二次函数中考数学真题汇编含详细答案解析

二次函数中考数学真题汇编含详细答案解析

二次函数中考真题汇编 一、选择题 ‎1. （2015，广西柳州，11，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　 A． x＜﹣2 B． ﹣2＜x＜4 C． x＞0 D． x＞4‎ 考点： 抛物线与x轴的交点．‎ 分析： 利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．‎ 解答： 解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．‎ 故选：B．‎ 点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．‎ ‎2. （2015，广西玉林，12，3分）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（　　）‎ ‎　 A． a=b+2k B． a=b﹣2k C． k＜b＜0 D． a＜k＜0‎ 考点： 二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．‎ 解答： 解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），‎ ‎∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，‎ ‎∴顶点（﹣，﹣），‎ 把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，‎ 由图象知：抛物线的开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴a＜k＜0，‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．‎ ‎3. （2015，广西河池，8，3分）将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,抛物线的解析式为( B ) ‎ ‎ A.y=(x+2)2+3  B. y=(x-2)2+3   C. y=(x+2)2﹣3  D. y=(x-2)-3‎ 解析:左加右减,上加下减,故选B ‎1． （2015•内蒙古赤峰8，3分）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．‎ 分析： 根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．‎ 解答： 解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，‎ ‎∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，‎ 反比例函数y=的图象在第二、四象限，‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．‎ ‎4. （2015•齐齐哈尔,第9题3分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析： 根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．‎ 解答： 解：函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正确；‎ 函数的对称轴是x=﹣1，即﹣=﹣1，则b=2a，2a﹣b=0，故②正确；‎ 当x=1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；‎ 则y1和y2的大小无法判断，则④错误．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了二次函数的性质，主要考查了利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．‎ ‎5. （2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第11题3分）二次函数y=（x+2）2﹣1的图象大致为（　　）‎ ‎　 A． B． C． ‎ 考点： 二次函数的图象．‎ 分析： 根据函数解析式判断出抛物线的对称轴、开口方向和顶点坐标即可．‎ 解答： 解：a=1＞0，抛物线开口向上，‎ 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．‎ ‎6. （2015•天津,第12题3分）（2015•天津）已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 抛物线与x轴的交点．‎ 分析： 令y=0，则﹣x2+x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．‎ 解答： 解：令y=0，则﹣x2+x+6=0，‎ 解得：x1=12，x2=﹣3‎ ‎∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）‎ ‎∵D为AB的中点，‎ ‎∴D（4.5，0），‎ ‎∴OD=4.5，‎ 当x=0时，y=6，‎ ‎∴OC=6，‎ ‎∴CD==．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．‎ ‎7.（2015•贵州省贵阳,第10题3分）已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（　　）‎ ‎　 A．y≥3 B． y≤3 C． y＞3 D． y＜3‎ 考点： 二次函数的性质．‎ 分析： 先求出x=2时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．‎ 解答： 解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3，‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴当x＞1时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，数形结合思想的应用．‎ ‎8. （2015•贵州省黔东南州,第10题4分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）‎ ‎　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析： 首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣，可得﹣，b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据此解答即可．‎ 解答： 解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，‎ ‎∴c=0，‎ ‎∴abc=0‎ ‎∴①正确；‎ ‎∵x=1时，y＜0，‎ ‎∴a+b+c＜0，‎ ‎∴②不正确；‎ ‎∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵抛物线的对称轴是x=﹣，‎ ‎∴﹣，b＜0，‎ ‎∴b=3a，‎ 又∵a＜0，b＜0，‎ ‎∴a＞b，‎ ‎∴③正确；‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，‎ ‎∴④正确；‎ 综上，可得 正确结论有3个：①③④．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．‎ ‎9. （2015•黑龙江省大庆,第9题3分）已知二次函数y=a（x﹣2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）‎ ‎　 A． y1+y2＞0 B． y1﹣y2＞0 C． a（y1﹣y2）＞0 D． a（y1+y2）＞0‎ 考点： 二次函数图象上点的坐标特征．‎ 分析： 分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．‎ 解答： 解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，‎ ‎∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，‎ ‎∴y1＞y2，‎ 无法确定y1+y2的正负情况，‎ a（y1﹣y2）＞0，‎ ‎②a＜0时，二次函数图象开口向下，‎ ‎∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，‎ ‎∴y1＜y2，‎ 无法确定y1+y2的正负情况，‎ a（y1﹣y2）＞0，‎ 综上所述，表达式正确的是a（y1﹣y2）＞0．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论．‎ ‎10. （2015•辽宁省盘锦,第8题3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有（　　）‎ ‎　 A．①③④ B． ②④⑤ C． ①②⑤ D． ②③⑤‎ 考点： 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答： 解：∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵﹣=﹣2，‎ ‎∴b=4a，ab＞0，‎ ‎∴①错误，④正确，‎ ‎∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，‎ ‎∴②⑤正确，‎ ‎∵当a=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，‎ ‎∴③错误，‎ 故正确的有②④⑤．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用 ‎11．（4分）（2015•黔西南州）（第9题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则 运动过程中所构成的△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 动点问题的函数图象；二次函数的图象．‎ 专题： 压轴题；动点型．‎ 分析： 解决本题的关键是正确确定y与x之间的函数解析式．‎ 解答： 解：∵运动时间x（s），则CP=x，CO=2x；‎ ‎∴S△CPO=CP•CO=x•2x=x2．‎ ‎∴则△CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是：y=x2（0≤x≤3），‎ 故选：C．‎ 点评： 解决本题的关键是读懂图意，确定函数关系式．‎ 二、填空题 ‎1. （2015•宁德 第15题 4分）二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（　2　，　﹣7　）．‎ 考点： 二次函数的性质．‎ 分析： 先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y=（x﹣2）2﹣7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．‎ 解答： 解：∵y=x2﹣4x﹣3‎ ‎=x2﹣4x+4﹣7‎ ‎=（x﹣2）2﹣7，‎ ‎∴二次函数y=x2﹣4x+7的顶点坐标为（2，﹣7）．‎ 故答案为（2，﹣7）．‎ 点评： 本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．‎ ‎2．（2015福建龙岩15，3分）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是　y=﹣2x2﹣4x﹣3　．‎ 考点： 二次函数图象与几何变换．‎ 分析： 根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．‎ 解答： 解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，‎ 抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，‎ 化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3，‎ 故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．‎ 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．‎ ‎3. （2015•辽宁省朝阳,第15题3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是　19.6　m．‎ 考点： 二次函数的应用．‎ 分析： 首先由题意得：t=4时，h=0，然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得a的值，然后再利用函数解析式计算出h的最大值即可．‎ 解答： 解：由题意得：t=4时，h=0，‎ 因此0=16a+19.6×4，‎ 解得：a=﹣4.9，‎ ‎∴函数关系为h=﹣4.9t2+19.6t，‎ 足球距地面的最大高度是：=19.6（m），‎ 故答案为：19.6．‎ 点评： 此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．‎ 三、解答题 ‎1. （2015•福建 第22题 10分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．‎ ‎（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；‎ ‎（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．‎ 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．.‎ 分析： （1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1；‎ ‎（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=﹣x+3，把对称轴方程x=1，直线y=﹣x+3即可得到结果．‎ 解答： 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，‎ ‎∴△=22+4m＞0，∴m＞﹣1；‎ ‎（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），‎ ‎∴0=﹣9+6+m ‎∴m=3，‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，‎ 令x=0，则y=3，‎ ‎∴B（0，3），‎ 设直线AB的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，‎ ‎∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，‎ ‎∴P（1，2）．‎ 点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，求函数的解析式，知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键．‎ ‎2. （2015•甘南州第17题 7分）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．‎ ‎（1）求证：2a+b=0；‎ ‎（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．‎ 考点：‎ 二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．.‎ 分析：‎ ‎（1）直接利用对称轴公式代入求出即可；‎ ‎（2）根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，∴2a+b=0；‎ ‎（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，‎ ‎∴16a+4b﹣8=0，‎ ‎∵2a+b=0，‎ ‎∴b=﹣2a，‎ ‎∴16a﹣8a﹣8=0，‎ 解得：a=1，则b=﹣2，‎ ‎∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，‎ 则（x﹣4）（x+2）=0，‎ 解得：x1=4，x2=﹣2，‎ 故方程的另一个根为：﹣2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法等知识，得出a，b的值是解题关键．‎ ‎3. （2015•宁德 第24题 4分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；‎ ‎（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；‎ ‎（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；‎ ‎（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标．‎ 解答： 解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，‎ 解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），‎ 设直线BC的解析式为：y=kx+d，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故直线BC的解析式为：y=x﹣3，‎ ‎∵B（3，0），C（0，﹣3），‎ ‎∴BO=OC=3，‎ ‎∴∠ABC=45°；‎ ‎（3）过点P作PD⊥x轴于点D，‎ ‎∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，‎ ‎∴△ABP∽△CBA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BO=OC=3，‎ ‎∴BC=3，‎ ‎∵A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴=，‎ 解得：BP=，‎ 由题意可得：PD∥OC，‎ 则△BDP∽△BOC，‎ 故==，‎ 则==，‎ 解得：DP=BD=，‎ ‎∴DO=，‎ 则P（，﹣）．‎ 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键．‎ ‎4. （2015•福建 第24题 12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点O到直线AB的距离；‎ ‎（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．.‎ 分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据勾股定理，可得OA2、OB2、AB2的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB的度数，根据点到直线的距离的定义，可得答案；‎ ‎（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．‎ 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，‎ 将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，‎ 解得a=．‎ 故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；‎ ‎（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，‎ OA2+AB2=OB2，‎ ‎∴∠OAB=90°，‎ O到直线AB的距离是OA=；‎ ‎（3）设M（a，b），N（a，0）‎ 当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，‎ 解得x1=3，x2=﹣1，‎ D（3，0），DN=3﹣a．‎ ‎①当△MND∽△OAB时，=，即=，‎ 化简，得4b=a﹣3 ①‎ M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②‎ 联立①②，得，‎ 解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，‎ M1（﹣2，），‎ 当△MND∽△BAO时，=，即=，‎ 化简，得b=12﹣4a ③，‎ 联立②③，得，‎ 解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，‎ M2（﹣17，80）．‎ 综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．‎ 点评： 本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．‎ ‎5. （2015•甘南州第22题 9分）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△ODE；‎ ‎（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；‎ ‎（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题．.‎ 分析：（1）由折叠和矩形的性质可知∠EDB=∠BCE=90°，可证得∠EDO=∠DBA，可证明△ABD∽△ODE；‎ ‎（2）由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA、AB，可求得F点坐标，可得到BF=DF，又由直角三角形的性质可得MD=MB，可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；‎ ‎（3）过D作x轴的垂线交BC于点G，设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N，可求得DM=DN=DG，可知点M、N为满足条件的点Q，可求得Q点坐标．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：‎ ‎∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，‎ ‎∴∠BDE=∠BCE=90°，‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，‎ ‎∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，‎ ‎∴△ABD∽△ODE；‎ ‎（2）证明：‎ ‎∵=，‎ ‎∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，‎ ‎∴CE=DE=5x，‎ ‎∴AB=OC=CE+OE=8x，‎ 又∵△ABD∽△ODE，‎ ‎∴==，‎ ‎∴DA=6x，‎ ‎∴BC=OA=10x，‎ 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，‎ ‎∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，‎ 当x=10时，代入可得y=，‎ ‎∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，‎ 在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，‎ ‎∴BF=DF，‎ 又M为Rt△BDE斜边上的中点，‎ ‎∴MD=MB，‎ ‎∴MF为线段BD的垂直平分线，‎ ‎∴MF⊥BD；‎ ‎（3）解：‎ 由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，‎ 令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，‎ ‎∴M（﹣4，0），N（12，0），‎ 过D作DG⊥BC于点G，如图所示，‎ 则DG=DM=DN=8，‎ ‎∴点M、N即为满足条件的Q点，‎ ‎∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．‎ 点评：‎ ‎6. （2015•甘南州第28题 12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．‎ ‎（1）求b，c的值；‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b；‎ ‎（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；‎ ‎（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），‎ ‎∴c=﹣4‎ 又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的两个根，‎ ‎∴x1+x2=b，x1x2=6‎ 由已知得（x2﹣x1）2=25‎ 又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24‎ ‎∴b2﹣24=25‎ 解得b=±，当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．‎ ‎∴b=﹣．‎ ‎（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，‎ 又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，‎ ‎∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D．‎ ‎（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与 抛物线y=﹣x2﹣x﹣4的交点，‎ ‎∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，‎ ‎∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．‎ 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上 点评： 本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正 ‎7．（2015•辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．‎ ‎（1）根据题意，填写如表：‎ 蔬菜的批发量（千克）‎ ‎…‎ ‎25‎ ‎60‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎…‎ 所付的金额（元）‎ ‎…‎ ‎125‎ ‎　300　‎ ‎300‎ ‎　360　‎ ‎…‎ ‎（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？‎ 考点： 二次函数的应用；一次函数的应用．‎ 分析： （1）根据这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元，可得60×5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×0.8=360元；‎ ‎（2）把点（5，90），（6，60）代入函数解析式y=kx+b（k≠0），列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；‎ ‎（3）利用最大利润=y（x﹣4），进而利用配方法求出函数最值即可．‎ 解答： 解：（1）由题意知：‎ 当蔬菜批发量为60千克时：60×5=300（元），‎ 当蔬菜批发量为90千克时：90×5×0.8=360（元）．‎ 故答案为：300，360；‎ ‎（2）设该一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把点（5，90），（6，60）代入，得 ‎，‎ 解得．‎ 故该一次函数解析式为：y=﹣30x+240；‎ ‎（3）设当日可获利润w（元），日零售价为x元，由（2）知，‎ w=（﹣30x+240）（x﹣5×0.8）=﹣30（x﹣6）2+120，‎ 当x=6时，当日可获得利润最大，最大利润为120元．‎ 点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是解题关键．‎ ‎8．（2015•辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；‎ ‎（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）直接代入求得函数解析式即可，由点D与C对称求得点D坐标即可；‎ ‎（2）由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°，则点Q一直在直线AD上运动，分别探讨当点P在线段AO上；点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上时的重叠面积，利用三角形的面积计算公式求得答案即可；‎ ‎（3）由于OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形，分两种情况探讨：当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；得出答案即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；‎ 则D点坐标为（﹣2，）．‎ ‎（2）∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tan∠DAP=，‎ ‎∴∠DAP=60°，‎ 又∵△APQ为等边三角形，‎ ‎∴点Q始终在直线AD上运动，当点Q与D重合时，由等边三角形的性质可知：AP=AD==2．‎ ‎①当0≤t≤2时，P在线段AO上，此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积．‎ AP=t，‎ ‎∵∠QAP=60°，‎ ‎∴点Q的纵坐标为t•sin60°=t，‎ ‎∴S=×t×t=t2．‎ ‎②当2＜t≤3时，如图：‎ 此时点Q在AD的延长线上，点P在OA上，‎ 设QP与DC交于点H，‎ ‎∵DC∥AP，‎ ‎∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，‎ ‎∴△QDH是等边三角形，‎ ‎∴S=S△QAP﹣S△QDH，‎ ‎∵QA=t，‎ ‎∴S△QAP=t2．‎ ‎∵QD=t﹣2，‎ ‎∴S△QDH=（t﹣2）2，‎ ‎∴S=t2﹣（t﹣2）2=t﹣．‎ ‎③当3＜t≤4时，如图：‎ 此时点Q在AD的延长线上，点P在线段OB上，‎ 设QP与DC交于点E，与OC交于点F，过点Q作AP的垂涎，垂足为G，‎ ‎∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，‎ ‎∴OF=OP•tan60°=（t﹣3），‎ ‎∴S△FOP=×（t﹣3）（t﹣3）=（t﹣3）2，‎ ‎∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE=t﹣．‎ ‎∴S=t﹣﹣（t﹣3）2=t2+4t﹣．‎ 综上所述，S与t之间的函数关系式为S=．‎ ‎（3）∵OC=，OA=3，OA⊥OC，则△OAC是含30°的直角三角形．‎ ‎①当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时；如图：‎ 过点M2作AO的垂线，垂足为N，‎ ‎∵∠M2AO=30°，AO=3，‎ ‎∴M2O=，‎ 又∵∠OM2N=M2AO=30°，‎ ‎∴ON=OM2=，M2N=ON=，‎ ‎∴M2的坐标为（﹣，）．‎ 同理可得M1的坐标为（﹣，）．‎ ‎②当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时；如图：‎ ‎∵以M、O、A为顶点的三角形与△OAC相似，‎ ‎∴=，或=，‎ ‎∵OA=3，‎ ‎∴AM=或AM=3，‎ ‎∵AM⊥OA，且点M在第二象限，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣3，）或（﹣3，3）．‎ 综上所述，符合条件的点M的所有可能的坐标为（﹣3，），（﹣3，3），（﹣，），（﹣，）．‎ 点评： 此题考查二次函数的综合运用，图形的运动，待定系数法求函数解析式，特殊角的三角函数，三角形的面积，分类讨论是解决问题的关键．‎ ‎9．（16分）（2015•黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．‎ ‎（1）求A、A′、C三点的坐标；‎ ‎（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；‎ ‎（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）利用抛物线与x轴的交点问题可求出C（﹣1，0），A′（3，0）；计算自变量为0时的函数值可得到A（0，3）；‎ ‎（2）先由平行四边形的性质得AB∥OC，AB=OC，易得B（1，3），根据勾股定理和三角形面积公式得到OB=，S△AOB=，再根据旋转的性质得∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，接着证明△C′OD∽△BOA，利用相似三角形的性质得=（）2，则可计算出S△C′OD；‎ ‎（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y轴交直线AA′于N，求出直线AA′的解析式为y=﹣x+3，则N（m，﹣m+3），于是可计算出MN=﹣m2+3m，再利用S△AMA′=S△ANM+S△MNA′和三角形面积公式得到S△AMA′=﹣m2+m，然后根据二次函数的最值问题求出△AMA′的面积最大值，同时刻确定此时M点的坐标．‎ 解答： 解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，则C（﹣1，0），A′（3，0）；‎ 当x=0时，y=3，则A（0，3）；‎ ‎（2）∵四边形ABOC为平行四边形，‎ ‎∴AB∥OC，AB=OC，‎ 而C（﹣1，0），A（0，3），‎ ‎∴B（1，3）‎ ‎∴OB==，S△AOB=×3×1=，‎ 又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，‎ ‎∴∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，‎ 又∵∠ACO=∠ABO，‎ ‎∴∠ABO=∠OC′D．‎ 又∵∠C′OD=∠AOB，‎ ‎∴△C′OD∽△BOA，‎ ‎∴=（）2=（）2=，‎ ‎∴S△C′OD=×=；‎ ‎（3）设M点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，‎ 作MN∥y轴交直线AA′于N，易得直线AA′的解析式为y=﹣x+3，则N（m，﹣m+3），‎ ‎∵MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，‎ ‎∴S△AMA′=S△ANM+S△MNA′‎ ‎=MN•3‎ ‎=（﹣m2+3m）‎ ‎=﹣m2+m ‎=﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，S△AMA'的值最大，最大值为，此时M点坐标为（）．‎ 点评： 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、抛物线与x轴的交点和二次函数的最值问题；会运用旋转的性质和平行四边形的性质；会利用相似三角形的性质计算三角形的面积．‎ ‎10．（2015•辽宁抚顺）（第23题，12分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：‎ 售价x（元/千克）‎ ‎…‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎…‎ 销售量y（千克）‎ ‎…‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎…‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？‎ ‎（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？‎ 考点： 二次函数的应用．‎ 分析： （1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．‎ ‎（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；‎ ‎（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．‎ 解答： 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得 ‎，‎ 解得．‎ 故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；‎ ‎（2）根据题意得 ‎（﹣x+150）（x﹣20）=4000，‎ 解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．‎ 故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；‎ ‎（3）w与x的函数关系式为：‎ w=（﹣x+150）（x﹣20）‎ ‎=﹣x2+170x﹣3000‎ ‎=﹣（x﹣85）2+4225，‎ ‎∵﹣1＜0，‎ ‎∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．‎ ‎∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．‎ 点评： 本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．‎ ‎11．（2015•辽宁抚顺）（第26题，14分））已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；‎ ‎（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）根据抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），应用待定系数法，求出抛物线的解析式即可．‎ ‎（2）首先作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n），根据翻折的性质，可得BD=DG；然后分别求出点D、点M的坐标各是多少，以及BC、BD的值各是多少；最后在Rt△GDM中，根据勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．‎ ‎（3）根据题意，分三种情况：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+8经过点A（﹣6，0），B（4，0），‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣x+8．‎ ‎（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，，‎ 设G点的坐标为（﹣1，n），‎ 由翻折的性质，可得BD=DG，‎ ‎∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，‎ ‎∴点D的坐标是（2，4），‎ ‎∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，‎ ‎∵B（4，0），C（0，8），‎ ‎∴BC==4，‎ ‎∴，‎ 在Rt△GDM中，‎ ‎32+（4﹣n）2=20，‎ 解得n=4±，‎ ‎∴G点的坐标为（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．‎ ‎（3）抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．‎ ‎①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，，‎ 由（2），可得点D的坐标是（2，4），‎ 设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），‎ 则 解得 ‎∴点F的坐标是（﹣1，4），点C的坐标是（1，0）．‎ ‎②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，，‎ 由（2），可得点D的坐标是（2，4），‎ 设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），‎ 则 解得 ‎∴点F的坐标是（﹣1，﹣4），点C的坐标是（﹣3，0）．‎ ‎③当CE∥DF时，如图④，，‎ 由（2），可得点D的坐标是（2，4），‎ 设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），‎ 则 解得 ‎∴点F的坐标是（﹣1，12），点C的坐标是（3，0）．‎ 综上，可得 抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，‎ 点F的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．‎ 点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．‎ ‎（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，以及待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．‎ ‎（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．‎ ‎12．（2015•辽宁阜新）（第18题，12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；‎ ‎（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；‎ ‎（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．‎ 解答： 解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得 ‎，‎ 解得．‎ 故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．‎ ‎（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．‎ ‎∵S△AOP=4S△BOC，‎ ‎∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．‎ 整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，‎ 解得x=﹣1或x=﹣1±．‎ 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；‎ ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，‎ 得，‎ 解得．‎ 即直线AC的解析式为y=x+3．‎ 设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），‎ QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，‎ ‎∴当x=﹣时，QD有最大值．‎ 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．‎ ‎13．（12分）（2015•葫芦岛）（第24题）小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元．‎ ‎（1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲=　10x+40　，y乙=　10x+20　；‎ ‎（2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？‎ 考点： 二次函数的应用．‎ 分析： （1）根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，列出不等式求出x的取值范围，根据题意列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出对称轴方程，得到答案．‎ 解答： 解：（1）由题意得，y甲=10x+40；‎ y乙=10x+20；‎ ‎（2）由题意得，‎ W=（10﹣x）（10x+40）+（20﹣x）（10x+20）‎ ‎=﹣20x2+240x+800，‎ 由题意得，10x+40≥（10x+20）‎ 解得x≤2，‎ W=﹣20x2+240x+800‎ ‎=﹣20（x﹣6）2+1520，‎ ‎∵a=﹣20＜0，‎ ‎∴当x＜6时，y随x增大而增大，‎ ‎∴当x=2时，W的值最大．‎ 答：当x定为2元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大．‎ 点评： 本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数的关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键．‎ ‎14．（14分）（2015•葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？‎ ‎（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，求出ac的值是多少，即可求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，然后设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），则点M的坐标是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出S△ABC，进而判断出当△BEC面积最大时，点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．‎ ‎（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．‎ 解答： 解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，‎ ‎∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），‎ ‎∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴y=﹣x2+x+3．‎ ‎（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，，‎ ‎∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，‎ ‎∴设点E的坐标是（x，﹣x2+x+3），‎ 则点M的坐标是（x，﹣x+3），‎ ‎∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，‎ ‎∴S△ABC=S△BEM+S△MEC ‎=‎ ‎=×（﹣x2+x）×4‎ ‎=﹣x2+3x ‎=﹣（x﹣2）2+3，‎ ‎∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．‎ ‎（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎①如图2，，‎ 由（2），可得点M的横坐标是2，‎ ‎∵点M在直线y=﹣x+3上，‎ ‎∴点M的坐标是（2，），‎ 又∵点A的坐标是（﹣2，0），‎ ‎∴AM==，‎ ‎∴AM所在的直线的斜率是：；‎ ‎∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，‎ ‎∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），‎ 则 解得或，‎ ‎∵x＜0，‎ ‎∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．‎ ‎②如图3，，‎ 由（2），可得点M的横坐标是2，‎ ‎∵点M在直线y=﹣x+3上，‎ ‎∴点M的坐标是（2，），‎ 又∵点A的坐标是（﹣2，0），‎ ‎∴AM==，‎ ‎∴AM所在的直线的斜率是：；‎ ‎∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，‎ ‎∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），‎ 则 解得或，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴点P的坐标是（5，﹣）．‎ ‎③如图4，，‎ 由（2），可得点M的横坐标是2，‎ ‎∵点M在直线y=﹣x+3上，‎ ‎∴点M的坐标是（2，），‎ 又∵点A的坐标是（﹣2，0），‎ ‎∴AM==，‎ ‎∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1，‎ ‎∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣x2+x+3），‎ 则 解得，‎ ‎∴点P的坐标是（﹣1，）．‎ 综上，可得 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，‎ 点P的坐标是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．‎ 点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．‎ ‎（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．‎ ‎（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．‎ ‎15. （2015，广西柳州，23，8分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．‎ ‎（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；‎ ‎（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？‎ 考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．‎ 分析： （1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；‎ ‎（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．‎ 解答： 解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，‎ ‎∴B（3，2），‎ ‎∵F为AB的中点，‎ ‎∴F（3，1），‎ ‎∵点F在反比例函数y=（k＞0）的图象上，‎ ‎∴k=3，‎ ‎∴该函数的解析式为y=（x＞0）；‎ ‎（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，），‎ ‎∴S△EFA=AF•BE=×k（3﹣k），‎ ‎=k﹣k2‎ ‎=﹣（k2﹣6k+9﹣9）‎ ‎=﹣（k﹣3）2+‎ 当k=3时，S有最大值．‎ S最大值=．‎ 点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎16. （2015，广西柳州，26，12分）如图，已知抛物线y=﹣（x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．‎ ‎（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；‎ ‎（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；‎ ‎（3）设点P坐标为（x，﹣x2+x﹣3）．根据NP=AB=列出方程（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2，解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是⊙N的切线．‎ 解答： （1）解：∵y=﹣（x2﹣7x+6）=﹣（x2﹣7x）﹣3=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣（x﹣）2+，‎ 顶点M的坐标是（，）；‎ ‎（2）解：∵y=﹣（x2﹣7x+6），‎ ‎∴当y=0时，﹣（x2﹣7x+6）=0，‎ 解得x=1或6，‎ ‎∴A（1，0），B（6，0），‎ ‎∵x=0时，y=﹣3，‎ ‎∴C（0，﹣3）．‎ 连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，‎ 则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，‎ 最小值为BC==3．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵B（6，0），C（0，﹣3），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，‎ 令x=，得y=×﹣3=﹣，‎ ‎∴R点坐标为（，﹣）；‎ ‎（3）证明：设点P坐标为（x，﹣x2+x﹣3）．‎ ‎∵A（1，0），B（6，0），‎ ‎∴N（，0），‎ ‎∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，‎ ‎∴NP=，‎ 即（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2，‎ 化简整理得，x4﹣14x3+65x2﹣112x+60=0，‎ ‎（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，‎ 解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），‎ ‎∴点P坐标为（2，2）．‎ ‎∵M（，），N（，0），‎ ‎∴PM2=（2﹣）2+（2﹣）2=，‎ PN2=（2﹣）2+22==，‎ MN2=（）2=，‎ ‎∴PM2+PN2=MN2，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∵点P在⊙N上，‎ ‎∴直线MP是⊙N的切线．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．第（3）问求出点P的坐标是解题的关键．‎ ‎17. （2015，福建南平，24，分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）填空：‎ ‎①用含m的式子表示点C，D的坐标：‎ C（　m　，　m　），D（　2m　，　0　）；‎ ‎②当m=　1　时，△ACD的周长最小；‎ ‎（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；‎ ‎（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；‎ ‎②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．‎ ‎（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．‎ 解答： 解：（1）依题意，得，解得 ‎∴y=x2﹣x ‎（2）C（m，m），D（2m，0），m=1‎ ‎（3）依题意，得B（m，0）‎ 在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，‎ ‎∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，‎ ‎∴CD=OC=m 在RT△AOE中，OA===‎ ‎∴AC=OA﹣OC=﹣m 在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5‎ 分三种情况讨论：‎ ‎①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）‎ ‎②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5‎ 解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）‎ ‎③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2‎ 解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）‎ 综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．‎ 点评： 此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．‎ ‎　‎ ‎18. （2015，广西钦州，21，8分）‎ 抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．‎ ‎（1）求点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）点C在反比例函数（）的图象上，求反比例函数的解析式．‎ 考点： 抛物线与x轴的交点；待定系数法求反比例函数解析式．‎ 分析： （1）令抛物线解析式中y=0得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出A与B坐标即可；配方后求出C坐标即可；‎ ‎（2）将求得的点C的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值．‎ 解答： 解：（1）令y=0，得到x2﹣4x+3=0，即（x﹣1）（x﹣3）=0，‎ 解得：x=1或3，‎ 则A（1，0），B（3，0），‎ ‎∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴顶点C的坐标为（2，﹣1）；‎ ‎（2）∵点C（2，﹣1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，‎ ‎∴k=﹣1×2=﹣2，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣；‎ 点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎19. （2015，广西玉林，24，9分）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；‎ ‎（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？‎ 考点： 二次函数的应用．‎ 分析： （1）由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式；‎ ‎（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．‎ 解答： 解：（1）设y=kx+b，由图象可知，‎ ‎，‎ 解之，得：，‎ ‎∴y=﹣2x+60；‎ ‎（2）p=（x﹣10）y ‎=（x﹣10）（﹣2x+60）‎ ‎=﹣2x2+80x﹣600，‎ ‎∵a=﹣2＜0，‎ ‎∴p有最大值，‎ 当x=﹣=20时，p最大值=200．‎ 即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元．‎ 点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．‎ ‎20. （2015，广西河池，26，12分）如图,抛物线y=-x2+2x+3,与x轴交于A,B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E(4,0)‎ ‎(1)写出D的坐标和直线l的解析式;‎ ‎(2)P(x,y)是线段BD上的动点（不与B,D重合）,PF⊥x轴于F,设四边形OFPC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求S的最大值;‎ ‎(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线,交直线l于M，交抛物线于N,连接CN,将△CMN沿CN翻折,M的对应点为M′,在图2中探究:是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标,若不存在，请说明理由.‎ 第26题 ‎【答案】（1）D（1，4），；（2）S=（），S最大值为；（3）Q的坐标为（，0）或（4，0）．‎ ‎ ‎ 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分类讨论；5．存在型；6．压轴题．‎ ‎21. （2015•贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．‎ ‎（1）a　＞　0，b2﹣4ac　＞　0（填“＞”或“＜”）；‎ ‎（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；‎ ‎（2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；‎ ‎（3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，分别求出E坐标即可．‎ 解答： 解：（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；‎ ‎（2）∵直线x=2是对称轴，A（﹣2，0），‎ ‎∴B（6，0），‎ ‎∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，‎ 解得：a=，b=﹣，c=﹣4，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x﹣4；‎ ‎（3）存在，理由为：‎ ‎（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，‎ 过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示， ‎ 则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，‎ ‎∵抛物线y=x2﹣x﹣4关于直线x=2对称，‎ ‎∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，‎ 又∵OC=4，‎ ‎∴E的纵坐标为﹣4，‎ ‎∴存在点E（4，﹣4）；‎ ‎（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是 平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，‎ 则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，‎ ‎∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，‎ ‎∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，‎ 又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，‎ ‎∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，‎ ‎∴4=x2﹣x﹣4，‎ 解得：x1=2+2，x2=2﹣2，‎ ‎∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″的坐标为（2﹣2，4）．‎ 点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22. （2015•黑龙江省大庆,第28题9分）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；‎ ‎（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．‎ ‎（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而判断出Q点坐标即可．‎ ‎（3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可．‎ 解答： 解：（1）如图1，连接AC，‎ ‎，‎ ‎∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，‎ ‎∴C点的坐标为（0，﹣4），‎ ‎∵tan∠ACO=，‎ ‎∴，‎ 又∵OC=4，‎ ‎∴OA=1，‎ ‎∴A点的坐标为（1，0），‎ 把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4，‎ 可得0=1+b﹣4，‎ 解得b=3，‎ ‎∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4．‎ ‎（2）如图2，‎ ‎，‎ ‎∵y=x2+3x﹣4，‎ ‎∴抛物线的对称轴是：x=﹣，‎ ‎∵Q为抛物线对称轴上的一点，‎ ‎∴设点Q的坐标为（﹣，n），‎ ‎∵抛物线的对称轴平行于y轴，‎ ‎∴∠CQP=∠OCQ，‎ 又∵∠OQC=∠CQP，‎ ‎∴∠OQC=∠OCQ，‎ ‎∴OQ=OC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得n=±，‎ ‎∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）．‎ ‎（3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，‎ ‎∵y的取值范围为≤y≤，‎ ‎∴‎ 由+3x1﹣4=，‎ 解得x1=﹣3，﹣2，2，‎ 由+3x2﹣4=，‎ 解得x2=﹣3，﹣2，2，‎ ‎∵x1≤x2≤﹣，‎ ‎∴‎ ‎②当x1≤﹣≤x2时，‎ Ⅰ、当﹣时，‎ 可得x1+x2≤﹣3，‎ ‎∵y的取值范围为≤y≤，‎ ‎∴‎ 由（1），可得，‎ 由（2），可得x1=﹣3，﹣2，2，‎ ‎∵x1≤﹣＜x2，，‎ ‎∴没有满足题意的x1、x2．‎ Ⅱ、当﹣时，‎ 可得x1+x2＞﹣3，‎ ‎∵y的取值范围为≤y≤，‎ ‎∴‎ 解得 ‎∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，‎ ‎∴没有满足题意的x1、x2．‎ ‎③当﹣＜x1≤x2时，‎ 二次函数y=x2+3x﹣4单调递增，‎ ‎∵y的取值范围为≤y≤，‎ ‎∴‎ ‎（1）×x2﹣（2）×x1，可得 ‎（x1﹣x2）（x1x2+4）=0，‎ ‎∵x1﹣x2≠0，‎ ‎∴x1x2+4=0，‎ ‎∴…（1），‎ 把（3）代入（1），可得 ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴没有满足题意的x1、x2．‎ 综上，可得 x1=﹣3，x2=﹣2时，当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤．‎ 点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．‎ ‎（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．‎ ‎23. （2015•辽宁省朝阳,第25题12分）如图，已知经过点D（2，﹣）的抛物线y=（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）填空：m的值为　　，点A的坐标为　（﹣1，0）　；‎ ‎（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；‎ ‎（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；‎ ‎（4）t是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）把点D坐标代入抛物线y=（x+1）（x﹣3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出点A，B坐标；‎ ‎（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；‎ ‎（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，此时DN的长度即为ME+MN的最小值；‎ ‎（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，设点P坐标，再表示出点G坐标，计算△ABD的三边，根据勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，即可得出结论，若△ABD是直角三角形，即可得出相似，再得出对应边成比例，求得点P坐标即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=（x+1）（x﹣3）经过点D（2，﹣），‎ ‎∴m=，‎ 把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），‎ 即y=x2﹣x﹣；‎ 令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，‎ 解得x=﹣1或3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0）；‎ ‎（2）如图1所示；‎ ‎（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，设DE与x轴交于点H，如图2，‎ 由（1）（2）得点D与点E关于x轴对称，‎ ‎∴MD=ME，‎ ‎∵AH=3，DH=，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∴∠BAD=∠BAE=30°，‎ ‎∴∠DAN=60°，‎ ‎∴sin∠DAN=，‎ ‎∴sin60°=，‎ ‎∴DN=3，‎ ‎∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值，‎ ‎∴ME+MN的最小值为3；‎ ‎（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，如图3，‎ ‎∵P是抛物线上一点，‎ ‎∴设点P坐标（x，x2﹣x﹣）；‎ ‎∴点G坐标（﹣1，x2﹣x﹣），‎ ‎∵A（﹣1，0），B（3，0），D（2，﹣）；‎ ‎∴AB=4，BD=2，AD=2，‎ ‎∴△ABD为直角三角形的形状，‎ ‎△ABD与以P、G、A为顶点的三角形相似，‎ 分两种情况：‎ ‎①△ABD∽△PAG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴2（x+1）=2（x2﹣x﹣），‎ 解得x1=4，x2=﹣1（舍去），‎ ‎∴P（4，）；‎ ‎②△ABD∽△APG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴2（x+1）=2（x2﹣x﹣），‎ 解得x1=6，x2=﹣1（舍去），‎ ‎∴P（6，7）；‎ ‎∴点P坐标（4，）或（6，7）．‎ 点评： 本题考查了二次函数的综合题，还考查了用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和逆定理以及轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．‎ ‎24. （2015•辽宁省盘锦,第26题14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下：‎ ‎①连接DF，求tan∠FDE的值；‎ ‎②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）利用待定系数法求得即可；‎ ‎（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；‎ ‎（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF===，即可求得tan∠FDE=；‎ ‎②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为y=﹣x+3，即可设出直线DG1的解析式为y=﹣x+m，直线DG2的解析式为y=2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．‎ 解答： 解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；‎ ‎（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），‎ ‎∴F的纵坐标为3，‎ 把y=3代入y=﹣x2+x+3得，3=﹣x2+x+3；‎ 解得x=0或x=4，‎ ‎∴F（4，3），‎ ‎∴OH=4，‎ ‎∵∠CDE=90°，‎ ‎∴∠ODC+∠EDH=90°，‎ ‎∴∠OCD=∠EDH，‎ 在△OCD和△HDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△OCD≌△HDE（AAS），‎ ‎∴DH=OC=3，‎ ‎∴OD=4﹣3=1；‎ ‎（3）①如图3，连接CE，‎ ‎∵△OCD≌△HDE，‎ ‎∴HE=OD=1，‎ ‎∵BF=OC=3，‎ ‎∴EF=3﹣1=2，‎ ‎∵∠CDE=∠CFE=90°，‎ ‎∴C、D、E、F四点共圆，‎ ‎∴∠ECF=∠EDF，‎ 在RT△CEF中，∵CF=OH=4，‎ ‎∴tan∠ECF===，‎ ‎∴tan∠FDE=；‎ ‎②如图4，连接CE，‎ ‎∵CD=DE，∠CDE=90°，‎ ‎∴∠CED=45°，‎ 过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°‎ ‎∵EH=1，OH=4，‎ ‎∴E（4，1），‎ ‎∵C（0，3），‎ ‎∴直线CE的解析式为y=﹣x+3，‎ 设直线DG1的解析式为y=﹣x+m，‎ ‎∵D（1，0），‎ ‎∴0=﹣×1+m，解得m=，‎ ‎∴直线DG1的解析式为y=﹣x+，‎ 当x=4时，y=﹣+=﹣，‎ ‎∴G1（4，﹣）；‎ 设直线DG2的解析式为y=2x+n，‎ ‎∵D（1，0），‎ ‎∴0=2×1+n，解得n=﹣2，‎ ‎∴直线DG2的解析式为y=2x﹣2，‎ 当x=4时，y=2×4﹣2=6，‎ ‎∴G2（4，6）；‎ 综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，﹣）或（4，6）．‎ 点评： 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．‎ ‎25. （2015•北海,第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．‎ ‎（1）直接写出D点和E点的坐标；‎ ‎（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？‎ ‎（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）首先根据抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，求出点D的坐标是多少即可；然后设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E点的坐标是多少即可．‎ ‎（2）令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐标，然后再根据S△HGF：S△BGF=5：6，得到：，然后再证明△HGM∽△ABN，，从而可证得，所以HG=5，设点H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；‎ ‎（3）分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可．‎ 解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9‎ ‎∴D点的坐标是（2，9）；‎ ‎∵E为对称轴上的一点，‎ ‎∴点E的横坐标是：﹣=2，‎ 设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），‎ ‎∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，‎ ‎∴△CEC′是等腰直角三角形，‎ ‎∴‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．‎ 综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．‎ ‎（2）如图1所示：‎ 令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=5，‎ 所以点A（﹣1，0），B（5，0）．‎ 设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得，‎ 解得：，‎ ‎∴直线C′E的解析式为y=x+1，‎ 将y=x+1与y=﹣x2+4x+5，联立得：，‎ 解得：，，‎ ‎∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上．‎ ‎∵直线C′E的解析式为y=x+1，‎ ‎∴∠FAB=45°．‎ 过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．‎ ‎∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．‎ 又∵∠NAD=∠HNM=45°．‎ ‎∴△HGM∽△ABN ‎∴，‎ ‎∵S△HGF：S△BGF=5：6，‎ ‎∴．‎ ‎∴，即，‎ ‎∴HG=5．‎ 设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），‎ ‎∴﹣m2+4m+5﹣（m+1）=5．‎ 解得：m1=，m2=．‎ ‎（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4（x﹣1）+5=﹣x2+6x．‎ 将x=5代入y=﹣x2+6x得：y=5，‎ ‎∴点T的坐标为（5，5）．‎ 设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，‎ ‎∴直线OT的解析式为y=x，‎ ‎①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，‎ 将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得：x2﹣6x+5=0，‎ 解得：x1=1，x2=5．‎ ‎∴点P的坐标为（1，5）．‎ 将x=1代入y=x得：y=1，‎ ‎∴点Q的坐标为（1，1）．‎ ‎②如图3所示：‎ 由①可知：点P的坐标为（1，5）．‎ ‎∵△PTQ为等腰直角三角形，‎ ‎∴点Q的横坐标为3，‎ 将x=3代入y=x得；y=3，‎ ‎∴点Q得坐标为（3，3）．‎ ‎③如图4所示：‎ 设直线PT解析式为y=kx+b，‎ ‎∵直线PT⊥QT，‎ ‎∴k=﹣1．‎ 将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，‎ ‎∴直线PT的解析式为y=﹣x+10．‎ 将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得：x1=2，x2=5‎ ‎∴点P的横坐标为2．‎ 将x=2代入y=x得，y=2，‎ ‎∴点Q的坐标为（2，2）．‎ 综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．‎ 点评： 本题主要考查的是二次函数的综合应用，明确△HGF和△BGF的面积比等于HG和AB的边长比是解题的关键，同时解答本题主要应用了分类讨论的思想需要同学们分别根据∠P、∠Q、∠T为直角进行分类计算．‎ ‎26. （2015•梧州,第26题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；‎ ‎（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．所有 分析： （1）根据B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，代入抛物线得到方程组，求出a，b的值，即可解答；‎ ‎（2）先求出直线AB的解析式为y=﹣x+2，设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，），根据G点与D点关于F点对称，所以G点的坐标为（x，），若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，分两种情况解答：①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE；②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE；‎ ‎（3）M点的横坐标为2±2，N点的横坐标为±2．‎ 解答： 解：（1）∵B，C两点在抛物线y=ax2+bx+2上，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎∴所求的抛物线为：y=．‎ ‎（2）抛物线y=，则点A的坐标为（0，2），‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，‎ 设F点的坐标为（x，x+2），则D点的坐标为（x，），‎ ‎∵G点与D点关于F点对称，‎ ‎∴G点的坐标为（x，），‎ 若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与其中一条坐标轴相切，‎ ‎①若⊙G与x轴相切则必须由DG=GE，‎ 即+2，‎ 解得：x=，x=4（舍去）；‎ ‎②若⊙G与y轴相切则必须由DG=OE，‎ 即 解得：x=2，x=0（舍去）．‎ 综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与其中一条坐标轴相切时，G点的横坐标为2或．‎ ‎（3）M点的横坐标为2±2，N点的横坐标为±2．‎ 点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，难度较大，注意分类讨论思想的应用．‎ ‎27. （2015•河北,第25题11分）如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．‎ ‎（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；‎ ‎（2）设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；‎ ‎（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：yC=﹣h2+1，则由二次函数的最值的求法易得yc的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y1与y2的大小；‎ ‎（3）根据已知条件“O（0，0），A（﹣5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．‎ 解答： 解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y=﹣（x﹣h）2+1，得 ‎1=﹣（2﹣h）2+1．‎ 解得h=2．‎ 则该函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1（或y=﹣x2+4x﹣3）．‎ 故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；‎ ‎（2）点C的横坐标为0，则yC=﹣h2+1．‎ 当h=0时，yC=有最大值1，‎ 此时，抛物线l为：y=﹣x2+1，对称轴为y轴，开口方向向下，‎ 所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，‎ 所以，x1＞x2≥0，y1＜y2；‎ ‎（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O（0，0），A（﹣5，0），‎ ‎∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．‎ 把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得 ‎0=﹣（﹣1﹣h）2+1，‎ 解得h1=0，h2=﹣2．‎ 但是当h=﹣2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．‎ 同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，得 h=﹣5或h=﹣3（舍去）．‎ 综上所述，h的值是0或﹣5．‎ 点评： 本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大．解答（3）题时，注意对h的值根据实际意义进行取舍．‎ ‎28. （2015•齐齐哈尔,第23题7分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．‎ 考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；‎ ‎（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．‎ 解答： 解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），‎ 把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，‎ 解得：b=2，c=4，‎ 则解析式为y=﹣x2+2x+4；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，‎ ‎∴抛物线顶点坐标为（2，6），‎ 则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．‎ 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎29. （2015•黄冈,第24题14分）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求OE 的长；‎ ‎(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；‎ ‎(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.‎ 考点：二次函数综合题． ‎ 分析：（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△ COE 中，由勾股定理可求得OE，设AD=m ， ‎ ‎ 在Rt△ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C、O 两点，利 ‎ ‎ 用待定系数法可求得抛物线解析式； ‎ ‎ （2 ）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△ DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t ‎ ‎ 的值； ‎ ‎ （3 ）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对 ‎ ‎ 角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐 ‎ ‎ 标，再代入抛物线解析式可求得M 点的坐标． ‎ 解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ‎ ‎ ∴在Rt△ COE 中，OE==3 ， ‎ ‎ 设AD=m ，则DE=BD=4 ﹣m ， ‎ ‎ ∵OE=3， ‎ ‎ ∴AE=5 ﹣3=2， ‎ ‎ 在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD2 +AE2 =DE2 ，即m2 +22 = （4 ﹣m ）2 ，‎ ‎ 解得m= ， ‎ ‎ ∴D （﹣，﹣5 ）， ‎ ‎ ∵C （﹣4 ，0 ），O （0，0 ）， ‎ ‎ ∴设过O、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4 ）， ‎ ‎ ∴﹣5= ﹣ a （﹣+4 ），解得a= ， ‎ ‎ ∴抛物线解析式为y=x （x+4 ）= x2 + x ； ‎ ‎ （2 ）∵CP=2t ， ‎ ‎ ∴BP=5 ﹣2t ， ‎ ‎ 在Rt△ DBP 和Rt△ DEQ 中， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ∴Rt△ DBP ≌Rt△ DEQ （HL ）， ‎ ‎ ∴BP=EQ ， ‎ ‎ ∴5 ﹣2t=t ， ‎ ‎ ∴t= ； ‎ ‎ （3 ）∵抛物线的对称为直线x= ﹣2 ， ‎ ‎ ∴设N（﹣2 ，n ）， ‎ ‎ 又由题意可知C （﹣4 ，0 ），E （0，﹣3 ）， ‎ ‎ 设M （m ，y ）， ‎ ‎ ①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时， ‎ ‎ 则线段EN 的中点横坐标为= ﹣1，线段CM 中点横坐标为，‎ ‎ ∵EN，CM 互相平分， ‎ ‎ ∴ = ﹣1，解得m=2 ， ‎ ‎ 又M 点在抛物线上， ‎ ‎ ∴y=x2 + x=16 ， ‎ ‎ ∴M （2 ，16）； ‎ ‎ ②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时， ‎ ‎ 则线段EM 的中点横坐标为，线段CN 中点横坐标为 = ﹣3， ‎ ‎ ∵EN，CM 互相平分， ‎ ‎ ∴ = ﹣3，解得m= ﹣6， ‎ ‎ 又∵M 点在抛物线上， ‎ ‎ ∴y= × （﹣6 ）2 + × （﹣6 ）=16 ， ‎ ‎ ∴M （﹣6，16）； ‎ ‎ ③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时， ‎ ‎ 则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2 ，﹣ ）． ‎ ‎ 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2 ，16）或（﹣6，16）或（﹣2 ，﹣ ）． ‎ 点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折 叠的性质、‎ ‎ 平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D 点坐标是解题的关键，在 （2 ）中证得全等，得 ‎ 到关于t 的方程是解题的关键，在（3 ）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综 ‎ 合性较强，难度适中． ‎ ‎30. （2015•黑龙江哈尔滨，第27题10分）（2015•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+1（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y=ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ=，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，求线段PN的长； ‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，使点D在直线AB下方，且CD=AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）易得点C的坐标为（0，1），然后把点B、点C的坐标代入抛物线的解析式，即可解决问题；‎ ‎（2）把B（4，3）代入y=kx+1中，即可得到k的值，从而可求出点A的坐标，就可求出tan∠CAO=（即tan∠PAQ=），设PQ=m，则QA=2m，根据条件tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，即可求出PN的值；‎ ‎（3）由条件CD⊥AB，CD=AC，想到构造全等三角形，过点D作DF⊥CO于点F，易证△ACO≌△CDF，从而可以求出FD、CF、OF．作PH∥CN，交y轴于点H，连接DH，易证四边形CHPN是平行四边形，从而可得CN=HP，CH=PN，通过计算可得DH=PN，从而可得△PHD是以PN、PD、NC的长为三边长的三角形，则有S△PHD=．延长FD、PQ交于点G，易得∠G=90°．由点P在y=x+1上，可设P（t，t+1），根据S四边形HFGP=S△HFD+S△PHD+S△PDG，可求出t的值，从而得到点P、N的坐标及tan∠DPG的值，从而可得tan∠DPG=tan∠HDF，则有∠DPG=∠HDF，进而可证到∠HDP=90°．若△ENP与△PDH全等，已知PN=DH，可分以下两种情况（①∠ENP=∠PDH=90°，EN=PD，②∠NPE=∠HDP=90°，BE=PD）进行讨论，即可解决问题．‎ 解答： 解：（1）当x=0时，由y=kx+1得y=1，则C（0，1）．‎ ‎∵抛物线y=ax2﹣（6a﹣2）x+b（a≠0）经过C（0，1），B（4，3），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴a=；‎ ‎（2）把B（4，3）代入y=kx+1中，得 ‎3=4k+1，解得：k=，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+1．‎ 由y=0得0=x+1，‎ 解得：x=﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），OA=2，‎ ‎∵C（0，1），‎ ‎∴OC=1，‎ ‎∴tan∠CAO==．‎ ‎∵PQ⊥x轴，‎ ‎∴tan∠PAQ==，‎ 设PQ=m，则QA=2m，‎ ‎∵tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵MQ=，∴﹣=，∴PN=；‎ ‎（3）在y轴左侧抛物线上存在E，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等．‎ 过点D作DF⊥CO于点F，如图2，‎ ‎∵DF⊥CF，CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDF+∠DCF=90°，∠DCF+∠ACO=90°，‎ ‎∴∠CDF=∠ACO，‎ ‎∵CO⊥x轴，DF⊥CO，‎ ‎∴∠AOC=∠CFD=90°，‎ 在△ACO和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACO≌△CDF（AAS），‎ ‎∴CF=AO=2，DF=CO=1，‎ ‎∴OF=CF﹣CO=1，‎ 作PH∥CN，交y轴于点H，连接DH，‎ ‎∵CH∥PN，‎ ‎∴四边形CHPN是平行四边形，‎ ‎∴CN=HP，CH=PN=，‎ ‎∴HF=CF﹣CH=，DH==，‎ ‎∴DH=PN．‎ ‎∴△PHD是以PN，PD，NC的长为三边长的三角形，‎ ‎∴S△PHD=．‎ 延长FD、PQ交于点G，‎ ‎∵PQ∥y轴，‎ ‎∴∠G=180°﹣∠CFD=90°，‎ ‎∴S四边形HFGP=S△HFD+S△PHD+S△PDG，‎ ‎∴（HF+PG）FG=HF•FD++DG•PG．‎ ‎∵点P在y=x+1上，∴可设P（t，t+1），‎ ‎∴（+t+1+1）•t=××1++（t﹣1）•（t+1+1），‎ ‎∴t=4，P（4，3），‎ ‎∴N（4，），tan∠DPG==．‎ ‎∵tan∠HDF==，‎ ‎∴∠DPG=∠HDF．‎ ‎∵∠DPG+∠PDG=90°，‎ ‎∴∠HDF+∠PDG=90°，‎ ‎∴∠HDP=90°．‎ ‎∵PN=DH，若△ENP与△PDH全等，则有两种情况：‎ ‎①当∠ENP=∠PDH=90°，EN=PD时，‎ ‎∵PD==5，∴EN=5，‎ ‎∴E（﹣1，）．‎ 由（1）得：抛物线y=x2﹣x+1．‎ 当x=﹣1时，y=，所以点E在此抛物线上．‎ ‎②当∠NPE=∠HDP=90°，BE=PD时，‎ 则有E（﹣1，3），此时点E不在抛物线上，‎ ‎∴存在点E，满足题中条件，点E的坐标为（﹣1，）．‎ 点评： 本题主要考查了运用待定系数法求直线及二次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角函数的定义、抛物线上点的坐标特征、勾股定理等知识，通过平移CN，将PN、PD、NC归结到△PHD 中，是解决本题的关键．在解决问题的过程中，用到了分类讨论、平移变换、割补法、运算推理等重要的数学思想方法，应学会使用．‎ ‎31. （2015•青海，第28题13分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）判断△BCM的形状，并说明理由；‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；‎ ‎（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC 的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．‎ 解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）△BCM为直角三角形，理由为：‎ 对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），‎ 令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），‎ 根据勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，‎ ‎∵BM2=BC2+CM2，‎ ‎∴△BCM为直角三角形；‎ ‎（3）如图1，‎ 连接AC，‎ ‎∵△COA∽△CAP，△PCA∽△BCD，‎ ‎∴Rt△COA∽Rt△BCD，P点与O点重合，‎ ‎∴点P（0，0）．‎ 如图2，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，‎ ‎∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴点P1（0，）．‎ 如图3，过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，‎ ‎∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，‎ ‎∴=，‎ 即=，AP2=10，‎ ‎∴点P2（9，0）．‎ ‎∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）．‎ 点评： 此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．‎ ‎　‎ ‎31. （2015•天津,第25题10分）（2015•天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．‎ ‎（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；‎ ‎（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．‎ 考点： 二次函数的最值；二次函数的性质．‎ 分析： （Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；‎ ‎（Ⅲ）当c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可．‎ 解答： 解：（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，‎ ‎∴当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；‎ ‎（Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5，‎ 由题意得，x2+bx+5=1有两个相等是实数根，‎ ‎∴△=b2﹣16=0，‎ 解得，b1=4，b2=﹣4，‎ ‎∴次函数的解析式y=x2+4x+5，y=x2﹣4x+5；‎ ‎（Ⅲ）当c=b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，‎ 图象开口向上，对称轴为直线x=﹣，‎ ‎①当﹣＜b，即b＞0时，‎ 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=b时，y=b2+b•b+b2=3b2为最小值，‎ ‎∴3b2=21，解得，b1=﹣（舍去），b2=；‎ ‎②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，‎ ‎∴x=﹣，y=b2为最小值，‎ ‎∴b2=21，解得，b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；‎ ‎③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，‎ 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，‎ 故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，‎ ‎∴3b2+9b+9=21．解得，b1=1（舍去），b2=﹣4；‎ ‎∴b=时，解析式为：y=x2+x+7‎ b=﹣4时，解析式为：y=x2﹣4x+16．‎ 综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．‎ 点评： 本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=‎ ‎﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．‎ ‎32.（2015•重庆A26，12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与轴的交点为D。‎ ‎（1）求直线BC的解析式。‎ ‎（2）点E（m，0），F（m+2，0）为轴上两点，其中，，F分别垂直于轴，交抛物线与点，，交BC于点M，N，当的值最大时，在轴上找一点R，使得值最大，请求出R点的坐标及的最大值。‎ ‎（3）如图2，已知轴上一点，现以点P为顶点，为边长在轴上方作等边三角形QPC，使GP⊥轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为，设与△ADC的重叠部分面积为s，当点到轴的距离与点到直线AW的距离相等时，求s的值。‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ 考点：二次函数综合题． ‎ 分析：（1）求出抛物线与x 轴的交点坐标和顶点坐标，用待定系数法求解析式即可； ‎ ‎ （2 ）先求出E′、F′的坐标表示，然后求出E′M、F′N ，用二次函数的顶点坐标求出当 ‎ ‎ m=3 时，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐标，再求出E′F′的解析式，当点R 在直 ‎ ‎ 线E′F′与y 轴的交点时，|RF′ ﹣RE′|的最大值，从而求出R 点的坐标及|RF′ ﹣RE′|的最 ‎ ‎ 大值； ‎ ‎ （3 ）分类讨论Q 点在∠CAB 的角平分线或外角平分线上时，运用三角形相似求出相 ‎ ‎ 应线段，在求出△ Q′P′G′与△ADC 的重叠部分面积为S ． ‎ 解答：⑴ ‎ ‎⑵‎ 故：‎ 当时，最大，‎ 此时 ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎⑶由题意，Q点在的角平分线或外角平分线上 ‎①当Q点在的角平分线上时，如图 ‎,‎ ‎△RMQ’∽△RNC，故，则 ‎△CRN∽△CWO，故 ‎∴DN=CD-CN=‎ 故 ‎②当Q点在的外角平分线上时，如图 ‎△Q’RN∽△WCO，故，故 ‎△RCM∽△WCO，故CM=‎ 在Rt△Q’MP’中，，故 在Rt△CP’S中，‎ 故S=‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的三边关系，三 ‎ ‎ 角形相似的判定与性质以及数形结合和分类讨论思想的综合运用，此题牵扯知识面 ‎ ‎ 广，综合性强，难度较大． ‎ ‎33．（14分）（2015•内蒙古赤峰26，14分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求此二次函数解析式；‎ ‎（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；‎ ‎（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；‎ ‎（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；‎ ‎（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．‎ 解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），‎ ‎∴根据题意，得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），‎ ‎∴CD==，‎ BC==3，‎ BD==2，‎ ‎∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，‎ ‎∴CD2+BC2=BD2，‎ ‎∴△BCD是直角三角形；‎ ‎（3）存在．CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=‎ y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．‎ ‎①若以CD为底边，则PD=PC，‎ 设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，‎ 得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，‎ 即y=4﹣x．‎ 又P点（x，y）在抛物线上，‎ ‎∴4﹣x=﹣x2+2x+3，‎ 即x2﹣3x+1=0，‎ 解得x1=，x2=＜1，应舍去，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴y=4﹣x=，‎ 即点P坐标为（，）．‎ ‎②若以CD为一腰，‎ ‎∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，‎ 此时点P坐标为（2，3）．‎ ‎∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．‎ 点评： 此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．‎ ‎　‎ ‎34．（8分）（2015•广东茂名23，8分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：‎ ‎①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：‎ 时间（第x天） 1 3 6 10 …‎ 日销售量（m件） 198 194 188 180 …‎ ‎②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：‎ 时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90‎ 销售价格（元/件） x+60 100‎ ‎（1）求m关于x的一次函数表达式；‎ ‎（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】‎ ‎（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．‎ 考点： 二次函数的应用．‎ 分析： （1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；‎ ‎（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；‎ ‎（3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．‎ 解答： 解：（1）∵m与x成一次函数，‎ ‎∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200；‎ ‎（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：，‎ 当1≤x＜50时，y=﹣2x2+160x+4000=﹣2（x﹣40）2+7200，‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；‎ 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000，‎ ‎∵﹣120＜0，‎ ‎∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；‎ 综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；‎ ‎（3）在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．‎ 点评： 本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．‎ ‎35．（8分）（2015•广东茂名25,8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．‎ ‎（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；‎ ‎（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；‎ ‎（2）由y=x2+x+4=（x+5）2﹣，得到顶点坐标E（﹣5，﹣），求得直线CE的函数解析式y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，得到G（0，），如图1，连接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣=，CG=，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；‎ ‎（3）如图2，连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，求得直线BD的解析式为y=x+4，得到点N的坐标为（t，t+4），于是得到FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=（﹣t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，即可得到结论．‎ 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，‎ 把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，‎ 解得．‎ ‎∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；‎ ‎（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2﹣，‎ ‎∴E（﹣5，﹣），‎ 设直线CE的函数解析式为y=mx+n，‎ 直线CE与y轴交于点G，则，‎ 解得．‎ ‎∴y=x+，‎ 在y=x+中，令x=0，y=，‎ ‎∴G（0，），‎ 如图1，连接AB，AC，AG，‎ 则BG=OB﹣OG=4﹣=，‎ CG===，‎ ‎∴BG=CG，AB=AC，‎ 在△ABG与△ACG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABG≌△ACG，‎ ‎∴∠ACG=∠ABG，‎ ‎∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），‎ ‎∴∠ABG=90°，‎ ‎∴∠ACG=∠ABG=90°‎ ‎∵点C在⊙A上，‎ ‎∴直线CE与⊙A相切；‎ ‎（3）存在点F，使△BDF面积最大，‎ 如图2连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），‎ 过F作FN∥y轴交BD于点N，‎ 设直线BD的解析式为y=kx+d，则，‎ 解得．‎ ‎∴直线BD的解析式为y=x+4，‎ ‎∴点N的坐标为（t，t+4），‎ ‎∴FN=t+4﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣2t，‎ ‎∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=（﹣t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，‎ ‎∴当t=﹣4时，S△BDF最大，最大值是16，‎ 当t=﹣4时，t2+t+4=﹣2，‎ ‎∴F（﹣4，﹣2）．‎ 点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎36．（14分）（2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．‎ ‎（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）证明∠ACO=∠OBC；‎ ‎（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．‎ 分析： （1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO．‎ ‎（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，t2﹣t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可．‎ 解答： 解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），‎ ‎∴点D的纵坐标是4，‎ 又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴4=，‎ 解得x=5，‎ 故点D的坐标是（5，4）．‎ 如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，‎ 在RT△DAE中，DA=5，DE=4，‎ ‎∴AE==3，‎ ‎∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，‎ ‎∴A（2，0），B（8，0），‎ 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），‎ ‎∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+4．‎ ‎（2）如图2，连接AC，‎ 在RT△AOC中，OA=2，CO=4，‎ ‎∴tan∠ACO==，‎ 在RT△BOC中，OB=8，CO=4，‎ ‎∴tan∠CBO==，‎ ‎∴∠ACO=∠CBO．‎ ‎（3）∵B（8，0），C（0，4），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，‎ 如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，‎ 设P（t，t2﹣t+4），‎ ‎①AQ：AP=1：4，则易得Q（，），‎ ‎∵点Q在直线y=﹣x+4上，‎ ‎∴﹣+4=，整理得t2﹣8t﹣36=0，‎ 解得t1=4+2，t2=4﹣2，‎ ‎∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），‎ ‎②AQ：AP=2：4，则易得Q（，），‎ ‎∵点Q在直线y=﹣x+4上，‎ ‎∴﹣•+4=，‎ 整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2，P4=4﹣2，‎ ‎∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；‎ ‎③AQ：AP=3：4，则易得Q（，），‎ ‎∵点Q在直线y=﹣x+4上，‎ ‎∴﹣•+4=，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t5=4+2，t6=4﹣2，‎ ‎∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），‎ 综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．‎ 点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．‎