P的坐标．‎ 解答：解：（1）令y=0得x=﹣4，令x=0得，y=3，‎ ‎∴A（﹣4，0），B（0，3）；‎ ‎（2）如图：‎ ‎（3）过点P作PD⊥y轴于D，则PD=|x|，BD=|3﹣y|，PB=PF=y，‎ ‎∵△BDP为直角三角形，‎ ‎∴PB2=PD2+BD2，‎ ‎∴BP2=PD2+BD2，‎ 即|y|2=|x|2+|3﹣y|2即y2=x2+（3﹣y）2，‎ ‎∴y与x的函数关系为y=x2+；‎ ‎（4）存在．‎ 解：∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，‎ ‎∴AB=AF，‎ ‎∵AB2=OA2+OB2=52，‎ ‎∴AF2=52，‎ ‎∵AF=|x+4|，‎ ‎∴（x+4）2=52，‎ ‎∴x=1或x=﹣9，‎ 把x=1或x=﹣9代入y=x2+，‎ 得y=或y=15，‎ ‎∴点P的坐标为（1，）或（﹣9，15）．‎ 点评：本题考查的是一次函数的图形与应用的有关知识以及考生作图能力，难度中等．‎ ‎6．（2009•防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD=S1，S△NOA=S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）因为直线y=﹣（x﹣6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，所以可求A（6，0），D（0，8），并且有AD=10．‎ 根据将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，可得AC=AO=6，DC=AD﹣AC=10﹣6=4．并且可得到三角形DBC∽三角形DAO．利用相似三角形对应边的关系即可求出4：8=DB：10，DB=5．‎ ‎（2）可设N（x，y）．‎ 因为s1=×5•x=x，s2=×6•y=3y，‎ s1•s2=x•3y=xy=•（﹣+8）=﹣10x2+60x，‎ 利用二次函数最值的求法即可求出当x=3时最大值为90，并且此时N（3，4）是AD的中点．‎ ‎（3）因为△MAC为直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情况讨论：‎ 若∠MCA=90°则M与B重合，所以M（0，3）；‎ 若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，DM：AD=AD：OD，‎ DM：10=10：8，所以DM=12.5，OM=12.5﹣8=5.5．‎ M（0，﹣5.5）．‎ 解答：解：（1）令y=0，得x=6；‎ 令x=0，得y=8．‎ 所以A（6，0），D（0，8）．‎ 并且有AD=10．‎ ‎∵将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，‎ ‎∴AC=AO=6，DC=AD﹣AC=10﹣6=4．‎ ‎∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，‎ ‎∴△DBC∽△DAO．‎ ‎∴DC：DO=DB：DA，‎ 即4：8=DB：10，‎ ‎∴DB=5．‎ ‎（2）设N（x，y）．‎ s1=×5•x=x，s2=×6•y=3y，‎ s1•s2=x•3y=xy=•（﹣+8）=﹣10x2+60x．‎ 当x=3时最大值为90．‎ 则y=﹣（x﹣6）=4，‎ ‎∴N（3，4），‎ ‎∵A（6，0），D（0，8）．‎ ‎∴N是AD的中点．‎ ‎（3）∵△MAC为直角三角形，‎ ‎∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．‎ 若∠MCA=90°，则M与B重合，因为BD=5，所以M（0，3）；‎ 若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，‎ ‎∴DM：AD=AD：OD，‎ ‎∴DM：10=10：8．‎ ‎∴DM=12.5，OM=12.5﹣8=4.5，‎ ‎∴M（0，﹣4.5）．‎ 点评：本题需仔细分析题意，结合图象．利用相似三角形的性质和分情况讨论的思想即可解决问题．‎ ‎7．（2009•大兴安岭）直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．‎ ‎（1）直接写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）解方程x2﹣14x+48=0求出方程的两根，就得到A，B的坐标；‎ ‎（2）当点P在OB上运动时，OP1=t，即三角形OA边上的高是OP，则面积就可以求出；当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，根据△AP2D∽△ABO就可以表示出P2D，则△OP2A的面积就可以表示出来，从而得到函数解析式；‎ ‎（3）本题应分当点P在OB上运动和当点P在BA上运动两种情况进行讨论，两种情况下对应的函数解析式已经求出，可以求出相应的t的值，进而求出点的坐标．‎ 解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得：x1=8，x2=6，‎ ‎∴A（8，0），B（0，6）；‎ ‎（2）∵OA=8，OB=6，‎ ‎∴AB=10，‎ 当点P在OB上运动时，OP1=t，‎ ‎；‎ 当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，‎ 有，‎ ‎∵AP2=6+10﹣t=16﹣t，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（3）当4t=12时，t=3，P1（0，3），‎ 此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；‎ 当时，t=11，P2（4，3），‎ 此时，M1（0，3）、M2（0，﹣6）．‎ 点评：本题是一个综合应用题，用到了相似三角形的性质，方程的解法，是一个函数与三角形的综合问题．‎ ‎8．（2008•云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．‎ ‎（1）若过点P（2，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；‎ ‎（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P1和P2（点P1、P2与点O、C不重合），请求P1、P2点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）设出切线PH所在直线的解析式，过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出E点的坐标，根据直线过P、E两点，列出方程组求出未知数的值，进而求出切线的解析式；‎ ‎（2）分当k＜0，设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1，P1点的坐标为（x1，y1），切线与边BC交于点S，过点S作ST1⊥x轴于点T1．利用三角形相似求出P1点的坐标．‎ k＞0时，据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点，从而可得P2点的坐标．‎ 解答：解：（1）设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b．（1分）‎ 解法一：设E点的坐标为（xE，4），过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE，‎ 在Rt△DOP和Rt△DFP中，∵OP=PF，OD=DF，∴△DOP≌△DFP．‎ 在Rt△DOP中，tan∠DPO==．‎ ‎∴∠DPO=30°，从而知∠OPEe=60度．‎ 在Rt△EPT中，可求得PT=，‎ ‎∴E点的坐标为（，4）．（4分）‎ ‎∵直线过P、E两点，∴解方程组，得 ‎∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣x+6．（6分）‎ 解法二：∵点P的坐标为（2，0），且直线y=kx+b过点P，‎ ‎∴2k+b=0，b=﹣2k．‎ 设E点的坐标为（xE，4），过E点作ET⊥x轴于点T．‎ ‎∵切线过E点，‎ ‎∴kxE+b=4，xE=（4﹣b）．‎ ‎∵EC=EF，PF=PO，‎ ‎∴PE=EF+FP．（4分）‎ 在Rt△ETP中，PE2=ET2+PT2，‎ ‎∴[（4﹣b）+2]2=42+[2﹣（4﹣b）]2，解方程，得k=﹣，b=6．‎ ‎∴切线PF所在直线的解析式为y=﹣x+6．（6分）‎ ‎（2）如备用图，‎ ‎（ⅰ）当k＜0时，设过点A且与半圆相切于P1点的切线方程为y=k1x+b1，P1点的坐标为（x1，y1），切线与边BC交于点S，过点S作ST1⊥x轴于点T1．‎ 同上理，可得b1=﹣6k1，∴[（4﹣b1）+6]2=42+[6﹣（4﹣b1）]2，‎ 解方程，得k1=﹣，b1=．（8分）‎ ‎∵直线y=k1x+b1与边BC交于点S（x2，4），‎ ‎∴4=﹣x2+，解方程，得x2=．‎ ‎∵=，‎ ‎∴（+6）y1=6×4，解得y1=，代入y=﹣x+，解得x1=．‎ ‎∴所求满足条件的P1点的坐标为（，）．（10分）‎ ‎（ⅱ）当k＞0时，据圆的对称性知P2点是P1点关于直线y=2对称的点，从而可得P2点的坐标为（，）．（12分）‎ 点评：此题难度很大，把一次函数，圆，三角形的知识结合起来，综合性很强，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求出结论．‎ ‎9．（2008•厦门）如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．‎ ‎（1）求OB和OM的值；‎ ‎（2）求直线OD所对应的函数关系式；‎ ‎（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．‎ 考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；压轴题。‎ 分析：（1）由于∠OAB=90°，OA=2，AB=2，所以OB=4；‎ 因为=，所以=，OM=．‎ ‎（2）由（1）得：OM=，即BM=．由于DB∥OA，易证==，故DB=1，D（1，2）．故过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x．‎ ‎（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由于tan∠PON==，故∠PON=60°，OP=t，故ON=t，PN=t，直线OD所对应的函数关系式是y=2x，‎ 设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，故=，故n=，由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，‎ ‎∴S=（0＜t≤）；‎ 当＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S梯形OABD=S△ABE 由于DB∥OA，易证：∴△EPB∽△APO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，BE=，‎ 可分别求出三角形的值．‎ 解答：解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2，‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵=，∴=，‎ ‎∴OM=．‎ ‎（2）由（1）得：OM=，‎ ‎∴BM=，‎ ‎∵DB∥OA，易证==，‎ ‎∴DB=1，D（1，2），‎ ‎∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x．‎ ‎（3）依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，‎ 分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，‎ ‎∵tan∠PON==，∴∠PON=60°，‎ OP=t．∴ON=t，PN=t，‎ ‎∵直线OD所对应的函数关系式是y=2，‎ 设E（n，2）易证得△APN∽△AEF，∴=，‎ ‎∴=，‎ 整理得：=，‎ ‎∴8n﹣nt=2t，n（8﹣t）=2t，‎ ‎∴n=．‎ 由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，‎ ‎∴S=（0＜t≤），‎ 当＜t＜4时，点E在BD边上，‎ 此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OFED，‎ ‎∵DB∥OA，‎ 易证：△EPB∽△APO，‎ ‎∴=，∴=，‎ BE=，‎ S△ABE=BE•AB=××2=×2，‎ ‎∴S=（1+2）×2﹣×2=3﹣×2=﹣+5，‎ 综上所述：S=．‎ ‎（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2，‎ 易求得：∠OAB=30°，∴OB=4．‎ 解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，‎ 由①得，∠OBA=30°，‎ ‎∵OP=t，∴ON=t，PN=t，‎ 即：P（t，t），又（2，0），‎ 设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，‎ 则，‎ 解得：k=，b=，‎ ‎∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=x+．‎ 依题意：当0＜t≤时，在OD边上，‎ ‎∴E（n，2n），在直线AP上，‎ ‎∴﹣+=2n，‎ 整理得：﹣=2n，‎ ‎∴n=，‎ ‎∴S=（0），‎ 当＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2），因为E在直线AP上，‎ ‎∴﹣+=2，‎ 整理得：+=2∴8n﹣nt=2t，‎ ‎∴n=，‎ BE=2﹣n=2﹣=，‎ ‎∴S=（1+2）×2﹣×2=3﹣×2=﹣+5，‎ 综上所述：S=．‎ 点评：本题比较复杂，难度较大，把一次函数的解析式与解直角三角形，三角形相似的性质结合起来，锻炼了学生对所学知识的应用能力．‎ ‎10．（2008•天门）如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，4）．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．‎ ‎（1）点N的坐标为（　3﹣x　，　x　）；（用含x的代数式表示）‎ ‎（2）当x为何值时，△AMN为等腰三角形；‎ ‎（3）如图②，连接ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题；动点型；分类讨论。‎ 分析：（1）直接根据题意可表示出点N的坐标为（3﹣x，x）；‎ ‎（2）注意要分3种情况考虑①AM=AN，②MN=AM，③MN=AN．用含x的代数式表示线段的长度，利用方程的思想求解即可；‎ ‎（3）当N（x，x）时，△OMN为正三角形，由题意可得：NC∥BO，得出AN：NC=AB：BO，=，进而得出N点速度．‎ 解答：解：（1）N（3﹣x，x）‎ ‎（2）①AM=AN ‎；‎ ‎②MN=AM，‎ ‎=3﹣x，‎ x（43x﹣54）=0，‎ x=0（舍去）或，‎ ‎③MN=AN，‎ x=（3﹣x）‎ x=1‎ ‎（3）不能，‎ 过点N作NC⊥OA，‎ 当N（x，x）时，△OMN为正三角形，‎ 由题意可得：N的纵坐标为：x，‎ ‎∵NC∥BO，‎ ‎∴AN：NC=AB：BO，‎ ‎∴=，‎ 解得：AN=x，‎ N的速度即：x÷x（N．M的时间都是x）=．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．‎ 解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎11．（2008•乐山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标xA，xB是关于x的方程x2﹣（m+2）x+n﹣1=0的两根．‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；‎ ‎（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）利用直角三角形的性质可知△AOC∽△COB，则CO2=AO•BO，4=AO•（5﹣AO），解之得：AO=4或AO=1．‎ 即xA=﹣4，xB=1．再利用根与系数的关系代入两根和与两根之积的关系式中求解可知m=﹣5，n=﹣3．‎ ‎（2）过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，可证明△AED∽△ACB，利用成比例线段求得OD=，即D（﹣，0），利用待定系数法求出直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．‎ ‎（3）过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．因为CD为∠ACB的平分线，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，有，由△DNF∽△MNC，有，得到，即．‎ 解答：解：（1）∵以AB为直径的圆过点C，∴∠ACB=90°，而点C的坐标为（0，2），‎ 由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO2=AO•BO，（1分）‎ 即：4=AO•（5﹣AO），解之得：AO=4或AO=1．‎ ‎∵OA＞OB，∴AO=4，‎ 即xA=﹣4，xB=1．（2分）‎ 由根与系数关系有：，‎ 解之m=﹣5，n=﹣3．（4分）‎ ‎（2）如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，‎ 在△ABC中，易得AC=，BC=，（5分）‎ ‎∵DE∥BC，∴，∵DE=EC，∴，‎ 又△AED∽△ACB，有，∴=2，（6分）‎ ‎∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=，‎ 则OD=，即D（﹣，0），（7分）‎ 易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）‎ 解法二：过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，‎ 由S△ACD+S△BCD=S△ABC′‎ 求得．（5分）‎ 又S△BCD=BD•CO=BC•DF，‎ 求得BD=，DO=．（7分）‎ 即D（﹣，0），‎ 易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）‎ ‎（3）过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．‎ ‎∵CD为∠ACB的平分线，∴DE=DF．‎ 由△MDE∽△MNC，有，（9分）‎ 由△DNF∽△MNC，有． （10分）‎ ‎∴，（11分）‎ 即．（12分）‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎12．（2008•黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的；‎ ‎（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；‎ ‎（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．‎ 考点：一次函数综合题；矩形的判定；直角梯形；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；压轴题；动点型；分类讨论。‎ 分析：（1）可根据点B，C的坐标，用待定系数法来求出直线BC的解析式；‎ ‎（2）可先计算出梯形面积的，也就求出了四边形COPD的面积．有OC的长，D是BC的中点，如果过D作梯形的中位线，可求出三角形OCD中，OC边上的高应该是4，由此可求出三角形OCD的面积，也就能表示出OPD的面积，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面积，得出关于t的方程，即可求出此时t的值；‎ ‎（3）本题要分三种情况进行讨论：‎ ‎①当P在OA上时，即0＜t＜8时，如果过D作OA的垂线DE，垂直为E，那么DE就是梯形的中位线，即DE=7，要表示三角形OPD的面积，还需知道OP的长，可以根据P点的速度，用时间t表示出OP，这样可根据三角形的面积公式求出关于S，t的函数关系式．‎ ‎②当P在AD上时，即8≤t＜18时，三角形OPD的面积可以用四边形OAPD的面积﹣三角形OAP的面积来表示，而四边形OAPD的面积可分成梯形DEAP和三角形OED两部分来求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四边形OAPDD的面积，三角形OAP中，可用t表示出AP的长，进而可用t表示出三角形OAP的面积，然后根据三角形OPD的面积S=四边形OAPD的面积﹣三角形OAP的面积，即可得出关于S，t的函数关系式；‎ ‎③当P在BD上时，即18＜t＜23时，三角形OPD的面积可用三角形OCP的面积﹣三角形OCD的面积来求，三角形OPC中，可过P作OC的垂线PH，可根据AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC边上的高PH的表达式，那么就能表示出三角形OPC的面积，三角形OCD中，OC的值已知，而OC边上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面积，然后可根据三角形OPD的面积=三角形OPC的面积﹣三角形OCD的面积来求出关于S，t的函数关系式；‎ ‎（4）先假设存在这样的点P，那么四边形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此时t的值，首先就要求出AP的长，根据∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不难得出三角形AQP与三角形DPB相似，那么可得出关于BD，BP，AP，OP的比例关系，而BD，OP的长已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此时AP，PB的长，然后判定一下此时四边形QPDC是矩形的结论是否成立，如果成立可根据AP的长求出t的长．‎ 解答：解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，‎ 因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：‎ ‎，‎ 解得k=，b=4，‎ 因此BC所在直线的解析式是y=x+4；‎ ‎（2）过D作DE⊥OA，‎ 则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，‎ 则DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，‎ 则四边形OPDC的面积为16，S△COD=8，‎ ‎∴S△POD=8，‎ 即•t×7=8，‎ 得t=；‎ ‎（3）分三种情况 ‎①0＜t≤8，（P在OA上）‎ S三角形OPD=t ‎②8＜t≤18，（P在AB上）‎ S三角形OPD=S梯形OCAB﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD ‎=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t ‎（此时AP=t﹣8，BP=18﹣t）‎ ‎③过D点作DM垂直y轴与M点 ‎∴CM=3DM=4CD=5‎ ‎∴∠BCH的正弦值为 CP长为28﹣t ‎∴PH=22.4﹣0.8t S三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC ‎=×4（22.4﹣0.8t）﹣8‎ ‎=﹣t；‎ ‎（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，‎ 则CM=OA=8，AM=OC=4，‎ ‎∴MB=6．‎ ‎∴在Rt△BCM中，BC=10，‎ ‎∴CD=5，‎ 若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，‎ 且PQ∥CD，‎ ‎∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，‎ 设BP=x，则PA=10﹣x，‎ ‎∴，‎ 化简得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，‎ ‎∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．‎ 点评：本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．‎ ‎13．（2007•遵义）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）当t为何值时，△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标；‎ ‎（3）△ACD的面积是否有最大值？若有，此时t为何值；若没有，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；‎ ‎（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；‎ ‎（3）用t表示△ACD的面积，然后利用二次函数求最大值．‎ 解答：解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，‎ ‎∴A（4，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，‎ ‎∴AB==5；‎ ‎（2）依题意BC=t，AC=5﹣t，AD=t，‎ 若△ACD∽△ABO相似，‎ ‎∴，‎ 代入得：‎ ‎=，‎ 解得：t=，‎ 若△ACD∽△AOB相似，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴t=，‎ ‎∴C（，）或（，）；‎ ‎（3）∵AC=5﹣t，AD=t，而sin∠A==，‎ ‎∴AD边上的高=（5﹣t）×，‎ ‎∴S△ACD=×AD×（5﹣t）×=（5t﹣t2），‎ ‎∴S△ACD有最大值，此时t=2.5，‎ ‎∵S△ACD=（5t﹣t2）=﹣（t﹣2.5）2+，‎ ‎∴当t=2.5时，S△ACD有最大值．‎ 点评：此题既考查了勾股定理的计算，也考查了相似三角形的性质，还有利用二次函数求最大值．‎ ‎14．（2007•株洲）已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．‎ ‎（1）求A，B，C三点的坐标；‎ ‎（2）若⊙O1，⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O1O2的解析式；‎ ‎（3）若直线O1O2分别交AC，BC于点M，N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：综合题；压轴题。‎ 分析：（1）根据题意先证明△ADC∽△ACB，所以AC2=AD•AB，求得AD的长，同理DB，CD，从而求出A，B，C三点坐标；‎ ‎（2）设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，根据面积公式可知S△ADC，从而得到r1，r2，由此可求得直线O1O2的解析式；‎ ‎（3）由（1）易得直线AC的解析式，联立直线O1O2的解析式，求得点M的纵坐标为，过点M作ME⊥y轴于点E，由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例关系，解得CM的长，同理得CN的长，再判断CM与CN的大小关系．‎ 解答：解：（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB ‎∴△ADC∽△ACB，∴AC2=AD•AB，‎ ‎∴AD=；‎ 同理DB=，CD=，‎ ‎∴A（﹣，0），B（，0），C（0，）‎ ‎（2）设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，‎ 则有S△ADC=AD•CD=（AD+CD+AC）r1‎ ‎∴，同理；‎ ‎∴；‎ 由此可求得直线O1O2的解析式为：；‎ ‎（3）CM与CN的大小关系是相等．‎ 证明如下：法一：由（1）易得直线AC的解析式为：，‎ 联立直线O1O2的解析式，求得点M的纵坐标为，‎ 过点M作ME⊥y轴于点E，‎ ‎∴CE=CD﹣DE=；由Rt△CME∽Rt△CAD，得，‎ 解得：，同理，∴CM=CN；‎ 法二：由Rt△O1O2D∽Rt△ABC，‎ ‎∴∠O2O1D=∠BAC，‎ 由此可推理：∠CMN=∠O1DA=45°，‎ ‎∴∠CNM=45°，∴CM=CN．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎15．（2007•镇江）探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，an表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．‎ 图：‎ 表：‎ ‎ n ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎…‎ ‎ an ‎ 1‎ ‎3 ‎ ‎7 ‎ ‎15 ‎ ‎…‎ ‎（1）根据“图”、“表”可以归纳出an关于n的关系式为　an=2n﹣1　．‎ 若直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），求直线l1对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．‎ ‎（2）设直线l2：y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线l1相交于点M，双曲线y=（x＞0）经过点M，且与直线l2相交于另一点N．‎ ‎①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l1、l2．‎ ‎②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）先求直线l1为y=2x+1，把点（2n﹣1，2n+1﹣1）代入，左式=2n+1﹣1，右式=2（2n﹣1）+1=2n+1﹣1，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．‎ ‎（2）①由题意，点A的坐标为（4，0），点M的坐标为（1，3）；求得双曲线为y=（x＞0），由此得点N的坐标为（3，1）．‎ ‎②由题意，点P的坐标为当S△MQA=2S△MPA，即S△MPA=S△PQA时，P为MQ的中点，可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E，则S△PMA=S△MEA﹣S△MPE﹣S△PEA=6﹣，得3t2﹣7t+9=0．通过此方程的解的问题可知此方程没有实数根，即不存在这样的t值，使△PMA的面积为1．‎ ‎③设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小，MN为定值，要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，设过M’N的直线所对应的函数关系式为y=ax+b，得，由此可求得G的坐标为．‎ 解答：解：（1）由an=2n﹣1可得a1=1，a2=3，a3=7，‎ 又直线l1经过点（a1，a2）、（a2，a3），设直线l1的解析式为y=kx+b，‎ 把（1，3），（3，7）代入得k=2，b=1‎ 所以直线l1为y=2x+1，‎ 把点（2n﹣1，2n+1﹣1）代入y=2x+1，左式=2n+1﹣1，右式=2（2n﹣1）+1=2n+1﹣1，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（an，an+1）都在直线l1上．‎ ‎（2）①y=﹣x+4与x轴相交于点A，所以y=0，x=4，即点A的坐标为（4，0），‎ 因为点M是L2与L1的交点，联立，解得x=1，y=3，‎ 所以点M的坐标为（1，3）；‎ 又因为双曲线y=（x＞0）经过点M，所以k=3‎ 所以双曲线为y=（x＞0），‎ 因为点N是双曲线与直线是L2的交点，联立，解得x=3，y=1‎ 由此得点N的坐标为（3，1）．‎ ‎②由题意，点P的坐标为 当S△MQA=2S△MPA，即S△MPA=S△PQA时，P为MQ的中点，‎ 可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E，‎ 则S△PMA=S△MEA﹣S△MPE﹣S△PEA=4.5﹣，得3t2﹣7t+9=0，‎ 用配方法或根的判别式法可以确定此方程没有实数根．‎ ‎∴不存在这样的t值，使△PMA的面积为1．‎ ‎③由题意，点M关于y轴的对称点M’的坐标为（﹣1，3），‎ 设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小，‎ ‎∵MN为定值，‎ ‎∴要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，‎ 设过M’N的直线所对应的函数关系式为y=ax+b，则，‎ 得，‎ ‎∴由此可求得G的坐标为．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎16．（2007•咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1．‎ 操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上．‎ 探究：‎ ‎（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）‎ ‎（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b．‎ ‎①求b与k的函数关系式；‎ ‎②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．‎ 考点：一次函数综合题；翻折变换（折叠问题）。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）此题可以首先确定两种特殊情况：一是当点A和点D重合时，则折痕即为OD的垂直平分线；二是点A和点C重合时，则折痕是AC的垂直平分线．根据这两种特殊情况，其它的只能位于这两种折痕之间．‎ ‎（2）令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=b，‎ ‎①如图，设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，0），证明 ‎△EOF∽△MDO，根据相似三角形的对应边成比例得到，则OE=b，OF=﹣，DM=m，OD=1，这样就可以用b，k表示m，然后在Rt△EDM中就可以得到k，b的关系式；‎ ‎②在Rt△OEF中根据勾股定理可以用k的代数式表示了．‎ 解答：解：（1）‎ ‎（2）令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=b，‎ ‎∴E（0，b），F （﹣，0），‎ ‎①如图设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，0），连接EM，根据折叠知道EF⊥OM，而MD⊥OD，‎ ‎∴△EOF∽△MDO，‎ ‎∴，而OE=b，OF=﹣，DM=m，OD=1，‎ 代入比例式中得到m=﹣k，在Rt△EDM中，EM2=ED2+DM2，而根据折叠知道OE=EM，‎ ‎∴b2=（1﹣b）2+（﹣k）2，‎ ‎∴b=；‎ ‎②在Rt△OEF中，EF2=OE2+OF2，‎ ‎∴EF==b，‎ ‎∵k＜0，‎ ‎∴EF=﹣，‎ ‎∵OE=b＜1，OF=﹣＜2，‎ ‎∴﹣1＜k＜﹣2．‎ 点评：此题比较复杂，把折叠的问题放在一次函数的图象的背景中，将代数和几何知识结合起来解题，对学生的要求比较高．‎ ‎17．（2007•厦门）已知点P（m，n）（m＞0）在直线y=x+b（0＜b＜3）上，点A、B在x轴上（点A在点B的左边），线段AB的长度为b，设△PAB的面积为S，且S=b2+b．‎ ‎（1）若b=，求S的值；‎ ‎（2）若S=4，求n的值；‎ ‎（3）若直线y=x+b（0＜b＜3）与y轴交于点C，△PAB是等腰三角形，当CA∥PB时，求b的值．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）把b=代入关系式，即可求出S的值；‎ ‎（2）把S=4代入S=b2+b．求出b的值，根据b的取值范围，舍去不合题意的值，有|AB|=S=|AB|•n•=4，即可求出n的值；‎ ‎（3）由S=n•b•=b2+b，得n=b+1又n=m+b=b+1，得m=1，有P（1，b+1）①当PA=PB时，xB﹣xA=b，‎ ‎①（xB﹣1）2+（b+1）2=（xA﹣1）2+（b+1）2，‎ ‎②=，三式联立便可求出XA，XB的值，代入②求出B的值，舍去不合题意的值；同上，求出当PA=PB时，XA﹣XB=b时，求出b的值，由b＞0可知，它们均不合题意，故b=1．‎ 解答：解：（1）当b=时，S=×+×=+1=；‎ ‎（2）当S=4时，b2+b=4，‎ b2+b﹣6=0，‎ 即（b+3）（b﹣2）=0，‎ ‎∴b=﹣3或b=2，‎ 又0＜b＜3，‎ ‎∴b=2，代入得：‎ ‎∴|AB|=S=|AB|•n•=4，‎ ‎∴n=3；‎ ‎（3）S=n•b•=b2+b，得n=b+1，‎ 又n=m+b=b+1，‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴P（1，b+1），‎ Ⅰ：当PA=PB时，xB﹣xA=b，‎ ‎①（xB﹣1）2+（b+1）2=（xA﹣1）2+（b+1）2，‎ ‎②=，‎ ‎③联立三式，得：‎ 代入②式得=或=，‎ 解得b=0（舍去）或b=﹣（舍去），b=1（符合）；‎ Ⅱ：当PA=AB时，xA﹣xB=b，‎ ‎①（xB﹣1）2+（b+1）2=b2，‎ ‎③得XB=，‎ 代入②式得4b2+b﹣3=，‎ ‎7b2﹣18b﹣9≥0，‎ 解得b≥3（舍去）或b≤﹣不符合0＜b＜3，‎ ‎∴无解；‎ Ⅲ：当AB=PB时，xA﹣xB=b，‎ ‎①（xA﹣1）2+（b+1）2=，‎ ‎②=，‎ ‎③得XA=，‎ 代入②式得（4b2+b﹣3）2=7b2﹣18b﹣9，7b2﹣18b﹣9≥0，‎ 解得b≥3（舍去）或b≤﹣不符合0＜b＜3，‎ ‎∴无解．‎ ‎∴综上所述有b=1．‎ 点评：在解答此题时要注意分两种情况讨论xA，xB所在的位置，确定b的值，不要漏解．‎ ‎18．（2007•乌鲁木齐）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点B坐标为，BC∥y轴且与x轴交于点C，直线OB与直线AC相交于点P．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）若以点O为圆心，OP的长为半径作⊙O（如图2），求证：直线AC与⊙O相切于点P；‎ ‎（3）过点B作BD∥x轴与y轴相交于点D，以点O为圆心，r为半径作⊙O，使点D在⊙O内，点C在⊙O外；以点B为圆心，R为半径作⊙B，若⊙O与⊙B相切，试分别求出r，R的取值范围．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）设直线OB的解析式为y=k1x，可得，所以直线OB的解析式为y=x；设直线AC的解析式为y=k2x+6，根据点C（2，0）在直线AC上得，所以直线AC的解析式为y=﹣x+6，直线AC与直线OB的解析式联立方程组，解得点P的坐标；‎ ‎（2）利用三角函数值求得∠BOC=30°，又∠ACO=60°所以∠OPC=90°，故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；‎ ‎（3）D点坐标为（0，2），C点坐标为（2，0），要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足，因为⊙O与⊙B相切，故R=4﹣r或R=4+r，结合2可知4﹣2或．‎ 解答：（1）解：设直线OB的解析式为y=k1x，‎ ‎∵点B（2，2）在直线OB上，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线OB的解析式为y=x，‎ 设直线AC的解析式为y=k2x+6，‎ ‎∵点C（2，0）在直线AC上，‎ ‎∴，，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+6，‎ 直线AC与直线OB的交点P满足方程组，‎ 解得，‎ ‎∴点P的坐标为；‎ ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴∠OAC=30°，∠ACO=60°，‎ 又∵，‎ ‎∴∠BOC=30°又∠ACO=60°，‎ ‎∴∠OPC=90°，‎ 故以OP为半径的⊙O与直线AC相切于点P；‎ ‎（3）解：∵D点坐标为（0，2），C点坐标为（2，0），‎ 要使点D在⊙O内，点C在⊙O外，则⊙O的半径r应满足，‎ 在Rt△BOC中，∠BOC=30°，BC=2，‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵⊙O与⊙B相切，故有R+r=4或R﹣r=4，‎ 从而有R=4﹣r或R=4+r，‎ ‎∵2，‎ ‎∴4﹣2或．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎19．（2007•随州）如图，直角梯形ABCD的腰BC所在直线的解析式为y=﹣x﹣6，点A与坐标原点O重合，点D的坐标为（0，﹣4），将直角梯形ABCD绕点O顺时针旋转180°，得到直角梯形OEFG（如图1）．‎ ‎（1）直接写出E，F两点的坐标及直角梯形OEFG的腰EF所在直线的解析式；‎ ‎（2）将图1中的直角梯形ABCD先沿x轴向右平移到点A与点E重合的位置，再让直角顶点A紧贴着EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移动时，总保持着AB∥FG），当点A与点F重合时，梯形ABCD停止移动．观察得知：在梯形ABCD移动过程中，其腰BC始终经过坐标原点O．（如图2）‎ ‎①设点A的坐标为（a，b），梯形ABCD与梯形OEFG重合部分的面积为S，试求a与何值时，S的值恰好等于梯形OEFG面积的；‎ ‎②当点A在EF上滑动时，设AD与x轴的交点为M，试问：在y轴上是否存在点P，使得△PAM是底角为30°的等腰三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（利用图3进行探索）‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题；开放型；分类讨论。‎ 分析：（1）根据E（6，0），F（2，4），利用待定系数法可求得EF所在直线的解析式；‎ ‎（2）根据梯形OEFG的面积为（2+6）•4，A（a，﹣a+6，‎ 由题意得，‎ 若S的值为，则可得a2﹣6a+5=0，所以a1=1，a2=5，又a1=1不合题意，舍去，取a=5，‎ 可求得当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的；‎ ‎（3）满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：‎ ‎①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有关角和线段可求得P1（0，）；‎ ‎②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上，可求；‎ ‎③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，点A与点F重合，即，所以满足条件的点P坐标为．‎ 解答：解：（1）E（6，0），F（2，4），EF所在直线的解析式为y=﹣x+6．‎ ‎（2）梯形OEFG的面积为（2+6）•4，‎ ‎∵点A（a，b）在直线EF上，‎ ‎∴A（a，﹣a+6，‎ 由题意得，‎ 若S的值为，则，‎ ‎，‎ 即a2﹣6a+5=0，∴a1=1，a2=5，‎ 又a1=1不合题意，舍去，取a=5；‎ ‎∴当a=5时，S的值恰好等于梯形OEFG的面积的．‎ ‎（3）显然，满足条件的等腰△PAM的顶角应为120°，分下列三种情况考虑：‎ ‎①当∠PAM为顶角时（如图1），设AB交y轴于点Q，OM=x，‎ ‎∵点A在直线y=﹣x+6上，∴AM=﹣x+6，‎ 在Rt△PQA中，∠PAQ=120°﹣90°=30°，‎ ‎∴PQ=AP=AM；‎ ‎∴OP=OQ+QP=AM=（﹣x+6），‎ 在Rt△POM中，∠PMO=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴OP=OM•tan∠PMO=x；‎ ‎∴（﹣x+6）=x，x=．‎ ‎②当∠PMA为顶角时，画图可知合条件的点P2在y轴的负半轴上；‎ Rt△P2OM中，∠P2MO=120°﹣90°=30°，且OM仍为；‎ ‎∴，‎ 即；‎ ‎③当∠APM为顶角时（如图2）过点P3作P3N⊥AM于点M，‎ 设OM=x，在Rt△P3OM中，∠P3MO=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，x=2，‎ 此时点A的坐标为，即点A与点F重合，∴，即，‎ 由①，②，③得，满足条件的点P坐标为．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎20．（2007•邵阳）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转α角（0°＜α≤360°），可得△COD．‎ ‎（1）求点A，B的坐标；‎ ‎（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE∽△ABO；‎ ‎（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）当α=30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）因为直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别相交于点A，B，所以分别令x=0，y=0，即可得A、B坐标．‎ 并且可得OB=2，OA=2，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．‎ ‎（2）利用旋转可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，△OBD是等边三角形，所以可得∠DOE=90°﹣60°=30°=∠BAO，△ODE∽△AOB；‎ ‎（3）利用直角三角形斜边上的高的性质可作OC⊥AB，设垂足为M，这时就有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B，△ODE∽△AOB，并且α=270°+30°=300°，即旋转300°．‎ ‎（4）当α=30°时可知∠BNO=90°，∠D=60°，所以OD=2，ON=，DN=2﹣，MN=2﹣3，△ODP是等边三角形，OP=OD=2，S阴影=S△OPD﹣S△DMN，运用公式求面积．‎ 解答：解：（1）令x=0，得y=2；令y=0，得x=2，‎ 所以A（2，0），B（0，2）．‎ 并且OB=2，OA=2，AB=4，∠BAO=30°，∠B=60°．‎ ‎（2）由旋转可得OB=OD，∠ODE=∠B=60°，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，∠DOE=90°﹣60°=30°=∠BAO，‎ ‎△ODE∽△AOB．‎ ‎（3）有．‎ 当OC⊥AB时，设垂足为M，这时有∠BOM=30°=∠BAO，∠B=∠B ‎∴△ODE∽△AOB．‎ ‎∴α=270°+30°=300°，‎ 即旋转300°．‎ ‎（4）∵当α=30°时∠BNO=90°，∠D=60°，‎ ‎∴OD=2，ON=，DN=2﹣，MN=2﹣3，△ODP是等边三角形，OP=OD=2．‎ S阴影=S△OPD﹣S△DMN ‎=×2×﹣（2﹣）（2﹣3）‎ ‎=6﹣．‎ 点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用旋转、相似三角形的有关知识来解决问题．‎ ‎21．（2007•韶关）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E．设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．‎ ‎（1）求M、D两点的坐标；‎ ‎（2）当P在什么位置时，PA=PB求出此时P点的坐标；‎ ‎（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题；动点型。‎ 分析：（1）因为四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E，M是AB的中点，所以令y=0，即可求出D的坐标，而AM=1，所以M（4，1）；‎ ‎（2）因为PA=PB，所以P是AB的垂直平分线和直线ED的交点，而AB的中垂线是y=1，所以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=1，求出的x的值即为相应的P的横坐标；‎ ‎（3）可设P（x，y），连接PN、MN、NF，因为点P在y=﹣x+上，所以P（x，﹣x+，根据题意可得PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，又因N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2﹣（﹣x+）=x+，BM=1，利用直径对的圆周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以，∴，这样就可得到关于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面积的四边形是一个直角梯形，所以．‎ 解答：解：（1）M（4，1），D（，0）；（2分）‎ ‎（2）∵PA=PB，‎ ‎∴点P在线段AB的中垂线上，‎ ‎∴点P的纵坐标是1，‎ 又∵点P在y=﹣x+上，‎ ‎∴点P的坐标为；（4分）‎ ‎（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，‎ ‎∵点P在y=﹣x+上，‎ ‎∴P（x，﹣x+，‎ 依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，‎ ‎∴N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2﹣（﹣x+）=x+，BM=1，（6分）‎ ‎∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，‎ ‎∴∠HPN=∠BNM，又∠PHN=∠B=90°，‎ ‎∴Rt△PNH∽Rt△NMB，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴x2﹣12x+14=0，解得：x=6+舍去），x=6﹣，（8分）． （9分）‎ 点评：本题属于一道典型的数形结合的题目，需利用一次函数的解析式结合圆的相关知识才可以解决问题．‎ ‎22．（2007•衢州）如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形．‎ ‎（1）写出B2，Bn两点的坐标；‎ ‎（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；‎ ‎（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可；‎ ‎（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2﹣1=1﹣x1，x3﹣2=2﹣x2，其中x1=a，所以x2=2﹣a，x3=4﹣x2=2+a，‎ 分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2﹣2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；‎ ‎（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：‎ 当n为奇数时，有2﹣2a=2（，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（，同样化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值．‎ 解答：解：（1）；‎ ‎（2）x2=2﹣a，x3=2+a，‎ 结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2﹣2a，‎ 结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，‎ 结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．‎ ‎（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：‎ 当n为奇数时，有2﹣2a=2（，化简得：，‎ ‎∴，∴n=1或3‎ ‎∴a=或，‎ 当n为偶数时，有2a=2，得：，‎ ‎∴，∴n=2‎ ‎∴a=，‎ 综上所述，存在直角三角形，且a=或或．‎ 点评：本题需利用数形结合的思想，灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题．‎ ‎23．（2007•黔东南州）某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y（件）与销售单价x（元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图）．‎ ‎（1）求y与x的关系式；‎ ‎（2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额﹣成本）为s（元），则销售单价定为多少时，该商厦获利最大，最大利润是多少？此时的销售量是多少件？‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：根据两点的值可求出一次函数的解析式，再利用：毛利润=销售额﹣成本，得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，可求出最大利润，以及相关内容．‎ 解答：解：（1）设y=kx+b；‎ 将（60，40），（70，30）代入得：，‎ 解得：；‎ ‎∴y=﹣x+100；‎ ‎（2）S=（﹣x+100）（x﹣50）‎ ‎=﹣x2+150x﹣5000；‎ ‎∵a=﹣1，b=150，c=﹣5000，‎ ‎∴当x=﹣=75时，‎ S最大值=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=625‎ 当x=75时，y=﹣75+100=25；‎ 所以，当销售价是75元时，最大利润是625元，此时销量为25件．‎ 点评：利用待定系数法求函数的解析式，还用到二次函数的有关内容（求最值的问题）．‎ ‎24．（2007•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．‎ ‎（1）求B，C两点的坐标；‎ ‎（2）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，∠MCD=45°，求直线AD的解析式．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）解方程x2﹣4x+3=0就可以求出x的值，即B，C的横坐标，就可以得到B，C的坐标．‎ ‎（2）以O、P、C、Q为顶点的四边形是正方形，O、C的坐标已知，就可以写出Q的坐标．‎ ‎（3）过A作AH⊥x轴于H点，可以证出△CAB∽△CMD，得到，‎ 在直角△AHC中，根据勾股定理得出AC，就可以求出OD的长．‎ 根据待定系数法就可以求出函数解析式．‎ 解答：解：（1）x2﹣4x+3=0，得x=3或1，‎ ‎∵OB＜OC，‎ ‎∴B（﹣1，0），C（3，0）；‎ ‎（2）存在．‎ Q1（3，3）或；‎ ‎（3）过A作AH⊥x轴于H点．‎ 则AH=CH=6，∴∠ACB=45°，‎ 同理可证：∠DCM=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠DCM．‎ 又∵∠DMC=∠BAC，‎ ‎∴△CAB∽△CMD，‎ ‎∴（1分）‎ 在△AHC中，，‎ 同理，（1分）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，． （1分）‎ 设AD的解析式为y=kx+b（k≠0），则，‎ ‎∴，‎ ‎∴y=﹣x+．‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式．运用了相似三角形的对应边的比相等，就可以求出．‎ ‎25．（2007•梅州）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，动点P从点A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围；‎ ‎（2）当PQ∥AC时，求x，y的值；‎ ‎（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．‎ 考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：压轴题；动点型。‎ 分析：（1）过C作CE⊥AB于E，由勾股定理求得BC的值，进而得到梯形的周长为18，由题意知，y=﹣x+9，由于点Q只在AB上，于是能确定出x的取值范围；‎ ‎（2）∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，有，得6x﹣5y=42，与y=﹣x+9组成方程组求解即可；‎ ‎（3）通过讨论点P的位置，建立关于x，y的方程组求得x的值．‎ 解答：解：（1）过C作CE⊥AB于E，则CD=AE=3，CE=4，可得BC=5，‎ 所以梯形ABCD的周长为18，‎ PQ平分ABCD的周长，所以x+y=9，‎ 因为0≤y≤6，所以3≤x≤9，‎ 所求关系式为：y=﹣x+9，3≤x≤9；‎ ‎（2）依题意，P只能在BC边上，7≤x≤9．‎ PB=12﹣x，BQ=6﹣y，‎ 因为PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以，得：‎ ‎，即6x﹣5y=42，‎ 解方程组得；‎ ‎（3）梯形ABCD的面积为18，‎ 当P不在BC边上，则3≤x≤7，‎ ‎（a）当3≤x＜4时，P在AD边上，S△APQ=xy，‎ 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有，‎ 可得：解得（x=6，y=3舍去），‎ ‎（b）当4≤x≤7时，点P在DC边上，此时SADPQ=×4（x﹣4+y），‎ 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有×4（x﹣4+y）=9，‎ 可得此方程组无解．‎ 所以当x=3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积．‎ 点评：本题利用了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意要针对不同情况讨论，本题还利用数形结合的思想．‎ ‎26．（2007•聊城）某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A和公园B的绿化面积．已知公园A，B分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮1608m2和1200m2出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：‎ ‎ 公园A ‎ 公园B ‎ 路程（千米）‎ ‎ 运费单价（元）‎ 路程（千米） ‎ 运费单价（元） ‎ 甲地 ‎ ‎ 30‎ ‎ 0.25‎ ‎ 32‎ ‎ 0.25‎ ‎ 乙地 ‎ 22‎ ‎ 0.3‎ ‎ 30‎ ‎ 0.3‎ ‎（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）‎ ‎（1）分别求出公园A，B需铺设草坪的面积；（结果精确到1m2）‎ ‎（2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．‎ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用；扇形面积的计算。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）公园A草坪的面积=大矩形的面积﹣两条小道的面积+两条小道重叠部分的面积．‎ 公园B草坪的面积=大矩形的面积﹣两个扇形的面积﹣扇形所夹的两个三角形的面积．‎ ‎（2）本题可根据总运费=公园A向甲，乙两地购买草坪所需的费用+公园B向甲乙两地购买草坪所需的费用，如果设总运费为y元，公园A向甲地购买草皮xm2，那么根据上面的等量关系可得出y与x的关系式，然后根据甲乙两地出售的草坪的面积和公园A，B所需的草坪面积得出x的取值范围，再根据函数的性质得出花钱最少的方案．‎ 解答：解：（1）设公园A，B需铺设草坪的面积分别为S1，S2‎ 根据题意，得S1=62×32﹣62×2﹣32×2+2×2=1800．‎ 设图2中圆的半径为R，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为，‎ 所以，有．‎ 于是，．‎ 所以公园A，B需铺设草坪的面积分别为1800m2和1008m2．‎ ‎（2）设总运费为y元，公园A向甲地购买草皮xm2，向乙地购买草皮（1800﹣x）m2．（6分）‎ 由于公园A，B需要购买的草皮面积总数为1800+1008=2808（m2），甲、乙两地出售的草皮面积总数为1608+1200=2808（m2）．‎ 所以，公园B向甲地购买草皮（1608﹣x）m2，向乙地购买草皮1200﹣（1800﹣x）=（x﹣600）（m2）．‎ 于是，有 所以600≤x≤1608．‎ 又由题意，得y=30×0.25x+22×0.3•（1800﹣x）+32×0.25•（1608﹣x）+30×0.3•（x﹣600）=1.9x+19344．‎ 因为函数y=1.9x+19344随x的增大而增大，‎ 所以，当x=600时，有最小值y=1.9×600+19344=20484（元）．‎ 因此，公园A在甲地购买600m2，在乙地购买1800﹣600=1200m2；‎ 公园B在甲地购买1608﹣600=1008（m2）．‎ 此时，运送草皮的总运费最省．‎ 点评：本题主要考查了一次函数的应用，依据题意得出等量关系，找出自变量的取值范围是解答问题的关键．‎ ‎27．（2007•佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），点B，点C分别在x轴的负半轴和正半轴上，OB，OC的长分别是方程x2﹣4x+3=0的两根（OB＜OC）．‎ ‎（1）求点B，点C的坐标；‎ ‎（2）若平面内有M（1，﹣2），D为线段OC上一点，且满足∠DMC=∠BAC，求直线MD的解析式；‎ ‎（3）在坐标平面内是否存在点Q和点P（点P在直线AC上），使以O，P，C，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）解方程x2﹣4x+3=0，结合图形求解；‎ ‎（2）过A作AH⊥x轴于H点，可证明△CAB∽△CMD．根据相似形的性质求D点坐标，运用待定系数法求MD的解析式．‎ ‎（3）根据正方形的性质可直接写出存在的点Q1（3，3）或．‎ 解答：解：（1）x2﹣4x+3=0，‎ 得x=3或1．‎ ‎∵OB＜OC，‎ ‎∴B（﹣1，0），C（3，0）．‎ ‎（2）过A作AH⊥x轴于H点，则AH=CH=6，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ 同理（过M作MT⊥x轴于T点，则MT=CT=2 ）可证：∠MCD=45°，‎ ‎∴∠ACB=∠MCD．‎ 又∵∠DMC=∠BAC，‎ ‎∴△CAB∽△CMD，‎ ‎∴．‎ 在△AHC中，，同理，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ 设MD的解析式为y=kx+b（k≠0），则，‎ ‎∴‎ ‎∴函数解析式是：y=3x﹣5．‎ ‎（3）存在．Q1（3，3）或．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎28．（2007•济南）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．‎ ‎（1）求过点A，B的直线的函数表达式；‎ ‎（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法可解得，，即直线AB的函数表达式为；‎ ‎（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=，CD=BC÷tan∠ADB=3÷，可求OD=OC+CD=，所以D（，0）；‎ ‎（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，解得；当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则解得．‎ 解答：解：（1）∵点A（﹣3，0），C（1，0），‎ ‎∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B点坐标为（1，3），‎ 设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，‎ 由得，，‎ ‎∴直线AB的函数表达式为 ‎（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，‎ 在Rt△ABC和Rt△ADB中，‎ ‎∵∠BAC=∠DAB，‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△ADB，‎ ‎∴D点为所求，‎ 又tan∠ADB=tan∠ABC=，‎ ‎∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，‎ ‎∴OD=OC+CD=，∴D（，0）；‎ ‎（3）这样的m存在．‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，‎ 如图1，‎ 当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则，‎ 解得，‎ 如图2，‎ 当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，‎ 则，‎ 解得．‎ 点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．‎ ‎29．（2007•黑龙江）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA＜OB）的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6‎ ‎（1）求∠ABC的度数；‎ ‎（2）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；‎ ‎（3）在第（2）问的条件下，y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请直接写出直线PD的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题；开放型。‎ 分析：（1）首先依题意求出OC=3，又因为|OA|+|OB|=4m求出m值，求出方程为x2﹣4x+3=0，解方程即可知道点A，B的坐标，然后判断出△OBC是等腰直角三角形，求出∠ABC=45°；‎ ‎（2）依题意证明△AOC∽△COD，利用线段比，求出OD的长，然后求出点D的坐标；‎ ‎（3）如图可得，y轴存在点P使得∠PBA=∠ACB，点P可以在y的正或负半轴上．‎ 解答：解：（1）∵点C（0，3），‎ ‎∴OC=3，‎ ‎∵S△ABC=6，‎ ‎∴=6，‎ ‎∴|AB|=4，‎ ‎∵|OA|+|OB|=4m，‎ ‎∴4m=4，m=1，‎ ‎∴方程可化为：x2﹣4x+3=0‎ 解得：x1=1，x2=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∴△OBC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ABC=45°；‎ ‎（2）∵∠AOC=∠ACD=90°，∠CAO=∠DCO，‎ ‎∴△AOC∽△COD，‎ ‎∴，‎ ‎∴OD=9，‎ ‎∴D（9，0）；‎ ‎（3）存在，‎ 过点B作PB∥AC，‎ ‎∵直线AC的解析式为：y=3x+3，‎ ‎∴直线PB的解析式为：y=3x﹣6，‎ ‎∴P点的坐标为：（0，﹣6），‎ 根据对称性也可为（0，6），‎ ‎∴直线PD的解析式为：y=﹣x+6或y=x﹣6．‎ 点评：本题综合考查的是一次函数的性质及其应用，还考查了面积公式及用待定系数法求函数解析式．‎ ‎30．（2007•哈尔滨）如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，﹣2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若点H的坐标为（﹣1，﹣1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）作AF⊥BC．已知点C的坐标可求出BC=9，CE=4，BE=5，又知道点B，C的坐标然后利用三角函数可求出点A的坐标．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求出解析式．‎ ‎（2）本题要分两种情况讨论：首先当G在线段BE上且不与点E重合，可得GE=5﹣t′，S=（5﹣t′）×1×；‎ 当G在线段CE上且不与点E重合，这时候GE=t′﹣5，S=（t′﹣5）×，分别求出自变量的取值范围即可．‎ ‎（3）如图可求出GE的长与点G的坐标后可得点N的坐标．当点M在射线HF上时，分四种情况讨论：‎ 当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．过点P1作平行于y轴的直线，证明△P1Q1H∽△HEN得，然后求出t1的值；‎ 当点P运动至点P2时，∠P2HN=∠HNE．设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．可得△Q2TH∽△EHN，利用解得Q2T的长以及点T的坐标．求出直线HT的解析式后求出t2的值；‎ 当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，同1求出t的坐标；‎ 当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．求证△P4HE≌△THQ2，求出t的值．‎ 解答：解：（1）如图1，过A作AF⊥BC．‎ ‎∵C（4，﹣2），∴CE=4．‎ 而BC=9，∴BE=5．‎ ‎∴B（﹣5，﹣2）．‎ ‎∵D（1，2），∴AF=4．‎ ‎∵sin∠ABC=，∴BF=2．‎ ‎∴A（﹣2，2）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=．‎ ‎（2）如图1，由题意：‎ 情况一：G在线段BE上且不与点E重合．‎ ‎∴GE=5﹣t′，‎ S=（5﹣t′）×；‎ 情况二：G在线段CE上且不与点E重合．‎ ‎∴GE=t′﹣5‎ S=（t′﹣5）×；‎ 情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，‎ 情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．‎ ‎（3）如图2，‎ 当t′=秒时，GE=5﹣‎ ‎∴G（﹣，﹣2），直线GH解析式为y=2x+1．‎ ‎∴N（0，1）．‎ 当点M在射线HF上时，有两种情况：‎ 情况一：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．‎ 过点P1作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R．‎ 由BP1=t，sin∠ABC=，可得BR=，P1R=，‎ ‎∴RE=Q1R=5﹣，‎ ‎∴P1Q1=5﹣．‎ ‎∴Q1H=．‎ 由△P1Q1H∽△HEN得，‎ ‎∴t1=．‎ ‎∴当t1=时，∠P1HM=∠HNE；‎ 情况二：当点P运动至点P2时，∠P2HN=∠HNE．‎ 设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．‎ 此时，△Q2TH∽△EHN ‎∴解得．‎ ‎∴直线HT的解析式为y=﹣3x﹣4，此时直线HT恰好经过点A（﹣2，2）．‎ ‎∴点P2与点A重合，即BP2=5，‎ ‎∴t2=5．‎ ‎∴当t2=5秒时，∠P2HM=∠HNE；‎ 若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：‎ 情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．‎ 过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求点P1同样的方法．‎ ‎∴t3=15．‎ ‎∴当t3=15秒时，∠P3HM1=∠HNE；‎ 情况四：当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．‎ 可得△P4HE≌△THQ2，∴P4E=TQ2=．∴t4=‎ ‎∴当t4=秒时，∠P4HM2=∠HNE．‎ 综上所述：当t=秒或t=5秒或t=15秒或t=秒时，∠PHM=∠HNE．‎ 点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及分段函数的运用，本题难度较大，考生应注意全面分析题目求解．‎