济南中考数学压轴题专项突破

济南中考数学压轴题专项突破

济南中考数学压轴题专项突破 ‎1.(2001济南中考) （本题满分8分）如图1，已知⊙O和⊙都经过点A和点B，直线PQ切⊙O于点P，交⊙于点Q、M，交AB的延长线于点N。‎ ‎ （1）求证：‎ ‎ （2）若M是PQ的中点，设，，求证：。‎ ‎ （3）若⊙不动，把⊙向右或向左平移，分别得到图2、图3、图4，请你判断（直接写出判断结论，不需证明）：‎ ‎ <1>（1）题结论是否仍然成立？‎ ‎ <2>在图2中，（2）题结论是否仍然成立？‎ ‎ 在图3、图4中，若将（2）题条件改为：M是PN的中点，设，，则的结论是否仍然成立？‎ ‎2.(2001济南中考)（本题满分9分）如图，等边的边长为，以BC边所在直线为轴，BC边上的高线AO所在的直线为轴建立平面直角坐标系。‎ ‎ （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式。‎ ‎ （2）如图，设⊙P是的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积。‎ ‎ （3）点D为轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由。‎ ‎ （4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P设轴运动，设P点坐标为，则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时的取值范围。‎ ‎3．(2002济南中考)(本题满分7分) (02济南市)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点．‎ ‎(1)当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切．为什么？‎ ‎(2)当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF．为什么？‎ ‎4．(2002济南中考)(本题满分8分) (02济南市)如图，已知AB＝AC＋BD，∠CAB＝∠ABD＝90°,AD交BC于 P，⊙P与AB相切于点Q．设AC＝a,BD＝b(a≤b)．‎ ‎ (1)求⊙P的半径r ‎ (2)以AB为直径在AB的上方作半圆O(用尺规作图，保留痕迹，不写作法),请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；‎ ‎ (3)设a=2,b=4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π时请说出你的结论，并给出证明．‎ ‎5．(2003济南中考)（本题9分）⊙与⊙相交于A、B两点，如图（1），连结并延长交⊙于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙于C、D两点，连结CO并延长交⊙于E点．已知⊙的半径为R，设∠CAD＝α．‎ ‎（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；‎ ‎（2）试判断CD与P的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）设点P’为⊙上（⊙外）的动点，连结P’A、P’B并分别延长交⊙于C’、‎ D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’的位置关系如何？并说明理由．‎ ‎（注：图（2）与图（3）中⊙和⊙的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．‎ ‎ ‎ ‎6．(2003济南中考)（本题9分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加上，得到B点的坐标，则A、B上两点一定仍在抛物线上．‎ ‎（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线的顶点所在直线的解析式；‎ ‎（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；‎ ‎（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊——一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由．‎ ‎7、(2004济南中考)（本题8分）‎ 已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点。‎ ‎（1）如图（1），连结O O′交⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求的值。‎ ‎（2）若点C为⊙O上一动点。‎ ‎ ①当点C运动到⊙O′内时，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，则的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由。‎ ‎②当点C运动到⊙O′内外，如图（2），过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图（3），则的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由。‎ ‎8、（2004济南中考）（本题8分）‎ 已知等边△ABC边长为，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙与⊙都不在△ABC的外部，且⊙、⊙分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′。‎ ‎（1）求证：⊙与⊙是等圆；‎ ‎（2）设⊙的半径长为，圆心距为，求与的函数关系式，并定出的取值范围；‎ ‎（3）当⊙与⊙外切时，求的值；‎ ‎（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙先向左平移至和⊙重合，然后将重后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点第一次回到它原来的位置时，求点以过的路线长度。‎ ‎ ‎ ‎9、（2005济南中考）(本题6分)我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌)。我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为3600时，就能够拼成一个平面图形。某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：‎ 如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得600×x＋1200×y＝3600，化简得x＋2y＝6。因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图⑴、⑵、⑶。‎ ‎①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图⑷中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种图形即可)；‎ ‎②如用形状、大小相同的如图⑸方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图。‎ ‎10、（2005济南中考）(本题9分)如图⑴，已知⊙O是等边△ABC的外接圆，过点O作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN＝a。另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动(不与点M、N重合)，并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q。‎ ‎①试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；‎ ‎②设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探索y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置；‎ ‎③如图⑵，当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？‎ ‎11．（2006济南中考）（本题8分）如图1，以矩形的两边和所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为点的坐标为．将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的正半轴上，旋转后的矩形为相交于点．‎ ‎（1）求点的坐标与线段的长；‎ ‎（2）将图1中的矩形沿轴向上平移，如图2，矩形是平移过程中的某一位置，相交于点，点运动到点停止．设点运动的距离为，矩形与原矩形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；‎ ‎（3）如图3，当点运动到点时，平移后的矩形为．请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形重合，请简述你的做法．‎ ‎11题图 Ａ Ｏ Ｃ Ｂ Ｍ Ａ Ｏ Ｃ Ｂ Ａ Ｏ Ｂ Ｍ Ｃ(Ｐ)‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎12．（2006济南中考）如图1，已知中，，，过点作，且，连接交于点．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）以点为圆心，为半径作，试判断与是否相切，并说明理由；‎ A B C P E E A B C P Ｄ ‎12题图 图1‎ 图2‎ ‎（3）如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作；以点为圆心，为半径作．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围．‎ ‎13．（2007济南中考）（本小题满分9分）‎ 已知：如图，为平面直角坐标系的原点，半径为1的经过点，且与轴分交于点，点的坐标为，的延长线与的切线交于点．‎ ‎（1）求的长和的度数；‎ ‎（2）求过点的反比例函数的表达式．‎ B A C D y x O 第13题图 ‎14．（2007济南中考）（本小题满分9分）‎ 已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，，．‎ ‎（1）求过点的直线的函数表达式；‎ ‎（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．‎ A C O B x y ‎ 第14题图 ‎15．（2008济南中考）(本小题满分9分)‎ 已知：如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P．‎ ‎（1）求点P的坐标．‎ ‎（2）请判断的形状并说明理由．‎ F 第15题图 y O A x P E B ‎（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．‎ 求：① S与t之间的函数关系式．‎ ‎② 当t为何值时，S最大，并求S的最大值．‎ ‎16．（2008济南中考）（本小题满分9分）‎ 已知：抛物线(a≠0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．‎ 第16题图 C O x A D P M E B N y ‎（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎17．（2009济南中考）（本小题满分9分）‎ 如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．‎ A D C B M N ‎（第23题图）‎ ‎（1）求的长．‎ ‎（2）当时，求的值．‎ ‎（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．‎ ‎18．（2009济南中考）（本小题满分9分）‎ 已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、‎ ‎（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ A C x y B O ‎（第24题图）‎ ‎19．（2010济南中考）(本小题满分9分)‎ 已知：△ABC是任意三角形．‎ ‎⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、‎ BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．‎ ‎⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，‎ 且，，点P1、P2是边BC的 三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．‎ A B C N M P A M N P1‎ C P2‎ B A C M N P1‎ P2‎ P2009‎ ‎……‎ ‎……‎ B 第19题图2‎ 第19题图1‎ 第19题图3‎ ‎⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．‎ ‎（请直接将该小问的答案写在横线上．）‎ D C M N O A B P l y E ‎20．（2010济南中考）(本小题满分9分)‎ 如图所示，抛物线与x轴交于 A、 B两点，直线BD的函数表达式为，‎ 抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于 点E．‎ ‎⑴求A、B、C三个点的坐标．‎ ‎⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），‎ 以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，‎ 以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，‎ 分别连接AN、BM、MN．‎ ‎①求证：AN=BM．‎ ‎②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.‎ 参考答案 ‎1. 证明：（1）PQ切⊙O于P，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整理，得 ‎ ‎ ‎ （3）在图2、图3、图4中（1）题结论都成立。‎ ‎ 在图2中（2）题结论成立。在图3、图4中，按题意改变条件后，的结论仍 然成立。‎ ‎2. 解：（1）由条件求得，‎ ‎ 设过A、B、C三点抛物线解析式为 ‎ 代入，得 ‎ 解得 ‎ 所求抛物线解析式为：。‎ ‎ （2）易证⊙O切BC于O点。如图，连结PE、PF，易求得，，‎ ‎ ‎ ‎ （或运用。）‎ ‎ （3）当点D在轴正半轴时，‎ ‎ 如图，设⊙D分别切直线AB、AC于M、N点，连结DM，‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ⊙P与⊙D外切。‎ ‎ 当点D在轴负半轴时，设⊙D切直线AB、AC于点Q、G，连结DG，易求得DP=8，，⊙D与⊙P外离。‎ ‎ （4）⊙P与直线AB、AC有三种位置关系：相切、相交、相离。‎ ‎ 如图，当或时，⊙P与直线AB、AC相切；‎ ‎ 当时，⊙P与直线AB、AC相交；‎ ‎ 当或时，⊙P与直线AB、AC相离。‎ ‎3．解： 　　（1）当PF=PC时,PC与⊙O相切 　　因为DE⊥AB，所以∠AHP=90° 　　连结OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA 　　因为PF=PC,所以∠PFC=∠PCF 　　所以∠PCO=∠PCF+∠ACO=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠OAC=90° 　　所以PC与⊙O相切 　　（2）D为弧AC的中点，所以弧AD=弧DC，所以∠AED=∠DAC 　　因为∠ADE=∠ADE,所以ΔDAF∽ΔDEA ‎ 　　所以，即AD2=DE×DF ‎4.解： （1）连接PQ， ∵⊙P与AB相切于Q ∴PQ⊥AB且PQ=r ∵∠CAB=∠ABD=90° ∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB ∴ = ， = ∴ = ∴r= ； （2）如图： ⊙O与⊙P相切， 证明：∵⊙O的半径R= ∴Rr= ∴AQ= = =a OQ= -a= ‎ ‎ 连接PO 则PO= = = - =R-r ∴⊙O与⊙P相切； （3）、由（2）知，半圆O的半径= =3， 假设符合要求的图形存在，每两个圆的公共部分的面积分别为SPM、SMN、SPN，则它们均小于 π，又设每个小圆的面积为S，三个小圆公共部分的面积为SPMN，则三个小圆的覆盖面积=3S-（SPM+SMN+SPN）+SPMN＞3π•（ ）2- π+SPMN≥ π= π=半圆O的面积，而这是不可能的，故不能在这个半圆O中画出符合要求的⊙M和⊙N．‎ ‎5.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6．解：（1）y=ax2+2x+3= 抛物线y=ax2+2x+3的顶点坐标为 ∴抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3 （2）当a≠0时，顶点的横坐标 ∴（0，3）点不是抛物线的顶点． （3）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（ ） 由题意得A（ ） 把x= 代入y=ax2+bx+c=a（ ）2+b（ ）+c= ∴点A在抛物线y=ax2+bx+c上，同理点B也在抛物线y=ax2+bx+c上．‎ ‎7．解：（1）连接DB，则∠DBO=90° ∵AB切⊙O于点C ∴AB⊥OD 又OD是⊙O′直径 即OA=OB 得OA2=OC•OD=r•2R=2Rr 即OA•OB=2rR； （2）①无变化 连接00′，并延长交⊙O′于D点，连接DB、OC．则∠DBO=∠ACO=90° ∵∠A=∠D ∴△OCA∽△OBD ∴OA•OB=OC•OD=r•2R=2Rr． ②无变化． 连接00′，并延长交⊙O′于B点，连接DB、OC，则∠DBO=∠ACO=90° 方法同①，证出△OCA∽△OBD，得OA•OB=OC•OD=r•2R=2Rr．‎ ‎8．解：（1）连接MN′、NN′． ∵DE和BC是⊙O1的切线，DE∥BC， ∴MM′过点O1．同理NN'过点O2．∵MM′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC ∴四边形MM′N′N是矩形． ∴MM′=NN′，即⊙O1和⊙O2是等圆； （2）连接OlB，OlO2，O‎2C，OlM′，O2N′． 易证四边形O1BCO2是等腰梯形，四边形O‎1M′N′O2是矩形． 在Rt△O1BM′中，∠01BM′=30°，OlM′=x， 则BM′= x． ∵y=O102=M′N′，BM′=N′C= x，BC=BM′+M′N′+N′C， ∴y+2 =a， ∴y=a-2 x， 求得0＜x≤ ； （3）当⊙Ol和⊙O2外切时，OlO2=2x，2x=a-2 x， ∴x=（-1） ； （4）当DE是△ABC的中位线时，求得x= ． 此时BM'= x= a． ‎ ‎⊙O1的圆心O1所经过的路线是与△ABC相似，且各边与△ABC各边距离为 的正三角形． 其边长为a- a×2= ， ∴所求的圆心O1走过的长度为： ×3= a．‎ ‎9．解：（1）据题意，可有60°•x+90°•y=360°， 化简得2x+3y=12， ∴当x=3，y=2时，有图： （2）作图如下： ‎ ‎10．解：（1）可知四边形APDQ为平行四边形 证明：由题知△ABC≌△DEF且△ABC △DEF为等边三角形 ∴∠BAC=∠EDF=60° 又∵EF∥BC，MN∥BC ∴EF∥BC∥MN ∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60° ∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60° ∴△DQN为等边三角形 ∴∠DQN=∠PDQ=60°， ∴PD∥AQ ∴∠BAC=∠DQN=60°， ∴AP∥DQ ∴四边形APDQ为平行四边形． （2）y= x（a-x）=- x2+ ax=- （x- ）2+ a2 ∴当x取 时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为 ‎ a2． （3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形， 理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON， 所以△MPQ≌△QON． 因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形． 所以可知四边形APDQ为菱形， 由题可知，S△ABC= a2，而由（2）知S四边形APDQ= a2 ∴S四边形APDQ= S△ABC．‎ ‎9．（1）如图1，因为，所以点的坐标为．‎ ‎． ‎ ‎（2）在矩形沿轴向上平移到点与点重合的过程中，点运动到矩形的边上时，求得点移动的距离．‎ 当自变量的取值范围为时，如图2，由，‎ 得，此时，．‎ 即（或）．‎ 当自变量的取值范围为时，‎ 求得（或）．‎ ‎（3）部分参考答案：‎ ‎①把矩形沿的角平分线所在直线对折．‎ ‎②把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿轴向下平移4个单位长度．‎ ‎③把矩形绕点顺时针旋转，使点与点重合，再沿所在的直线对折．‎ ‎④把矩形沿轴向下平移4个单位长度，再绕点顺时针旋转，使点与点重合．‎ 提示：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．‎ ‎10．（1）在中，，‎ ‎　　　　．‎ ‎　　　　，．‎ ‎　　　　．‎ ‎　　　　，．‎ ‎　　（2）与相切．‎ ‎　　　　在中，，，‎ ‎　　　　，．‎ ‎　　　　又，，‎ ‎　　　　与相切． ‎ ‎　　（3）因为，所以的变化范围为． ‎ ‎　　　　当与外切时，，所以的变化范围为；‎ ‎　　　　当与内切时，，所以的变化范围为．‎ ‎（注：其他不同解法，可参照本标准执行．）‎ ‎13．解：（1），‎ 是的直径，‎ 又点的坐标为，‎ 第13题图 ‎， ‎ ‎（2）如图，连接，过点作轴于点 为的切线，‎ ‎， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ 在中，‎ ‎ ‎ 在中，‎ ‎，‎ 点的坐标为 ‎ 设过点的反比例函数的表达式为 ‎ ‎ ‎14．解：（1）点，‎ ‎，，点坐标为 设过点的直线的函数表达式为，‎ 由 得， ‎ 直线的函数表达式为 ‎ 第14题图1‎ ‎（2）如图1，过点作，交轴于点，‎ 在和中，‎ ‎ ，‎ 点为所求 又，‎ ‎ ‎ 第14题图2‎ ‎，‎ ‎（3）这样的存在 在中，由勾股定理得 如图1，当时，‎ 则，解得 如图2，当时，‎ 则，解得 ‎15．解：（1） ‎ 解得： ‎ ‎∴点P的坐标为(2，) ‎ ‎（2）将代入 ‎∴ ，即OA=4 ‎ 做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2‎ ‎∵ tan∠POA=‎ F 第15题图1‎ y O A x P E B D ‎∴ ∠POA=60° ‎ ‎∵ OP=‎ ‎∴△POA是等边三角形． ‎ ‎（3）① 当0

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