中考数学之平面几何最全总结经典习题

中考数学之平面几何最全总结经典习题

平面几何知识要点（一）‎ ‎【线段、角、直线】‎ 1. 过两点有且只有一条直线。‎ 2. 两点之间线段最短。‎ 3. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。‎ 4. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。‎ ‎ 垂直平分线，简称“中垂线”。‎ 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（中垂线）。‎ ‎ 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。‎ ‎ 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。‎ ‎ 垂直平分线定理: 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。‎ 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上。‎ ‎.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。‎ 角 1. 同角或等角的余角相等。‎ 2. 同角或等角的补角相等。‎ 3. 对顶角相等。‎ ‎ 角的平分线性质 ‎ 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎ 定理2： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 ‎ ‎【平行线】‎ ‎ 平行线性质1：两直线平行，同位角相等。‎ 平行线性质2：两直线平行，内错角相等。‎ 平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。‎ 平行线判定1：同位角相等，两直线平行。‎ 平行线判定2：内错角相等，两直线平行。‎ 平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。‎ 平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。‎ 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ ‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段 成比例。‎ 平面几何知识要点（二）‎ ‎【三角形】‎ 面积公式：‎ 1． 已知三角形底a，高h， ‎ 2． 正三角形面积 S= (a为边长正三角形)‎ ‎3．已知三角形三边a,b,c，则 （海伦公式）‎ 其中： （周长的一半）‎ ‎4．已知三角形两边a，b及这两边夹角C，则。‎ ‎ 5．设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则 ‎ ‎　　 6．设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则 记住★：已知正三角形边长为，其外接圆半径为，内切圆半径为，则有：‎ ‎ ， ， ‎ 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°‎ 推论1 ：直角三角形的两个锐角互余 ‎ ‎ 推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ‎ ‎ 推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。其中对应边除了三角形 的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。‎ 全等三角形判定定理：‎ ‎ 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）‎ 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）‎ 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）‎ ‎ 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。‎ 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。‎ 相似三角形性质定理 性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相 似比。‎ 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。‎ 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ 相似三角形判定定理 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA） ‎ 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） ‎ 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）‎ 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。‎ 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三 角形与原三角形相似。‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。‎ 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 。‎ 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等 ‎ ‎ 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 。‎ ‎ 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。‎ 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。‎ ‎ 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 。‎ ‎ 推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。（三线合一） ‎ ‎ 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° ‎ 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等 角对等边） ‎ ‎ 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 ‎ 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 ‎1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方（）‎ ‎ 逆命题：如果三角形的三边长有关系，那么这个三角形是直角三角形。‎ 勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边: 　如果：，则△ABC是直角三角形；‎ ‎ 如果，则△ABC是锐角三角形；‎ 如果，则△ABC是钝角三角形。‎ ‎2．直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。‎ 逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。‎ ‎ 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半，由 此性质可推出：含30°的直角三角形三边之比为1：：2。‎ ‎ 4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。‎ ‎5.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，‎ a b c o r 即 ‎ 也等于 ‎ A B C D a b c h ‎6. 射影定理： ‎ ‎①如果△ABC是直角三角形,∠C=90°，CD⊥AB，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②如果△ABC，CD⊥AB，，则:‎ ‎△ADC∽△CDB ‎③对一般三角形的拓展：如图，如果△ADC∽△ACB，则：‎ ‎ ‎ ‎7．如果∠ADE=∠B 或 ∠AED=∠C，或 ∠C+∠DEB=180°,‎ 或 ∠B+∠CDE=180°‎ 那么有：AD·AC=AE·AB ‎8.如果DE∥BC , 那么有：‎ A B C D ‎9．在△ABC中，AD是∠A的平分线，那么：‎ ‎10．内、外角角平分线：DO平分∠AOB，EO平分∠COB，‎ ‎ 可以推出：∠DOE=90°,∠AOD+∠COE=90°‎ 平面几何知识要点（三）‎ ‎【四边形及多边形】‎ 面积公式：‎ ‎ 平行四边形面积=底×高 矩形面积=长×宽 ‎ ‎ 菱形面积=对角线乘积的一半 或 菱形面积=底×高 ‎ 梯形面积==中位线×高 ‎ 对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。‎ 平行四边形：‎ 性质定理1：平行四边形两组对边分别平行 性质定理2：平行四边形两组对角分别相等。‎ 性质定理3：平行四边形两组对边分别相等。‎ 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。‎ 性质定理4：平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形 判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。‎ 判定定理3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。‎ 判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。‎ 判定定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。‎ 矩形 ‎ 性质定理1：矩形对边分别平行且相等；‎ ‎ 性质定理2：矩形的四个角都是直角。‎ ‎ 性质定理3：矩形对角线互相平分且相等 性质定理4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。‎ 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理2：有一个直角的平行四边形；‎ 判定定理3：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形 ‎ 性质定理1：菱形对边平行，四条边都相等。‎ ‎ 性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。‎ 性质定理3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。‎ ‎ 判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。‎ ‎ 判定定理2：一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎ 判定定理3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。‎ 正方形 ‎ 性质定理1：正方形对边平行，四边相等；‎ ‎ 性质定理2：正方形的四个角都是直角；‎ ‎ 性质定理3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。‎ ‎ 性质定理3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。‎ 判定定理1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形；‎ 判定定理2：一组邻边相等的矩形是正方形；‎ 判定定理3：一个角为直角的菱形是正方形。‎ 等腰梯形 ‎ 性质定理1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等；‎ ‎ 性质定理2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。‎ ‎ 性质定理3：等腰梯形的两条对角线相等。‎ ‎ 性质定理4：等腰梯形是轴对称图形。‎ 判定定理1：腰相等的梯形是等腰梯形；‎ 判定定理2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。‎ 判定定理3：对角线相等的梯形是等腰梯形。‎ 如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。‎ 四边形四边中点连成的四边形图形：‎ 1． 如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形；‎ 2． 如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形；‎ 3． 如果原四边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形；‎ 4． 如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四边形。‎ 5． 四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半.‎ 其它定理和公式 ‎1．定理：四边形的内角和等于360°，四边形的外角和等于360°。‎ ‎ 2．多边形内角和定理: n边形的内角的和等于（n-2）×180° ‎ ‎ 推论：任意多边的外角和等于360°‎ ‎3．n边形从一个顶点出发的对角线，共有(n－3)条，将n边形分成了(n－2)个三角形；‎ n边形一共有(n－3)条对角线。‎ ‎4．正n边形的每个内角都等于：‎ 常用辅助线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 平面几何知识要点（四）‎ ‎【圆、弧、弦】‎ 圆及圆的相关量的定义 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆 心，定长称为半径。‎ ‎ 弧、弦的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，‎ 小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心 的弦叫做直径。‎ ‎ 圆、弧的表示方法: 圆--⊙ 弧-----⌒ ‎ 弦心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。 ‎ 弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。‎ 圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。‎ 圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。‎ 圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。‎ 连心线定义：过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。‎ 扇形定义: 在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。‎ 三角形的外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角 形的外心。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3‎ 个顶点距离相等。‎ 三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为 内心。内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距 离相等。 ‎ 圆的内接正n边形、圆的外切正n边形定义：把圆分成n(n≥3)等分：‎ 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。‎ ‎⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个 a b c d 圆的外切正n边形。‎ 圆内接四边形面积：‎ 其中：‎ 圆的外切四边形的两组对边的和相等：‎ AB＋CD＝AD＋BC 公切线定义:和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。‎ A B C D ‎ 内公切线定义：两个不相交的圆在公切线两旁时，这样的公 切线叫做内公切线。‎ 外公切线定义：两个不相交的圆在公切线的同旁时，‎ 这样的公切线叫做外公切线。‎ ‎ 右图中：直线AB、CD就是两圆的公切线，其中AB为外公切线，CD为内公切线。‎ ‎ 公切线长计算公式：设⊙半径为R，⊙半径为r，，两圆的圆心距为 ‎ 外公切线长= 内公切线长=‎ ‎ 当两圆相切时，无内公切线长。‎ 直线与圆有三种位置关系：1.无公共点为相离；2．有2个公共点为相交；‎ ‎3．圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。‎ 两圆之间有5种位置关系：1.无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，2．在之内叫内含；‎ ‎3．有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，4．在之内叫内切；5．有2个公共点 的叫相交。‎ 圆的基本性质:‎ ‎ 1．点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）： ‎ 当P在⊙O外，PO＞r；当P在⊙O上，PO＝r；当P在⊙O内，PO＜r。‎ ‎2．直线AB与圆O的位置关系（设OP⊥AB于P，则PO是直线AB到圆心的距离）： ‎ 当AB与⊙O相离，PO＞r；当AB与⊙O相切，PO＝r；当AB与⊙O相交，PO＜r。 ‎ ‎3．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P）： ‎ 外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含0≤P＜R-r。 ‎ ‎ 4．同圆或等圆的半径相等。‎ ‎5．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称 中心是圆心。‎ ‎6. 不在同一直线上的3个点确定一个圆。‎ ‎7. 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。‎ ‎8．圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这 个圆的切线。 ‎ 圆的定理：‎ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。‎ 推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 ‎ ‎②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角。‎ P T A C B D 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。‎ ‎ 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等。（此推论也叫割线定理）‎ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 ‎ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中 项。‎ 注：切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理。‎ 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆心 角的一半。‎ 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。‎ 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一 组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。‎ 定理2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ ‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等。‎ ‎ 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。‎ ‎ 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 定理3：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦。‎ 定理4 两圆相切时，连心线通过切点。‎ 定理5：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。‎ 定理6：圆的外切四边形的两组对边的和相等。‎ 定理7：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。‎ 圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式 ‎ ‎ 圆周长 圆的面积 弧长 扇形面积 公式 注：半径—r 直径—d 扇形弧长— 周长—C 面积—S n°--扇形的圆心角 扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 注:（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。‎ ‎（2）弓形的周长＝弦长＋弧长 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 注：圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r 圆柱的底面半径为r，高为h 图形的形成过程 ‎ 由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。‎ 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。‎ 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法 ‎【三角形五心】：内心、外心、重心、垂心、旁心 内心 外心 重心 垂心 旁心 三角形内心：三角形三个内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，其半径r是交 点到一边的距离。‎ 性质：到三边距离相等。‎ 三角形外心：三角形三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心，其半径R是交点 到顶点的距离。‎ 性质：外心到三顶点的距离相等 ‎ 若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。‎ 当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；‎ 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；‎ 当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。‎ 三角形重心：三角形三条中线的交点。‎ 性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。‎ ‎②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离 与三条边的长成反比。 ‎ ‎③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。‎ ‎④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为 三角形垂心：三角形三条高所在直线的交点。‎ 性质：①垂心分每条高线的两部分乘积相等。‎ ‎ ②垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。‎ 三角形旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 ‎ 性质：旁心到三边的距离相等 性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。‎ 圆的基本概念 ‎·‎ ‎·‎ A B C E F G H I J 如上图：直线为连心线; 线段AB称为弦; ⊙圆心到线段AB的距离称为弦心距；‎ 之间距离称为圆心距；直线EF外公切线；直线BG内公切线；E,F,I称为切点；‎ 称为劣弧; 称为优弧; 称为圆心角；∠GIJ称为圆周角；‎ ‎∠GIH 称为弦切角;‎ 三角形的内切圆 三角形的外接圆 两圆外切 两圆内切 相离 内含 两圆相交 经典难题（一）‎ ‎1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．‎ 求证：CD＝GF．（初二）‎ A F G C E B O D ‎2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．‎ A P C D B ‎ 求证：△PBC是正三角形．（初二）‎ D2‎ C2‎ B2‎ A2‎ D1‎ C1‎ B1‎ C B D A A1‎ ‎3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．‎ 求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）‎ A N F E C D M B ‎4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．‎ 求证：∠DEN＝∠F．‎ 经典难题（二）‎ ‎1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．‎ ‎·‎ A D H E M C B O ‎　（1）求证：AH＝2OM；‎ ‎　（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）‎ ‎·‎ G A O D B E C Q P N M ‎2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．‎ 求证：AP＝AQ．（初二）‎ ‎3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：‎ ‎·‎ O Q P B D E C N M ‎·‎ A 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．‎ 求证：AP＝AQ．（初二）‎ P C G F B Q A D E ‎4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．‎ 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）‎ 经典难题（三）‎ ‎1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．‎ A F D E C B 求证：CE＝CF．（初二）‎ ‎2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．‎ E D A C B F 求证：AE＝AF．（初二）‎ ‎3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．‎ D F E P C B A 求证：PA＝PF．（初二）‎ O D B F A E C P ‎4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）‎ 经典难题（四）‎ ‎1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．‎ A P C B 求：∠APB的度数．（初二）‎ ‎2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．‎ P A D C B 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）‎ ‎3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）‎ C B D A ‎4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）‎ F P D E C B A 经典难题（五）‎ A P C B ‎1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．‎ ‎2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．‎ A C B P D ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ A C B P D ‎3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．‎ E D C B A ‎4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．‎ 经典难题（一）‎ ‎1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,‎ 即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。‎ ‎2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 ‎△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150‎ 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形 ‎3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，‎ 连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，‎ 由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ‎∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ，‎ 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， ‎ 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,‎ 从而可得∠A2B2 C2=900 ，‎ 同理可得其他边垂直且相等，‎ 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。‎ ‎4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。‎ 经典难题（二）‎ ‎1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,‎ 又∠F=∠ACB=∠BHD，‎ 可得BH=BF,从而可得HD=DF，‎ 又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM ‎(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，‎ ‎ 从而可得∠BOM=600,‎ ‎ 所以可得OB=2OM=AH=AO,‎ 得证。‎ ‎3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。‎ ‎ 由于，‎ ‎ 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。‎ ‎ 又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，‎ ‎ ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。‎ ‎4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。‎ ‎ 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。‎ ‎ 从而可得PQ= = ，从而得证。‎ 经典难题（三）‎ ‎1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.‎ ‎ 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350‎ ‎ 从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。‎ ‎ 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。‎ ‎ ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。‎ ‎ 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.‎ ‎ 可证：CE=CF。‎ ‎2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。‎ 由AC=CE=2GC=2CH，‎ ‎ 可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，‎ 又∠FAE=900+450+150=1500，‎ 从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。‎ ‎3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。‎ ‎ 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。‎ ‎ tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，‎ ‎ 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，‎ ‎ 得到PA＝PF ，得证 。‎ 经典难题（四）‎ 1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。‎ 可得△PQC是直角三角形。‎ 所以∠APB=1500 。‎ ‎2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.‎ 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：‎ AEBP共圆（一边所对两角相等）。‎ 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。‎ ‎3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：‎ ‎ =，即AD•BC=BE•AC， ①‎ ‎ 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得 ‎ =，即AB•CD=DE•AC， ②‎ ‎ 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。‎ ‎4.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由==，可得：‎ ‎ =，由AE=FC。‎ ‎ 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。‎ 经典难题（五）‎ ‎1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。‎ 既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，‎ 即如下图：可得最小L= ；‎ ‎ （2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。‎ ‎ 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，‎ 推出AD>AP ①‎ 又BP+DP>BP ②‎ 和PF+FC>PC ③‎ ‎ 又DF=AF ④‎ ‎ 由①②③④可得：最大L< 2 ；‎ ‎ 由（1）和（2）既得：≤L＜2 。‎ ‎ ‎ ‎2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。‎ 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，‎ 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。‎ 既得AF= = = ‎ ‎ = = ‎ ‎ = 。‎ ‎3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： ‎ ‎ 既得正方形边长L = = 。‎ ‎4.在AB上找一点F，使∠BCF=600 ，‎ ‎ 连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，‎ ‎ 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ，‎ ‎ 得到BE=CF ， FG=GE 。‎ ‎ 推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，‎ ‎ 既得：∠DFG=400 ①‎ ‎ 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ②‎ ‎ 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ，‎ ‎ 从而推得：∠FED=∠BED=300 。‎