2018中考专题相似三角形

2018中考专题相似三角形

‎2018中考数学专题相似形 ‎（共40题）‎ ‎1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．‎ ‎（1）求证：BD=CE；‎ ‎（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；‎ ‎2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．‎ ‎（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；‎ ‎（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．‎ ‎3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）若AD=3，AB=5，求的值．‎ ‎4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．‎ ‎（1）求证：BG=DE；‎ ‎（2）若点G为CD的中点，求的值．‎ ‎5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；‎ ‎（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．‎ ‎（1）证明：∠BDC=∠PDC；‎ ‎（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．‎ ‎7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．‎ ‎8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．‎ ‎（1）求证：DE=DC；‎ ‎（2）求证：AF⊥BF；‎ ‎（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．‎ ‎9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．‎ ‎（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；‎ ‎（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．‎ ‎10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．‎ ‎（1）求证：AF=AR；‎ ‎（2）设点P运动的时间为t，‎ ‎①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？‎ ‎②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．‎ ‎11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．‎ ‎（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；‎ ‎（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．‎ ‎12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．‎ ‎（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；‎ ‎（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？‎ ‎（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2‎ C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？‎ ‎．‎ ‎13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；‎ ‎（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．‎ ‎14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．‎ ‎（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）‎ ‎（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△‎ ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；‎ ‎（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？‎ ‎15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．‎ ‎（1）求证：△ABM∽△NDA；‎ ‎（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．‎ ‎16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．‎ ‎（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；‎ ‎（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．‎ ‎17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．‎ ‎（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE ‎（2）D为BC中点如图2，连接EF．‎ ‎①求证：ED平分∠BEF；‎ ‎②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．‎ ‎18．如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．‎ ‎（1）求证：PC=PE；‎ ‎（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．‎ ‎19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．‎ ‎（1）求证：AB=GD；‎ ‎（2）如图2，当CG=EG时，求的值．‎ ‎20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．‎ ‎（1）求证：△BOD∽△BAE；‎ ‎（2）求证：BD=CE；‎ ‎（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？‎ ‎21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=1时，KE=　 　，EN=　 　；‎ ‎（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？‎ ‎（3）当点K到达点N时，求出t的值；‎ ‎（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？‎ ‎22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．‎ ‎（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．‎ ‎（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．‎ ‎23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．‎ ‎（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；‎ ‎（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．‎ ‎24．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．‎ ‎（1）求证：DE∥BC．‎ ‎（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．‎ ‎25．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．‎ ‎（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；‎ ‎（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．‎ ‎26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．‎ ‎（1）求证：AD2=BG•DH；‎ ‎（2）求证：CE=DG；‎ ‎（3）求证：EF=HG．‎ ‎27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．‎ ‎（1）求证：AC•DF=BF•BD；‎ ‎（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；‎ ‎（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．‎ ‎28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△‎ A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．‎ ‎（1）求证：DB=DM．‎ ‎（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．‎ ‎（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为　 　（用含n的代数式表示）．‎ ‎29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．‎ ‎（1）求证：∠DAE=∠DCG．‎ ‎（2）求线段HE的长．‎ ‎30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．‎ ‎（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；‎ ‎（2）若图2，若AB≠AC，‎ ‎①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；‎ ‎②求证：=．‎ ‎31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．‎ ‎（1）证明：DM=DA；‎ ‎（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；‎ ‎（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．‎ ‎32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．‎ ‎（1）求证：EF=CF；‎ ‎（2）当=时，求EF的长．‎ ‎33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．‎ ‎（1）求证：AC•MN=BN•AP；‎ ‎（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．‎ ‎34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．‎ ‎（1）求证：△CAE∽△CBF； ‎ ‎（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．‎ ‎35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．‎ ‎（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP　 　△PCD（填“≌”或“～”）；‎ ‎（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是　 　．‎ ‎37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．‎ ‎（1）求AO的长；‎ ‎（2）求PQ的长；‎ ‎（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．‎ ‎38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．‎ 求证：a2+b2=5c2‎ 该同学仔细分析后，得到如下解题思路：‎ 先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证 ‎（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．‎ ‎（2）利用题中的结论，解答下列问题：‎ 在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．‎ ‎39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．‎ ‎（1）求证：△ADF∽△ACG；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．‎ 求证：K是线段MN的中点．‎ ‎　‎ ‎　参考答案与试题解析 ‎（共40题）‎ ‎1．（2017•阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．‎ ‎（1）求证：BD=CE；‎ ‎（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，‎ ‎∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．‎ ‎∴△ADB≌△AEC．‎ ‎∴BD=CE．‎ ‎（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．‎ ‎∵∠EAC=90°，‎ ‎∴CE==．‎ 同（1）可证△ADB≌△AEC．‎ ‎∴∠DBA=∠ECA．‎ ‎∵∠PEB=∠AEC，‎ ‎∴△PEB∽△AEC．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ ‎∴PB=．‎ ‎②当点E在BA延长线上时，BE=3．‎ ‎∵∠EAC=90°，‎ ‎∴CE==．‎ 同（1）可证△ADB≌△AEC．‎ ‎∴∠DBA=∠ECA．‎ ‎∵∠BEP=∠CEA，‎ ‎∴△PEB∽△AEC．‎ ‎∴=．‎ ‎∴=．‎ ‎∴PB=．‎ 综上所述，PB的长为或．‎ ‎　‎ ‎2．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．‎ ‎（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；‎ ‎（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．‎ ‎【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，‎ ‎∴△ABE≌△DBE；‎ ‎（2）①过G作GH∥AD交BC于H，‎ ‎∵AG=BG，‎ ‎∴BH=DH，‎ ‎∵BD=4DC，‎ 设DC=1，BD=4，‎ ‎∴BH=DH=2，‎ ‎∵GH∥AD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴GM=2MC；‎ ‎②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，‎ ‎∴△AGM∽△NCM，‎ ‎∴=，‎ 由①知GM=2MC，‎ ‎∴2NC=AG，‎ ‎∵∠BAC=∠AEB=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，‎ ‎∴△ACN∽△BAF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=2AG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴2CN•AG=AF•AC，‎ ‎∴AG2=AF•AC．‎ ‎3．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）若AD=3，AB=5，求的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，‎ ‎∴∠AFE=∠AGC=90°，‎ ‎∵∠EAF=∠GAC，‎ ‎∴∠AED=∠ACB，‎ ‎∵∠EAD=∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=‎ 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，‎ ‎∴∠EAF=∠GAC，‎ ‎∴△EAF∽△CAG，‎ ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎4．（2017•眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．‎ ‎（1）求证：BG=DE；‎ ‎（2）若点G为CD的中点，求的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵BF⊥DE，‎ ‎∴∠GFD=90°，‎ ‎∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，‎ ‎∴∠CBG=∠CDE，‎ 在△BCG与△DCE中，‎ ‎∴△BCG≌△DCE（ASA），‎ ‎∴BG=DE，‎ ‎（2）设CG=1，‎ ‎∵G为CD的中点，‎ ‎∴GD=CG=1，‎ 由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），‎ ‎∴CG=CE=1，‎ ‎∴由勾股定理可知：DE=BG=，‎ ‎∵sin∠CDE==，‎ ‎∴GF=，‎ ‎∵AB∥CG，‎ ‎∴△ABH∽△CGH，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BH=，GH=，‎ ‎∴=‎ ‎5．（2017•河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；‎ ‎（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=∠C，AB=BC．‎ ‎∵AE⊥BF，‎ ‎∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，‎ ‎∵∠ABM+∠CBF=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠CBF．‎ 在△ABE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△BCF（ASA），‎ ‎∴AE=BF；‎ ‎（2）解：AE=BF，‎ 理由：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=∠C，‎ ‎∵AE⊥BF，‎ ‎∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，‎ ‎∵∠ABM+∠CBF=90°，‎ ‎∴∠BAM=∠CBF，‎ ‎∴△ABE∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE=BF．‎ ‎6．（2017•泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．‎ ‎（1）证明：∠BDC=∠PDC；‎ ‎（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴∠ACD+∠BDC=90°，‎ ‎∵AC=AD，‎ ‎∴∠ACD=∠ADC，‎ ‎∴∠ADC+∠BDC=90°，‎ ‎∵PD⊥AD，‎ ‎∴∠ADC+∠PDC=90°，‎ ‎∴∠BDC=∠PDC；‎ ‎（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，‎ ‎∵∠BDC=∠PDC，‎ ‎∴CE=CM，‎ ‎∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，‎ ‎∴△CPM∽△APD，‎ ‎∴=，‎ 设CM=CE=x，‎ ‎∵CE：CP=2：3，‎ ‎∴PC=x，‎ ‎∵AB=AD=AC=1，‎ ‎∴=，‎ 解得：x=，‎ 故AE=1﹣=．‎ ‎7．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=45°，AB=AC，‎ ‎∵AP=AQ，‎ ‎∴BP=CQ，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴BE=CE，‎ 在△BPE和△CQE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BPE≌△CQE（SAS）；‎ ‎（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=∠DEF=45°，‎ ‎∵∠BEQ=∠EQC+∠C，‎ 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，‎ ‎∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，‎ ‎∴∠BEP=∠EQC，‎ ‎∴△BPE∽△CEQ，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BP=2，CQ=9，BE=CE，‎ ‎∴BE2=18，‎ ‎∴BE=CE=3，‎ ‎∴BC=6．‎ ‎8．（2017•绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．‎ ‎（1）求证：DE=DC；‎ ‎（2）求证：AF⊥BF；‎ ‎（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠DCE=∠CEB，‎ ‎∵EC平分∠DEB，‎ ‎∴∠DEC=∠CEB，‎ ‎∴∠DCE=∠DEC，‎ ‎∴DE=DC；‎ ‎（2）如图，连接DF，‎ ‎∵DE=DC，F为CE的中点，‎ ‎∴DF⊥EC，‎ ‎∴∠DFC=90°，‎ 在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，‎ ‎∴BF=CF=EF=EC，‎ ‎∴∠ABF=∠CEB，‎ ‎∵∠DCE=∠CEB，‎ ‎∴∠ABF=∠DCF，‎ 在△ABF和△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠AFB=∠DFC=90°，‎ ‎∴AF⊥BF；‎ ‎（3）CE=4．‎ 理由如下：∵AF⊥BF，‎ ‎∴∠BAF+∠ABF=90°，‎ ‎∵EH∥BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠BEH=90°，‎ ‎∴∠FEH+∠CEB=90°，‎ ‎∵∠ABF=∠CEB，‎ ‎∴∠BAF=∠FEH，‎ ‎∵∠EFG=∠AFE，‎ ‎∴△EFG∽△AFE，‎ ‎∴=，即EF2=AF•GF，‎ ‎∵AF•GF=28，‎ ‎∴EF=2，‎ ‎∴CE=2EF=4．‎ ‎9．（2017•雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．‎ ‎（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；‎ ‎（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，‎ 则∠BDE+∠FDE=90°，‎ ‎∵DE⊥AD，‎ ‎∴∠FDE+∠ADF=90°，‎ ‎∴∠BDE=∠ADF，‎ ‎∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠C=45°，‎ ‎∵MN∥AC，‎ ‎∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，‎ ‎∵∠BFD=45°，DF⊥BC，‎ ‎∴∠BFD=45°，BD=DF，‎ ‎∴∠AFD=135°，‎ ‎∴∠EBD=∠AFD，‎ 在△BDE和△FDA中 ‎，‎ ‎∴△BDE≌△FDA（ASA），‎ ‎∴AD=DE；‎ ‎（2）解：DE=AD，‎ 理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，‎ 则∠BDE+∠GDE=90°，‎ ‎∵DE⊥AD，‎ ‎∴∠GDE+∠ADG=90°，‎ ‎∴∠BDE=∠ADG，‎ ‎∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，‎ ‎∴∠C=60°，‎ ‎∵MN∥AC，‎ ‎∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，‎ ‎∵∠ABC=30°，DG⊥BC，‎ ‎∴∠BGD=60°，‎ ‎∴∠AGD=120°，‎ ‎∴∠EBD=∠AGD，‎ ‎∴△BDE∽△GDA，‎ ‎∴=，‎ 在Rt△BDG中，=tan30°=，‎ ‎∴DE=AD．‎ ‎10．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．‎ ‎（1）求证：AF=AR；‎ ‎（2）设点P运动的时间为t，‎ ‎①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？‎ ‎②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，‎ ‎∵AE=AB，‎ ‎∴AD=AE，‎ ‎∴∠AED=∠ADE=45°，‎ 又∵FG⊥DE，‎ ‎∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，‎ ‎∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，‎ ‎∴∠FRA=∠RFA=45°，‎ ‎∴AF=AR；‎ ‎（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，‎ 则有PR∥BC，‎ ‎∴AF∥PR，‎ ‎∴△EAF∽△ERP，‎ ‎∴，即：由（1）得AF=AR，‎ ‎∴，‎ 解得：或（不合题意，舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，‎ ‎∴（秒）；‎ ‎②若PR=PB，‎ 过点P作PK⊥AB于K，‎ 设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），‎ ‎∵△EFA∽△EPK，‎ ‎∴，‎ 即：=，‎ 解得：x=±﹣3（舍去负值）；‎ ‎∴t=（秒）；‎ 若PB=RB，‎ 则△EFA∽△EPB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴BP=AB=×2=‎ ‎∴CP=BC﹣BP=2﹣=，‎ ‎∴（秒）．‎ 综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．‎ ‎11．（2017•江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．‎ ‎（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；‎ ‎（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴2AB2=BD2，‎ ‎∵BD=，‎ ‎∴AB=1，‎ ‎∴正方形ABCD的边长为1；‎ ‎（2）CN=2EM 证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=OC ‎∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，‎ ‎∴CE⊥AF，AE=FE ‎∴EO为△AFC的中位线 ‎∴EO∥BC ‎∴‎ ‎∴在Rt△AEN中，OA=OC ‎∴EO=OC=AC，‎ ‎∴CM=EM ‎∵CE平分∠ACF，‎ ‎∴∠OCM=∠BCN，‎ ‎∵∠NBC=∠COM=90°，‎ ‎∴△CBN∽△COM，‎ ‎∴，‎ ‎∴CN=CM，‎ 即CN=2EM．‎ 证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAC=45°=∠DBC，‎ 由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO，‎ ‎∴∠OEC=∠OCE，‎ ‎∵CE平分∠ACF，‎ ‎∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，‎ ‎∴EO∥BC，‎ ‎∴∠EOM=∠DBC=45°，‎ ‎∵∠OEM=∠OCE ‎∴△EOM∽△CAN，‎ ‎∴，‎ ‎∴CN=2CM．‎ ‎12．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．‎ ‎（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；‎ ‎（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？‎ ‎（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，‎ ‎∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；‎ 又B1C=BC，∠B1=∠B，‎ ‎∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）‎ ‎∴CQ=CP1；‎ ‎（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴P1D=AP1；‎ ‎∵∠P1CD=45°，‎ ‎∴=sin45°=，‎ ‎∴CP1=P1D=AP1；‎ 又AP1=a，CQ=CP1，‎ ‎∴CQ=a；‎ ‎（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，‎ 所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．‎ 这时==，‎ ‎∴P1P2=CP1．‎ ‎13．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；‎ ‎（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．‎ ‎【解答】（1）解：AP=2t ‎∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，‎ ‎∴∠CQE=45°=∠DEF，‎ ‎∴CQ=CE=t，‎ ‎∴AQ=8﹣t，‎ t的取值范围是：0≤t≤5；‎ ‎（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，‎ ‎∴PG=PBSinB=（10﹣2t）‎ ‎∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==‎ ‎∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）‎ ‎（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）‎ 若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ‎∴△APH∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：（s）‎ 若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t ‎∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，‎ ‎∴△AQI∽△ABC ‎∴即，‎ 解得：（s）‎ 综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．‎ ‎14．（2017•庐阳区一模）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．‎ ‎（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）‎ ‎（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；‎ ‎（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？‎ ‎【解答】解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分，‎ ‎∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；‎ ‎（2）设AD=x，AE=6﹣x，‎ ‎∵S△ADE=AD•AE•sinA=3，‎ 即：x（6﹣x）•=3，‎ 解得：x1=（舍去），x2=，‎ ‎∴AD=；‎ ‎（3）∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∵=，‎ ‎∴AD=b，AE=c，‎ ‎∴bc=（a+b+c），‎ ‎∴=﹣1．‎ ‎15．（2017•嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．‎ ‎（1）求证：△ABM∽△NDA；‎ ‎（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，‎ ‎∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，‎ ‎∴∠ABM=∠ADN=135°，‎ ‎∵∠MAN=45°，‎ ‎∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，‎ ‎∴△ABM∽△NDA；‎ ‎（2）解：当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形；理由如下：‎ ‎∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°，‎ ‎∴∠AMB=22.5°，‎ ‎∴∠BAM=∠AMB，‎ ‎∴AB=BM，‎ 同理AD=DN，‎ ‎∵AB=AD，∴BM=DN，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠ABD=∠ADB=45°，‎ ‎∴∠BDN=∠DBM=90°‎ ‎∴∠BDN+∠DBM=180°，‎ ‎∴BM∥DN ‎∴四边形BMND为平行四边形，‎ ‎∵∠BDN=90°，‎ ‎∴四边形BMND为矩形．‎ ‎16．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．‎ ‎（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；‎ ‎（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1所示，‎ ‎∴D，E分别为AB，BC中点，‎ ‎∴DE∥AC ‎∵DM∥EF，‎ ‎∴四边形DEFM是平行四边形，‎ ‎∴DM=EF，‎ 如图2所示，‎ ‎∵D、E分别是AB、BC的中点，‎ ‎∴DE∥AC，‎ ‎∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，‎ ‎∵∠AFE=∠A，‎ ‎∴∠BDE=∠AFE，‎ ‎∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，‎ ‎∵∠BDG=∠C，‎ ‎∴∠GDE=∠FEC，‎ ‎∴△DEG∽△ECF；‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG•CF=DM•EG；‎ ‎（2）解：如图3所示，‎ ‎∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，‎ ‎∴△BDG∽△BED，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD2=BG•BE，‎ ‎∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，‎ 又∵∠FEH=∠CEF，‎ ‎∴△EFH∽△ECF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF2=EH•EC，‎ ‎∵DE∥AC，DM∥EF，‎ ‎∴四边形DEFM是平行四边形，‎ ‎∴EF=DM=DA=BD，‎ ‎∴BG•BE=EH•EC，‎ ‎∵BE=EC，‎ ‎∴EH=BG=1．‎ ‎17．（2017•肥城市模拟）△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．‎ ‎（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE ‎（2）D为BC中点如图2，连接EF．‎ ‎①求证：ED平分∠BEF；‎ ‎②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C．‎ ‎∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，‎ ‎∴∠FDC=∠DEB，‎ ‎∴△BDE∽△CFD，‎ ‎∴，‎ 即DE•CD=DF•BE；‎ ‎（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，‎ ‎∴，‎ ‎∵D为BC中点，‎ ‎∴BD=CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠B=∠EDF，‎ ‎∴△BDE～△DFE，‎ ‎∴∠BED=∠DEF，‎ ‎∴ED平分∠BEF；‎ ‎②∵四边形AEDF为菱形，‎ ‎∴∠AEF=∠DEF，‎ ‎∵∠BED=∠DEF，‎ ‎∴∠AEF=60°，‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∵∠BAC=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴△BED是等边三角形，‎ ‎∴BE=DE，‎ ‎∵AE=DE，‎ ‎∴AE=AB，‎ ‎∴=．‎ ‎18．（2017•长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．‎ ‎（1）求证：PC=PE；‎ ‎（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，‎ ‎∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，‎ ‎∴=，，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PC=PE；‎ ‎（2）∵PF∥DG，‎ ‎∴∠PFC=∠FCG，‎ ‎∵CF平分∠PCG，‎ ‎∴∠PCF=∠FCG，‎ ‎∴∠PFC=∠FCG，‎ ‎∴PF=PC，‎ ‎∴PF=PE，‎ ‎∵P是边AC的中点，‎ ‎∴AP=CP，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵PQ∥CD，‎ ‎∴∠PEC=∠DCE，‎ ‎∴∠PCE=∠DCE，‎ ‎∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，‎ ‎∴∠ECF=90°，‎ ‎∴平行四边形AECF是矩形．‎ ‎19．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．‎ ‎（1）求证：AB=GD；‎ ‎（2）如图2，当CG=EG时，求的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AB，即EG∥AB，‎ ‎∴∠FDG=∠A，‎ ‎∵点F为线段AD的中点，‎ ‎∴AF=DF，‎ 在△ABF与△DGF中，‎ ‎∴△ABF≌△DGF（ASA）‎ ‎∴AB=GD ‎（2）∵DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=AB，CE=BC=AC ‎∵DG=AB，‎ ‎∴EG=DE+DG ‎∴EG=AB ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠GEC=∠CBA，‎ ‎∵AC=BC，CG=EG ‎∴△GEC∽△CBA ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎20．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．‎ ‎（1）求证：△BOD∽△BAE；‎ ‎（2）求证：BD=CE；‎ ‎（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，‎ ‎∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，‎ ‎∵∠A=2∠BCO，‎ ‎∴∠DOB=∠A，‎ ‎∵∠ABE=∠ABE，‎ ‎∴△BOD∽△BAE；‎ ‎（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，‎ ‎∴∠BDF=∠BFD，‎ ‎∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，‎ 由（1）得∠BOD=∠A，‎ ‎∴∠BDF=∠BEC，‎ ‎∴∠BFD=∠BEC，‎ 在△BFC与△CEB中，，‎ ‎∴△BFC≌△CEB，‎ ‎∴BD=BF，‎ ‎∴BD=CE；‎ ‎（3）解：AP=AQ，‎ 理由：取BC的中点G，连接GM，GN，‎ ‎∵M，N分别是BE，CD的中点，‎ ‎∴GM，GN是中位线，‎ ‎∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，‎ ‎∵BD=CE，‎ ‎∴GM=GN，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵GM∥CE，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∵GN∥BD，‎ ‎∴∠3=∠1，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴AP=AQ．‎ ‎21．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t=1时，KE=　1　，EN=　　；‎ ‎（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？‎ ‎（3）当点K到达点N时，求出t的值；‎ ‎（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？‎ ‎【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，‎ ‎∵PE=2，‎ ‎∴KE=2﹣1=1，‎ ‎∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，‎ ‎∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴MP=，ME=，‎ ‎∴NE=；‎ 故答案为：1；；‎ ‎（2）由（1）并结合题意可得，‎ AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，‎ ‎∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），‎ 解得，t=；‎ ‎（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，‎ 由（2）得，﹣t+2=t，‎ 解得，t=；‎ ‎（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，‎ 即，0＜t≤2；‎ ‎②当点k在EF上时，‎ 则KE=t﹣2，BP=8﹣t，‎ ‎∵△BPK∽△PKE，‎ ‎∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，‎ ‎∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），‎ 解得t=3，t=4；‎ ‎③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．‎ 综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．‎ ‎22．（2017•农安县模拟）如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．‎ ‎（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．‎ ‎（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB．‎ ‎∴四边形ABDE是平行四边形，‎ ‎∴AE=BD，‎ 又∵BD=DC，‎ ‎∴AE=DC，‎ 又∵AE∥DC，‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形．‎ ‎（2）解：∵四边形ADCE是平行四边形，AC=6，‎ ‎∴AG=GC=3，‎ 又∵AE∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△CBF，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AF=2，‎ ‎∴FG=AG﹣AF=1．‎ ‎23．（2017•杨浦区三模）已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．‎ ‎（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；‎ ‎（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．‎ ‎【解答】（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，‎ ‎∵BE=DF，∴CE=CF，‎ ‎∴∠AEB=∠F=45°，‎ ‎∴BE=BA=AD，‎ 在△ADM和△BEM中，，‎ ‎∴△ADM和△BEM，‎ ‎∴DM=EM，即点M为ED中点；‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，‎ ‎∴△ADM∽△BEM，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AM∥DF，AF∥DE，‎ ‎∴四边形AMDF是平行四边形，‎ ‎∴AM=DF，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴AM=BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴AM2=AB•BM．‎ ‎24．（2017•杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．‎ ‎（1）求证：DE∥BC．‎ ‎（2）已知，如图2，在△‎ ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠A=∠A，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE∽△ABC ‎∴∠ADE=∠B，‎ ‎∴DE∥BC ‎（2）过点D作DG∥AB交CF于点G，‎ ‎∴△CDG∽△CAF ‎∴，‎ ‎∵E是BD的中点，‎ ‎∴BE=ED，‎ ‎∵DG∥AB，‎ ‎∴∠FBE=∠EDG 在△DEG与△CAF中，‎ ‎∴△DEG≌△BEF（AAS）‎ ‎∴DG=BF，‎ ‎∴=‎ ‎（3）由（2）可得：‎ ‎∵AB=AC，AF=CD，‎ ‎∴=‎ ‎∴BF2+BF•AF﹣AF2=0，‎ ‎∴（）2+﹣1=0，‎ ‎∴解得：=，‎ ‎∴=‎ ‎25．（2017•岱岳区二模）已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．‎ ‎（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；‎ ‎（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵AC=BC，‎ ‎∴∠A=∠B ‎∵∠BEC=∠ACE+∠A ‎∠ACF=∠ACE+∠ECF，‎ ‎∴∠ACF=∠BEC ‎∴△ACF∽△BEC ‎∴‎ ‎∴AC2=AF•BE ‎（2）∵∠A=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形 ‎∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF，‎ ‎∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE，∠F=∠ABC﹣∠FCB，‎ ‎∠ACE=∠FCB，‎ ‎∴∠ECB=∠F，‎ ‎∵∠ABC=∠A，‎ ‎∴△ACF∽△BEC ‎∴=‎ ‎∴AF=‎ ‎∴BF=AF﹣AB=‎ ‎　‎ ‎26．（2017•硚口区模拟）如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．‎ ‎（1）求证：AD2=BG•DH；‎ ‎（2）求证：CE=DG；‎ ‎（3）求证：EF=HG．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形 ‎∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，‎ ‎∵∠EAF=45°‎ ‎∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，‎ ‎∴∠BAG=∠AHD，‎ 又∵∠ABD=∠ADB=45°，‎ ‎∴△ABG∽△HDA，‎ ‎∴，‎ ‎∴BG•DH=AB•AD=AD2；‎ ‎（2）如图，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，‎ ‎∴AC=AD，‎ ‎∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠EAF=∠CAD，‎ ‎∴∠EAF﹣∠CAF=∠CAD﹣∠CAF，‎ ‎∴∠EAC=∠GAD，‎ ‎∴△EAC∽△GAD，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=DG；‎ ‎（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，‎ ‎∴，‎ 同理得：△AFC∽△AHB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠GAH=∠EAF，‎ ‎∴△GAH∽△EAF，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=GH．‎ ‎27．（2017•岱岳区一模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．‎ ‎（1）求证：AC•DF=BF•BD；‎ ‎（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；‎ ‎（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵BF⊥AD，‎ ‎∴∠AFB=∠BFD=90°，‎ ‎∴∠ABF+∠BAF=90°，‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABF+∠DBF=90°，‎ ‎∴∠BAF=∠DBF，‎ ‎∴△ABF∽△BDF，‎ ‎∴=，即AB•DF=BF•BD，‎ 由AB=BC，AB⊥BC，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴AC•DF=BF•BD；‎ ‎（2）∵=，AB=BC、BD=DE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°，‎ ‎∴∠FBC=∠EDF，‎ ‎∴△FBC∽△FDE，‎ ‎∴∠BFC=∠DFE，‎ 又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°，‎ ‎∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°，‎ 故∠CFE的度数保持不变，始终等于90°．‎ ‎（3）当C为BD中点时，CE∥BF，‎ 理由如下：‎ ‎∵C为BD中点，‎ ‎∴AB=BC=CD=BD=DE，‎ 在△ABD和△CDE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABD≌△CDE（SAS），‎ ‎∴∠ADB=∠CED，‎ ‎∵∠CED+∠ECD=90°，‎ ‎∴∠ADB+∠ECD=90°，‎ ‎∴CE⊥AD，‎ ‎∵BF⊥AD，‎ ‎∴CE∥BF．‎ ‎28．（2017•长春模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．‎ ‎（1）求证：DB=DM．‎ ‎（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．‎ ‎（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为　a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）　（用含n的代数式表示）．‎ ‎【解答】解：（1）∵DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，∠A′DE=∠DMB，‎ 由翻折可知：∠ADE=∠A′DE ‎∵∠B=∠DMB，‎ ‎∴DB=DM，‎ ‎（2）由翻折可知：A′D=AD ‎∵，DB=DM，‎ ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△A′MN∽△A′DE ‎∴=‎ ‎∵DE=6，‎ ‎∴MN=DE=3，‎ ‎（3）由翻折可知：A′D=AD ‎∵=n，DB=DM，‎ ‎∴=n，‎ 当n＞1时，‎ ‎∴=‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴△A′MN∽△A′DE ‎∴=‎ ‎∵DE=a，‎ ‎∴MN=DE=a﹣，‎ 同理：当0＜n＜1时，‎ 此时∴=，‎ ‎∴MN=，‎ 综上所述，MN=a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）‎ 故答案为：（3）MN=a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）‎ ‎29．（2017•武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．‎ ‎（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB；‎ ‎（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；‎ ‎（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°，‎ ‎∴∠EDC=90°，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠EDC=∠ABC，‎ ‎∵∠E=∠E，‎ ‎∴△EDC∽△EBA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴ED•EA=EC•EB．‎ ‎（2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G．‎ 在Rt△CDF中，cos∠ADC=，‎ ‎∴=，∵CD=5，‎ ‎∴DF=3，‎ ‎∴CF==4，‎ ‎∵S△CDE=6，‎ ‎∴•ED•CF=6，‎ ‎∴ED==3，EF=ED+DF=6，‎ ‎∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC，‎ ‎∴∠BAG=30°，‎ ‎∴在Rt△ABG中，BG=AB=6，AG==6，‎ ‎∵CF⊥AD，AG⊥EB，‎ ‎∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E，‎ ‎∴△EFC∽△EGA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EG=9，‎ ‎∴BE=EG﹣BG=9﹣6，‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE=（9﹣6）×6﹣6=75﹣18．‎ ‎（3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3，‎ ‎∴tan∠E=，‎ 作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a，‎ ‎∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a，‎ ‎∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F，‎ 易证△AFG∽△CEH，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴AD=5a=．‎ ‎　‎ ‎30．（2017•大冶市模拟）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．‎ ‎（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；‎ ‎（2）若图2，若AB≠AC，‎ ‎①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；‎ ‎②求证：=．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=AC，‎ ‎∴∠EBC=∠FCB，‎ 在△BCE与△CBF中，，‎ ‎∴△BCE≌△CBF，‎ ‎∴BE=CF；‎ ‎（2）①成立，理由如下：作∠A的平分线交BC于点D，连结DE、DF，‎ 则∠DAF=∠DAE=∠A，‎ ‎∵∠1=∠2=∠A，‎ ‎∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2，‎ ‎∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆，‎ ‎∴BD=DF，DE=DC，‎ ‎∵∠BDE=∠A，∠CDF=∠A，‎ ‎∴∠BDE=∠CDF，‎ 在△DEB与△DCF中，，‎ ‎∴△DEB≌△DCF，‎ ‎∴BE=CF；‎ ‎②由上面的证明易知△DFB与△DEC均为等腰三角形，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴△DFB∽△DEC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD是△ABC的内角平分线，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎31．（2017•大东区二模）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．‎ ‎（1）证明：DM=DA；‎ ‎（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；‎ ‎（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1所示，‎ ‎∵DM∥EF，‎ ‎∴∠AMD=∠AFE，‎ ‎∵∠AFE=∠A，‎ ‎∴∠AMD=∠A，‎ ‎∴DM=DA；‎ ‎（2）证明：如图2所示，‎ ‎∵D、E分别是AB、BC的中点，‎ ‎∴DE∥AC，‎ ‎∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，‎ ‎∵∠AFE=∠A，‎ ‎∴∠BDE=∠AFE，‎ ‎∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，‎ ‎∵∠BDG=∠C，‎ ‎∴∠GDE=∠FEC，‎ ‎∴△DEG∽△ECF；‎ ‎（3）解：如图3所示，‎ ‎∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，‎ ‎∴△BDG∽△BED，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BD2=BG•BE，‎ ‎∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，‎ 又∵∠FEH=∠CEF，‎ ‎∴△EFH∽△ECF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF2=EH•EC，‎ ‎∵DE∥AC，DM∥EF，‎ ‎∴四边形DEFM是平行四边形，‎ ‎∴EF=DM=DA=BD，‎ ‎∴BG•BE=EH•EC，‎ ‎∵BE=EC，‎ ‎∴EH=BG=5．‎ ‎32．（2017•随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．‎ ‎（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．‎ 下面是两位学生有代表性的证明思路：‎ 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；‎ 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…‎ 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；‎ ‎（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于 的常数），直接用含k的代数式表示的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ 证法一：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∵四边形ABEF为平行四边形，‎ ‎∴AB=EF，AB∥EF，‎ ‎∴CD=EF，CD∥EF，‎ ‎∴∠CDM=∠FEM，‎ 在△CDM和△FEM中 ‎，‎ ‎∴△CDM≌△FEM，‎ ‎∴DM=EM，‎ 即点M是DE的中点；‎ 证法二：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴DH=BH，‎ ‎∵四边形ABEF为平行四边形，‎ ‎∴AF∥BE，‎ ‎∵HM∥BE，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴DM=EM，‎ 即点M是DE的中点；‎ ‎（2）∵△CDM≌△FEM，‎ ‎∴CM=FM，‎ 设AD=a，CM=b，‎ ‎∵∠ABE=135°，‎ ‎∴∠BAF=45°，‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴∠NAF=45°，‎ ‎∴四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AC=AD=a，‎ ‎∵AB∥EF，‎ ‎∴∠AFN=∠BAF=45°，‎ ‎∴△ANF为等腰直角三角形，‎ ‎∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，‎ ‎∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，‎ ‎∴===；‎ ‎（4）∵==+2•=k，‎ ‎∴=（k﹣），‎ ‎∴=，‎ ‎∴==•+1=•+1=．‎ ‎33．（2016秋•故城县期末）如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．‎ ‎（1）求证：AC•MN=BN•AP；‎ ‎（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵M为CP的中点，N为AP的中点，‎ ‎∴MN是△ACP的中位线，‎ ‎∴NM∥AC，MN=AC，‎ ‎∴∠A=∠BNM，‎ 又∵∠ACP=∠ABD，‎ ‎∴△ACP∽△NBM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC•MN=BN•AP；‎ ‎（2）∵AC=2，‎ ‎∴MN=AC=1，‎ 设AN=x，则AP=2x，‎ ‎∵AC•MN=BN•AP，‎ ‎∴2×1=（3﹣x）×2x，‎ 解得x1=，x2=，‎ ‎∴AP=3+（舍去），AP=3﹣，‎ ‎∴AP的长3﹣．‎ ‎34．（2016秋•召陵区期末）如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠‎ CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．‎ ‎（1）求证：△CAE∽△CBF； ‎ ‎（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，‎ ‎∴==，‎ 又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，‎ ‎∴∠ACE=∠BCF，‎ ‎∴△CAE∽△CBF．‎ ‎（2）：∵△CAE∽△CBF，‎ ‎∴∠CAE=∠CBF，=，‎ 又∵∠CAE+∠CBE=90°，‎ ‎∴∠CBF+∠CBE=90°，‎ ‎∴∠EBF=90°，‎ 又∵==，AE=2‎ ‎∴=，‎ ‎∴BF=，‎ ‎∴EF2=BE2+BF2=3，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∵CE2=2EF2=6，‎ ‎∴CE=．‎ ‎35．（2016秋•平舆县期末）如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．‎ ‎（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP　∽　△PCD（填“≌”或“～”）；‎ ‎（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）如图②所示，∵∠MPN=90°，∠B=90°，‎ ‎∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB，‎ ‎∴∠BAP=∠CPD，‎ 又∵∠B=∠C，‎ ‎∴△ABP∽△PCD；‎ 故答案为：∽；‎ ‎（2）在旋转过程中，的值为定值．‎ 证明：如图③所示，过点F作FG⊥BC于G，则∠B=∠FGP，‎ ‎∵∠MPN=90°，∠B=90°，‎ ‎∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB，‎ ‎∴∠BEP=∠CPF，‎ ‎∴△EBP∽△GPF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 即的值为定值．‎ ‎36．（2016秋•瑶海区期末）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是　64　．‎ ‎【解答】解：如图，，‎ 过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，‎ 根据题意得，△1∽△2∽△3，‎ ‎∵△1：△2=1：4，△1：△3=1：25，‎ ‎∴它们的边长比为1：2：5，‎ 又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，‎ ‎∴DM=BG，EM=CH，‎ 设DM为x，‎ 则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x，‎ ‎∴BC：DM=8：1，‎ ‎∴S△ABC：S△FDM=64：1，‎ ‎∴S△ABC=1×64=64．‎ 故答案为：64．‎ ‎37．（2016•南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．‎ ‎（1）求AO的长；‎ ‎（2）求PQ的长；‎ ‎（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵CO⊥AB，‎ ‎∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ABC∽△ACO，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB===13，‎ ‎∴OA==．‎ ‎（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，‎ 则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6，‎ 在Rt△PFQ中，PQ===．‎ ‎（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，‎ ‎∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，‎ ‎∴PF∥GQ，‎ ‎∴△PMF∽△QMG，‎ ‎∴==，‎ ‎∵PM+QM=，‎ ‎∴PM=，MQ=，‎ ‎∴|PM﹣QM|=．‎ ‎38．（2016•邵阳）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．‎ 求证：a2+b2=5c2‎ 该同学仔细分析后，得到如下解题思路：‎ 先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证 ‎（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．‎ ‎（2）利用题中的结论，解答下列问题：‎ 在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．‎ ‎【解答】解：（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，‎ ‎∵AF，BE是△ABC的中线，‎ ‎∴EF为△ABC的中位线，AE=b，BF=a，‎ ‎∴EF∥AB，EF=c，‎ ‎∴△EFP∽△BPA，‎ ‎∴，即==，‎ ‎∴PB=2n，PA=2m，‎ 在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，‎ ‎∴n2+4m2=b2①，‎ 在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，‎ ‎∴m2+4n2=a2②，‎ ‎①+②得5（n2+m2）=（a2+b2），‎ 在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，‎ ‎∴n2+m2=EF2=c2，‎ ‎∴5•c2=（a2+b2），‎ ‎∴a2+b2=5c2；‎ ‎（2）∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵E，F分别为线段AO，DO的中点，‎ 由（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，‎ ‎∵AG∥BC，‎ ‎∴△AEG∽△CEB，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AG=1，‎ 同理可得DH=1，‎ ‎∴GH=1，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴===，‎ ‎∴MB=3GM，MC=3MH，‎ ‎∴9MG2+9MH2=45，‎ ‎∴MG2+MH2=5．‎ ‎39．（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．‎ ‎（1）求证：△ADF∽△ACG；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，‎ ‎∴∠ADF=∠C，‎ ‎∵=，‎ ‎∴△ADF∽△ACG．‎ ‎（2）解：∵△ADF∽△ACG，‎ ‎∴=，‎ 又∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=1．‎ ‎40．（2016•黄冈校级自主招生）如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．‎ 求证：K是线段MN的中点．‎ ‎【解答】证明：取AC的中点Q，连接QF、AE，过C点作CR∥QF交MP于点R，连接NR．‎ ‎∵Q、F、E分别是AC、CD、AB的中点，‎ ‎∴QF∥AD，QE∥NC，‎ ‎∴，，‎ ‎∵AQ=CQ，‎ ‎∴．‎ ‎∵QF∥AD，CR∥QF，‎ ‎∴CR∥AD，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴FM=FR，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF∥RN．‎ ‎∵FK∥RN，FM=FR，‎ ‎∴KM=KN，即K是线段MN的中点．‎ ‎　‎