中考数学试题分类汇编考点24：平行四边形

中考数学试题分类汇编考点24：平行四边形

中考数学试题分类汇编：考点 24 平行四边形 一．选择题（共 9 小题） 1．（2018•宁波）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1 的度数为（ ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA 的度数，再利用三角形中位线定 理结合平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°， ∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°， ∵对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点， ∴EO 是△DBC 的中位线， ∴EO∥BC， ∴∠1=∠ACB=40°． 故选：B． 2．（2018•宜宾）在▱ ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E，则△ AED 的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【分析】想办法证明∠E=90°即可判断． 【解答】解：如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠EAD= ∠BAD，∠ADE= ∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE= （∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠E=90°， ∴△ADE 是直角三角形， 故选：B． 3．（2018•黔南州）如图在▱ ABCD 中，已知 AC=4cm，若△ACD 的周长为 13cm， 则▱ ABCD 的周长为（ ） A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm 【分析】根据三角形周长的定义得到 AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相 等的性质来求平行四边形的周长． 【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC 的周长为 13cm， ∴AD+DC=13﹣4=9（cm）． 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴平行四边形的周长为 2（AB+BC）=18cm． 故选：D． 4．（2018•海南）如图，▱ ABCD 的周长为 36，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ） A．15 B．18 C．21 D．24 【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题； 【解答】解：∵平行四边形 ABCD 的周长为 36， ∴BC+CD=18， ∵OD=OB，DE=EC， ∴OE+DE= （BC+CD）=9， ∵BD=12， ∴OD= BD=6， ∴△DOE 的周长为 9+6=15， 故选：A． 5．（2018•泸州）如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 中点， 且 AE+EO=4，则▱ ABCD 的周长为（ ） A．20 B．16 C．12 D．8 【分析】首先证明：OE= BC，由 AE+EO=4，推出 AB+BC=8 即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=EB， ∴OE= BC， ∵AE+EO=4， ∴2AE+2EO=8， ∴AB+BC=8， ∴平行四边形 ABCD 的周长=2×8=16， 故选：B． 6．（2018•眉山）如图，在▱ ABCD 中，CD=2AD，BE⊥AD 于点 E，F 为 DC 的中 点，连结 EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S 四边形 DEBC=2S△EFB； ④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH．想办法证明 EF=FG，BE⊥BG，四边形 BCFH 是菱形即可解决问题； 【解答】解：如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， ∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S 四边形 DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形 BCFH 是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形 BCFH 是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：D． 7．（2018•东营）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接 DE 并延长， 交 AB 的延长线于点 F，AB=BF．添加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形，你 认为下面四个条件中可选择的是（ ） A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠CD．∠F=∠CDF 【分析】正确选项是 D．想办法证明 CD=AB，CD∥AB 即可解决问题； 【解答】解：正确选项是 D． 理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE， ∴△CDE≌△BFE，CD∥AF， ∴CD=BF， ∵BF=AB， ∴CD=AB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 故选：D． 8．（2018•玉林）在四边形 ABCD 中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从 以上选择两个条件使四边形 ABCD 为平行四边形的选法共有（ ） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平 行四边形． 【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有 4 种，分别是：①②、③④、 ①③、③④． 故选：B． 9．（2018•安徽）▱ ABCD 中，E，F 的对角线 BD 上不同的两点．下列条件中， 不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是（ ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF 【分析】连接 AC 与 BD 相交于 O，根据平行四边形的对角线互相平分可得 OA=OC， OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到 OE=OF 即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解答】解：如图，连接 AC 与 BD 相交于 O， 在▱ ABCD 中，OA=OC，OB=OD， 要使四边形 AECF 为平行四边形，只需证明得到 OE=OF 即可； A、若 BE=DF，则 OB﹣BE=OD﹣DF，即 OE=OF，故本选项不符合题意； B、若 AE=CF，则无法判断 OE=OE，故本选项符合题意； C、AF∥CE 能够利用“角角边”证明△AOF 和△COE 全等，从而得到 OE=OF，故本 选项不符合题意； D、∠BAE=∠DCF 能够利用“角角边”证明△ABE 和△CDF 全等，从而得到 DF=BE， 然后同 A，故本选项不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共 6 小题） 10．（2018•十堰）如图，已知▱ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，且 AC=8， BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为 14 ． 【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5， ∴△OCD 的周长=5+4+5=14， 故答案为 14． 11．（2018•株洲）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，且 BD=CD，过点 A 作 AM⊥BD 于点 M，过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，且 DN=3 ，在 DB 的延长线上 取一点 P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则 AP= 6 ． 【分析】根据 BD=CD，AB=CD，可得 BD=BA，再根据 AM⊥BD，DN⊥AB，即可得 到 DN=AM=3 ，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM 是等腰直角三角形，进而得到 AP= AM=6． 【解答】解：∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA， 又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=3 ， 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM， ∴△APM 是等腰直角三角形， ∴AP= AM=6， 故答案为：6． 12．（2018•衡阳）如图，▱ ABCD 的对角线相交于点 O，且 AD≠CD，过点 O 作 OM⊥AC，交 AD 于点 M．如果△CDM 的周长为 8，那么▱ ABCD 的周长是 16 ． 【分析】根据题意，OM 垂直平分 AC，所以 MC=MA，因此△CDM 的周长=AD+CD， 可得平行四边形 ABCD 的周长． 【解答】解：∵ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=MC． ∴△CDM 的周长=AD+CD=8， ∴平行四边形 ABCD 的周长是 2×8=16． 故答案为 16． 13．（2018•泰州）如图，▱ ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若 AD=6，AC+BD=16， 则△BOC 的周长为 14 ． 【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD， ∵AC+BD=16， ∴OB+OC=8， ∴△BOC 的周长=BC+OB+OC=6+8=14， 故答案为 14． 14．（2018•临沂）如图，在▱ ABCD 中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则 BD= 4 ． 【分析】由 BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得 AC 的长，得出 OA 长， 然后由勾股定理求得 OB 的长即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC， ∵AC⊥BC， ∴AC= =8， ∴OC=4， ∴OB= =2 ， ∴BD=2OB=4 故答案为：4 ． 15．（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点 A 在边 OX 上，OA=2．过点 A 作 AC⊥OY 于点 C，以 AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形 ABC，点 P 是△ABC 围成 的区域（包括各边）内的一点，过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D，作 PE∥OX 交 OY 于点 E．设 OD=a，OE=b，则 a+2b 的取值范围是 2≤a+2b≤5 ． 【分析】作辅助线，构建 30 度的直角三角形，先证明四边形 EODP 是平行四边 形，得 EP=OD=a，在 Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH， 确认 OH 最大和最小值的位置，可得结论． 【解答】解：过 P 作 PH⊥OY 交于点 H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形 EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°， ∴EP=OD=a， Rt△HEP 中，∠EPH=30°， ∴EH= EP= a， ∴a+2b=2（ a+b）=2（EH+EO）=2OH， 当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值=OC= OA=1，即 a+2b 的最小 值是 2； 当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ = ，即（a+2b）的最大值是 5， ∴2≤a+2b≤5． 三．解答题（共 12 小题） 16．（2018•福建）如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AD，BC 分别相交于点 E，F．求证：OE=OF． 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 OA=OC，AD∥BC，继而可证得△ AOE≌△COF（ASA），则可证得结论． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC，AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△OAE 和△OCF 中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF． 17．（2018•临安区）已知：如图，E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的 两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE； （2）EB∥DF． 【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为 AE=CF，则两边同时加上 EF，得到 AF=CE， 又因为 ABCD 是平行四边形，得出 AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据 SAS 推出两 三角形全等； （2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到 DF∥EB． 【解答】证明：（1）∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+FE，即 AF=CE． 又 ABCD 是平行四边形， ∴AD=CB，AD∥BC． ∴∠DAF=∠BCE． 在△ADF 与△CBE 中 ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）． （2）∵△ADF≌△CBE， ∴∠DFA=∠BEC． ∴DF∥EB． 18．（2018•宿迁）如图，在▱ ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB、AD 的延长线上， 且 BE=DF，EF 分别与 AB、CD 交于点 G、H．求证：AG=CH． 【分析】利用平行四边形的性质得出 AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得 出答案． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠E=∠F， ∵BE=DF， ∴AF=EC， 在△AGF 和△CHE 中 ， ∴△AGF≌△CHE（ASA）， ∴AG=CH． 19．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 E， 点 G 为 AD 的中点，连接 CG，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD． （1）求证：AB=AF； （2）若 AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）只要证明 AB=CD，AF=CD 即可解决问题； （2）结论：四边形 ACDF 是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即 可； 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠AFC=∠DCG， ∵GA=GD，∠AGF=∠CGD， ∴△AGF≌△DGC， ∴AF=CD， ∴AB=AF． （2）解：结论：四边形 ACDF 是矩形． 理由：∵AF=CD，AF∥CD， ∴四边形 ACDF 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°， ∴∠FAG=60°， ∵AB=AG=AF， ∴△AFG 是等边三角形， ∴AG=GF， ∵△AGF≌△DGC， ∴FG=CG，∵AG=GD， ∴AD=CF， ∴四边形 ACDF 是矩形． 20．（2018•无锡）如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AD 的中点， 求证：∠ABF=∠CDE． 【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：在▱ ABCD 中， AD=BC，∠A=∠C， ∵E、F 分别是边 BC、AD 的中点， ∴AF=CE， 在△ABF 与△CDE 中， ∴△ABF≌△CDE（SAS） ∴∠ABF=∠CDE 21．（2018•淮安）已知：如图，▱ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别与 AD、BC 相交于点 E、F．求证：AE=CF． 【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案． 【解答】证明：∵▱ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中 ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF． 22．（2018•南通模拟）如图，▱ ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长 交 DC 延长线于点 F． （1）求证：CF=AB； （2）连接 BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF． 【分析】（1）欲证明 AB=CF，只要证明△AEB≌△FEC 即可； （2）想办法证明 AC=BD，BF=AC 即可解决问题； 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠BAE=∠CFE ∵AE=EF，∠AEB=∠CEF， ∴△AEB≌△FEC， ∴AB=CF． （2）连接 AC． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠BCD=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形， ∴BD=AC， ∵AB=CF，AB∥CF， ∴四边形 ACFB 是平行四边形， ∴BF=AC， ∴BD=BF． 23．（2018•徐州）已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，给出下列四 个论断： ①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC． 请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论，完 成下列各题： ①构造一个真命题，画图并给出证明； ②构造一个假命题，举反例加以说明． 【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等， 那么就不能得到相等的对边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果 ①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么 AD，BC 所在的三角形全等， 也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，它有可 能是等腰梯形． 【解答】解：（1）①④为论断时： ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC． 又∵OA=OC， ∴△AOD≌△COB． ∴AD=BC． ∴四边形 ABCD 为平行四边形． （2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形． 24．（2018•大庆）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是 AB、AC 的 中点，连接 CD，过 E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于 F． （1）证明：四边形 CDEF 是平行四边形； （2）若四边形 CDEF 的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB 的长度． 【分析】（1）由三角形中位线定理推知 ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF ∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形 DCFE 为平行四边形； （2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到 AB=2DC，即可得 出四边形 DCFE 的周长=AB+BC，故 BC=25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得； 【解答】（1）证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点， ∴ED 是 Rt△ABC 的中位线， ∴ED∥FC．BC=2DE， 又 EF∥DC， ∴四边形 CDEF 是平行四边形； （2）解：∵四边形 CDEF 是平行四边形； ∴DC=EF， ∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴AB=2DC， ∴四边形 DCFE 的周长=AB+BC， ∵四边形 DCFE 的周长为 25cm，AC 的长 5cm， ∴BC=25﹣AB， ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∴AB2=BC2+AC2，即 AB2=（25﹣AB）2+52， 解得，AB=13cm， 25．（2018•孝感）如图，B，E，C，F 在一条直线上，已知 AB∥DE，AC∥DF， BE=CF，连接 AD．求证：四边形 ABED 是平行四边形． 【分析】由 AB∥DE、AC∥DF 利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F， 由 BE=CF 可得出 BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的 性质可得出 AB=DE，再结合 AB∥DE，即可证出四边形 ABED 是平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F． ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE， ∴BC=EF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE． 又∵AB∥DE， ∴四边形 ABED 是平行四边形． 26．（2018•岳阳）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行四边形． 【分析】首先根据四边形 ABCD 是平行四边形，判断出 AB∥CD，且 AB=CD，然 后根据 AE=CF，判断出 BE=DF，即可推得四边形 BFDE 是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，且 AB=CD， 又∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴BE∥DF 且 BE=DF， ∴四边形 BFDE 是平行四边形． 27．（2018•永州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段 AB 为边 向外作等边△ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F． （1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形； （2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积． 【分析】（1）在 Rt△ABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= AB，BE= AB，得到∠BCE= ∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60 度．所以 FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以 AD∥BC，即 FD∥BC，则四边 形 BCFD 是平行四边形． （2）在 Rt△ABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题； 【解答】（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°． 在等边△ABD 中，∠BAD=60°， ∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E 为 AB 的中点， ∴AE=BE． 又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC． 在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为 AB 的中点， ∴CE= AB，BE= AB． ∴CE=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠BCE=∠EBC=60°． 又∵△AEF≌△BEC， ∴∠AFE=∠BCE=60°． 又∵∠D=60°， ∴∠AFE=∠D=60°． ∴FC∥BD． 又∵∠BAD=∠ABC=60°， ∴AD∥BC，即 FD∥BC． ∴四边形 BCFD 是平行四边形． （2）解：在 Rt△ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6， ∴BC= AB=3，AC= BC=3 ， ∴S 平行四边形 BCFD=3× =9 ．