中考数学基础知识大串讲二
2015年中考数学基础知识 大串讲
导读：
中考大串讲按照数与代数、空间与图形、统计与概率三大块共分成九个串讲专题.“考点串讲”部分是对所讲专题的重要考点的概括，“新题演练”部分是针对所讲专题重要考点的精例及解析，使您做题后，跳出题海，轻松应对中考，决胜中考！“中考真题”部分是让学生了解近六年北京中考命题特点，更好地重点突破，热点追踪；“模拟真题”部分是对中考热点又一次巩固和提高。
串讲二 方程（组）与不等式（组）
(一)考点串讲
1.一元一次方程.
知识点：等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程.
考查重点：掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程.
2.二元一次方程（组）.
了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.
重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际问题.
难点：图象法解二元一次方程组，数形结合思想.
3.一元二次方程.
知识点：一元二次方程、解一元二次方程及其应用、一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系.
考查重点：（1）了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式；
（2）会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
（3）能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题.
4.分式方程.
考查重点：（1）会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程；
（2）分式方程及其实际应用.
5.一元一次不等式（组）.
知识点：不等式概念，不等式基本性质，不等式的解集，解不等式，不等式组，不等式组的解集，解不等式组，一元一次不等式，一元一次不等式组，一元一次不等式组应用.
考查重点：考查解一元一次不等式（组）的能力.
新题演练：
新题1：已知关于x的方程的解是，则m的值是____________．
解析：本题考查了一元一次方程解的意义．因是该方程的解，所以代入后方程仍然成立，即：，解这个关于m的方程得m=2．
答案：m=2
新题2：若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，则k的值为
A． B. C. D.
解析：由方程组得2x＝14k，y＝－2k．代入，得14k－6k＝6，解得k＝．
答案：B
新题3：解方程：
解析：根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解.
答案：
新题4：解方程：．
解析：由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
答案：解：去分母得：(x－2)2－(x2－4)=3．
－4x＝－5． x＝．
经检验，x＝是原方程的解．
新题5：解不等式组：并在数轴上把解集表示出来．
解析：一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形．注意：①分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项；②不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变；③在数轴上表示不等式的解集，当解集是x
时，不包括数轴上a这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x≤a或x≥a时，包括数轴上a这一点，则这一点用黑圆点表示；④解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握．
答案：解：解不等式（1）得,解不等式（2）得.
-2
0
1
x
所以不等式组的解集为
新题6：在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
解析：本题主要考查分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
答案：解：（1）设乙队单独完成需天
根据题意，得
解这个方程，得=90
经检验，=90是原方程的解
∴乙队单独完成需90天
（2）设甲、乙合作完成需天，则有
解得（天）
甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）
乙单独完成超过计划天数不符题意．
甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．
（二） 北京中考真题（07~14）
1.（07北京14)解方程：．
2.(09北京14）解分式方程：
3.（10北京14）解分式方程 ．
4.（08北京14）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
5.（09北京9） 不等式的解集是 .
6.（11北京14）解不等式：．
7.（12北京14）解不等式组：
8.（07北京10）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
9.（10北京16）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求
的值及方程的根．
10.（12北京10）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
11. (13北京18)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。
12.（14北京17）已知关于的方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值.
13.（08北京21）列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
14.（09北京18）列方程或方程组解应用题：
北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间，地面
公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？
15.（10北京17）列方程或方程组解应用题：
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民
家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用
水各多少亿立方米．
16.（11北京18）列方程或方程组解应用题：
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
17.（12北京18）列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
18.（13北京17）列方程或方程组解应用题：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。
19.（14北京18）列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
（三）模拟真题
1.（昌平）方程组的解是
A． B． C． D．
2.（顺义）解方程组：
3.（海淀）已知是方程组的解, 求的值.
4.（东城）不等式 的解集为________________.
5.(朝阳)解不等式＜，并把它的解集在数轴上表示出来.
6.(房山) 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
7.（昌平）解不等式组：
8.（丰台）解不等式组：
9.（海淀）①②
解不等式组：
≥2x-4，
10.（西城）解不等式组 并求它的所有的非负整数解.
11.（平谷）求满足不等式组的整数解.
12.（通州）解不等式组，并写出它的整数解.
13.（延庆）求不等式组的整数解．
14.（燕山） 解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
15.（石景山）解不等式，并把解集表示在数轴上．
17.（东城）解分式方程 ．
18.（密云）解分式方程．
19.（门头沟）把方程化为的形式（其中m、n为常数，且n0），结果为 .
20.（昌平）若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是
A．a＜2且a≠0 Ｂ．a＞2 Ｃ．a＜2且a≠1 Ｄ．a＜－2
21.(房山)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）．
A. B. 且 C. D. 且
22.（顺义）已知关于x的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程的整数根（为正整数）．
23.（东城）列方程或方程组解应用题:
食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
24.(朝阳)列方程解应用题：
为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？
25.(房山)列方程或方程组解应用题：
为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15 千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．
26.（海淀）列方程或方程组解应用题：
三月植树节期间，某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划
多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，问现
在平均每天植树多少棵？
27.（平谷）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元.求：
（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？
（2）小王购买洗衣机除财政补贴外实际付款多少元？
28.（顺义）列方程或方程组解应用题：
在城区改造项目中，区政府对某旧小区进行节能窗户改造．该小区拥有相同数量的A、B两种户型．已知所有A户型窗户改造的总费用为54万元，所有B户型窗户改造的总费用为48万元，且B户型窗户的每户改造费用比A户型窗户的每户改造费用便宜500元．问A、B两种户型的每户窗户改造费用各为多少元？
29.（通州）2012年3月30日，对于北京球迷来说是一个美妙的夜晚:在篮球比赛中，北京篮球队战胜了广东篮球队，最终夺得了男篮总冠军；在足球比赛中，北京国安队战胜了天津泰达队.据统计两场比赛大约共有60000人到达现场观看比赛，其中观看足球比赛的人数比观看篮球比赛的人数的2倍还多6000人，求观看篮球和足球比赛的观众大约各有多少人？
30（延庆）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍．
你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的?
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
.
31.（燕山）列方程或方程租应用题:
北京到石家庄的铁路里程约为280km , 2012年底京石高铁即将通车，其上运行的新型动车速度可比目前的普通列车提高1.8倍, 届时从北京到石家庄乘坐高铁新型动车将比现在乘坐普通列车少用一个半小时即可到达，求目前普通列车的运行速度．
应用题：
08
解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时
千米． 1分
依题意，得． 3分
解得． 4分
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． 5分
09
解法一：设轨道交通日均客运量为x万人次，则地面公交日均客运量为(4x－69)万人次．
依题意，得x＋(4x－69)＝1696．
解得x＝353．
4x－69＝4×353－69＝1343．
答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．
解法二：设轨道交通日均客运量为x万人次，地面公交日均客运量为y万人次．
依题意，得
解得
答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．
10.
解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米，依题意，得
5.8-x=3x+0.6，解得x=1.3，5.8-x=5.8-1.3=4.5。
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米
解法二：设生产运营用水x亿立方米，居民家庭用水y亿立方米，依题意，得，
解这个方程组，得x=1.3，y=4.5。
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米。
