河南省中考数学试题解析

河南省中考数学试题解析

‎2017年河南省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列各数中比1大的数是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎2．（3分）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（　　）‎ A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015‎ ‎3．（3分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）解分式方程﹣2=，去分母得（　　）‎ A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3‎ ‎5．（3分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分 ‎6．（3分）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）‎ A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2‎ ‎8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）‎ A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）‎ ‎10．（3分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）计算：23﹣=　 　．‎ ‎12．（3分）不等式组的解集是　 　．‎ ‎13．（3分）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小关系为　 　．‎ ‎14．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8个小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．‎ ‎17．（9分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．‎ ‎ 调查结果统计表 组别 分组（单位：元）‎ 人数 A ‎0≤x＜30‎ ‎4‎ B ‎30≤x＜60‎ ‎16‎ C ‎60≤x＜90‎ a D ‎90≤x＜120‎ b E x≥120‎ ‎2‎ 请根据以上图表，解答下列问题：‎ ‎（1）填空：这次被调查的同学共有　 　人，a+b=　 　，m=　 　；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；‎ ‎（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．‎ ‎18．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD=BF；‎ ‎（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．‎ ‎19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈‎ ‎，≈1.41）‎ ‎20．（9分）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．‎ ‎（1）填空：一次函数的解析式为　 　，反比例函数的解析式为　 　；‎ ‎（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．‎ ‎21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．‎ ‎（1）求这两种魔方的单价；‎ ‎（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．‎ ‎22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想 ‎ 图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；‎ ‎（2）探究证明 ‎ 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸 ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎23．（11分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎　‎ ‎2017年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2017•河南）下列各数中比1大的数是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案．‎ ‎【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•河南）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（　　）‎ A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】左视图是从左边看到的，据此求解．‎ ‎【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，‎ D不符合，‎ 故选D．‎ ‎【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•河南）解分式方程﹣2=，去分母得（　　）‎ A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3‎ ‎【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母x﹣1得到结果，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，‎ 去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3，‎ 故选A ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•河南）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分 ‎【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，‎ 故中位数为95分，‎ 数据95出现了3次，最多，‎ 故这组数据的众数是95分，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．‎ ‎【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•河南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）‎ A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．‎ ‎【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．‎ B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．‎ C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．‎ D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•河南）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，‎ ‎∴两个数字都是正数的概率是：=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）‎ A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）‎ ‎【分析】由已知条件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根据勾股定理得到OD′==，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AD′=AD=2，‎ AO=AB=1，‎ ‎∴OD′==，‎ ‎∵C′D′=2，C′D′∥AB，‎ ‎∴C′（2，），‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣‎ ‎【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接OO′，BO′，‎ ‎∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，‎ ‎∴∠OAO′=60°，‎ ‎∴△OAO′是等边三角形，‎ ‎∴∠AOO′=60°，‎ ‎∵∠AOB=120°，‎ ‎∴∠O′OB=60°，‎ ‎∴△OO′B是等边三角形，‎ ‎∴∠AO′B=120°，‎ ‎∵∠AO′B′=120°，‎ ‎∴∠B′O′B=120°，‎ ‎∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）（2017•河南）计算：23﹣=　6　．‎ ‎【分析】明确表示4的算术平方根，值为2．‎ ‎【解答】解：23﹣=8﹣2=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目，比较简单．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•河南）不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．‎ ‎【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分．‎ ‎【解答】解：‎ 解不等式①得：x≤2，‎ 解不等式②得：x＞﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，‎ 故答案为﹣1＜x≤2．‎ ‎【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2017•河南）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小关系为　m＜n　．‎ ‎【分析】由反比例函数y=﹣可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y随x的增大而增大，根据这个判定则可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，‎ ‎∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∵0＜1＜2，‎ ‎∴A、B两点均在第四象限，‎ ‎∴m＜n．‎ 故答案为m＜n．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2017•河南）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　12　．‎ ‎【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．‎ ‎【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，‎ 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，‎ 即BC=5，‎ 由于M是曲线部分的最低点，‎ ‎∴此时BP最小，‎ 即BP⊥AC，BP=4，‎ ‎∴由勾股定理可知：PC=3，‎ 由于图象的曲线部分是轴对称图形，‎ ‎∴PA=3，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∴△ABC的面积为：×4×6=12‎ 故答案为：12‎ ‎【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2017•河南）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　+或1　．‎ ‎【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①如图1，‎ 当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，‎ ‎∴BM=BC=+；‎ ‎②如图2，当∠MB′C=90°，‎ ‎∵∠A=90°，AB=AC，‎ ‎∴∠C=45°，‎ ‎∴△CMB′是等腰直角三角形，‎ ‎∴CM=MB′，‎ ‎∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，‎ ‎∴BM=B′M，‎ ‎∴CM=BM，‎ ‎∵BC=+1，‎ ‎∴CM+BM=BM+BM=+1，‎ ‎∴BM=1，‎ 综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，‎ 故答案为：+或1．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8个小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）（2017•河南）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．‎ ‎【分析】首先化简（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把x=+1，y=﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．‎ ‎【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）‎ ‎=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy ‎=9xy 当x=+1，y=﹣1时，‎ 原式=9（+1）（﹣1）‎ ‎=9×（2﹣1）‎ ‎=9×1‎ ‎=9‎ ‎【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．‎ ‎　‎ ‎17．（9分）（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．‎ ‎ 调查结果统计表 组别 分组（单位：元）‎ 人数 A ‎0≤x＜30‎ ‎4‎ B ‎30≤x＜60‎ ‎16‎ C ‎60≤x＜90‎ a D ‎90≤x＜120‎ b E x≥120‎ ‎2‎ 请根据以上图表，解答下列问题：‎ ‎（1）填空：这次被调查的同学共有　50　人，a+b=　28　，m=　8　；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；‎ ‎（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．‎ ‎【分析】（1）根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，利用百分比的意义求得b，然后求得a的值，m的值；‎ ‎（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；‎ ‎（3）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人），‎ 则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，‎ A组所占的百分比是=8%，则m=8．‎ a+b=8+20=28．‎ 故答案是：50，28，8；‎ ‎（2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×=144°；‎ ‎（3）每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数是1000×=560（人）．‎ ‎【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）（2017•河南）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD=BF；‎ ‎（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可；‎ ‎（2）求出AC=10，AD=6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDA=90°，‎ ‎∴BD⊥AC，∠BDC=90°，‎ ‎∵BF切⊙O于B，‎ ‎∴AB⊥BF，‎ ‎∵CF∥AB，‎ ‎∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC，‎ ‎∴∠ACB=∠FCB，‎ ‎∵BD⊥AC，BF⊥CF，‎ ‎∴BD=BF；‎ ‎（2）解：∵AB=10，AB=AC，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∵CD=4，‎ ‎∴AD=10﹣4=6，‎ 在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，‎ 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）‎ ‎【分析】如图作CE⊥AB于E．设AE=EC=x，则BE=x﹣5，在Rt△BCE中，根据tan53°=，可得=，求出x，再求出BC、AC，分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图作CE⊥AB于E．‎ 在Rt△ACE中，∵∠A=45°，‎ ‎∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，‎ 在Rt△BCE中，‎ ‎∵tan53°=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=20，‎ ‎∴AE=EC=20，‎ ‎∴AC=20=28.2，‎ BC==25，‎ ‎∴A船到C的时间≈=0.94小时，B船到C的时间==1小时，‎ ‎∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2017•河南）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．‎ ‎（1）填空：一次函数的解析式为　y=﹣x+4　，反比例函数的解析式为　y=　；‎ ‎（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．‎ ‎【分析】（1）先将B（3，1）代入反比例函数即可求出k的值，然后将A代入反比例函数即可求出m的，再根据B两点的坐标即可求出一次函数的解析式．‎ ‎（2）设P的坐标为（x，y），由于点P在直线AB上，从而可知PD=y，OD=x，由题意可知：1≤x≤3，从而可求出S的范围 ‎【解答】解：（1）将B（3，1）代入y=，‎ ‎∴k=3，‎ 将A（m，3）代入y=，‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴A（1，3），‎ 将A（1，3）代入代入y=﹣x+b，‎ ‎∴b=4，‎ ‎∴y=﹣x+4‎ ‎（2）设P（x，y），‎ 由（1）可知：1≤x≤3，‎ ‎∴PD=y=﹣x+4，OD=x，‎ ‎∴S=x（﹣x+4），‎ ‎∴由二次函数的图象可知：‎ S的取值范围为：≤S≤2‎ 故答案为：（1）y=﹣x+4；y=．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．‎ ‎（1）求这两种魔方的单价；‎ ‎（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．‎ ‎【分析】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）‎ ‎（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤‎ ‎50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据两种活动方案即可得出w活动一、w活动二关于m的函数关系式，再分别令w活动一＜w活动二、w活动一=w活动二和w活动一＞w活动二，解出m的取值范围，此题得解．‎ ‎（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）‎ ‎（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据两种活动方案即可得出w活动一、w活动二关于m的函数关系式，再分别令w活动一＜w活动二、w活动一=w活动二和w活动一＞w活动二，解出m的取值范围，此题得解．‎ ‎【解答】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）‎ 解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．‎ ‎（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，‎ 根据题意得：w活动一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600；‎ w活动二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500．‎ 当w活动一＜w活动二时，有10m+600＜﹣10m+1500，‎ 解得：m＜45；‎ 当w活动一=w活动二时，有10m+600=﹣10m+1500，‎ 解得：m=45；‎ 当w活动一＞w活动二时，有10m+600＞﹣10m+1500，‎ 解得：45＜m≤50．‎ 综上所述：当m＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．‎ ‎（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）‎ 解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A种魔方的单价为26元/个，B种魔方的单价为13元/个．‎ ‎（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，‎ 根据题意得：w活动一=26m×0.8+13（100﹣m）×0.4=15.6m+520；‎ w活动二=26m+13（100﹣m﹣m）=1300．‎ 当w活动一＜w活动二时，有15.6m+520＜1300，‎ 解得：m＜50；‎ 当w活动一=w活动二时，有15.6m+520=1300，‎ 解得：m=50；‎ 当w活动一＞w活动二时，有15.6m+520＞1300，‎ 不等式无解．‎ 综上所述：当0＜m＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时，选择两种活动费用相同．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出w活动一、w活动二关于m的函数关系式．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想 ‎ 图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM=PN　，位置关系是　PM⊥PN　；‎ ‎（2）探究证明 ‎ 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸 ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；‎ ‎（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．‎ 方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，‎ ‎∴PN∥BD，PN=BD，‎ ‎∵点P，M是CD，DE的中点，‎ ‎∴PM∥CE，PM=CE，‎ ‎∵AB=AC，AD=AE，‎ ‎∴BD=CE，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∵PN∥BD，‎ ‎∴∠DPN=∠ADC，‎ ‎∵PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM=∠DCA，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ADC+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，‎ ‎∴PM⊥PN，‎ 故答案为：PM=PN，PM⊥PN，‎ ‎（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，‎ ‎∵AB=AC，AD=AE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，‎ 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∴△PMN是等腰三角形，‎ 同（1）的方法得，PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM=∠DCE，‎ 同（1）的方法得，PN∥BD，‎ ‎∴∠PNC=∠DBC，‎ ‎∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC ‎=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC ‎=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ACB+∠ABC=90°，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∴△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴MN最大时，△PMN的面积最大，‎ ‎∴DE∥BC且DE在顶点A上面，‎ ‎∴MN最大=AM+AN，‎ 连接AM，AN，‎ 在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，‎ ‎∴AM=2，‎ 在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，‎ ‎∴MN最大=2+5=7，‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．‎ 方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，‎ ‎∴PM最大时，△PMN面积最大，‎ ‎∴点D在AB的延长线上，‎ ‎∴BD=AB+AD=14，‎ ‎∴PM=7，‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×72=‎ ‎【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大，是一道中考常考题．‎ ‎　‎ ‎23．（11分）（2017•河南）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；‎ ‎②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，‎ ‎∴0=﹣2+c，解得c=2，‎ ‎∴B（0，2），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，‎ ‎∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，‎ ‎∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，‎ ‎∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，‎ 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，‎ ‎∴BN=OM=m，‎ ‎∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，‎ ‎∴M（2.5，0）；‎ 当∠NBP=90°时，则有=，‎ ‎∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），‎ ‎∴BP==m，AP==（3﹣m），‎ ‎∴=，解得m=0（舍去）或m=，‎ ‎∴M（，0）；‎ 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；‎ ‎②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵M，P，N三点为“共谐点”，‎ ‎∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，‎ 当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；‎ 当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；‎ 当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；‎ 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．‎ ‎　‎