无锡市2015年中考数学卷

无锡市2015年中考数学卷

无锡市2015年中考数学试题 一、选择题 ‎1．－3的倒数是 （ ）‎ A．3 B．±3 C． D．－ 考点：倒数．.‎ 分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ 解答：解：﹣3的倒数是，‎ 故选D 点评：本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎2．函数y＝中自变量x的取值范围是 （ ）‎ ‎ A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4‎ 考点：函数自变量的取值范围．.‎ 分析：因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣4≥0，可求x的范围．‎ 解答：‎ 解：x﹣4≥0解得x≥4，‎ 故选：B．‎ 点评：此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎3．今年江苏省参加高考的人数约为393 000人，这个数据用科学记数法可表示为 （ ）‎ A．393×103 B．3.93×103 C．3.93×105 D．3.93×106‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：393000=3.93×105，‎ 故选C．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：‎ ‎（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎4．方程2x－1＝3x＋2的解为 （ ）‎ A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3‎ 考点：解一元一次方程．.‎ 分析：方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．‎ 解答：解：方程2x﹣1=3x+2，‎ 移项得：2x﹣3x=2+1，‎ 合并得：﹣x=3．‎ 解得：x=﹣3，‎ 故选D．‎ 点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．‎ ‎5．若点A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为 （ ）‎ ‎ A．6 B．－6 C．12 D．－12‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.‎ 分析：反比例函数的解析式为y=，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．‎ 解答：解：设反比例函数的解析式为y=，‎ 把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12，‎ 即y=﹣，‎ 把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6，‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是求出反比例函数的解析式，难度适中．‎ ‎6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ）‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆 考点：中心对称图形；轴对称图形．.‎ 分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．‎ 解答：解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；‎ B、只是中心对称图形，不合题意；‎ C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．‎ 故选A．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．‎ ‎7．tan45º的值为 （ ）‎ ‎ A． B．1 C． D． 考点：特殊角的三角函数值．.‎ 分析：根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，据此解答即可．‎ 解答：解：tan45°=1，‎ 即tan45°的值为1．‎ 故选：B．‎ 点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．‎ ‎8．八边形的内角和为 （ ）‎ ‎ A．180º B．360º C．1080º D．1440º 考点：多边形内角与外角．.‎ 分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．‎ 解答：解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．‎ ‎9．如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是 （ ）‎ ‎（第9题）‎ A． B． C． D．‎ 考点：几何体的展开图．.‎ 分析：根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．‎ 解答：解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，中间相隔一个正方形，故C错误，只有D选项符合条件，‎ 故选D 点评：本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ E F B′‎ B ‎（第10题）‎ C A D ‎10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为 （ ▲ ）‎ A． B． C． D． 考点：翻折变换（折叠问题）．.‎ 分析：首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．‎ 解答：解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，‎ ‎∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ECF=45°，‎ ‎∴△ECF是等腰直角三角形，‎ ‎∴EF=CE，∠EFC=45°，‎ ‎∴∠BFC=∠B′FC=135°，‎ ‎∴∠B′FD=90°，‎ ‎∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，‎ ‎∴AC•BC=AB•CE，‎ ‎∵根据勾股定理求得AB=5，‎ ‎∴CE=，‎ ‎∴EF=，ED=AE==，‎ ‎∴DF=EF﹣ED=，‎ ‎∴B′F==．‎ 故选B．点评：‎ 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．‎ 二、填空题 ‎11．分解因式：8－2x2＝ ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．.‎ 分析：先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可．‎ 解答：解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x） （2﹣x）．‎ 故答案为：2（2+x） （2﹣x）．‎ 点评：‎ 本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键．‎ ‎12．化简得 ．‎ 考点：约分．.‎ 分析：首先分别把分式的分母、分子因式分解，然后约去分式的分子与分母的公因式即可．‎ 解答：解：‎ ‎=‎ ‎=‎ 故答案为：．‎ 点评：此题主要考查了约分问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．‎ ‎13．一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为 ．‎ 考点：一次函数图象上点的坐标特征．.‎ 分析：一次函数y=2x﹣6的图象与x轴的交点的纵坐标等于零，所以把y=0代入已知函数解析式即可求得相应的x的值．‎ 解答：解：令y=0得：2x﹣6=0，解得：x=3．‎ 则函数与x轴的交点坐标是（3，0）．‎ 故答案是：（3，0）．‎ 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．‎ A B C D E F G H ‎（第14题）‎ ‎14．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．‎ 考点：中点四边形．.‎ 分析：连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．‎ 解答：解：如图，连接C、BD，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD=8cm，‎ ‎∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，‎ ‎∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，‎ ‎∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，‎ 故答案为：16．‎ 点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎15．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）‎ 考点：命题与定理．.‎ 分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．‎ 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．‎ 解答：解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．‎ 点评：‎ 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．‎ ‎16．某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：‎ 等级 单价（元/千克）‎ 销售量（千克）‎ 一等 ‎5.0‎ ‎20‎ 二等 ‎4.5‎ ‎40‎ 三等 ‎4.0‎ ‎40‎ ‎ 则售出蔬菜的平均单价为 元/千克．‎ 考点：加权平均数．.‎ 分析：利用售出蔬菜的总价÷售出蔬菜的总数量=售出蔬菜的平均单价，列式解答即可．‎ 解答：解：（5×20+4.5×40+4×40）÷（20+40+40）‎ ‎=（100+180+160）÷100‎ ‎=440÷100‎ ‎=4.4（元/千克）‎ 答：售出蔬菜的平均单价为4.4元/千克．‎ 故答案为：4.4．‎ 点评：此题考查加权平均数的求法，利用总数÷总份数=平均数列式解决问题．‎ B A C D E ‎（第17题）‎ ‎17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．‎ 考点：三角形中位线定理；勾股定理．.‎ 专题：计算题．‎ 分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．‎ 解答：‎ 解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，‎ 在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，‎ 根据勾股定理得：AG==6，‎ 在△BDF和△CDA中，‎ ‎∴△BDF≌△CDA（SAS），‎ ‎∴∠ACD=∠BFD，‎ ‎∴AG∥BF，‎ ‎∴四边形EBFG是平行四边形，‎ ‎∴FG=BE=6，‎ 在△BOD和△CHD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BOD≌△CHD（AAS），‎ ‎∴OD=DH=3，‎ ‎∵CH∥FG，‎ ‎∴△AHC∽△AFG，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得：AC=，‎ 故答案为：‎ 点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．‎ ‎18．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 元．‎ 考点：分段函数．.‎ 分析：根据题意知付款480元时，其实际标价为为480或600元，付款520元，实际标价为650元，求出一次购买标价1130元或1250元的商品应付款即可．‎ 解答：解：由题意知付款480元，实际标价为480或480×=600元，‎ 付款520元，实际标价为520×=650元，‎ 如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款 ‎800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元．‎ 如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款 ‎800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元．‎ 故答案为：838或910．‎ 点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题．‎ 三、解答题 ‎19．（本题满分8分）计算：‎ ‎（1）(－5)0－()2＋|－3|； （2）(x＋1)2－2(x－2)．‎ 考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．.‎ 分析：（1）先算0指数幂、平方和绝对值，再算加减；‎ ‎（2）利用完全平方公式计算，再合并得出答案即可．‎ 解答：解：（1）原式=1﹣3+3‎ ‎=1． ‎ ‎（2）原式=x2+2x+1﹣2x+4‎ ‎=x2+5．‎ 点评：此题考查整式的混合运算，掌握运算的顺序与计算的方法是解决问题的关键．‎ ‎20．（本题满分8分）‎ ‎ （1）解不等式：2(x－3)－2≤0； （2）解方程组： 考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组．.‎ 分析：（1）先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以，即可得出不等式的解集；‎ ‎（2）先把②整理，再由减法消去x求出y，然后代入①求出x即可，‎ 解答：解：（1）去括号，得：2x﹣6﹣2≤0，‎ 移项，得：2x≤6+2，‎ 合并同类项，得：2x≤8，‎ 两边同乘以，得：x≤4；‎ ‎∴原不等式的解集为：x≤4．‎ ‎（2）由②得：2x﹣2y=1③，‎ ‎ ①﹣②得：y=4，‎ 把y=4代入①得：x=，‎ ‎∴原方程组的解为：‎ 点评：本题考查了不等式的解法、二元一次方程组的解法；熟练掌握不等式的解法和用加减法解方程组是解决问题的关键，‎ C A D E B ‎21．（本题满分8分）已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE＝DE．‎ 求证：（1）∠AEC＝∠BED；（2）AC＝BD．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．.‎ 专题：证明题．‎ 分析：（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；‎ ‎（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，‎ ‎∵CE=DE，‎ ‎∴∠ECD=∠EDC，‎ ‎∴∠AEC=∠BED；‎ ‎（2）∵E是AB的中点，‎ ‎∴AE=BE，‎ 在△AEC和△BED中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEC≌△BED（SAS），‎ ‎∴AC=BD．‎ 点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．‎ A B C D O ‎22．（本题满分8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．‎ 考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．.‎ 分析：（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论．‎ 解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵BC=6cm，AC=8cm，‎ ‎∴AB=10cm．‎ ‎∴OB=5cm．‎ 连OD，‎ ‎∵OD=OB，‎ ‎∴∠ODB=∠ABD=45°．‎ ‎∴∠BOD=90°．‎ ‎∴BD==5cm．‎ ‎（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π•52﹣×5×5=cm2．‎ 点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎23．（本题满分6分）某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这样一个问题：‎ 老师在课堂上放手让学生提问和表达 （ ）‎ A．从不 B．很少 C．有时 D．常常 E．总是 答题的学生在这五个选项中只能选择一项．下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不完整的统计图．‎ 各选项选择人数的条形统计图 各选项选择人数分布的扇形统计图 ‎96‎ ‎320‎ ‎736‎ ‎1344‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎600‎ ‎900‎ ‎1200‎ ‎1500‎ 从不 很少 有时 常常 总是 从不 ‎3%‎ 很少 有时 常常 总是 人数 选项 ‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）该区共有 ▲ 名初二年级的学生参加了本次问卷调查；‎ ‎（2）请把这幅条形统计图补充完整；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“总是”所占的百分比为 ▲ ．‎ 考点：条形统计图；扇形统计图．.‎ 分析：（1）结合两个统计图中的“从不”的人数与所占百分比即可求出初二年级的学生参加数量；‎ ‎（2）用总人数分别减去“从不”、“很少”、“常常”、“总是”的人数，计算出“有时”的人数即可将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）利用公式“总是”所占的百分比=%计算即可．‎ 解答：解：（1）96÷3%=3200，‎ 故答案为：3200；‎ ‎（2）“有时”的人数=3200﹣96﹣320﹣736﹣1344=704；‎ 如图所示：‎ ‎（3）“总是”所占的百分比=%=100%=42%，‎ 故答案为：42%．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎24．（本题满分8分）‎ ‎（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）‎ ‎（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ▲ （请直接写出结果）．‎ 考点：列表法与树状图法．.‎ 分析：（1）根据画树状图，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结过，可得答案；‎ ‎（2）根据第一步传的结果是n，第二步传的结果是n2，第三步传的结果是总结过是n3，传给甲的结果是n（n﹣1），根据概率的意义，可得答案．‎ 解答：解：（1）画树状图：‎ 共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，‎ ‎∴P（第2次传球后球回到甲手里）==．‎ ‎（2）第三步传的结果是总结过是n3，传给甲的结果是n（n﹣1），‎ 第三次传球后球回到甲手里的概率是=，‎ 故答案为：．‎ 点评：本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图是解题关键．‎ ‎25．（本题满分8分）某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品．甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？（注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费）‎ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式的应用．.‎ 分析：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60﹣x）箱原材料生产A产品，根据题意列出不等式，确定x的取值范围，列出w=30[12x+10（60﹣x）]﹣80×60﹣5[4x+2（60﹣x）]=50x+12 600，利用一次函数的性质，即可解答．‎ 解答：‎ 解：设甲车间用x箱原材料生产A产品，则乙车间用（60﹣x）箱原材料生产A产品．‎ 由题意得4x+2（60﹣x）≤200，解得x≤40．‎ w=30[12x+10（60﹣x）]﹣80×60﹣5[4x+2（60﹣x）]=50x+12 600，‎ ‎∵50＞0，‎ ‎∴w随x的增大而增大．‎ ‎∴当x=40时，w取得最大值，为14 600元．‎ 答：甲车间用40箱原材料生产A产品，乙车间用20箱原材料生产A产品，可使工厂所获利润最大，最大利润为14 600元．‎ 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式，利用一次函数的性质解决问题．‎ ‎26．（本题满分10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、‎ B(m，2)、C(m－5，2)．‎ ‎（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90º？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．‎ 考点：圆的综合题．.‎ 专题：综合题．‎ 分析：（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，接着利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；‎ ‎（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO=90°，以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点．而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.5．‎ 解答：解：（1）存在．‎ ‎∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．‎ ‎∴OA=BC=5，BC∥OA，‎ 以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图1，‎ 作DG⊥EF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，‎ ‎∴EG==1.5，‎ ‎∴E（1，2），F（4，2），‎ ‎∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA=90°；‎ ‎（2）如图2，‎ ‎∵BC=OA=5，BC∥OA，‎ ‎∴四边形OABC是平行四边形，‎ ‎∴OC∥AB，‎ ‎∴∠AOC+∠OAB=180°，‎ ‎∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，‎ ‎∴∠AOQ=∠AOC，∠OAQ=∠OAB，‎ ‎∴∠AOQ+∠OAQ=90°，‎ ‎∴∠AQO=90°，‎ 以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，‎ ‎∴点Q只能是点E或点F，‎ 当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，‎ ‎∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB，‎ ‎∴CF=OC，BF=AB，‎ 而OC=AB，‎ ‎∴CF=BF，即F是BC的中点．‎ 而F点为 （4，2），‎ ‎∴此时m的值为6.5，‎ 当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，‎ 综上所述，m的值为3.5或6.5．‎ 点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长．‎ ‎27．（本题满分10分）一次函数y＝x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．‎ ‎ （1）求点C的坐标；‎ O x y y＝x ‎ （2）设二次函数图像的顶点为D．‎ ‎①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；‎ ‎②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．‎ 考点：二次函数综合题．.‎ 分析：（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=x的交点，即点C的坐标；‎ ‎（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；‎ ‎②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．‎ 解答：解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，‎ ‎∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，‎ 当x=2时，y=x=，‎ 故点C（2，）；‎ ‎（2）①∵点D与点C关于x轴对称，‎ ‎∴D（2，﹣，），‎ ‎∴CD=3，‎ 设A（m，m）（m＜2），‎ 由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，‎ 解得m=0，‎ ‎∴A（0，0）．‎ 由A（0，0）、D（2，﹣）得：‎ ‎，‎ 解得：a=，c=0．‎ ‎∴y=x2﹣x；‎ ‎②设A（m，m）（m＜2），‎ 过点A作AE⊥CD于E，则AE=2﹣m，CE=﹣m，‎ AC===（2﹣m），‎ ‎∵CD=AC，‎ ‎∴CD=（2﹣m），‎ 由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，‎ 解得：m=﹣2或m=6（舍去），‎ ‎∴m=﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，﹣），CD=5，‎ 当a＞0时，则点D在点C下方，‎ ‎∴D（2，﹣），‎ 由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=x2﹣x﹣3；‎ 当a＜0时，则点D在点C上方，‎ ‎∴D（2，），‎ 由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣x2+2x+．‎ 点评：本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．‎ ‎28．（本题满分10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．‎ ‎（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．‎ ‎（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．‎ ‎①问：－的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．‎ A C B N P Q M O ‎②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．‎ 考点：相似形综合题．.‎ 专题：综合题．‎ 分析：（1）过P作PE⊥OA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到CN与OB垂直；‎ ‎（2）﹣的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y﹣x，根据平行得到三角形NQP与三角形NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值；‎ ‎②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，表示出菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，得到，由PM与OB平行，得到三角形CPM与三角形CNO相似，由相似得比例求出所求式子的范围即可．‎ 解答：解：（1）过P作PE⊥OA于E，‎ ‎∵PQ∥OA，PM∥OB，‎ ‎∴四边形OMPQ为平行四边形，‎ ‎∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，‎ ‎∴PE=PM•sin60°=，ME=，‎ ‎∴CE=OC﹣OM﹣ME=，‎ ‎∴tan∠PCE==，‎ ‎∴∠PCE=30°，‎ ‎∴∠CPM=90°，‎ 又∵PM∥OB，‎ ‎∴∠CNO=∠CPM=90°，‎ 则CN⊥OB；‎ ‎（2）①﹣的值不发生变化，理由如下：‎ 设OM=x，ON=y，‎ ‎∵四边形OMPQ为菱形，‎ ‎∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，‎ ‎∵PQ∥OA，‎ ‎∴∠NQP=∠O，‎ 又∵∠QNP=∠ONC，‎ ‎∴△NQP∽△NOC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴6y﹣6x=xy．两边都除以6xy，得﹣=，即﹣=．‎ ‎②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，‎ 则S1=OM•PE，S2=OC•NF，‎ ‎∴=．‎ ‎∵PM∥OB，‎ ‎∴∠MCP=∠O，‎ 又∵∠PCM=∠NCO，‎ ‎∴△CPM∽△CNO，‎ ‎∴==，‎ ‎∴==﹣（x﹣3）2+，‎ ‎∵0＜x＜6，‎ 则根据二次函数的图象可知，0＜≤．‎ 点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．‎