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文档介绍
四川省内江市中考数学试卷及解析
2012年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，36分） 1．（3分）（2012•内江）﹣6的相反数为（ ） A． 6 B． C． D． ﹣6 2．（3分）（2012•内江）下列计算正确的是（ ） A． a2+a4=a6 B． 2a+3b=5ab C． （a2）3=a6 D． a6÷a3=a2 3．（3分）（2012•内江）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为（ ） A． 2 B． C． 1 D． ﹣2 4．（3分）（2012•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 5．（3分）（2012•内江）如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（ ） A． 100° B． 105° C． 110° D． 115° 6．（3分）（2012•内江）一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（ ） A． 5和5.5 B． 5.5和6 C． 5和6 D． 6和6 7．（3分）（2012•内江）函数的图象在（ ） A． 第一象限 B． 第一、三象限 C． 第二象限 D． 第二、四象限 8．（3分）（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（ ） A． 4π B． 2π C． π D． 9．（3分）（2012•内江）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千 米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（3分）（2012•内江）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（ ） A． 15 B． 20 C． 25 D． 30 11．（3分）（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A． B． C． D． 12．（3分）（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）（2012•内江）分解因式：ab3﹣4ab= _________ ． 14．（5分）（2012•内江）由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为 _________ ． 15．（5分）（2012•内江）如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是 _________ ． 16．（5分）（2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= _________ ． 三、解答题（共44分） 17．（7分）（2012•内江）计算：． 18．（9分）（2012•内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度． 19．（9分）（2012•内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ 20．（10分）（2012•内江）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题： 发言次数n A 0≤n＜3 B 3≤n＜6 C 6≤n＜9 D 9≤n＜12 E 12≤n＜15 F 15≤n＜18 （1）求出样本容量，并补全直方图； （2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数； （3）已知A组发言的学生中恰有1位男生，E组发言的学生中恰有1位女生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率． 21．（9分）（2012•内江）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论． 四、填空题（每小题6分，共24分） 22．（6分）（2012•内江）已知三个数x，y，z，满足，则= _________ ． 23．（6分）（2012•内江）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= _________ ． 24．（6分）（2012•内江）已知ai≠0（i=1，2，…，2012）满足，使直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai概率是 _________ ． 25．（6分）（2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为 _________ ． 五、解答题（每小题12分，共36分） 26．（12分）（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系． 27．（12分）（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值； （3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值． 28．（12分）（2012•内江）如图，已知点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M． （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明； （3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由． 2012年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，36分） 1．（3分）（2012•内江）﹣6的相反数为（ ） A． 6 B． C． D． ﹣6 解答： 解：﹣6的相反数是：6， 故选：A， 2．（3分）（2012•内江）下列计算正确的是（ ） A． a2+a4=a6 B． 2a+3b=5ab C． （a2）3=a6 D． a6÷a3=a2 解答： 解：A、a2+a4=a6，不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故本选项错误； B、2a+3b=5ab，不是合并同类项，故本选项错误； C、（a2）3=a6，幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项正确； D、a6÷a3=a2，同底数幂的除法，底数不变指数相减，6﹣3≠2，故本选项错误． 故选C． 3．（3分）（2012•内江）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为（ ） A． 2 B． C． 1 D． ﹣2 解答： 解：∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2）， ∴﹣2=， ∴k=﹣2． 故选D． 4．（3分）（2012•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 解答： 解：∵从左到右第一个和第三个图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，但它们是轴对称图形； ∵从左到右第二个和第四个图形旋转180°后能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形； ∴既是轴对称又是中心对称图形的有两个， 故选C． 5．（3分）（2012•内江）如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（ ） A． 100° B． 105° C． 110° D． 115° 解答： 解：过点A作AB∥a， ∵a∥b， ∴AB∥a∥b， ∴∠2+∠4=180°， ∵∠2=140°， ∴∠4=40°， ∵∠1=65°， ∴∠3=∠1+∠4=65°+40°=105°． 故选B． 6．（3分）（2012•内江）一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（ ） A． 5和5.5 B． 5.5和6 C． 5和6 D． 6和6 解答： 解：在这一组数据中6是出现次数最多的，故众数是6； 将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是5、6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（5+6）÷2=5.5； 故选B． 7．（3分）（2012•内江）函数的图象在（ ） A． 第一象限 B． 第一、三象限 C． 第二象限 D． 第二、四象限 解答： 解：∵中x≥0， 中x≠0， 故x＞0， 此时y＞0， 则函数在第一象限． 故选A． 8．（3分）（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（ ） A． 4π B． 2π C． π D． 解答： 解：连接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=（垂径定理）， 故S△OCE=S△CDE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选D． 9．（3分）（2012•内江）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千 米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 解答： 解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时， 根据题意，得 =． 故选C． 10．（3分）（2012•内江）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（ ） A． 15 B． 20 C． 25 D． 30 解答： 解：根据折叠的性质，得 A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF． 则阴影部分的周长=矩形的周长=2（10+5）=30． 故选：D． 11．（3分）（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A． B． C． D． 解答： 解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB， 在Rt△AOC中， CO==； AC==； 则sinA===． 故选B． 12．（3分）（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 解答： 解：∵正△ABC的边长为3cm， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm． ①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）； 根据余弦定理知cosA=， 即=， 解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）； 该函数图象是开口向上的抛物线； ②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）； 则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6）， ∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线； 故选C． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）（2012•内江）分解因式：ab3﹣4ab= ab（b+2）（b﹣2） ． 解答： 解：ab3﹣4ab=ab（b2﹣4）=ab（b+2）（b﹣2）． 故答案为：ab（b+2）（b﹣2）． 14．（5分）（2012•内江）由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为 4 ． 解答： 解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层； 由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层． 所以图中的小正方体最少4块，最多5块． 故答案为：4． 15．（5分）（2012•内江）如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是 ． 解答： 解：在6×6的网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有8个， 故使得三角形面积为1的概率为=， 故答案为：． 16．（5分）（2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9 ． 解答： 解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F， 则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6， 又∵BD=AC且BD⊥AC， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BF=DE=3， 故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9． 故答案为：9． 三、解答题（共44分） 17．（7分）（2012•内江）计算：． 解答： 解：原式=2﹣1+1+1﹣4+3 =2． 18．（9分）（2012•内江）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度． 解答： 解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示． 在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°， sin∠B=， ∴AF=16×=8， DG=8∴S△DCE=×CE×DG=×8×8=32 需要填方：150×32=4800（立方米）； （2）在直角三角形DGC中，DC=16 ∴GC==24 ∴GE=GC+CE=32， 坡度i=== 19．（9分）（2012•内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ 解答： 解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个， 则有 ， 解得37≤x≤40， 所以x=37或38或39或40． 第一方案：A种造型37个，B种造型23个； 第二种方案：A种造型38个，B种造型22个； 第三种方案：A种造型39个，B种造型21个． 第四种方案：A种造型40个，B种造型20个． （2）分别计算三种方案的成本为： ①37×1000+23×1500=71500元， ②38×1000+22×1500=71000元， ③39×1000+21×1500=70500元， ④40×1000+20×1500=70000元． 通过比较可知第④种方案成本最低． 答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元． 20．（10分）（2012•内江）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题： 发言次数n A 0≤n＜3 B 3≤n＜6 C 6≤n＜9 D 9≤n＜12 E 12≤n＜15 F 15≤n＜18 （1）求出样本容量，并补全直方图； （2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数； （3）已知A组发言的学生中恰有1位男生，E组发言的学生中恰有1位女生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率． 解答： 解：（1）∵B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%， ∴B组发言的人数占20%， 由直方图可知B组人数为10人， 所以，被抽查的学生人数为：10÷20%=50人， C组人数为：50×30%=15人， 补全直方图如图； （2）F组发言的人数所占的百分比为：1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%=1﹣90%=10%， 所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500×（8%+10%）=90人； （3）A组发言的学生：50×6%=3人，所以有1位女生，2位男生， E组发言的学生：50×8%=4人，所以有2位女生，2位男生， 列表如下： 画树状图如下： 共12种情况，其中一男一女的情况有6种， 所以P（一男一女）==． 21．（9分）（2012•内江）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论． 解答： （1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角， ∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE， ∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED， ∴∠CBE=∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD， ∴∠CBE=∠ABE=45°， ∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形， ∴AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是正方形； （2）当AE=2EF时，FG=3EF． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE， ∵AE=2EF， ∴BE：DE=AE：EF=2， ∴BC：AD=BE：DE=2， 即BG=2AD， ∵BC=AD， ∴CG=AD， ∵△ADF∽△GCF， ∴FG：AF=CG：AD， 即FG=AF=AE+EF=3EF． 四、填空题（每小题6分，共24分） 22．（6分）（2012•内江）已知三个数x，y，z，满足，则= ﹣4 ． 解答： 解：∵， ∴=﹣，=，=﹣，=++， 整理得，+=﹣①，+=②，+=﹣③， ①+②+③得，=﹣+﹣=﹣， 则++=﹣， ∴=﹣， 于是=﹣4． 故答案为﹣4． 23．（6分）（2012•内江）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= ． 解答： 解：延长MnPn﹣1交M1P1于N，如图， ∵当x=1时，y=1， ∴M1的坐标为（1，1）； ∵当x=n时，y=， ∴Mn的坐标为（n，）； ∴=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1） =M1N =（1﹣） =． 故答案为． 24．（6分）（2012•内江）已知ai≠0（i=1，2，…，2012）满足，使直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai概率是 ． 解答： 解：∵ai≠0（i=1，2，…，2012）满足， ∴ai有22个是负数，1990个是正数， ∵ai＜0时直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限， ∴使直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai概率是=， 故答案为：， 25．（6分）（2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为 （，0） ． 解答： 解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′． 不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B． 则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）． ∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大． ∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）． 设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得： ，解得， ∴直线AB′解析式为y=﹣2x+7． 令y=0，解得x=， ∴M点坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 五、解答题（每小题12分，共36分） 26．（12分）（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系． 解答： （1）证明：∵菱形AFED， ∴AF=AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD， ∴CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即①BD=CF，②AC=CF+CD． （2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD， 理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF， ∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC， 即AC=CF﹣CD． （3）AC=CD﹣CF．理由是： ∵∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠DAB=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD， ∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC， 即AC=CD﹣CF． 27．（12分）（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值； （3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值． 解答： 解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2， 则：+==﹣， •==， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：x2+x+=0； （2）①当a=b时，原式=2 ②当a≠b时， ∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0， ∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解， ∴a+b=15，ab=﹣5， ∴====﹣47； （3）∵a+b+c=0，abc=16， ∴a+b=﹣c，ab=， ∴a、b是方程x2+cx+=0的解， ∴c2﹣4•≥0， c2﹣≥0， ∵c是正数， ∴c3﹣43≥0， c3≥43， c≥4， ∴正数c的最小值是4． 28．（12分）（2012•内江）如图，已知点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M． （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明； （3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由． 解答： 解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4； 由射影定理，得：OC2=OA•OB=4，则OC=2，即点C（0，2）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣4），将C点代入上式，得： 2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣， ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2； （2）直线CM与以AB为直径的圆相切．理由如下： 如右图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD． 由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB． 由（1）知：y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣（x﹣）2+， 则点M（，），ME=﹣2=； 而CE=OD=，OC=2； ∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°， ∴△COD∽△CEM， ∴∠CME=∠CDO， ∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°， 而CD等于⊙D的半径长，所以直线CM与以AB为直径的圆相切； （3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2； 则：S△BCN=BC•h=×2×h=4，h=； 过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G． Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，BG=BF÷sin∠BGF=÷=4； ∴G（0，0）或（8，0）． 易知直线BC：y=﹣x+2，则可设直线l：y=﹣x+b，代入G点坐标，得：b=0或b=4，则： 直线l：y=﹣x或y=﹣x+4； 联立抛物线的解析式后，可得： 或， 则 N1（2+2，﹣1﹣）、N2（2﹣2，﹣1+）、N3（2，3）． 查看更多