中考冲刺数学专题7——探究规律问题1

中考冲刺数学专题7——探究规律问题1

‎2011中考冲刺数学专题7——探究规律问题 ‎【备考点睛】‎ 近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识。‎ ‎【经典例题】‎ 类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式 例题1 如图，在中，，把边长分别为,……，的个正方形依次放入中，请回答下列问题：‎ A B C ‎（1）按要求填表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（2）第个正方形的边长 ；‎ 解答：如图，设，则，——相当于搞清楚第一项；‎ 由∽,得，而，‎ A B C 解得即；‎ 完全类似地可得。‎ ‎——搞清楚了递推关系。‎ 把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。‎ ‎（1）依次应填；； （2） 例题2．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：‎ ＝1－； ＝－；＝－；……‎ 解答下面的问题：‎ ‎（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；‎ ‎（2）证明你猜想的结论；‎ ‎（3）求和：＋＋＋…＋.‎ 解答：‎ ‎（1） ‎（2）证明：－＝－＝＝.‎ ‎（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－ ‎＝.‎ 例题3 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。‎ 解答：我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：‎ 所以 第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有个.‎ 例题4 探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：‎ 当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用表示不同长度值的线段种数。则当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有五种，比时增加了3种，即。‎ ‎（1）观察图形，填写下表：‎ 钉子数 值 ‎2‎ ‎2+3‎ ‎2+3+（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。‎ ‎（3）对的钉子板，写出用表示的代数式。‎ 解答：当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有。（这些是时已有的），（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）；时比时多出3个种数；时比时多出4个种数;……时比时多出个种数;-----(第二层归纳). 有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.‎ ‎(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;‎ ‎(2)的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;‎ ‎(3).‎ 归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.‎ 类型二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式 例题5 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线之间把绳子再剪次（剪刀的方向与平行），这样一共剪次时绳子的段数是（ ）‎ A、B、 C、 D、 解答：我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为，由（1，1），（2，5）得：‎ 即。‎ 本题要求的是“剪次”，实际上是序号所对应的图，其中绳子的段数应为。‎ 答：应选A。‎ 说明：对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪刀则是第个图，二者不应弄混。‎ ‎ 当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数”与绳子段数 之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系式,最后的结果是一样的.‎ 例题6 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）。‎ 解答：题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数（自变量）每增大1，对应的函数值就增大3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。‎ 设，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：‎ 答： 说明：就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。‎ 例题7 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则第个图形中，其有 个六边形。‎ 解答：图形序号与图形中正六边形的个数满足（1，1），（2，4），（3，7），每增大1，就增大3，可知是的一次函数，用待定系数法（略）求得 类型三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式 例题8．（2010 贵州贵阳）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．‎ ‎（1）写出点M5的坐标；‎ ‎（2）求的周长；‎ ‎（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）‎ 的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标 称之为点的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．（4分）‎ 解答：（1）M5（―4，―4）‎ ‎（2）由规律可知，,， ‎∴的周长是 ‎（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：‎ 令旋转次数为 ① 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，‎ 即：点的“绝对坐标”为（）。‎ ② 当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,……，‎ 即：点的“绝对坐标”为。‎ ③ 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,……，即：的“绝对坐标”为。‎ 解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：‎ ‎①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（）‎ ‎②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（）‎ ‎③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）‎ 例题9． 如图，已知的面积。‎ ‎（1）在图（1）中，若则；‎ ‎（2）在图（2）中，若，则 A ‎（3）在图（3）中，若则；‎ 按此规律，若，则 。‎ A B C A A B C B C A A ‎（1）（2）（3）‎ 解答：其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算的面积即可，实际上 表示边上的高）边AB上的高） 同理，，均等于，得 。‎ 例题10．（2010广东中山）阅读下列材料：‎ ，‎ ，‎ ，‎ 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题：‎ ‎（1）（写出过程）；‎ ‎（2）=；‎ ‎（3）=．‎ 解答：（1） ‎=++…+ ‎= ‎=440．‎ ‎（2） ‎（3） ‎=++‎ ‎…+ ‎= ‎=1260‎ ‎【技巧提炼】‎ 规律探索性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出,需要通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论和条件,解答这类问题的关键是认真审题,掌握规律,合理推测,认真验证,从而得出问题的正确结论.‎ 研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：‎ ‎1、以归纳概括为指导的思考方法；‎ 这类问题思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。‎ ‎2、以函数思想为指导的方法；‎ 这类问题的思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。‎ ‎3、以直接计算为指导的方法。‎ 这类问题的思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。‎ ‎【体验中考】‎ ‎1．（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ ‎（A）15（B）25（C）55 （D）1225‎ ‎2．世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）‎ A、B、 C、 D、 仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；‎ ‎（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，，如第7行中，依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为 ；第10行左数第2 个数为，第10行左数第3个数应为 ‎3．（2010安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）‎ ‎（A）495 B）497 C）501 D）503‎ ‎4．（2010广东茂名）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子 第2个“口”‎ 第1个“口”‎ 第3个“口”‎ 第n个“口”‎ ‎………………‎ ‎？‎ A．4n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D． n2枚 ‎5．（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）‎ ‎21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎6．（2010江苏淮安）观察下列各式：‎ ‎……‎ 计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=‎ ‎ A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102‎ C A F D E B G ‎7．（2010 山东济南） 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．‎ ‎8. 观察下列等式：，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 。‎ ‎9．（2010 江苏连云港）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________． ‎ AD BAD CFEBAD A1‎ A2‎ A3‎ B1‎ B2‎ B3‎ ‎10. 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时,共需要摆 根火柴棒.‎ ‎11．（2010 四川成都）已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．‎ ‎12． 如图，是用火棍摆成边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形，当边长为根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则= 。（用含的代数式表示，为正整数）。‎ ‎13． 将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。按上述分割方法进行下去……‎ ‎（1）请你在图中画出第一次分割的示意图；‎ ‎（2）若原正六边形的面积为，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：‎ ‎ (3)观察所填表格,并结合操作,请你猜想:分割后所得的正六边形的面积与分割次数有何关系?(用含和的代数式表示,不需要写出推理过程).‎ ‎14. 如图，已知，，…，则点和点的坐标分别为 ； 。‎ ‎4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎2‎ ‎15. 下面是某种细胞分裂示意图， 这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此项规律可得：‎ ‎（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后分裂成 个细胞；‎ ‎（2）这样的一个细胞经过3个小时后可分裂成 个细胞；‎ ‎（3）这样的一个细胞经过（为正整数）小时后要分裂成 个细胞；‎ ‎16. 数字解密：第一个数是，第二个数是，第三个 是，第四个数是,……按此规律观察并猜想第六个数是 。‎ ‎17．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．‎ ‎（1）如图1，当时，求正三角形的边长；‎ ‎（2）如图2，当时，求正三角形的边长；‎ ‎（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．‎ ‎18．（2010广东汕头）阅读下列材料：‎ ‎1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，‎ ‎2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，‎ ‎3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，‎ 由以上三个等式相加，可得 ‎1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20．‎ 读完以上材料，请你计算下列各题：‎ (1) ‎1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；‎ (2) ‎1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ _________；‎ (3) ‎1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ _________．‎ ‎19．（2010浙江宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：‎ 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 ‎ 多面体 顶点数(V)‎ 面数(F)‎ 棱数(E)‎ 四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎▲‎ 长方体 ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 正八面体 ‎▲‎ ‎8‎ ‎12‎ 正十二面体 ‎20‎ ‎12‎ ‎30‎ (1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：‎ 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是▲；‎ ‎(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是▲；‎ ‎ (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.‎ 答案：‎ ‎1．【答案】D ‎2．【答案】B 仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；‎ ‎（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，，如第7行中， 依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为；第10行左数第2 个数为，第10行左数第3个数应为 ‎3．【答案】A ‎4．【答案】A ‎5．【答案】B ‎6．【答案】C ‎7．【答案】C ‎8. 【答案】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：‎ 个位数字 ‎2的乘方 ‎2‎ …归纳概括为（为自然数，下同）‎ ‎4‎ …归纳概括为 ‎6‎ 归纳概括为 ‎8‎ 归纳概括为 而，个位数字应为6。 个位数应为6。‎ ‎9．【答案】 ‎10. 【答案】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:‎ 所以 应填165 .‎ ‎11．【答案】 ‎12．【答案】这只要直接计算第个图形（如上图所示）有多少火柴棒即可，竖着摆放的火柴棍有列，有行，共有根，而横着摆放的和竖着摆放的一样多。因此 ‎13．【答案】显然,这是一个探究递推关系的题目,首先应当完成第一次分割操作:如图(1`);其次,由操作和观察容易知道,设原正六边形的面积,则图(1`)中小正六边形(阴影所示)的面积等于所在菱形面积的,从而等于整个大正六边形面积的,即有关系.完全相同的道理,……由此，问题（2）、（3）得解。‎ ‎（1）见图 ‎（2）依次应填，，；‎ ‎（3）（实际上是）。‎ ‎14.【答案】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。‎ 第一步，可以看出除了点外，其他各点均在象限内。‎ 按象限分类：‎ 所在象限 点 一 归纳概括为（为自然数）‎ 二 归纳概括为 三 归纳概括为 四 归纳概括为 由，可知在第二象限，在第三象限。‎ 第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：‎ ‎（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的；‎ ‎（2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：‎ 点 ‎…‎ 归纳概括为 坐标的绝对值 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ 由知其坐标的绝对值应为；由，知其坐标的绝对值应为；将第一步和第二步结合，可得和的坐标。‎ 的坐标为，的 坐标为。‎ ‎15.【答案】如果假设,由1个细胞开始,经过次分裂后细胞数记为,且记,依题意有,,,……次分裂后细胞数为，所以本题的结果为：（1） （2）； （3） 本题当中，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的2倍。就是一种“递推”关系，可由求得，可由，等等。‎ 不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条，整个问题便解决了。‎ ‎16.【答案】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数前一个数+（前一个数），如第二个数第一个数（第一个数），而第一个数是3，所以第二个数是，……如此等等。找到这个递推关系，很容易有第五个数，第六个数。‎ 说明：在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视。‎ ‎17． 【答案】‎ ‎（1）设与交于点D，连结，‎ 则，‎ 在中，，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎（2）设与交于点E，连结，‎ 则，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎（3）设与交于点F，连结，‎ 则，‎ 在中，‎ 即，‎ 解得． ‎ ‎18．【答案】（1）∵1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，‎ ‎2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，‎ ‎3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，‎ ‎…‎ ‎10×11 ＝ (10×11×12－9×10×11)，‎ ‎∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．‎ ‎（2）．‎ ‎（3）1260．‎ ‎19．【答案】‎ ‎ (1) 6， 6 , ‎(2)20 ‎ ‎ (3)这个多面体的面数为，棱数为条，‎ ‎ 根据可得 ，‎ ‎∴.‎