全国各地500套中考数学试题分类汇编 动态问题1
3年中考真题+2年模拟预测全国500套数学试题分类汇编第44章动态问题2011全国各地中考数学真题分类汇编第44章动态问题一、选择题1.（2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【答案】C2.（2011山东威海，12，3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）
【答案】B3.（2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是ABCDEFGHxy-1O1xy1O1xyO1xy1O11A．B．C．D．【答案】B4.二、填空题1.2.3.4.5.三、解答题1.（2011浙江省舟山，24，12分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？
（第24题图2）（第24题图1）【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，分两种情形讨论：情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t=2（－t＋3），∴t=2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．(2)①由题意得：C(t，－＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是，由，解得x1=t，x2=t；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－）=．∴CD=．②∵CD=，CD边上的高=．∴S△COD=．∴S△COD为定值；要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，∴，OP=，即t=，∴当t为秒时，h的值最大．2.（2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入，得把x=3代入，得，∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得，解得所以，（2）把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=即∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3.(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形由，得即当时，四边形BCMN为平行四边形当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．3.（2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AB
0）（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60º，AB=4厘米。①求动点Q的运动速度；②设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。【答案】解：（1）△PBM与△QNM相似；∵MN⊥BCMQ⊥MP∴∠NMB=∠PMQ=∠BAC=90º∴∠PMB=∠QMN,∠QNM=∠B=90º－∠C∴△PBM∽△QNM（2）①∵∠ABC=60º，∠BAC=90º,AB=4,BP=t
∴AB=BM=CM=4,MN=4∵△PBM∽△QNM∴即：∵P点的运动速度是每秒厘米，∴Q点运动速度是每秒1厘米。②∵AC=12,CN=8∴AQ=12-8+t=4+t,AP=4－t∴S==（3）BP2+CQ2=PQ2证明如下：∵BP=t,∴BP2=3t2∵CQ=8-t∴CQ2=(8-t)2=64-16t+t2∵PQ2=(4+t)2+3(4-t)2=4t2-16t+64∴BP2+CQ2=PQ24.（2011山东德州23,12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
APxyKO图1【答案】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形．……………………2分OAPxyBC图2GM（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，[来源:学科网]PG=．
sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．……………………4分易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．……………………6分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：解之得：a=，b=，c=．∴二次函数关系式为：．……………………9分②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：解之得：u=，v=．∴直线BP的解析式为：．过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．解方程组：得：；．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．
∴0=．∴．∴直线CM的解析式为：．解方程组：得：；．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分解法二：∵，∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，）符合要求．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．
即．解得：（舍），．∴点M的坐标为（4，）．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分5.（2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．ABCDxyO11解：（1）把点A(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式y＝x2＋bx－2，整理后解得，所以抛物线的解析式为．顶点D．（2）∵AB=5，AC2=OA2＋OC2=5，BC2=OC2＋OB2=20，∴AC2＋BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，2)，OC′=2．连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．设抛物线的对称轴交轴于点．△C′OM∽△DEM．∴．∴．∴m=．6.（2011山东济宁，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.(第23题)【答案】（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.∴抛物线为.……………………………3分(2)答：与⊙相交.…………………………………………………………………4分证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………7分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.…………………………………………8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）.…………………………………………10分(第23题)7.（2011山东威海，25，12分）如图，抛物线交轴于点，点,交轴于点．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线过点F且与轴平行．直线过点C，交轴于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值；（3）在直线上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形，求点N的坐标．
图①备用图【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式∵抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得．∴所求函数表达式，即．（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点，点，∴点C的坐标是．将点C的坐标是代入，得．∴直线CD的函数表达式为．设K点的坐标为，则H点的坐标为，G点的坐标为．∵点K为线段AB上一动点，∴．∴．∵，∴当时，线段HG长度有最大值．（3）∵点F是线段BC的中点，点，点，∴点F的坐标为．∵直线过点F且与轴平行，∴直线的函数表达式为．
∵点M在直线上，点N在抛物线上，∴设点M的坐标为，点N的坐标为．∵点，点，∴．分情况讨论：①若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN∥AC，且MN＝AC＝8．当点N在点M的左侧时，．∴，解得．∴N点的坐标为．当点N在点M的右侧时，．∴，解得．∴N点的坐标为．②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称．取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为．过点P作NP⊥轴，交抛物线于点N．将代入，得．过点N，B作直线NB交直线于点M．在△BPN和△BFM中，∵∴△BPN≌△BFM．∴NB＝MB．∴四边形点ANCM为平行四边形．∴坐标为的点N符合条件．∴当点N的坐标为，，时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形．
8.（2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=－x+，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）.（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值.OxyABCDPQOxyABCD（备用图1）90（备用图2）90OxyABCD【答案】解：（1）把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.∴C点的坐标为（1，4）.当y＝0时，－x＋＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.（2）作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.∴BC＝＝＝5.∴sin∠ABC＝＝.
①当0＜t＜4时，作QN⊥OB于N，则QN＝BQ·sin∠ABC＝t.∴S＝OP·QN＝（4－t）×t＝－t2＋t（0＜t＜4）.②当4＜t≤5时，（如备用图1），连接QO，QP，作QN⊥OB于N.同理可得QN＝t.∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.＝t2－t（4＜t≤5）.③当5＜t≤6时，（如备用图2），连接QO，QP.S＝×OP×OD＝（t－4）×4＝2t－8（5＜t≤6）.（3）①在0＜t＜4时，
当t＝＝2时，S最大＝＝.②在4＜t≤5时，对于抛物线S＝t2－t，当t＝－＝2时，S最小＝×22－×2＝－.∴抛物线S＝t2－t的顶点为（2，－）.∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2.[来源:Z,xx,k.Com]③在5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4.∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.（说明：（3）中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△OPQ，③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.）9.（2011四川南充市，22，8分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).(1)求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。【答案】解：（1）∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上∴解得：∴A(-1,0)B(3,0),C(2,-3)设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-3)(x+1),
∵C(2,-3)∴a=1∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3（2）AC=3,AC所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=450∵平行四边形ACQP的面积为12.∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK=2,∴DN=4∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5∴解得：或，此方程组无解.即P1(3,0),P2(-2,5)∵ACPQ是平行四边形，A(-1,0)C(2,-3)∴当P(3,0)时，Q(6，-3)当P(-2,5)时，Q(1，2)∴满足条件的P,Q点是P1(3,0),Q1(6，-3)或P2(-2,5)，Q2(1，2)（1）设M(t,t2-2t-3),(-1＜t＜3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3)MT=(-t+3)-(t2-2t-3)=-t2+t+6过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，MS=MT=(-t2+t+6)=-(t-)2+∴当t=时，M（，-），⊿PQM中PQ边上高的最大值为
10．（2011浙江杭州，24，12)图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，M是线段AB上的动点(不与端点重合)，点O到EF，MN的距离分别为，．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．[来源:学。科。网Z。X。X。K](1)求蝶形面积S的最大值；(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围．【答案】(1)如图，设EF与AC交于点K，由△OEF∽△ABD，得，，，，整理得，当时，蝶形面积S的最大，最大值为．(2)如图，设MN与AC交于点L，由(1)得，则，
由OK2+EK2＝OE2，OL2+ML2＝OM2，得OK2+EK2＝OL2+ML2，，整理得，当点E，M不重合时，，．当OE⊥AB时，，所以2）当点重合时，则，此时的取值范围为.解法二：（1）由题意，得四边形是菱形.由，得，，即所以当时，.（2）根据题意，得.如图，作于，关于对称线段为，1）当点不重合时，则在的两侧，易知.，由，得，即
，此时的取值范围为且2）当点重合时，则，此时的取值范围为.11.(2011浙江湖州，24，14)如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）【答案】解：（1）由题意得CM=BM，∵∠PMC＝∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB，∴DB＝PC，∴DB＝2－m，AD＝4－m，∴点D的坐标为（2，4－m）.（2）分三种情况：①若AP＝AD，则，解得.②若PD＝PA，过P作PF⊥AB于点F（如图），则AF＝FD,，又OP＝AF，∴，解得，③若DP＝DA，∵△PMC≌△DMB，∴，∵，∴，解得.综上所述，当△APD是等腰三角形时，过m的值为.（3）点H经过的路径长为.12.（2011宁波市，26，10分）如图．平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（－2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，线段AB交y轴与点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与O、B重合），直线EF与抛物线交与M、N两点（点N在y
轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连结AN，当BON的面积的最大时，在坐标平面内使得BOP与OAN相似（点B、O、N对应）的点P的坐标．【答案】26．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n将点A（－2，2），B（6，6）代入得：得m＝，n＝3∴y＝x＋3当x＝0时y＝3∴E(0，3)设抛物线的函数解析式为y＝ax＋bx将A（－2，2）B(6，6)代入得解得a＝，b＝－∴抛物线的解析式为y＝x2－x（3）
过点N做x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥x轴于H，设N(x，x2－x)则Q（x，x）则SBON＝SBON＋SBON＝×QN×OG＋×QN×HG＝×QN×(OG＋HG)＝×QN×OH＝〔x－(x2－x)〕×6＝－x2＋x＝－(x－3)2＋(0＜x＜6)∴当x＝3时，BON面积最大，最大值为此时点N的坐标为（3，）（4）过点A作AS⊥GQ于S∵A(－2，2)，B(6，6)，N（3，）∴∠AOE＝∠OAS＝∠BOH＝45°，OG＝3，NG＝，NS＝，AS＝5在RtSAN和RtNOG中∴tan∠SAN＝tan∠NOG＝∴∠SAN＝∠NOG∴∠OAS－∠ASN＝∠BOG－∠NOG∴∠OASN＝∠BON∴ON的延长线上存在一点P，使BOP～OAN∵A(－2，2)，N（3，）在RtASN中AN＝＝
当BOP～OAN时＝∴＝∴OP＝过点P作PT⊥x轴于点T∴OPT～ONG∴＝＝设P（4t，t）在在RtPOT中，有（4t）2＋t2＝()2∴t1＝，t2＝－（舍）∴点P的坐标为（15，）将OBP沿直线OB返折，可得出另一个满足条件的点(，15)，由以上推理可知，当点P的坐标为（15，）或(，15)时BOP与OAN相似．13.（2011浙江衢州，24,12分）已知两直线分别经过点，点，并且当两条直线同时相交于轴正半轴的点时，恰好有，经过点的抛物线的对称轴于直线交于点，如图所示.求点的坐标，并求出抛物线的函数解析式.抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由.当直线绕点旋转时，与抛物线的另一个交点为.请找出使为等腰三角形的点.简述理由，并写出点的坐标.（第24题）
【答案】（1）解法1：由题意易知由题意，可设抛物线的函数解析式为.把的坐标分别代入，得解这个方程组，得抛物线的函数解析式为解法2：由勾股定理，得又由题意可设抛物线的函数解析式为把代入函数解析式得所以抛物线的函数解析式为（2）解法1：截得三条线段的数量关系为理由如下：可求得直线的解析式为，直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线.由此可求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.
解法2：截得三条线段的数量关系为理由如下：由题意可知则可得.由顶点的坐标为得,(3)解法1：（i）以点为圆心，线段长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线的对称性可知点为点关于直线的对称点.所以点的坐标为，此时,为等腰三角形.（ii）当以点为圆心，线段长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点，而三点在同一直线上，不能构成三角形.（iii）作线段的中垂线，由点是的中点，且，可知经过点，此时，有点即点坐标为，使为等腰三角形.与抛物线的另一交点即为综上所述，当点的坐标为时，为等腰三角形解法2：当点的坐标分别为理由如下：（i）链接，交抛物线于点，易知点的坐标为.又点的坐标为，则
可求得，且，即为正三角形.为正三角形当与抛物线交于点，即时，符合题意，此时点的坐标为（ii）连接，由，易知为等腰三角形当过抛物线顶点于点时，符合题意，此时点的坐标为.（iii）当点在抛物线对称轴右边时，只有点与点重合时，满足，但此时，三点在同一直线上，不能构成三角形.综上所述，当点的坐标分别为时，为等腰三角形.14.(2011浙江绍兴，24，14分)抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点.（1）如图1，求点的坐标及线段的长；（2）点在抛物线上，直线交轴于点，连接.①若含45°角的直线三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求直线的函数解析式；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在直线上，另一个顶点在上，求点的坐标.第24题图2第24题图1【答案】解：（1）把代入得，点，
为对称轴，，.（2）①如图1，过点作轴，交轴于点，过点作，交于点，四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设直线的函数解析式为，直线上两点的坐标为，代入求得，直线的函数解析式为.②当点
15.（2011浙江台州，24,14分）已知抛物线与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。（1）如图1，求抛物线的伴随直线的解析式；（2）如图2，若（m>0）的伴随直线是y=x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；（3）如图3，若抛物线的伴随直线是y=－2x+b（b>0），且伴随四边形ABCD是矩形。①用含b的代数式表示m,n的值；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由。【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意，得:A(0，5)，B(2，1)
∴∴k=-2,b=5∴直线AB的解析式为y=-2x+5(2)由伴随直线是y=x－3，得：A(0，-3)，C(0，3)∴AC=6由伴随四边形的面积为12，得：△ABC的面积为6=∴m=±2∵m>0∴m=2当m=2时，y=-1，顶点为（2，-1），且过点C（0，3）∴抛物线的解析式为y=。(3)①如图，作BE⊥x轴，由题意，得：A（0,b）,C(0,-b)∵抛物线的顶点B（m,n）在y=－2x+b（b>0）上，∴n=-2m+bB(m,-2m+b)在矩形ABCD中，OC=OB∴OC2=OB2即：∴m(5m-4b)=0∴m1=0(舍去)，m2=∴n=-2m+b=∴,；②存在，有4个点：(，),(，),(，),(，)16.（2011浙江义乌，24，12分）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线
x=4.设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.OPCBAxy图1图2MOAxPNCBy【答案】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得解得∴二次函数的解析式为y=x2－8x+12点P的坐标为（4，－4）（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下：
DOxAOBCPy当y=0时，x2-8x+12=0∴x1=2，x2=6∴点B的坐标为（6，0）设直线BP的解析式为y=kx+m则解得∴直线BP的解析式为y=2x－12∴直线OD∥BP∵顶点坐标P（4，－4）∴OP=4设D(x，2x)则BD2=（2x）2+(6－x)2当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32解得：x1=，x2=2当x2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形（3）①当0＜t≤2时，
xP1MAOBCPNyH∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP=t∴PH=t，MH=t，HN=t∴MN=t∴S=t·t·=t2②当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=txP1MAOBCPNGHEFy∵MN∥OB∴∽
∴∴∴=3t2－12t+12∴S=t2－(3t2－12t+12)=－t2+12t－12∴当0＜t≤2时，S=t2当2＜t＜4时，S=－t2+12t－12。17.（2011四川重庆，26，12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．[来源:Zxxk.Com]【答案】(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时(如图)，∠CFB＝60°，BF＝3－t，在Rt△CBF中，BC＝2，∴tan∠CFB＝，∴tan60°=，∴BF＝2，∴t＝3－t＝2，∴t＝1．(2)当0≤t＜1时，S=2t＋4；当1≤t＜3时，S=t2+3t＋；当3≤t＜4时，S=－4t＋20；当4≤t＜6时，S=t2－12t＋36．(3)存在，理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB＝=，∴∠CAB=30°．又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°．∴AE=HE=3－t或t－3．（ⅰ）当AH=AO=3时（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=．在Rt△AME中，cos∠MAE＝，即cos30°=，∴AE=，即3－t=或t－3=，t=3－或3＋．（ⅱ）当HA=HO时（如图③），则∠HOA=∠HAO=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°．∴EO=2HE=2AE．又∵AE＋EO=3，∴AE＋2AE=3．∴AE=1．即3－t=1或t－3=1，t=2或4．（ⅲ）当OH=OA时（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB．∴点E和O重合，∴AE=3．即3－t=3或t－3=3，t=6（舍去）或t=0．综上所述，存在5个这样的值，使△AOH是等腰三角形，即：t=3－或t=3＋或t=2或t=4或t=0．18.（2011浙江省嘉兴，24，14分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？（第24题图2）（第24题图1）【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)，分两种情形讨论：情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即3－t=t，∴t=1.5．情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB＝90°，∵OＡ=OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ=2CP，即t=2（－t＋3），∴t=2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．(2)①由题意得：C(t，－＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是，由，解得x1=t，x2=t；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO=4，AB=5，DE=t－（ｔ－）=．∴CD=．②∵CD=，CD边上的高=．∴S△COD=．∴S△COD为定值；要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短．因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴，OP=，即t=，∴当t为秒时，h的值最大．19.（2011福建泉州，25，12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．APxyKO第25题图1②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．[来源:学*科*网]【答案】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵OA=OK，∴四边形OKPA是正方形．……………………2分（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．OAPxyBC图2GM过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=．sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．……………………4分易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．……………………6分设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：解之得：a=，b=，c=．∴二次函数关系式为：．……………………9分②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：解之得：u=，v=．∴直线BP的解析式为：．过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．解方程组：
得：；．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．∴0=．∴．∴直线CM的解析式为：．解方程组：得：；．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分解法二：∵，∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，）符合要求．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，
∴．∴点M的纵坐标为．即．解得：（舍），．∴点M的坐标为（4，）．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分20．（2011福建泉州，26，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3，AB=5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求直线AB的解析式；（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：（第26题）①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．【答案】解：解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得.∴A（3，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为.∴解得∴直线AB的解析式为．…………2分（2）如图，过点Q作QF⊥AO于点F.∵AQ=OP=t，∴．由△AQF∽△ABO，得．∴．∴．…………2分∴，∴．………………………4分（3）四边形QBED能成为直角梯形．①如图，当DE∥QB时，∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABO，得.∴．解得．……………………………6分②如图，当PQ∥BO时，∵DE⊥PQ，∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ=90°．由△AQP ∽△ABO，得即．解得．………………………10分（4）或．………………………14分
21.（2011湖南常德，26，10分）如图11，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）.（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；OABE图11DFCyxNM（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.解：（1）抛物线经过点A（0，6），B（2，0），C（7，）的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则：解得∴此抛物线的解析式为（2）过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式可变形为∴抛物线对称轴是直线x=4，顶点D的坐标为（4，－2）.则AN=4.设直线AC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为当x=4时，∴点E的坐标为（4，4），∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，－8）
设直线FC的解析式为,则有，解得.∴直线AC的解析式为∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6.当y=6时，则有解得x=8.∴AM=8,MN=AM—MN=4∴AN=MN∵FN⊥AM∴∠ANF=∠MNF又NF=NF∴△ANF≌△MNF∴∠CFE=∠AFE（3）∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，－8）∴∵又A的坐标为（0，6），则，又DF=6，若△AFP∽△DEF∵EF∥AO，则有∠PAF=∠AFE，又由（2）可知∠DFC=∠AFE∴∠PAF=∠DFC若△AFP1∽△FCD则,即,解得P1A=8.∴OP1=8－6=2∴P1的坐标为（0，－2）.若△AFP2∽△FDC则,即,解得P2A=.
∴OP2=－6=.∴P2的坐标为（0，－）.所以符合条件的点P的坐标不两个，分别是P1（0，－2），P2（0，－）.22.（2011湖南邵阳，24，12分）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3）点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。（1）求角ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）90°；（2）Rt△ABC中，∵OA×OB=OC2，∴OB=4.抛物线为y=a（x-4）（x+）=ax2+bx+3，比较常数项得a=，抛物线的方程为y=（x-4）（x+）。（1）存在。直线BC的方程为3x+4y=12，设点D（x，y）。①若BD=OD，则点D在OB的中垂线上，点D横坐标为2，纵坐标为，即D1（2，）为所求。
②若OB=BD=4，则，，得y=，x=，点D2（，）为所求。23.（2011江苏苏州，29,10分）已知二次函数y=a（x2-6x+8）（a>0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.（1）如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4,4）、（4,3），边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）？请说明理由.【答案】解：（1）令y=0，由a（x2-6x+8）=0解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a.∴点A、B、C的坐标分别是（2,0）、（4,0）、（0,8a），该抛物线对称轴为直线x=3.∴OA=2，如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1.由题意得O′A=OA=2.∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°.∴∠OAC=∠O′AC=60°.∴OC=·AO=2，即8a=2，∴a=.
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立.（I）如图②，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM.∵点E（4,4）、F（4,3）与点B（4,0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.（II）设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），点F的坐标是（4,3）点G的坐标是（5,3）.∴FB=3，GB=，∴3≤PB＜，∵PC≥4，∴PC＞PB.又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
（3）存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）.如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，∴PA=PB.∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.∵点C的坐标是（0,8a），点D的坐标为（3，-a），点P的坐标是（3，t），∴PC2=32+（t-8a）2，PD2=（t+a）2，由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t-8a）2=（t+a）2，整理得7a2-2ta+1=0，∴△=4t2-28.∵t是大于3的常数，∴△=4t2-28＞0，∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根a==，显然，a=＞0，满足题意.∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a=，使得线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.24.（2011江苏宿迁,27,12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
（第27题）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB∵QE⊥AB，MF⊥BC∴∠AEQ＝∠MFB＝90°[来源:学。科。网]∴四边形ABFM、AEQD都是矩形∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE又∵PQ⊥MN∴∠EQP＝∠FMN又∵∠QEP＝∠MFN＝90°∴△PEQ≌△NFM．（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2由勾股定理，得PQ＝＝∵△PEQ≌△NFM∴MN＝PQ＝又∵PQ⊥MN∴S＝＝＝t2－t＋∵0≤t≤2∴当t＝1时，S最小值＝2．综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．25.（2011山东济宁，23，10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：．(1)设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP，请你对于点P处于图中位置时的两个三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k倍？若存在，请求出符合条件的k值；若不存在，请说明理由．ABCDMPlNO第23题[来源:学科网]【答案】解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD，又OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，∴四边形OADB是矩形，∵⊙C的半径为2，∴AD=OB，∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）又∵点P也在直线AP上，∴p=4k＋3． (2)连接DN，∵AD是⊙C的直径，∴∠AND=90°，∵∠ADN=90°—∠DAN，∠ABD=90°—∠DAN，∴∠ADN=∠ABD，∵∠ADN=∠AMN，∴∠AMN=∠ABD，又∵∠MAN=∠BAP，∴△AMN∽△ABP．(3)存在．理由：把x=0代入y=kx＋3得y=3，即OA=BD=3，在Rt△ABD中，由勾股定理得，∵S△ABD=，∴，∴，∵△AMN∽△ABP．∴，
即，当点P在B点上方时，∵，或，∴．整理得，解得，，当点P在B点下方时，∵，，∴，化简，得，解得，综合以上所述得，当或时，△AMN的面积等于．26.（2011广东汕头，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.
[来源:学科网ZXXK]【解】（1）把x=0代入，得把x=3代入，得，∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得，解得所以，（2）把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和∴MN=-（）=即∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3.(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形由，得即当时，四边形BCMN为平行四边形当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．27.（2011四川成都，28,12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线经过A、B、C三点．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设，则，S△ABC=（）×===15，∴（负值不合题意，已经舍去），根据抛物线与坐标轴交点的位置，可知A、B、C三点的坐标分别是（-1，0）、（5，0）、（0，-5），代入抛物线，列方程组为：，解得：，，，∴
抛物线的解析式为：．（2）如图所示：E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，设该点的横坐标是，抛物线的对称轴为，根据轴对称图形的性质可知，对应点F的横坐标是，EF=，若E在轴上面，则对应的函数值是正数，若E在轴下面，则对应的函数值是负数，若矩形EFGH为正方形时，则EF=GH=FG=EH，∴，当时，解得：（其中不合题意，已经舍去），则EF==，正方形的边长为；当，解得：（其中不合题意，已经舍去），则EF==，正方形的边长为.[来源:学_科_网]（3）如图所示，根据已经容易求出BC=，若要使△MBC中BC边上的高为，必须使S△MBC==35.设点M的横坐标为，那么根据抛物线的解析式，可知M的坐标为，若点M在轴的上面，则，过M作MN⊥轴，垂足为N，那么S△MBC=S梯形MNOB+S△OBC-S△MNC，∴，化简得：，解得或，所以若M在轴上面，满足题意的有两点，分别为（-2，7）、（7，16）；若M在轴下面，则，过M作MN⊥轴，那么垂足为N，那么S△MBC=S梯形MNOB-S△OBC-S△MNC，∴，化简得：，△=，∴所以方程在实数范围无根，所以在轴下面没有满足题意的
M点.28.（2011四川内江，加试7，12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且对釉轴x=1．(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由(使用图1)；(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2)．x=1ABOCxyx=1ABOCxy图1图2【答案】（1）由得，又所以抛物线的解析式为由得x=－1或x=3所以A（－1，0），B（3，0）（2）假设存在符合条件的点D，设D（x，）作DE⊥x轴于点E，则OE=x，DE=，BE=3－x，得化简得，解得x=1或x=2故存在符合条件的点D，为D（1，）或D（2，－1）
x=1ABOCxyx=1ABOCxyDEPPQ（3）当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为－4当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2故P的坐标为（4，）或（－4，7）或（2，－1）29.（2011安徽芜湖，24，14分）平面直角坐标系中，如图放置，点A、C的坐标分别为、，将此平行四边形绕点O顺时针旋转，得到.（1）若抛物线过点,求此抛物线的解析式;（2）求和重叠部分的周长;（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标.【答案】解:（1）∵由旋转得到，且点A的坐标为，
∴点的坐标为.……………………………………1分所以抛物线过点.设抛物线的解析式为，可得解得……………………4分∴过点的抛物线的解析式为.……………………5分（2）因为，所以.所以.又,,∴△∽△.又.………………7分∴.又△的周长为，所以△的周长为.………………9分（3）［解法1］连接，设M点的坐标为，因为点M在抛物线上，所以，………10分所以……………12分因为，所以当时，.△的面积有最大值…………13分所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为…14分[解法2]设直线的解析式为，∵点的坐标分别为，∴解得∴.…10分将直线向右平移，当直线与抛物线只有一个交点M时与y轴交于点P
，此时最大，设平移后的直线的解析式为：，则有：得，令，得.∴.解得∴点坐标为,点P的坐标为.…12分因为MP∥,所以△与△同底等高，它们面积相等.故.所以当点M的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为……14分30.（2011山东潍坊，24，12分）如图，y关于x的二次函数图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径做圆，圆心为C，定点E的坐标为（－3,0），连接ED.（m＞0）（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线ED与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.【解】（1），，.（2）设直线ED的解析式为，将、代入，得
解得∴直线ED的解析式为.[来源:学#科#网]∵，∴顶点M的坐标为.把代入，得.∵，∴.∴当时，点M在直线DE上.连接CD，C为AB中点，C点坐标为.∵，∴CD=2，点D在圆上.又∵OE=3，，，.∴.∴∠EDC=90°，∴直线ED与⊙C相切.（3）当时，，即.当时，，即.图象示意图如图中的实线部分.
12.（2011广东中山，22,9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入，得把x=3代入，得，∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得所以，（2）把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和∴MN=-（）=即∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3.(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形由，得即当时，四边形BCMN为平行四边形当时，PC=2，PM=，由勾股定理求得CM=,此时BC=CM，平行四边形BCMN为菱形；当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．3.（2011四川成都，20,10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.(1)若BK=KC，求的值；(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系
?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==.（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.当AE=AD()时，（）AB=BC+CD.2010全国各地中考数学真题分类汇编第44章动态问题一、选择题1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）
【答案】B2．（2010江苏宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是MQDCBPNA(第8题)xyO463AxyO2.2563DxyO364C2.25xyO63B【答案】D3．（2010福建德化）已知：如图，点是正方形的对角线上的一个动点(、除外)，作于点，作于点，设正方形的边长为，矩形的周长为，在下列图象中，大致表示与之间的函数关系的是（）.
PDABCCEFxy0Axy0Dxy0Byx0C【答案】A4．（2010四川南充）如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）．l1l2ABMNO（第10题）1（A）（B）若MN与⊙O相切，则（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切（D）l1和l2的距离为2【答案】B5．（2010山东济南）如图，在中，，．动点分别在直线上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
ＡＰＢＣＱyxyxOＡ．yxOＢ．yxOＣ．yxOＤ．【答案】A6．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点Ｄ在OA上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是（）A． B． C．4 D．6【答案】A7．（2010湖北宜昌）如图,在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MNKM运动，最后回到点M的位置。设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是（）。【答案】B二、填空题1．（2010浙江义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2=▲；（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝▲．
Pyx·【答案】（1）2(x－2)2或（2）3、1、、2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G.若，则BK﹦▲.AODBFKE(第16题图)GMCK【答案】,3．（2010江西）如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为．（14题）
【答案】64．（2010四川成都）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过_____________秒，四边形的面积最小．【答案】35．（2010四川成都）如图，内接于⊙O，，是⊙O上与点关于圆心成中心对称的点，是边上一点，连结．已知，，是线段上一动点，连结并延长交四边形的一边于点，且满足，则的值为_______________．【答案】1和6．（2010广西柳州）如图8，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当t值为________s时，△BEF是直角三角形．
FEOACB【答案】1或1.75或2.25三、解答题1．(2010江苏苏州)(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【答案】
2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，图1此时E（2b，0）∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2图2此时E（3，），D（2b－2，1）∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝∴（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴
∴S四边形DNEM＝NE·DH＝∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．图1图2【答案】解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0）故可得c=0,b=4所以抛物线的解析式为…………………………………………1分由得当x=2时，该抛物线的最大值是4.…………………………………………2分（2）①点P不在直线ME上.已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，设直线ME的关系式为y=kx+b.于是得，解得所以直线ME的关系式为y=-2x+8.…………………………………………3分由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.[来源:Zxxk.Com]
∴当时，点P不在直线ME上.……………………………………5分②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t.∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)…………………………………6分∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t…………………………………………………………………………………7分（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=DC·AD=×3×2=3.（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=(CD+PN)·AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3…………………8分当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）4．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；(第23题)（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
【答案】（1）解：设抛物线为.∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.∴抛物线为.……………………………3分(2)答：与⊙相交.…………………………………………………………………4分证明：当时，，.∴为（2，0），为（6，0）.∴.设⊙与相切于点，连接，则.∵，∴.又∵，∴.∴∽.∴.∴.∴.…………………………6分∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………7分(3)解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.…………………………………………8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.∴.∵,∴当时，的面积最大为.此时，点的坐标为（3，）.…………………………………………10分
(第23题)5．（2010山东烟台）（本题满分14分）如图，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由。（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A’D’C’E’与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。
【答案】
6．（2010浙江嘉兴）如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设（）是直线上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．（第24题）【答案】（1）令，得，即，解得，，所以．令，得，所以．设直线AB的解析式为，则，解得，所以直线AB的解析式为．…5分（2）当点在直线AB上时，，解得，当点在直线AB上时，，解得．所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则．…4分（3）当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上），解得．①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，（第24题）此时，，又，所以，从而，
．因为，所以当时，．②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，（第24题备用）此时，，又，所以，即．其中当时，．综合①②得，当时，．…5分7．（2010嵊州市提前招生）（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（－1，0），如图所示：抛物线经过点B。（1）写出点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）B（－3，1）
（2）（3）略（4）P（1，－1）8．（2010浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．【答案】
9．（2010浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
（第24题）H【答案】（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，∴，（图1）（图2）∴△DHQ∽△ABC．（2）①如图1，当时，ED=，QH=，此时．当时，最大值．②如图2，当时，ED=，QH=，此时．当时，最大值．∴y与x之间的函数解析式为y的最大值是．（3）①如图1，当时，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，
∴=，．显然ED=EH，HD=HE不可能；②如图2，当时，若DE=DH，=，；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴，，．∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.（其他解法相应给分）10．（2010浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= ▲ °，猜想∠QFC=▲°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；图2ABEQPFC图1ACBEQFP（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．【答案】解:
图1ACBEQFP（1）30° =60H不妨设BP＞,如图1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP图2ABEQPFC∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ∴△ABP≌△AEQ∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF∴=60°(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分） (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G ∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=，由（1）得30°在Rt△BGF中，∴BF=∴EF=2 ∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=∴QF=QE＋EF 过点Q作QH⊥BC，垂足为H在Rt△QHF中，（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：11．（2010浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对称轴：直线解析式：或顶点坐标：M（1，）（2）由题意得3得：①
得：②把②代入①并整理得：(S＞0)(事实上，更确切为S＞6)当时，解得：把代入抛物线解析式得∴点A1（6，3）（3）存在解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为CBAOyx图1-1DMEPQFG∴BD=5，DE=，DP=5－t，DQ=t当∥时，得………2分下面分两种情况讨论:设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G①当时，如图1-1∵△FQE∽△FAG∴∠FGA＝∠FEQ∴∠DPQ＝∠DEB易得△DPQ∽△DEB∴∴得∴(舍去)…………………………3分CBAOyx图1-2DMEFPQG②当时，如图1-2∵△FQE∽△FAG∴∠FAG＝∠FQE∵∠DQP＝∠FQE∠FAG＝∠EBD∴∠DQP＝∠DBE易得△DPQ∽△DEB∴∴，∴∴当秒时，使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线
、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分(注:未求出能得到正确答案不扣分)解法二：可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得,,∴,.12．（2010重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上.另一等腰△的顶点在第四象限，，．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．（1）求在运动过程中形成的△的面积与运动的时间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△的边上（点除外）存在点，使得△为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图(2)，现有，其两边分别与，交于点，，连接．将绕着点旋转（旋转角），使得，始终在边和边上．试判断在这一过程中，△的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
【答案】解：（1）过点作于点．（如图①）26题答图①∵，，∴．∵，，∴．在Rt中，．（1分）（ⅰ）当时，,,；过点作于点．（如图①）在Rt中，∵，∴，
∴．26题答图②即．（3分）（ⅱ）当时，（如图②），．∵，，∴．∴．即．故当时，，当时，．（5分）26题答图③（2）或或或．（9分）（3）的周长不发生变化．延长至点，使，连结．（如图③）∵，∴≌．∴，．（10分）∴．∴．又∵．∴≌．∴．（11分）∴．∴的周长不变，其周长为4．（12分）
13．（2010福建德化）（12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx【答案】解：（1）（2）①点P不在直线ME上②依题意可知：P（,），N（，）当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：=+=+==∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，=当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，==3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值．14.（2010福建晋江）（13分）如图，在等边中，线段为边上的中线.动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.(1)填空：度；(2)当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；
(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.ABC备用图(1)ABC备用图(2)【答案】26.（本小题13分）(1)60；…………………………………………（3分）(2)∵与都是等边三角形∴，，∴∴……………………………（5分）∴≌∴，∴.………………………（7分）(3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，则，作于点，则，连结，则.在中，，，则.在中，由勾股定理得：，则.………………………（9分）②当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形∴，，∴∴∴≌
∴，同理可得：.…………………………（11分）③当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形∴，，∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得：.综上，的长是6.………………………（13分）15．（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
【答案】解：（1）由题意知，OQ＝8－t,OP＝t,∴．（2）由题意知，AB＝OC＝8,CQ＝t,CB＝OA＝8,PA＝8－t,;;∴．∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值为32．（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，应满足．整理，得，解得，（不合题意）．此时P(,0),B(,8)．因抛物线经过B、P两点，所以将B、P两点的坐标代入，得解得所以经过B、P两点的抛物线为．设过B、P两点的直线为y＝kx+b,将B、P两点的坐标代入，得
解得所以过B、P两点的直线为y＝x－8．依题得，动点M的坐标（x,x－8），N的坐标（x,）MN＝（x－8）－（）＝当时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1．16．（2010浙江金华(本题12分)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2(长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，全品中考网AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：（1）过A，B两点的直线解析式是▲；（2）当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t﹦▲，点P与点E重合；（3）①作点P关于直线EF的对称点P′.在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP?若存在,求出点Q的坐标；BFAPEOxy(第24题图)若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）；（2）（0,），；（3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）BFAPEOxyGP′P′(图1)∵,,∠∠90°∴△≌△，∴﹒又∵,∠60°,∴而，∴,BFAPEOxyMP′H（图2)由得；当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段上时，过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）∵,∴,∴∴，又∵在Rt△中，即，解得．BFAPEOxQ′B′QCC1D1(图3)y②存在﹒理由如下：
∵，∴,，将△绕点顺时针方向旋转90°，得到△（如图3）∵⊥，∴点在直线上，C点坐标为（，－1）过作∥，交于点Q,则△∽△由，可得Q的坐标为（－，）根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件。17．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：＝；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．(第21题)【答案】解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP．∴△AEF∽△ABC．又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF．
∴＝（2）由（1）得＝．AH＝x．∴EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，∴S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x(8－x)＝－x2＋8x＝－（x－5）2＋20．∵－＜0，∴当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．第21题图1∴∠C＝45°，∴△FPC是等腰直角三角形．∴PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．分三种情况讨论：①如图2．当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴FN＝MF＝t．∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t．∴S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t）]×4＝－4t＋28；③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t．∴S＝S△KQC=(9－t)2＝(t－9)2．第21题图2第21题图3第21题图4综上所述：S与t的函数关系式为：
S=18．（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系．【答案】解：⑴作PH⊥OB于H﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝;∴OH＝，∴P﹙，﹚图1图2图3⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，∵OB＝，∠BOC＝30°
∴BC＝∴PC由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，PC由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．19．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6由解得：，
∴该抛物线的解析式为方法二：∵A、B关于x＝2对称∴A（－8，0）设C在抛物线上，∴－6＝a×8×，即a＝∴该抛物线解析式为：（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥ACDB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ为△ABC的中位线∴DQ＝AC＝5AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5∴t＝5÷1＝5（秒）∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在Rt△BOC中，BC＝＝∴CQ＝
∴点Q的运动速度为每秒单位长度．（3）存在．如图，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝＝①当MP＝MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：，解得：∴y＝3x－6当x＝1时，y＝－3∴M1(1，－3)②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：42＋y2＝90，即y＝±∴M2（1，）；M3（1，－）③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：，即y＝－3±∴M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）20．（2010湖南衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CPQBAMNCPQBAMNCPQBAMN【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，此时由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t即得t=1.5.此时Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面积为.
(2)仍按上题的思路，如果M，N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ=(3-t)，因为MN=1，所以梯形MNQP的面积为·MN·(MP+QN)=×(t+(3-t))=为定值（即不随时间变化而变化）。这时要求14.8，x<12,所以.因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为(023.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.…………………10分41．（2010广东东莞）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：⑴说明△FMN∽△QWP；⑵设0≤≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问为何值时，△PQW为直角三角形？当在何范围时，△PQW不为直角三角形？⑶问当为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．【答案】⑴∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点∴PQ∥FN，PW∥MN∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW同理：∠NFM＝∠PQW∴△FMN∽△QWP⑵由⑴得△FMN∽△QWP，所以△FMN为直角三角形时，△QWP也为直角三角形．如图，过点N作NECD于E，根据题意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－∵DF＝2，∴EF＝4－∴MF2＝22＋x2＝x2＋4，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2＝2x2－20x＋52，NF2＝（4－x）2＋42＝x2－
8x＋32,①如果∠MNF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2－8x＋32＝x2＋4，解得x1＝4，x2＝10（舍去）；②如果∠NMF＝90°，则有2x2－20x＋52＋x2＋4＝x2－8x＋32，化简，得：x2－6x＋12＝0，△＝－12＜0，方程无实数根；③如果∠MFN＝90°，则有2x2－20x＋52＝x2＋4＋x2－8x＋32，解得x＝．∴当为4或时，△PQW为直角三角形，当0≤＜或＜＜4时，△PQW不为直角三角形⑶∵点M在射线DA上，点N在线段AB上，且AB⊥AD，∴当M点运动到与A点重合时，NM⊥AD，根据垂线段最短原理，此时线段MN最短，DM＝4，则BN＝4．∴当＝4时，线段MN最短，MN＝２．42．（2010湖北襄樊）如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？图7【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=AB=4．∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，∴c=2．由题意，有解得∴所求抛物线的解析式为．（2）将抛物线的解析式配方，得．
∴抛物线的对称轴为x=2．∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE．即BP=FQ．∴t=6－3t，即t=．（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，即PB=OQ或OB2=PB·QO．①若P、Q在y轴的同侧．当PB=OQ时，t=8－3t，∴t=2．当OB2=PB·QO时，t(8－3t)=4，即3t2－8t+4=0．解得．②若P、Q在y轴的异侧．当PB=OQ时，3t－8=t，∴t=4．当OB2=PB·QO时，t(3t－8)=4，即3t2－8t－4=0．解得．∵t=<0．故舍去，∴t=．∴当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．43．（2010广东汕头）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．第22题图（2）ABCDF第22题图（1）ABMCFDNWPQMNWPQ【答案】解：（1）∵P、Q、W分别是△FMN的中点∴PQ∥NF，QW∥MF，PW∥MN∴四边形PQWF、MQWP、PQNW都是平行四边形，∴∠F＝∠PQW，∠M＝∠PWQ∴△FMN∽△QWP．（2）∵△FMN∽△QWP，△PWQ为直角三角形∴△FMN也是直角三角形∵MF2＝4＋x2，MN2＝（4－x）2＋（6－x）2，MF2＝42＋（4－x）2，∴①若MF为斜边，则4＋x2＝（4－x）2＋（6－x）2＋42＋（4－x）2解得，因0≤x≤4得，；②若MN为斜边，则（4－x）2＋（6－x）2＝4＋x2＋42＋（4－x）2解得；③若NF为斜边，则42＋（4－x）2＝（4－x）2＋（6－x）2＋4＋x2此方程无实数解．综上，当或时，△PWQ为直角三角形；而当或或时，△PQW不为直角三角形．（3）①当0≤x≤4时，易知当x＝4时，MN有最小值为2．②4＜x≤6时，MN2＝（x－4）2＋（6－x）2，故，此时，当x＝5时，MN有最小值为．综上，x＝5时，MN有最小值为．44．（2010山东淄博）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．DACB(第23题)【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．（1）如图（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝．(第23题)DACB(2)PFDACBPF(1)（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．DACB(3)PFDACBPQ(4)(第23题)（3）CP＝．在□DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，∴S□DPBQ＝＝．45．（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.温馨提示：如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时△的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；第（25）题yBODCAxEyBODCAx（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、
的坐标.【答案】解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.yBODCAxE由，可知△的周长最小.∵在矩形中，，，为的中点，∴，，.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△，有.∴.∴点的坐标为（1，0）.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分yBODCAxEGF（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.∵GC∥EF，，∴四边形为平行四边形，有.又、的长为定值，∴此时得到的点、使四边形的周长最小.∵OE∥BC，∴Rt△∽Rt△,有.∴.∴.∴点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）.．．．．．．．．．．．．．．．10分46．（2010贵州贵阳）如图11，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝2cm，∠AOB＝120.（1）求tan∠OAB的值（4分）（2）计算S（4分）（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S＝S时，求P点所经过的弧长（不考虑点P
与点B重合的情形）（4分）(图11)【答案】解：（1）………………………………………………………………4分（2）（cm）………………………8分（3）如图，延长BO交⊙O于点，∵点O是直径的中点∴S＝S∠AOP＝60∴的长度为（cm）………………………………………………10分作点A关于直径的对称点，连结,．易得S＝S， ∠AOP＝120∴的长度为（cm）………………………………………………11分
过点B作∥交⊙O于点易得， ∴的长度为（cm）………………………………………………12分47．（2010广西桂林）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；（2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解（1）C（4，）……………………………2分的取值范围是：0≤≤4………………………………3分（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）∴DE=-=……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为：∴当点F在BO边上时：=，∴=3……………………5分
①当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-…7分S===………………………………8分②当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形S=…………………9分=……………………10分（3）存在，P（，0）……………………12分说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）48．（2010广西玉林、防城港）已知：抛物线y＝x＋ｂｘ＋ｃ与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0），点B在x轴的正半轴上，OC＝3OA（O为坐标原点）（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上的一个动点且在x轴下方和抛物线对称轴l的左侧，过E作EF∥x轴交抛物线于另一点F，作ED⊥x轴于点D，FG⊥x轴于点G，求四边形DEFG周长m的最大值；（3）设抛物线顶点为P，当四边形DEFG周长m取得最大值时，以EF为这的平行四边形面积是△AEP面积的2倍，另两顶点中有一顶点Q在抛物线上，求Q点的坐标。【答案】解：（1）点B在x轴的正半轴上，所以方程x＋ｂｘ＋ｃ
＝0的两根之积为负数，故c小于0，又OC＝3OA，点A（－1，0），所以c＝－3，点C为（0，－3）把A、C的坐标代入y＝x＋ｂｘ＋ｃ有1－ｂ＋c＝0ｃ＝－3解得：b＝－2所以抛物线的解析式为：y＝x－2x－3所以，顶点坐标为（1，－4），对称轴是直线x＝1（2）设点E的坐标为（x，x－2x－3），因为E、F两点关于对称轴x＝1对称，所以有，所以F点的坐标为（2－x，x－2x－3）。故四边形EFGD的周长m＝2。又点E在x轴下方，对称轴左侧，所以－１＜ｘ＜１，而x－2x－3=（x－3）（x＋１），当－１＜ｘ＜１时，x－2x－3=（x－3）（x＋１）＜0，1－x＞0∴m＝－2x+10由解析可知，要m值最大，则－2x要最小。所以当x＝0时，即此时，E点与C点重合时m最大，最大值为10。（3）顶点为P（1，－4），设直线AP为y＝kx＋b把A（－1，0），P（1，－4）代入求得k＝－2，b＝－2。直线y＝―2x―2与y的交点为H（0，－2），所以△AEP的面积＝△AHP的面积＋△HEP的面积＝1。因为以EF为边的平行四边形的面积等于△AEP面积的2倍，所以△AEP的面积与△EFQ的面积相等，设△EFQ的高为n，则而此时EF＝2，所以n＝1。所以点Q的纵坐标有两种可能，第一种：纵坐标为－3＋１＝－2，此时有x－2x－3＝－2，解得：x＝１，此时对应有两点：（１＋，－2），（1－，－2）第二种：纵坐标为―3―1＝－4，此时有x－2x－3＝－4解得：x＝1。此时对应一点即顶点P与点Q重合。所以符合条件的Q点有三个三点坐标分别为：（１＋，－2），（1－，－2），（1，－4）。全品中考网49．（2010福建泉州南安）如图1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底边与重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．（1）直接写出△AGF与△ABC的面积的比值；（2）操作：固定，将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动，直到点与点重合时停止．设运动时间为秒，运动后的等腰梯形为（如图2）．①探究1：在运动过程中，四边形能否是菱形？若能，请求出此时
的值；若不能，请说明理由．FGABDCE图2②探究2：设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．AFG(D)BC(E)图1【答案】解：（1）△AGF与△ABC的面积比是1：４．………………………3分（2）①能为菱形．……………………4分由于FC∥，CE∥，四边形是平行四边形．…………………………5分当时，四边形为菱形，…………………6分AFG(D)BC(E)图3M此时可求得．当秒时，四边形为…………7分②分两种情况：①当时，如图3过点作于．，，，为中点，．又分别为的中点，．……………………8分方法一：等腰梯形的面积为6．，．…………………………9分重叠部分的面积为：．
当时，与的函数关系式为．………………10分方法二：，，，…………………9分重叠部分的面积为：．FGABCE图4QDP当时，与的函数关系式为．………………10分②当时，设与交于点，则．，，作于，则．……………11分重叠部分的面积为：．综上，当时，与的函数关系式为；当时，…………………13分50．（2010山东荷泽）如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线 y＝kx＋4与两坐标轴交于B（1，m）、C（2，2）两点．⑴求直线与抛物线的解析式．⑵若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON＝α，求当△PON的面积最大时tanα的值．⑶若动点P保持⑵中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
ABCDxyO24题图y=kx＋4【答案】⑴将点C（2，2）代入直线 y＝kx＋4，可得k＝－1，所以直线的解析式为 y＝－x＋4当x＝1时，y＝3，所以B点的坐标为（1，3），将B、C、O三点坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c可得解得所以所求的抛物线为：y＝－2x2＋5x⑵因ON的长是定值，所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（），此时tanα＝∶＝⑶存在把x＝0代入直线 y＝－x＋4得： y＝4，所以点A（0，4）把y＝0代入抛物线y＝－2x2＋5x得：x＝0或x＝，所以点N（，0）．设动点P坐标为（x，y）其中y＝－2x2＋5x（0＜x＜）则得：S△OAP＝＝2xS△ONP＝＝＝由S△OAP＝S△ONP，即得2x＝×解得x＝0或x＝1，舍去x＝0得x＝1，由此得y＝3所以得点P存在，其坐标为（1，3）51．（2010湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点
M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（1）当时，求线段的长；（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．ABCD（备用图1）ABCD（备用图2）QABCDlMP（第24题）E【答案】解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．QABCDlMP（第24题）EF∴，．此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分∴．即，∴．……3分（2）∵为锐角，故有两种情况：①当时，点P与点E重合．此时，即，∴．……5分ABCD（备用图1）QPElM②当时，如备用图1，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴．由（1）知，，而，∴．∴．综上所述，或．……8分（说明：未综述，不扣分）（3）为定值．……9分当＞2时，如备用图2，ABCD（备用图2）MQRFP．
由（1）得，．∴．∴．∴．∴．∴四边形AMQP为矩形．∴∥．……11分∴△CRQ∽△CAB．∴．……12分52．（2010广西钦州市）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为 ▲；用含t的式子表示点P的坐标为▲；(3分)（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0
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