中考数学专题讲练 韦达定理与整数根问题 解析版

中考数学专题讲练 韦达定理与整数根问题 解析版

韦达定理与整数根问题 知识精讲 一．韦达定理与代数式求值 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．‎ 利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值．‎ 二．韦达定理与根的分布 在的条件下，我们有如下结论：‎ 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．‎ 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．‎ 更一般的结论是：‎ 若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：‎ ‎② 且，‎ ‎③ 且，‎ 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．‎ 其他有用结论：‎ ‎⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．‎ ‎⑵若，则方程必有实数根．‎ ‎⑶若，方程不一定有实数根．‎ ‎⑷若，则必有一根．‎ ‎⑸若，则必有一根．‎ 三．整数根问题 ‎ 对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是 对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．‎ 方程有整数根的条件：‎ 如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：‎ ‎1. 为完全平方数；‎ ‎2. 或，其中为整数．‎ 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．‎ 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)．‎ 三点剖析 一．考点：1．韦达定理与代数式求值；2．韦达定理与根的分布；3．整数根问题．‎ 二．重难点：韦达定理与根的分布；整数根问题．‎ 三．易错点：‎ ‎1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；‎ ‎2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．‎ 题模精讲 题模一：韦达定理与代数式求值 例1.1.1 设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎【答案】 （1）2（2）（3）（4）（5）（6）‎ ‎【解析】 由韦达定理可得，，．然后对各式进行适当变形．‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2）原式；‎ ‎（3）原式；‎ ‎（4）原式；‎ ‎（5）原式；‎ ‎（6）原式．‎ 例1.1.2 设实数分别满足，并且，求的值 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 由可知，，故．‎ 又，，故、是方程的两根，从而可知，，故．‎ 注意：此处方程是构造成还是主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含，构造方程更快．‎ 其实构造成也可，不过此时两根变为和，由根系关系可知 ‎，，故 例1.1.3 已知，是一元二次方程的两个根，求的值 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 因为是方程的根，所以，即．‎ 同理．所以 题模二：韦达定理与根的分布 例1.2.1 已知一元二次方程．‎ ‎（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？‎ ‎（2）此方程会有两个负根吗？为什么？‎ ‎【答案】 （1）；（2）不可能，因为．若、，则与矛盾 ‎【解析】 不妨设方程的两根为、，由韦达定理可知，．‎ 例1.2.2 实数k为何值时，关于x的一元二次方程．‎ ‎（1）有两个正根？‎ ‎（2）两根异号，且正根的绝对值较大？‎ ‎（3）一根大于3，一根小于3？‎ ‎【答案】 （1）（2）（3）‎ ‎【解析】 ，故或 ‎（1）若两根均为正，则，故；‎ ‎（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则，故；‎ ‎（3）由可知，．‎ 题模三：整数根问题 例1.3.1 已知：关于的一元二次方程 (为实数)‎ ‎(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；‎ ‎(2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；‎ ‎(3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根 ‎【答案】 （1）的取值范围是且；‎ ‎（2）见解析 ‎（3）或 ‎【解析】 (1)‎ ‎ 方程有两个不相等的实数根，‎ 且 且 ，‎ ‎ 的取值范围是且；‎ 证明：由求根公式 ‎ 无论为何值，方程总有一个固定的根是1；‎ ‎(3)为整数，且方程的两个根均为正整数，‎ 必为整数，‎ 或 当时, (舍去);当时, 当时,;当 时,‎ ‎ 或 例1.3.2 已知关于的方程的两根都是整数，求的值．‎ ‎【答案】 或 ‎【解析】 设两个根为，由韦达定理得 从上面两式中消去得或 即或．‎ 所以或．‎ 例1.3.3 求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 当时，方程变为，得，符合要求；‎ 当时，设方程的两个整数根为，则由韦达定理，得 因为都是整数，所以均为整数．‎ 即也应为整数，由整除性可知．‎ 随堂练习 随练1.1 已知一元二次方程x2-2x+m=0．‎ ‎（1）若方程有两个实数根，求m的范围；‎ ‎（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．‎ ‎【答案】 （1）m≤1（2）‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，‎ ‎∴△=（-2）2-4m≥0，‎ 解得m≤1；‎ ‎（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，‎ 解方程组，‎ 解得，‎ ‎∴m=x1•x2=．‎ 随练1.2 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：‎ ‎（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；‎ ‎（2）已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；‎ ‎（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．‎ ‎【答案】 （1）x2+x+=0（2）-47（3）4‎ ‎【解析】 ‎ ‎（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，‎ 则：+==-，‎ 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，‎ 则这个一元二次方程是：x2+x+=0；‎ ‎（2）∵a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，‎ ‎∴a，b是x2-15x-5=0的解，‎ 当a≠b时，a+b=15，ab=-5，‎ ‎+====-47．‎ 当a=b时，原式=2；‎ ‎（3）∵a+b+c=0，abc=16，‎ ‎∴a+b=-c，ab=，‎ ‎∴a、b是方程x2+cx+=0的解，‎ ‎∴c2-4•≥0，‎ c2-≥0，‎ ‎∵c是正数，‎ ‎∴c3-43≥0，‎ c3≥43，‎ c≥4，‎ ‎∴正数c的最小值是4．‎ 随练1.3 若，且有及，则 ，_________‎ ‎【答案】 ；‎ ‎【解析】 ，，又，‎ 所以，可以看作是方程的两个根．‎ 由韦达定理，得：，‎ 随练1.4 已知是不等式组的整数解，、是关于的方程 的两个实根，求：⑴ 的值；⑵ 的值 ‎【答案】 ，‎ ‎【解析】 ，又是整数，故，，‎ 又、是的两个实根，故，．‎ 故．‎ 故．‎ 随练1.5 已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 设，是方程的两根，且，，即，，‎ 因此，解得．‎ 随练1.6 已知关于x的方程（m≠0）‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）或 ‎【解析】 ‎ ‎（1）证明：∵ m≠0，‎ ‎∴ 是关于x的一元二次方程．‎ ‎∵，……………………………………………1分 ‎=9＞0.‎ ‎∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分 ‎（2）解：由求根公式，得 ‎∴，.……………………………………………………4分 ‎∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，‎ ‎∴或．………………………………………………………5分 随练1.7 求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．‎ ‎【答案】 ，，，‎ ‎【解析】 由原方程知，不妨将方程整理成关于的一元一次方程，得（因为为正整数），解得，因此只能取，，，，，‎ ‎，分别代入的表达式得所求的正整数的值是，，，‎ 随练1.8 设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．‎ ‎【答案】 ，6，3‎ ‎【解析】 原方程可化为，‎ 即，‎ 解得．‎ 由于，则有．‎ 两式相减，得，即．‎ 由于，是整数，故可求得，或，或，．‎ 分别代入，易得，6，3．‎ 自我总结 ‎ ‎ 课后作业 作业1 ，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：‎ ‎（1） （2） （3）‎ ‎【答案】 （1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）原式 ‎【解析】 （1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）原式 作业2 已知关于的方程的两根、满足条件，求的值．‎ ‎【答案】 30‎ ‎【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得，与联列方程组，解得，．所以．‎ 作业3 已知方程的根是和，方程的根是和．其中，、、、为不同实数，求、、、的值？‎ ‎【答案】 ，，，或，，，‎ ‎【解析】 ∵方程的根是和，∴，．‎ ‎∵的根是和，∴，，‎ ‎（1）若，则由知．‎ 由知，由知，解得 当时，，得；…………⑴‎ 当时，，得．………⑵‎ 经验证，，，，是符合条件的两组解．‎ ‎（2）若，则，由知，由知 若，则，这与、、、是不同的实数矛盾．‎ 若，则，再由知，从而．‎ 经验证，，，，也是符合条件的解 作业4 已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？‎ ‎【答案】 ，‎ ‎【解析】 根据题意，对方程 有对方程有 又，‎ 由⑴得：，代入⑵得：⑶‎ 又，，‎ 对⑶两边平方得：，即：‎ ‎，整理得：‎ 解得：，‎ 当时，与矛盾，舍去．‎ 当时，，此时，，．‎ 作业5 已知关于的方程的两根都大于5，求的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 设，是方程的两根， ‎ ‎ ，解得．‎ 作业6 已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．‎ ‎（1）若、均为负整数，且，求、的值；‎ ‎（2）若，，求证：‎ ‎【答案】 见解析 ‎【解析】 ⑴ 由题意得，，‎ 由．‎ 又、均为负整数，所以，．故，．‎ ‎⑵ 因为，所以．‎ 从而，即当时，．‎ 由，即当时，．‎ 因为，所以 作业7 已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 当时，原方程化为，解得．故当时，原方程的解都是整数．‎ 当时，原方程化为，解得，故当时，原方程的解都是整数．‎ 当且时，原方程化为．‎ 解得，．‎ 由，得．把代入中，得．‎ 故．‎ 因为、为整数，所以、也均为整数．于是，有 或或或．‎ 分别解得或或或(舍去)．‎ 故．‎ 综上，的值为．‎ 作业8 已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根 ‎【答案】 当时，方程的三个根为，和；当时，方程的三个根为，和 ‎【解析】 观察易知方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得：．‎ 因为是正整数，所以关于的方程： ……①‎ 的判别式，它一定有两个不同的实数根．‎ 而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，‎ 因此它的判别式应该是一个完全平方数． ‎ 设(其中为非负整数)，‎ 则，即：． ‎ 显然与的奇偶性相同，且，．‎ 而，所以：‎ ‎，或，或 解得，或，或．‎ 而是正整数，所以只可能，或．‎ 当时，方程①即，它的两根分别为和．‎ 此时原方程的三个根为，和．‎ 当时，方程①即，它的两根分别为和．‎ 此时原方程的三个根为，和．‎