中考翻折变换部分解答为图片

中考翻折变换部分解答为图片

中考数学专项复习训练《有关直线形翻折问题》 例题分析 1、（2012 天津）已知一个矩形纸片 OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 11 0A（ ，），点 0 6B（ ，），点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B 、 C 重合），经过点 O 、 P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP ．设 BP t ． （Ⅰ）如图①，当 30BOP   时，求点 P 的坐标； O xA CB P B O x y A CB P B C Q 图① 图② y （Ⅱ）如图②，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB 上，得点 C 和折痕 PQ ，若 AQ m ，试用含 有 t 的式子表示 m ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点 C 恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）． 解：（Ⅰ）根据题意， 90OBP   ， 6OB  ， 在 Rt OBP△ 中，由 30BOP   ， BP t ，得 2OP t ． 根据勾股定理， 2 2 2OP OB BP  ， 即 2 2 2(2 ) 6t t  ，解得 2 3t  （ 2 3t   舍去）．∴ 点 P 的坐标为 (2 3 6)， ． （Ⅱ）∵ OB P△ 、 QC P△ 分别是由 OBP△ 、 QCP△ 折叠得到的， 有 OB P△ ≌ OBP△ ， QC P△ ≌ QCP△ ． ∴ OPB OPB   ， QPC QPC   ． ∵ 180OPB OPB QPC QPC          ， ∴ 90OPB QPC     ． ∵ 90BOP OPB     ， ∴ BOP CPQ   ． 又 90OBP C     ， ∴ OBP△ ∽ PCQ△ ，有 OB BP PC CQ  ． 由题设 BP t ， AQ m ， 11BC  ， 6AC  ，则 11PC t  ， 6CQ m  ． ∴ 6 11 6 t t m   ． ∴ 21 11 66 6m t t   （ 0 11t＜ ＜ ）即为所求． （Ⅲ）点 P 的坐标为 11 13( 6)3  ， 或 11 13( 6)3  ， ． O xA CB P B C Q y 2、（2012 深圳）如图，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， 连接 AF、CE。 （1）求证：四边形 AFCE 为菱形； （2）设 AE＝a，ED＝b ，DC＝c，请写出一个 a、b、c 三者之间的数量关系式。 解（1）∵△AEF 与△CEF 关于直线 EF 成轴对称 ∴△AEF≌△CEF ∴AE＝CE，AF＝CF，∠1＝∠2 在矩形 ABCD 中，AD∥BC ∴∠2＝∠3 ∴∠1＝∠3 ∴AE＝AF ∴AE＝EC＝CF＝FA ∴四边形 AECF 为菱形 （2）AE＝a，ED＝b，DC＝c，AE＝CE＝a ∵ED2＋CD2＝CE2 ∴b2＋c 2＝a2 [来源:Zxxk.Com] 3、（2012 广东）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8．把△BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处， BC′交 AD 于点 G；E、F 分别是 C′D 和 BD 上的点，线段 EF 交 AD 于点 H，把△FDE 沿 EF 折叠，使点 D 落在 D′处，点 D′恰好与点 A 重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求 tan∠ABG 的值； （3）求 EF 的长． 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。 解答：（1）证明：∵△BDC′由△BDC 翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′， ∴∠ABG=∠ADE， 在：△ABG≌△C′DG 中， 图 B C A(C′) D (D′) E B C A(C′) D (D′) E ∵ ， ∴△ABG≌△C′DG； （2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG， ∴GD=GB， ∴AG+GB=AD，设 AG=x，则 GB=8﹣x， 在 Rt△ABG 中， ∵AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（8﹣x）2，解得 x= ， ∴tan∠ABG= = = ； （3）解：∵△AEF 是△DEF 翻折而成， ∴EF 垂直平分 AD， ∴HD= AD=4， ∴tan∠ABG=tan∠ADE= ， ∴EH=HD× =4× = ， ∵EF 垂直平分 AD，AB⊥AD， ∴HF 是△ABD 的中位线， ∴HF= AB= ×6=3， ∴EF=EH+HF= +3= ． 4、如图 11，一张矩形纸片 ABCD，其中 AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线 BD 折叠， 点 C 落在点 C′的位置，BC′交 AD 于点 G. （1）求证：AG=C′G； （2）如图 12，再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，的折痕 EN，EN 角 AD 于 M，求 EM 的长. 解（1）证明：如图 4，由对折和图形的对称性可知， CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90° 在矩形 ABCD 中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90° ∴AB＝C’D，∠A＝∠C’, 在△ABG 和△C’DG 中， ∵AB＝C’D，∠A＝∠C’，∠AGB＝∠C’GD ∴△ABG≌△C’DG（AAS）, ∴AG＝C’G （2）解：如图 5，设 EM＝x，AG＝y，则有： C’G＝y，DG＝8－y， DM= 1 2 AD=4cm 在 Rt△C’DG 中，∠DC’G＝90°，C’D＝CD＝6， ∴ 2 2 2' 'C G C D DG  即： 2 2 26 (8 )y y   ,解得： 7 4y  ∴C’G＝ 7 4 cm，DG＝ 25 4 cm 又∵△DME∽△DC’G ∴ DM ME DC CG  ， 即： 4 76 ( )4 x 解得： 7 6x  , 即：EM＝ 7 6 （cm） ∴所求的 EM 长为 7 6 cm。 5、（2012 德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、 点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出 这个最小值；若不存在，请说明理由． 考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。 分析： （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出 ∠APB=∠PBC 即可得出答案； （2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2， 利用二次函数的最值求出即可． 解答： （1）解：如图 1，∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP． 即∠PBC=∠BPH． 又∵AD∥BC， ∴∠APB=∠PBC． ∴∠APB=∠BPH． （2）△PHD 的周长不变为定值 8． 证明：如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q． 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP． ∴AP=QP，AB=BQ． 又∵AB=BC， ∴BC=BQ． 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH， ∴△BCH≌△BQH． ∴CH=QH． ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． （3）如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB． 又∵EF 为折痕， ∴EF⊥BP． ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP． 又∵∠A=∠EMF=90°， ∴△EFM≌△BPA． ∴EM=AP=x． ∴在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2． 解得， ． ∴ ． 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， ∴ ． 即： ． 配方得， ， ∴当 x=2 时，S 有最小值 6． 点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函 数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键． 6．（2011•河池）如图 1，在△ABO 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以 OB 为一边，在△OAB 外作等边 三角形 OBC，D 是 OB 的中点，连接 AD 并延长交 OC 于 E． （1）求点 B 的坐标； （2）求证：四边形 ABCE 是平行四边形； （3）如图 2，将图 1 中的四边形 ABCO 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，求 OG 的长． 考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质． 718351 分析：（1）由在△ABO 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根据三角函数的知识，即可求得 AB 与 OA 的 长，即可求得点 B 的坐标； （2）首先可得 CE∥AB，D 是 OB 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得 BD=AD， ∠ADB=60°，又由△OBC 是等边三角形，可得∠ADB=∠OBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得 BC∥AE，继而可得四边形 ABCD 是平行四边形； （3）首先设 OG 的长为 x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，然后根据勾股定理可得方程（8﹣x）2=x2+ （4 ）2，解此方程即可求得 OG 的长． 解答：（1）解：在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，∴OA=OB•cos30°=8× =4 ， AB=OB•sin30°=8× =4，∴点 B 的坐标为（4 ，4）； （2）证明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥x 轴，∵y 轴⊥x 轴，∴AB∥y 轴，即 AB∥CE， ∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4∴DB=AB=4∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°， ∴∠ADB=60°，∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即 AD∥BC， ∴四边形 ABCE 是平行四边形； （3）解：设 OG 的长为 x，∵OC=OB=8，∴CG=8﹣x， 由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，在 Rt△AOG 中，AG2=OG2+OA2， 即（8﹣x）2=x2+（4 ）2，解得：x=1，即 OG=1． 点评：此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知 识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系． 7．（2009•遵义）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=10cm，BC=8cm，E 为 BC 上一点，将纸片沿 AE 翻折，使点 E 与 CD 边上的点 F 重合． （1）求线段 EF 的长； （2）若线段 AF 上有动点 P（不与 A、F 重合），如图（2），点 P 自点 A 沿 AF 方向向点 F 运动，过点 P 作 PM∥EF， PM 交 AE 于 M，连接 MF，设 AP=x（cm），△PMF 的面积为 y（cm）2，求 y 与 x 的函数关系式； （3）在题（2）的条件下，△FME 能否是等腰三角形？若能，求出 AP 的值，若不能，请说明理由． 考点： 翻折变换（折叠问题）．718351 专题： 压轴题． 分析： （1）根据折叠的性质知 AB=AF=10cm，可在 Rt△ADF 中根据勾股定理求出 DF 的长，进而可求出 CF 的值；在 Rt△CEF 中，根据折叠的性质知 BE=EF，可用 EF 表示出 CE，进而由勾股定理求出 EF 的长； （2）由于 PM∥EF，而∠AFE=∠ABE=90°，因此 PM⊥AF；在（1）中已经求得 AF、EF 的长，易证得 △APM∽△AFE，根据相似三角形所得比例线段即可求得 PM 的表达式；知道了 Rt△PMF 两条直角边 的长，即可求出其面积，由此可得到关于 y、x 的函数关系式； （3）在 Rt△PMF 中，根据 PM、MF 的表达式，即可由勾股定理求得 MF 的表达式；若△FME 是等腰 三角形，则可能有三种情况：①MF=ME，②MF=EF，③ME=EF；可根据上述三种情况所得不同等量 关系求出 x 的值． 解答： 解：（1）根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE； Rt△ADF 中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm； ∴CF=CD﹣DF=10﹣6=4cm； 在 Rt△CEF 中，CE=BC﹣BE=BC﹣EF=8﹣EF，由勾股定理得： EF2=CF2+CE2，即 EF2=42+（8﹣EF）2，解得 EF=5cm； （2）∵PM∥EF， ∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；∴ ，即 ，PM= ； 在 Rt△PMF 中，PM= ，PF=10﹣x；则 S△PMF= （10﹣x）• =﹣ x2+ x；（0＜x＜10） （3）在 Rt△PMF 中，由勾股定理，得：MF= = ； 同理可求得 AE= =5 ，AM= = x；∴ME=5 ﹣ x； 若△FME 能否是等腰三角形，则有： ①MF=ME，则 MF2=ME2，即： x2﹣20x+100=（5 ﹣ x）2，解得 x=5； ②MF=EF，则 MF2=EF2，即： x2﹣20x+100=25，化简得：x2﹣16x+60=0，解得 x=6，x=10（舍去）； ③ME=EF，则有：5 ﹣ x=5，解得 x=10﹣2 ； 综上可知：当 AP 的长为 5cm 或 6cm 或（10﹣2 ）cm 时，△FME 是等腰三角形． 点评： 此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定 等重要知识点，在等腰三角形的腰和底不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解． 8．（2009•浙江）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，点 P 在线段 AB 上运动，设 AP=x，现将纸片折叠， 使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原． （1）当 x=0 时，折痕 EF 的长为 3 ；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为 ； （2）请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围，并求出当 x=2 时菱形的边长； （3）令 EF2=y，当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时，写出 y 与 x 的函数关系式．当 y 取最大值时，判断△EAP 与 △PBF 是否相似？若相似，求出 x 的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮 助哦！ 考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数综合题；相似三角形的性质． 718351 专题：代数几何综合题． 分析：（1）当 x=0 时，点 A 与点 P 重合，则折痕 EF 的长等于矩形 ABCD 中的 AB，当点 E 与点 A 重合时， 折痕是一个直角的角平分线，可求 EF= ； （2）由题意可知，EF 垂直平分线段 DP，要想使四边形 EPFD 为菱形，则 EF 也应被 DP 平分，所以 点 E 必须要在线段 AB 上，点 F 必须在线段 DC 上，即可确定 x 的取值范围．再利用勾股定理确定菱 形的边长． （3）构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定 y 的值，再利用二次函数的增减性确 定 y 的最大值． 解答：解：（1）当 x=0 时，折痕 EF=AB=3，当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF= = ． （2）1≤x≤3．当 x=2 时，如图，连接 DE、PF．∵EF 为折痕，∴DE=PE， 令 PE 为 m，则 AE=2﹣m，DE=m，在 Rt△ADE 中，AD2+AE2=DE2 ∴1+（2﹣m）2=m2，解得 m= ；此时菱形边长为 ． （3）如图 2，过 E 作 EH⊥BC；∵△EFH∽△DPA，∴ ，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2； 当 F 与点 C 重合时，如图 3，连接 PF； ∵PF=DF=3，∴PB= ，∴0≤x≤3﹣2 ； ∵函数 y=9+9x2 的值在 y 轴的右侧随 x 的增大而增大，∴当 x=3﹣2 时，y 有最大值， 此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF． 综上所述，当 y 取最大值时△EAP∽△PBF，x=3﹣2 ． 中考数学专项复习训练《有关直线形翻折问题》练习 1、如图，等边△ABC 的边长为 1 cm，D、E 分别是 AB、 AC 上的点 ，将△ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A 处，且点 A在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长 为 cm． 解：由折叠可得 AD=A′D；AE=A′E， ∴阴影部分图形的周长为 AB+BC+AC=3cm． 2、如图，D,E 为 ABC 两边 AB,AC 的中点，将 ABC 沿线段 DE 折叠，使点 A 落在点 F 处，若  55B ， 则 BDF . 解：∵D、E 为△ABC 两边 AB、AC 的中点，即 DE 是三角形的中位线． ∴DE∥BC ∴∠ADE=∠B=55° ∴∠EDF=∠ADE=55° ∴∠BDF=180-55-55=70°． 3、直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 ABC△ 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ， 则 DE 的值是 . （2 题） （3 题） 4、矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE= cm. A B C D E A′ 6 8 C E AB D 5、如图， ABC 中， 8,6,90  BCABB ，将 ABC 沿 DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上的 C’处，并且 C’D//BC, 则 CD 的长是（ ） A. 9 40 B. 9 50 C. 4 15 D. 4 25 C' E D C B A （5 题） 6、将如图①的矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠得到图②，折叠后 DE 与 BF 相交于点 P，如果∠BPE=130°，则∠PEF 的 度数为( )[来源:学+科+网]A．60° B．65° C．70° D．75° [来源:学科网 ZXXK] P F E D C B A F E D C B A ① ② A B C D E G H 第 9 题 7、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使 B 点与 D 点重合，则折痕 EF 的长为 。 8、如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形 的周长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 ． 9、如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是 BC 上的一点，∠BEG＞60º. 现沿直线 E 将纸片折 叠,使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第 7 题 （第 8 题图） 10、如图，将矩形纸片 ABCD 沿 AE 向上折叠，使点 B 落在 DC 边上的 F 点。若△AFD 的周长为 9，△ECF 的 周长为 3，则矩形 ABCD 的周长为_______. D A B C E F 解：由折叠的性质知，AF=AB，EF=BE．所以矩形的周长等于△AFD 和△CFE 的周长的和为 9+3=12．故矩形 ABCD 的周长为 12． 11、如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点C D， 分别落在C D ， 的位置上， EC 交 AD 于点G ． 已知 58EFG  °，那么 BEG  °． 12、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边 与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的 长为（ ）C A．1 B． 3 4 C． 2 3 D．2 13、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=8cm.把矩形纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 交 DC 于点 F，AF= 25 4 cm, 则 AD 的长为（ C ）A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm F D A B C E A B C D C' E F 13 题 14 题 A B E C DF G C D A′ G D B C A 12 题 题图 14、矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DE= ___________cm.29/5 15．如图 5，四边形 ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF， 若 CD=6，则 AF 等于（ ） (A) 4 3 (B) 3 3 (C) 4 2 (D) 8 16、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ 3 ，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处．则 BC 的长为（ ）． A、 3 B、2 C、3 D、 32 （17题图） 17、如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC和EF的长 4 __、 _____5_ 18、如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′ 等于 （ ） C （A） 70° （B） 65° （C） 50° （D） 25° E D B C′ F C D′ A （18 题） （19 题） （20 题） A B C D E C1 B1 F (第 16 题图) A E B CFD A1 D1 第 22 题 AB CB’D E P 19、将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE、EF 为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ 3 ，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处．则 BC 的长为（ ）．C A、 3 B、2 C、3 D、 32 20、如图矩形纸片 ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点 E，ED＝2cm，AD 上有一点 P，PD＝3cm，过 P 作 PF ⊥AD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交于 Q 点，则 PQ 的长是____________cm. 21、如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm．点 E、F 分别在 AB、 CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D1 处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）B A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 22、矩形纸片 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点 B 落在边 CD 上的 B’处，折痕为 AE．在折痕 AE 上存 在一点 P 到边 CD 的距离与到点 B 的距离相等，则此相等距离为________． 23、如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片 ABCD 做折 纸游戏，他将纸片沿 EF 折叠后，D、C 两点分别落在 D ′、C ′的位 置，并利用量角器量得∠EFB＝65°，则∠AED ′等于 ▲ 度． 24、正方形 ABCD 边长为 a，点 E、F 分别是对角线 BD 上的两点，过点 E、F 分别作 AD、AB 的平行线，如图 所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ． A′ G D B C A 25 题图 25、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为 （ ）C A．1 B． 3 4 C． 2 3 D．2 26、矩形 ABCD 中，E、F、M 为 AB、BC、CD 边上的点，且 AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则 EM 的长为（ B ） A．5 B． 25 C．6 D． 26 E D B D′ A （第 23 题） F C C′ 第 24 题图 第 27 题B C A O DP· A B CD E G F （29 题） F 27、如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条边 AB、AC 的 长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ）A A．12 5 B．6 5 C．24 5 D．不确定 28、如图，将矩形 ABCD 纸片沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 D’重合，若 BC=8，CD=6，则 CF=____________.5/3 29、矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2．将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折叠后在其一面着色（如 图），则着色部分的面积为（ ）B A． 8 B．11 2 C． 4 D． 5 2 30、如图，将边长为 8 ㎝的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN， 则线段 CN 的长是（ ）C A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm N M F E D CB A 30 题 31 题 31、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE△ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上 有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A A． 2 3 B． 2 6 C．3 D． 6 32、如图①，矩形 ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠： （1）将△BAD 对折，使 AB 落在 AD 上，得到折痕 AF，如图② （2）将△AFB 沿 BF 折叠，AF 与 DC 交点 G，如图③ 则所得梯形 BDGF 的周长等于（ ） A.12+2 2 B.24+2 2 C.24+4 2 D.12+4 2 A D E P B C 33、把长为 8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积 为 6cm2，则打开后梯形的周长是（ ） 13210  3cm 3cm 第 33 题图 34、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个 直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ B ）. A．2＋ 10 B．2＋2 10 C．12 D．18 35、在矩形 ABCD 中，如图， AB 3 ， BC 4 ，将矩形折叠，使点 C 与点 A 重合，求折痕 EF 的长 _________． 15/4 35 题 36 题 37 题 36、如图，矩形 ABCD 的边长 AB＝6，BC＝8，将矩形沿 EF 折叠，使 C 点与 A 点重合，则折痕 EF 的长是（ A ） A．7．5 B．6 C．10 D．5 37、如图，在梯形 ABCD 中，∠DCB=90°，AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D 重合，BE 为折痕，那么 AD 的长度为_______________.30 ① ②3 410 O F E D C B A 38、如图，斜折一页书的一角，使点 A 落在同一页书内的 A′处，DE 为折痕，作 DF 平分∠A′DB，试猜想∠FDE 等于多少度，并说明理由．90 度 39、矩形 ABCD 中，点 E 、 F 分别在 AB 、 BC 上， DEF△ 为等腰直角三角形， 90 10 2DEF AD CD AE    °， ， ，求 AD 的长．4 40、如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的位置，AB′与 CD 交于点 E. （1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明. （2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点，PG⊥AE 于 G，PH⊥EC 于 H，试求 PG+PH 的值，并说 明理由. 41、小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图①，AD>CD）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折 痕为 AE（如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M 处， 折痕为 DG（如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值 为 ． 由于“折叠”和“角平分线的点到两边的距离相等” 设：NM=MG=EG=CE=a ∵∠BAE=∠EAD=45° （折叠形成的角平分线） ∴AM=NM÷sin45°=√2*a （三角函数关系） AE=(√2+2)a （AM+MG+GE） ∴AB=BE=AE×sin45°=(1+√2)a （用三角函数） ∵BC=BE+CE ∴BC=(1+√2)a+a=(2+√2)a A B C D A B C D E F ① ② A B C D E G M N ③ D A B C F E ∴BC:AB=(2+√2)a/(1+√2)a=√2:1 矩形 ABCD 长与宽的比值为 √2:1。 最后一题面积没法算。因为题目没有给出任何一边的长度。 但可以算：矩形 ABCD 长与宽的比值为 √2:1。 42、已知：如图所示的一张矩形纸片 ABCD（ AD AB ），将纸片折叠一次，使点 A 与C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于 E ，交 BC 边于 F ，分别连结 AF 和CE ． （1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（略） （2）若 10cmAE  ， ABF△ 的面积为 224cm ，求 ABF△ 的周长；24cm 43、（1）观察与发现 小明将三角形纸片 ABC（AB>AC），沿过点 A 的直线折叠，便得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展开纸片（如图①）， 再次折叠该三角形纸片，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，展开纸片后得到△AEF（如图②），小明认为△AEF 为等 腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③），再沿过点 E 的直线 折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D′处，折痕为 EG（如图④），再展开纸片（如图⑤）求图中∠α的大小． （1）是等腰三角形。 第一次折叠，AC 边与 AB 边对齐，说明 AD 是∠BAC 的平分线； 第二次折叠，A 和 D 重叠，则折痕 EF 垂直平分 AD， 即 AD 是三角形 AEF 的角平分线且垂直于该角对应的边，所以△AEF 是等腰三角形 （2）第一次折叠，A 点落在 BC 边的 F 点，使得四边形 ABFE 是正方形，BE 是正方形对角线， 则 EF 垂直 ED，∠FED=90度，∠FEB=45度 A E D C FB 第二次折叠，EG 是折痕，则∠GED=∠GEB=∠FEB+∠α=45度+∠α ∠α=∠FED-∠GED=90度-（45度+∠α） ∠α=22.5度 44、已知：△ABC 中，AB=2AC，∠BAC=60°，点 P 在△ABC 内部，PA= 3 ，PC=2，PB=5，求△ABC 的面 积. 分别作出点 P 关于三边的三个对称点，与三个顶点连接，得到边长分别为根号3，根号3，4，5，5为边的五边形， 利用三个对称点之间的连线将五边形分成一个以5为边长的等边三角形，一个以根号3为腰长的等腰三角形，一 个以3，4，5为边长的直角三角形，这三个三角形有面积和就是原直角三角形的面积的2倍. 1.首先证明△ABC 是直角三角形。 证明过程：假设 BC 与 AC 不垂直，则过点 B 作 BD⊥AC 交直线 AC 与点 D ∵∠A=60°（已知） ∴AB=2AD（直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半） ∵AB=2AC（已知） ∴AC=AD（等量代换） 这与直线外一点与直线上各点所连成的所有线段中，垂线段最短相矛盾，所以假设错误，即 AC、AD 两线重合。 ∴BC⊥AC 即△ABC 为直角三角形。（直角三角形定义）。 2.作全等△AP1C 关于直线 AC 与△APC 全等。△BP2C 关于直线 BC 与△BPC 全等.。。△BP3A 关于直线 AB 与△BPA 全等.。 则，∠P2BP3=2∠B=60°，∠P1AP3=2∠A=120°。 ∠P2CP1=2∠C=180°，所以点 P2，P1，C 在同一直线上。 依次连接点 A，P1，C，P2，B，P3，A。得到一个凸五边形。且五边形的面积是△ABC 的二倍。连接 P1，P2， P3，。易得 P2P3=BP2=BP=5，P1P2=P1C+P2C=2PC=4，由△AP1P3为等腰△（因为 AP3=AP1），且求得 ∠P1AP3=2∠A=120°。所以 S△P1AP3=3√3/4，且 P3P1=3， 进一步求得（3，4，5 为勾股数）△P1P2P3为直角△。 易求 S△P2BP3=25√3/4，S△P1P2P3=6。 所以 S△P2BP3+S△P1P2P3+S△P1AP3=7√3+6 所以△ABC=3+7√3/2。