中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用知识讲解基础

中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用知识讲解基础

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；‎ ‎2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．‎ ‎【知识网络】‎ ‎ ‎ ‎【考点梳理】‎ 考点一、一元二次方程 ‎1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．‎ 它的一般形式为(a≠0)．‎ ‎2.一元二次方程的解法 ‎ （1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．‎ ‎ （2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．‎ ‎（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．‎ ‎ （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．‎ 要点诠释：‎ 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．‎ ‎3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为．‎ ‎△>0方程有两个不相等的实数根；‎ ‎△＝0方程有两个相等的实数根；‎ ‎△<0方程没有实数根．‎ 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．‎ 要点诠释：‎ ‎ △≥0方程有实数根.‎ ‎4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．‎ 考点二、分式方程 ‎ 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．‎ 要点诠释：‎ ‎（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. 　　（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.‎ ‎ 2.分式方程的解法 去分母法，换元法．‎ ‎3.解分式方程的一般步骤 　　　(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； 　　　(2)解这个整式方程； 　　　(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 　　　 　分母等于零的根是原方程的增根.‎ 口诀：“一化二解三检验”.‎ 要点诠释：‎ 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．‎ 考点三、一元二次方程、分式方程的应用 ‎1．应用问题中常用的数量关系及题型 ‎ (1)数字问题(包括日历中的数字规律)‎ ‎ 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．‎ ‎ (2)体积变化问题 ‎ 关键是寻找其中的不变量作为等量关系.‎ ‎ (3)打折销售问题 ‎ 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．‎ ‎ 明确这几个关系式是解决这类问题的关键．‎ ‎ (4)关于两个或多个未知量的问题 ‎ 重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.‎ ‎ (5)行程问题 ‎ 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．‎ ‎ 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.‎ ‎ (6)和、差、倍、分问题 ‎ 增长量＝原有量×增长率；‎ ‎ 现有量＝原有量+增长量；‎ ‎ 现有量＝原有量-降低量．‎ ‎2．解应用题的步骤 ‎(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；‎ ‎(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；‎ ‎(3)找出相等关系，并用它列出方程；‎ ‎(4)解方程求出题中未知数的值；‎ ‎(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．‎ 要点诠释：‎ ‎ 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．‎ ‎ 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、一元二次方程 ‎ ‎1．用配方法解一元二次方程：‎ ‎【思路点拨】‎ 把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.‎ ‎【答案与解析】‎ 移项，得 二次项系数化为1，得 配方 由此可得 ‎，‎ ‎【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解. ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0． 【答案】‎ 将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得 　　　　x2-7x+=1+，所以有=1+． 　　　　直接开平方，得x-=或x-=-． 　　　　所以原方程的根为 x=或x=． ‎ ‎2．关于x的方程有两个不相等的实数根.‎ ‎(1)求k的取值范围.‎ ‎(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 ‎【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.‎ ‎【答案与解析】‎ ‎（1）由△=(k+2)2－4k·＞0 ‎ ‎∴k＞－1 ‎ 又∵k≠0 ‎ ‎∴k的取值范围是k＞－1，且k≠0‎ ‎（2）不存在符合条件的实数k 理由：设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：‎ x1+x2=，x1·x2=，‎ 又=0 则 =0 ∴‎ 由（1）知，时，△＜0，原方程无实解 ‎∴不存在符合条件的k的值.‎ ‎【总结升华】‎ ‎（1）注意隐含条件k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出k的值，要验证k的值是否符合题意.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知关于x的方程．‎ ‎（1）求证方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明:因为△= ‎ ‎ = ‎ ‎ 所以无论取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以， ‎ 根据方程的根与系数的关系得，解得， ‎ 所以原方程可化为，解得，.‎ 类型二、分式方程 ‎3．解方程：‎ ‎【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.‎ ‎【答案与解析】‎ 方程两边都乘以，得 ‎ ‎ ‎【总结升华】‎ 首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】解分式方程：．‎ ‎【答案】方程两边同乘以，得 ‎ ． ‎ ‎ 　．‎ ‎ ． ‎ ‎　　　 经检验：是原方程的解，‎ 所以原方程的解是． ‎ ‎【变式2】方程的解是x= ．‎ ‎【答案】.‎ ‎4．若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.‎ ‎【答案】D；‎ ‎【解析】由题意得增根是：‎ 化简原方程为：把代入解得，‎ 故选择D.‎ ‎【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】若关于的方程无解，则的值是 ．‎ ‎【答案】1.‎ 类型三、一元二次方程、分式方程的应用 ‎5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.‎ ‎【思路点拨】‎ 在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.‎ ‎【答案与解析】‎ 设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时 ‎ 由题意，得 ‎ ‎ ‎ 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时.‎ ‎【总结升华】‎ 流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度；‎ 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？‎ ‎【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，‎ ‎ 由题意得：‎ ‎ ‎ ‎ 答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.‎ ‎6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？‎ ‎【思路点拨】‎ 设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎ 设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x．‎ ‎ 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500‎ ‎ 整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．‎ ‎ 1-x=±0.9，x=1±0.9，‎ ‎ x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．‎ ‎ 答：该产品的成本价平均每月应降低10%．‎ ‎【总结升华】‎ 题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．‎