中考几何证明题知识点分析

中考几何证明题知识点分析

目录 1、 考点总分析 2、 知识点讲解 3、 出题的类型 4、 解题思路 5、 相关练习题 几何证明题专题 本题的主要知识点（中考中第3道，分值为8分）‎ 七年级上第4章 几何图形初步 七年级下第5章 相交线与平行线 八年级上第11章 三角形 第12章 全等三角形 第13章 轴对称 ‎ 八年级下第17章 勾股定理 第18章 平行四边形 ‎ 九年级上第23章 旋转 第24章 圆 九年级下第27章相似 第28章 投影与视图 ‎ 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。‎ 几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。‎ 这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。‎ ‎ 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：‎ ‎ （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；‎ ‎ （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；‎ ‎ （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。‎ ‎ 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。‎ ‎ 几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。 ‎ 知识结构图 中考中主要考试的类型 一、证明两线段相等 ‎ ‎　 1.两全等三角形中对应边相等。 　 2.同一三角形中等角对等边。 　 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 　 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 　 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 　 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 　 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 　 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 　 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两角相等 　　1.两全等三角形的对应角相等。 　　2.同一三角形中等边对等角。 　　3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 　　4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 　　5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 　　6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对 ‎ 的圆周角。 　　7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 　　8.相似三角形的对应角相等。 　　9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。 三、证明两直线平行 ‎ 　　1.垂直于同一直线的各直线平行。 　 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 　　3.平行四边形的对边平行。 　　4.三角形的中位线平行于第三边。 　 5.梯形的中位线平行于两底。 　 6.平行于同一直线的两直线平行。‎ ‎7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 ‎ 四、 证明两直线互相垂直 　　1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 　　2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 　　3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 　　4.邻补角的平分线互相垂直。 　　5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 　　6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 　　7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 　　8.利用勾股定理的逆定理。 　　9.利用菱形的对角线互相垂直。 　　10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 　　11.利用半圆上的圆周角是直角。 ‎ 五、证明线段的和、差、倍、分 ‎1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。 　 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 　　3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 　　4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。 　　5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、‎ ‎ 三角形的重心、相似三角形的性质等）。 六、证明角的和、差、倍、分 ‎ ‎　　1.作两个角的和，证明与第三角相等。 　　2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。 　　3.利用角平分线的定义。 　　4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 七、证明两线段不等 　　1.同一三角形中，大角对大边。 　　2.垂线段最短。 　　3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 　　4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 　　5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 　　6.全量大于它的任何一部分。 八、证明两角不等 　　1.同一三角形中，大边对大角。 　　2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。 　　3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。 　　4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。 　　5.全量大于它的任何一部分。‎ 九、 证明比例式或等积式 　　1.利用相似三角形对应线段成比例。 　　2.利用内外角平分线定理。 　　3.平行线截线段成比例。 　　4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。 　　5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。 　　6.利用比例式或等积式化得。 　　以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是问题！‎ 各知识点考查形式 一、 图形的认识 1、 立体图形、视图和展开图（选择题）‎ ‎1） 几何体的三视图，几何体原型相互推倒 ‎2） 几何体的展开图，立体模型相互推倒 1、 线段、射线、直线（解答题）‎ 1） 垂直平分线、线段中点性质及应用 2） 结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系 3） 线段长度的求解 4） 两点间线段最短（解决路径最短问题）‎ 2、 角与角分线（解答题）‎ 1） 角与角之间的数量关系 2） 角分线的性质与判定（辅助线添加）‎ 3、 相交线与平行线 1） 余角、补角 2） 垂直平分线性质应用 3） 平分线性质与判定 4、 三角形 1） 三角形内角和、外角、三边关系（选择题）‎ 2） 三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）‎ 3） 三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）‎ 4） 三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）‎ 5、 等腰三角形与直角三角形 1） 等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理 2） 等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合 3） 锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）‎ 4） 等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）‎ 6、 多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）‎ 7、 四边形（解答题）‎ 1） 平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明 2） 特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）‎ 3） 梯形：一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形计算题，辅助线的添加等 1、 圆（必考解答题）‎ 1） 圆的 有关概念、性质 2） 圆周角、圆心角之间的相互联系 3） 掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式解决问题 4） 圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是圆与圆位置关系）‎ 5） 重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）‎ 一、 图形与变换 1、 轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题 2、 平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题 3、 旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题（全等证明），会判断中心对称图形 4、 相似：会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用相似比求解线段长度（解答题）‎ 几何证明中的几种技巧 一．角平分线－－轴对称 １． 已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分，于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．‎ ‎　　　‎ 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF的中位线．∴．‎ ２． 已知在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．‎ ‎　　　　　　‎ 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：，，．‎ ‎∴，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．‎ １． 已知在ΔABC中，，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．‎ ‎　　　　　‎ 分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD≌ΔEBD．∴ＡＤ＝ＥＤ，‎ ‎．由已知可得：，．由∵ＢＦ＝ＢＤ，‎ ‎∴．由三角形外角性质可得：．∴ＣＦ＝ＤＦ．‎ ‎∵，∴，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，‎ ‎∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．‎ 4． 已知在ΔABC中，，，ＡＦ平分，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求　证：ＡＣ＝ＡＤ．‎ ‎ ‎ 分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ．‎ 易证ΔAGF≌ΔAEF．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC≌ΔEFD．∴ＧＣ＝ＥＤ．‎ ‎∴ＡＣ＝ＡＤ．‎ ５． 如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．‎ （１） 求证：‎ （２） 若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是的内角平分线（如图（２））；‎ ‎ (b)ＢＤ是ΔABC的内角平分线，ＣＥ是ΔABC的外角平分线（如图（３））．‎ 则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．‎ ‎　　　　图（１）　　　　　　　　图（２）　　　　　　　　　图（３）‎ 分析：图（１）中易证ΔABF≌ΔIBF及ΔACG≌ΔHCG．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH的中位线．∴．‎ 同理可得图（２）中；图（３）中 ６． 如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．‎ ‎　　　　　　　　　‎ 分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．‎ ‎∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．‎ ７． 如图，在ΔABC中，，ＡＤ平分．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．‎ ‎　　　　　　‎ 分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD≌ΔAED．∴ＢＤ＝ＤＥ．‎ ‎∴．又∵，∴．‎ ‎∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．‎ ６． 在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且．求的度数．‎ ‎　　　　‎ 分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ．‎ ‎∴．∴有ΔCBF≌ΔCDA（ＳＡＳ）．∴．‎ ‎∴．‎ 二． 旋转 １． 如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ．‎ 求证：．‎ ‎　　　　‎ 分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转得．∴．易证ΔAGE≌ΔAFE． ‎ ‎∴ ‎ ‎２.如图，在中，，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．‎ ‎　　　　　　‎ 分析：连接ＢＤ．则可视为绕Ｄ顺时针旋转所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与 ＢＤ＝ＣＤ．则．又易证．∴ΔBDE≌ΔCDF．∴ＤＥ＝ＤＦ．‎ ３． 如图，点Ｅ在ΔABC外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若，‎ ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．‎ 分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转所得．则有．‎ ‎∵，且．∴．又∵．‎ ‎∴．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．‎ ４． 如图，ΔABC与ΔEDC均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．‎ 分析：将RtΔBCD视为RtΔACE绕Ｃ顺时针旋转即可．‎ ３． 如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．‎ 分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转即可．‎ ‎∵．∴．‎ 又∵，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．‎ 三． 平移 １． 如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．‎ ‎　　　　　‎ 分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．‎ １． 已知在ΔABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．‎ ‎　　　　　　　　　‎ 分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．‎ ‎∴四边形ＤＣＥＦ为．∴ＤＭ＝ＥＭ．‎ 四． 中点的联想 （一） 倍长 １． 已知，ＡＤ为的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．‎ ‎　　　　　‎ 分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA．‎ ‎∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．‎ １． 如图，ＡＤ为ΔABC的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．‎ ‎　　　　　‎ 分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．‎ ‎∵．∴．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．‎ ２． 已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．‎ ‎　　　‎ 分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE．‎ ‎∴．∴．‎ 易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又．∴ΔBPF为等边三角形．‎ ‎∴ＢＰ＝２ＰＱ．‎ （二） 中位线 １． 已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分别为ＢＤ与ＡＣ的中点．‎ 求证：．‎ ‎　　　　　　　　　‎ 分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线．‎ ‎∴ＥＧ∥＝，ＦＧ∥＝．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴．‎ （三） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 １． 已知，在中．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．‎ 求证：ＥＦ＝ＥＧ．‎ ‎　　　　　　　　‎ 分析：连接ＢE．∵，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．‎ ‎∴．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴．∴ＥＦ＝ＥＧ．‎ １． 在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．‎ 求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）．‎ ‎　　　　　　　‎ 分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）．‎ ‎∴ＥＧ＝ＣＧ．‎ （２） ‎∵ＤＥ＝ＢＥ．∴．‎ ‎∵ＤＥ＝ＣＤ．∴．∴．‎ ３． 已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，．Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中点．求证：ΔEFG是等边三角形．‎ ‎　　　　　　　　　‎ 分析：连接ＥＤ、ＦＣ．易证ΔAOD与ΔBOC均为正三角形．由已知可得．‎ 在RtΔCDE与RtΔCDF中，有．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即是等边三角形．‎ 六． 等面积法 １． 已知在ΔABC中，，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５．‎ 求ＡＤ的长．‎ 分析：．‎ ２． 已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的动点（Ｐ不与Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ．，．问：ＰＥ＋ＰＦ的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由．‎ ‎　　　　　　　‎ 分析：连接ＰＢ、ＰＣ．易得．‎ ‎∴．又，．‎ ‎∴．‎ １． 已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝ＦＧ，ＧＰ⊥ＤＥ于Ｐ，ＤＱ⊥ＦＧ于Ｑ．‎ 求证：Ｔ在的平分线上．‎ ‎　　　‎ 分析：连接ＥＧ、ＦＤ及ＯＴ．∵及．又∵ＤＥ＝ＦＧ，∴ＰＧ＝ＱＤ．‎ 易证RTΔPGD≌RtΔQDG（ＨＬ）．∴，ＰＤ＝ＱＧ，．‎ ‎∴RtΔPDT≌RtΔQGT（ＡＳＡ）．∴ＰＴ＝ＱＴ．‎ 即Ｔ在的平分线上．‎ ‎“圆” 热点题型分类解析 ‎ 【专题专点剖析】‎ ‎ 1．与圆有关的概念 ‎ 正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系．‎ ‎ 2．与圆有关的角 ‎ 掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径．‎ ‎ 3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理 ‎ 定理与推论是在圆的旋转不变上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”这个关系．‎ ‎ 4．与圆有关的位置关系 ‎ 了解点和圆、直线和圆、圆与圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键．‎ ‎ 5．切线长定理 ‎ 切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．‎ ‎ 6．弧长、扇形面积计算问题 ‎ ‎ ‎ 通过作图、识图、阅读图形、探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律，把不规则图形的问题转化为规则图形的问题．‎ ‎ 7．圆锥的侧面积、全面积的计算 ‎ 正确区分圆锥侧面展开图中各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此类问题的关键．‎ ‎【热点试题归类】‎ 题型1 圆的有关性质 ‎1．如图1，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_______度。‎ ‎ ‎ ‎ (1) (2) (3) (4)‎ ‎2．在△ABC中，AB=AC=5，且△ABC的面积为12，则△ABC外接圆的半径为________。‎ ‎3．如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_______cm。‎ ‎4．如图3，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=20°，那么∠ACB=_______。‎ ‎5．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD=______。‎ ‎6．如图4，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为______。‎ ‎7．如图5，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是________。‎ ‎ ‎ ‎ (5) (6) (7) (8) (9)‎ ‎8．如图6，⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm。‎ ‎9．如图7，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．①cos∠BFE=；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号是________。‎ ‎10．如图8,已知A、B、C是⊙O上，若∠COA=100°，则∠CBA的度数是 （ ）‎ ‎ A．40° B．50° C．80° D．200°‎ ‎11．如图9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=70°，则∠A的度数是 （ ）‎ A．20° B．25° C．30° D．35°‎ ‎ ‎ ‎ (10) (11) (12) (13) (14)‎ ‎12．如图10，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=，AC=2，则cosB的值是 （ ）‎ A． B． D．‎ ‎13．如图11，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=45°，则∠BOC的大小是 （ ）‎ A．90° B．60° C．45° D．22．5°‎ ‎14．我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，如图12，若P是⊙O外一点，直线PO交⊙O于A、B两点，PC切⊙O于点C，则点P到⊙O的距离是 ( )‎ ‎ A．线段PO的长度; B．线段PA的长度; C．线段PB的长度; D．线段PC的长度 ‎15．如图13，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD= （ ）‎ ‎ A．100° B．110° C．120° D．135°‎ ‎16．如图14，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于 （ ）‎ ‎ A．80° B．50° C．40° D．20°‎ ‎17．用一把带有刻度尺的直角尺，①可以画出两条平行的直线a和b，如 图（1）；②可以画出∠AOB的平分线OP，如图（2）；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（3）；④可以量出一个圆的半径，如图（4）．这四种说法正确的有 （ ）‎ ‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎18．图16中∠BOD的度数是 （ ）‎ A．55° B．110° C．125° D．150°‎ ‎ ‎ ‎ （16） （17） （18）‎ ‎19．如图17，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则等于 （ ）‎ A．tan∠AED B．cot∠AED C．sin∠AED D．cos∠AED ‎20．如图18已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°，则∠AOB的度数为 （ ）‎ ‎ A．44° B．46° C．68° D．88°‎ ‎21．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交边BC于点E，连结BD．‎ ‎ （1）根据题设条件，请你找出图中各对相似的三角形；‎ ‎（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明。‎ ‎22．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P。 （1）若PC=PF；求证：AB⊥ED。‎ ‎（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD=DE．DF，为什么？‎ ‎23．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。‎ ‎24．本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图所示，请你帮他们求出滴水湖的半径。‎ 题型2 直线与圆的位置关系 ‎1．已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，3cm为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是________。‎ ‎2．如图1，AB是⊙O的切线，OB=2OA，则∠B的度数是_______。‎ ‎ ‎ ‎ （1） （2） （3）‎ ‎3．已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=12cm，则弦AB的长为_______cm。‎ ‎4．如图2，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD=40°，则∠ABC的大小等于_______（度）。‎ ‎5．已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P作圆的切线，那么切线长是________。‎ ‎6．如图3，PB为⊙O的切线，B为切点，连结PO交⊙O于点A，PA=2，PO=5，则PB的长为（ ）‎ ‎ A．4 B． C．2 D．4‎ ‎7．如图4，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为 （ ）‎ A．4cm B．2cm C．2cm D．cm ‎ ‎ ‎ （4） （5） （6）‎ ‎8．如图5，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于 （ ）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎9．如图6，已知⊙O中弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是 （ ）‎ ‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎10．⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与⊙O的位置关系是 （ ）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎11．如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO的延长线交⊙O 于点C，连结BC，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB是⊙O的切线．‎ ‎12．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点．‎ ‎ （1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线．‎ 13． 如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=80°，点C是⊙O上不同于A、B的任意一点，‎ 求∠ACB的度数．‎ ‎14．已知在Rt△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．‎ ‎ （1）在图中作出⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎ （2）求证：BC为⊙O的切线；‎ ‎（3）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长．‎ ‎15．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，PO与⊙O交于点C，且PA=AB=6cm，PO=12cm．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求△PBO的面积．（结果可带根号）‎ ‎16．如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．‎ ‎17．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．‎ ‎ （1）求证：点F是BD中点；‎ （2） 求证：CG是⊙O的切线；‎ （3） 若FB=FE=2，求⊙O的半径．‎ ‎ 题型3 圆与圆的位置关系 1． 如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O 于B、C，则BC=_______。 ‎ ‎2．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm的两个外切圆，该矩形长的最小值是_______。‎ ‎3．已知⊙O与⊙O半径的长是方程x2-7x+12=0的两根，且O1O2=，则⊙O1与⊙O2的位置关系是 （ ）‎ ‎ A．相交 B．内切 C．内含 D．外切 ‎4．已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是 （ ）‎ ‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎5．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，两圆的圆心距是1cm，则两圆的位置关系是（ ）‎ ‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎6．已知：关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+d2=0无实数根，其中R、r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为 （ ）‎ ‎ A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 ‎7．下列命题中，正确命题的个数是 （ ）‎ ‎ ①垂直于弦的直径平分这条弦；②平行四边形对角互补；③有理数与数轴上的点是一一对应的；④相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．‎ ‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎8．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两圆的位置关系是 （ ）‎ ‎ A．内切 B．相交 C．外离 D．外切 ‎9．若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 （ ）‎ ‎ A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上都不对 ‎10．在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）‎ A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 ‎11．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，经过⊙O1上一点A作⊙O1的切线交⊙O2于B、C两点，直线AP交⊙O2于点D，连结DC、PC．‎ ‎ （1）求证：DC2=DP·DA；‎ ‎（2）若⊙O1与⊙O2的半径之比为1：2，连结BD，BD=4，PC=12，求AB的长．‎