江苏省常州市中考数学试卷解析

江苏省常州市中考数学试卷解析

‎2015年江苏省常州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题2分，共16分）‎ ‎1．﹣3的绝对值是（　　）‎ ‎　 A．3 B． ﹣3 C． D． ‎ 考点： 绝对值．.‎ 分析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．‎ 解答： 解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．‎ 故选：A．‎ 点评： 考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（2分）（2015•常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎　 A．x＞2 B． x＜2 C． x≠﹣2 D． x≠2‎ 考点： 分式有意义的条件．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．‎ 解答： 解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，‎ 故选D．‎ 点评： 此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．‎ ‎　‎ ‎3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 轴对称图形．.‎ 分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．‎ 解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，故本选项正确；‎ C、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、不是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．‎ ‎　‎ ‎4．（2分）（2015•常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（　　）‎ ‎　 A．70° B． 60° C． 50° D． 40°‎ 考点： 平行线的性质；垂线．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．‎ 解答： 解：∵BC⊥AE，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 在Rt△ABC中，∠B=40°，‎ ‎∴∠A=90°﹣∠B=50°，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠ECD=∠A=50°，‎ 故选C．‎ 点评： 此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2分）（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　）‎ ‎　 A．AO=OD B． AO⊥OD C． AO=OC D． AO⊥AB 考点： 平行四边形的性质．.‎ 分析： 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．‎ 解答： 解：对角线不一定相等，A错误；‎ 对角线不一定互相垂直，B错误；‎ 对角线互相平分，C正确；‎ 对角线与边不一定垂直，D错误．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）（2015•常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（　　）‎ ‎　 A．a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞c＞b 考点： 实数大小比较．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．‎ 解答： 解：∵a==，b==，c==，且＜＜，‎ ‎∴＞＞，即a＞b＞c，‎ 故选A．‎ 点评： 此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）‎ ‎　 A．m=﹣1 B． m=3 C． m≤﹣1 D． m≥﹣1‎ 考点： 二次函数的性质．.‎ 分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．‎ 解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，‎ ‎∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，‎ ‎∴﹣≤1，‎ 解得m≥﹣1．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（　　）‎ ‎　 A．cm2 B． 8cm2 C． cm2 D． 16cm2‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）．.‎ 分析： 当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．‎ 解答： 解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，‎ ‎∵∠BAC=90°∠ACB=45°‎ ‎∴AB=AC=4cm，‎ ‎∴S△ABC=×4×4=8cm2．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题2分，共20分）‎ ‎9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1=　1　．‎ 考点： 负整数指数幂；零指数幂．.‎ 分析： 分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答： 解：（π﹣1）0+2﹣1‎ ‎=1+‎ ‎=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．‎ ‎　‎ ‎10．（2分）（2015•常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　6.96×105　．‎ 考点： 科学记数法—表示较大的数．.‎ 专题： 应用题．‎ 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．‎ 解答： 解：696 000=6.96×105．‎ 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎11．（2分）（2015•常州）分解因式：2x2﹣2y2=　2（x+y）（x﹣y）　．‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．.‎ 分析： 先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．‎ 解答： 解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．‎ 故答案为：2（x+y）（x﹣y）．‎ 点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎　‎ ‎12．（2分）（2015•常州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是　27π　．‎ 考点： 扇形面积的计算．.‎ 分析： 利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．‎ 解答： 解：设扇形的半径为r．‎ 则=6π，‎ 解得r=9，‎ ‎∴扇形的面积==27π．‎ 故答案为：27π．‎ 点评： 此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．‎ ‎　‎ ‎13．（2分）（2015•常州）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　6　．‎ 考点： 相似三角形的判定与性质．.‎ 分析： 由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．‎ 解答： 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD：DB=1：2，DE=2，‎ ‎∴，‎ 解得BC=6．‎ 故答案为：6．‎ 点评： 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2分）（2015•常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是　　．‎ 考点： 一元一次方程的解．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 把x=2代入方程计算即可求出a的值．‎ 解答： 解：把x=2代入方程得：3a=a+2，‎ 解得：a=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．‎ ‎　‎ ‎15．（2分）（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　（1，﹣2）　．‎ 考点： 二次函数的性质．.‎ 分析： 此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．‎ 解答： 解：∵y=﹣x2+2x﹣3‎ ‎=﹣（x2﹣2x+1）﹣2‎ ‎=﹣（x﹣1）2﹣2，‎ 故顶点的坐标是（1，﹣2）．‎ 故答案为（1，﹣2）．‎ 点评： 本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．‎ ‎　‎ ‎16．（2分）（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　（400，800）　．‎ 考点： 勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．.‎ 分析： 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．‎ 解答： 解：连接AC，‎ 由题意可得：AB=300m，BC=400m，‎ 在△AOD和△ACB中 ‎∵，‎ ‎∴△AOD≌△ACB（SAS），‎ ‎∴∠CAB=∠OAD，‎ ‎∵B、O在一条直线上，‎ ‎∴C，A，D也在一条直线上，‎ ‎∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，‎ ‎∴C点坐标为：（400，800）．‎ 故答案为：（400，800）．‎ 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2分）（2015•常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．‎ ‎4=2+2；　　　　　 12=5+7；‎ ‎6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7；‎ ‎8=3+5；　　　　 　16=3+13=5+11；‎ ‎10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11；‎ ‎…‎ 通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．‎ 考点： 规律型：数字的变化类．.‎ 分析： 根据以上等式得出规律进行解答即可．‎ 解答： 解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，‎ 故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和 点评： 此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．‎ ‎　‎ ‎18．（2分）（2015•常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是　　．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．.‎ 分析： 过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．‎ 解答： 解：‎ 过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，‎ 则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，‎ ‎∵点C为弧BD的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，‎ ‎∵CE⊥AB，CF⊥AD，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∵A、B、C、D四点共圆，‎ ‎∴∠D=∠CBE，‎ 在△CBE和△CDF中 ‎∴△CBE≌△CDF，‎ ‎∴BE=DF，‎ 在△AEC和△AFC中 ‎∴△AEC≌△AFC，‎ ‎∴AE=AF，‎ 设BE=DF=x，‎ ‎∵AB=3，AD=5，‎ ‎∴AE=AF=x+3，‎ ‎∴5=x+3+x，‎ 解得：x=1，‎ 即AE=4，‎ ‎∴AC==，‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，共84分）‎ ‎19．（6分）（2015•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．‎ 考点： 整式的混合运算—化简求值．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ 解答： 解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，‎ 当x=2时，原式=8+1=9．‎ 点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•常州）解方程和不等式组：‎ ‎（1）；　　　　　‎ ‎（2）．‎ 考点： 解分式方程；解一元一次不等式组．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．‎ 解答： 解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，‎ 解得：x=，‎ 经检验x=是分式方程的解；‎ ‎（2），‎ 由①得：x＞﹣2，‎ 由②得：x＜3，‎ 则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．‎ 点评： 此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：‎ ‎（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？‎ ‎（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；‎ ‎（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．‎ 考点： 频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．.‎ 分析： （1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；‎ ‎（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；‎ ‎（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．‎ 解答： 解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，‎ ‎∴本次调查共抽样了500名学生； ‎ ‎（2）1.5小时的人数为：500×2.4=120（人）‎ 如图所示：‎ ‎（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．‎ 点评： 此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2015•常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．‎ ‎（1）求甲第一个出场的概率；‎ ‎（2）求甲比乙先出场的概率．‎ 考点： 列表法与树状图法．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；‎ ‎（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答： 解：（1）画树状图如下：‎ 所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，‎ 则P（甲第一个出场）==；‎ ‎（2）甲比乙先出场的情况有3种，‎ 则P（甲比乙先出场）==．‎ 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2015•常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）求∠EAF的度数．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．.‎ 分析： （1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；‎ ‎（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．‎ 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，‎ ‎∵△BCE和△CDF都是正三角形，‎ ‎∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，‎ ‎∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，‎ 在△ABE和△FDA中，，‎ ‎∴△ABE≌△FDA（SAS），‎ ‎∴AE=AF；‎ ‎（2）解：∵△ABE≌△FDA，‎ ‎∴∠AEB=∠FAD，‎ ‎∵∠ABE=60°+60°=120°，‎ ‎∴∠AEB+∠BAE=60°，‎ ‎∴∠FAD+∠BAE=60°，‎ ‎∴∠EAF=120°﹣60°=60°．‎ 点评： 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2015•常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．‎ ‎（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？‎ 考点： 一次函数的应用．.‎ 分析： （1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；‎ ‎（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．‎ 解答： 解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，‎ ‎∴m=9，‎ ‎∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，‎ ‎∴（5﹣3）n+9=12.6，‎ 解得：n=1.8．‎ ‎∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．‎ ‎（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），‎ 乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）‎ ‎∵13.4＜16.2，‎ 故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．‎ 点评： 本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键 ‎　‎ ‎25．（8分）（2015•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．‎ ‎（1）若AD=2，求AB；‎ ‎（2）若AB+CD=2+2，求AB．‎ 考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．.‎ 分析： （1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；‎ ‎（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．‎ 解答： 解：（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，‎ ‎∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，‎ ‎∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，‎ ‎∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，‎ ‎△ADE与△BCF为等腰直角三角形，‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴AE=DE==，‎ ‎∵∠ABC=105°，‎ ‎∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，‎ ‎∴BE===，‎ ‎∴AB=；‎ ‎（2）设DE=x，则AE=x，BE===，‎ ‎∴BD==2x，‎ ‎∵∠BDF=60°，‎ ‎∴∠DBF=30°，‎ ‎∴DF==x，‎ ‎∴BF===，‎ ‎∴CF=，‎ ‎∵AB=AE+BE=，‎ CD=DF+CF=x，‎ AB+CD=2+2，‎ ‎∴AB=+1‎ 点评： 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2015•常州）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．‎ ‎（1）阅读填空 如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．‎ 理由：连接AH，EH．‎ ‎∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．‎ ‎∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°‎ ‎∴∠HAD+∠AHD=90°‎ ‎∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　△HDE　．‎ ‎∴，即DH2=AD×DE．‎ 又∵DE=DC ‎∴DH2=　AD×DC　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．‎ ‎（2）操作实践 平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．‎ 如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（3）解决问题 三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　矩形　（填写图形名称），再转化为等积的正方形．‎ 如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．‎ ‎（4）拓展探究 n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．‎ 如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．‎ 考点： 相似形综合题．.‎ 分析： （1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．‎ ‎（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．‎ ‎（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．‎ ‎（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．‎ 解答： 解：（1）如图①，连接AH，EH，，‎ ‎∵AE为直径，‎ ‎∴∠AHE=90°，‎ ‎∴∠HAE+∠HEA=90°．‎ ‎∵DH⊥AE，‎ ‎∴∠ADH=∠EDH=90°，‎ ‎∴∠HAD+∠AHD=90°，‎ ‎∴∠AHD=∠HED，‎ ‎∴△ADH∽△HDE．‎ ‎∴，‎ 即DH2=AD×DE．‎ 又∵DE=DC，‎ ‎∴DH2=AD×DC，‎ 即正方形DFGH与矩形ABCD等积．‎ ‎（2）如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，，‎ ‎∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，‎ ‎∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，‎ ‎∵AE为直径，‎ ‎∴∠AHE=90°，‎ ‎∴∠HAE+∠HEA=90°．‎ ‎∵DH⊥AE，‎ ‎∴∠ADH=∠EDH=90°，‎ ‎∴∠HAD+∠AHD=90°，‎ ‎∴∠AHD=∠HED，‎ ‎∴△ADH∽△HDE．‎ ‎∴，‎ 即DH2=AD×DE．‎ 又∵DE=DM，‎ ‎∴DH2=AD×DM，‎ 即正方形DFGH与矩形ABMN等积，‎ ‎∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．‎ ‎（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，，‎ ‎∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，‎ ‎∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，‎ ‎∵ME为直径，‎ ‎∴∠MHE=90°，‎ ‎∴∠HME+∠HEM=90°．‎ ‎∵DH⊥ME，‎ ‎∴∠MDH=∠EDH=90°，‎ ‎∴∠HMD+∠MHD=90°，‎ ‎∴∠MHD=∠HED，‎ ‎∴△MDH∽△HDE．‎ ‎∴，‎ 即DH2=MD×DE．‎ 又∵DE=DC，‎ ‎∴DH2=MD×DC，‎ ‎∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．‎ ‎（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，，‎ ‎△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：‎ ‎∵AG∥EH，‎ ‎∴，‎ ‎∴AG=2EH，‎ 又∵CF=2DF，‎ ‎∴CF•EH=DF•AG，‎ ‎∴S△CEF=S△ADF，‎ ‎∴S△CDI=S△AEI，‎ ‎∴S△BCE=S四边形ABCD，‎ 即△BCE与四边形ABCD等积．‎ 故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．‎ 点评： （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．‎ ‎（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2015•常州）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．‎ ‎（1）写出点A的坐标；‎ ‎（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．‎ 考点： 圆的综合题．.‎ 分析： （1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；‎ ‎（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；‎ ‎（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．‎ 解答： 解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，‎ 所以点A的坐标为（4，0）；‎ ‎（2）存在．‎ 理由：如图下图所示：‎ 将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，‎ ‎∴OB=4，‎ 由（1）可知OA=4，‎ 在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．‎ ‎∵△BOQ≌△AQP．‎ ‎∴QA=OB=4，BQ=PA．‎ ‎∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，‎ ‎∴PA=4﹣4．‎ ‎∴点P的坐标为（4，4﹣4）．‎ ‎（3）如下图所示：‎ ‎∵OP⊥OM，‎ ‎∴∠1+∠3=90°．‎ 又∵∠2+∠1=90°，‎ ‎∴∠2=∠3．‎ 又∵∠OAP=∠OAM=90°，‎ ‎∴△OAM∽△PAO．‎ ‎∴，‎ 设AP=m，则：，‎ ‎∴AM=．‎ 在Rt△OAP中，PO=，‎ ‎∴S1===，‎ 在Rt△OAM中，OM==，‎ ‎∴S2===，‎ ‎∴=+=1+=．‎ 点评： 本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和PA的长度是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2015•常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．‎ ‎（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；‎ ‎（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；‎ ‎（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．‎ 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．.‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；‎ ‎（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；‎ ‎（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．‎ 解答： 解：（1）k=4，S△PAB=15．‎ 提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，‎ 设AP与y轴交于点C，如图1，‎ 把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1），‎ 把点B（4，1）代入y=，得k=4．‎ 解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），‎ 则点A与点B关于原点对称，‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∴S△AOP=S△BOP，‎ ‎∴S△PAB=2S△AOP．‎ 设直线AP的解析式为y=mx+n，‎ 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，‎ 求得直线AP的解析式为y=x+3，‎ 则点C的坐标（0，3），OC=3，‎ ‎∴S△AOP=S△AOC+S△POC ‎=OC•AR+OC•PS ‎=×3×4+×3×1=，‎ ‎∴S△PAB=2S△AOP=15；‎ ‎（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．‎ 设直线PB的解析式为y=ax+b，‎ 把点P（1，4）、B（4，1）代入y=ax+b，得 ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线PB的解析式为y=﹣x+5．‎ 当y=0时，﹣x+5=0，‎ ‎∴x=5，点N（5，0）．‎ 同理可得M（﹣3，0），‎ ‎∴MH=1﹣（﹣3）=4，NH=5﹣1=4，‎ ‎∴MH=NH，‎ ‎∴PH垂直平分MN，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∴△PMN是等腰三角形；‎ ‎（3）∠PAQ=∠PBQ．‎ 理由如下：‎ 过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．‎ 可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有 ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1．‎ 当y=0时，x+﹣1=0，‎ 解得：x=c﹣4，‎ ‎∴D（c﹣4，0）．‎ 同理可得E（c+4，0），‎ ‎∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，‎ ‎∴DT=ET，‎ ‎∴QT垂直平分DE，‎ ‎∴QD=QE，‎ ‎∴∠QDE=∠QED．‎ ‎∵∠MDA=∠QDE，‎ ‎∴∠MDA=∠QED．‎ ‎∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．‎ ‎∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，‎ ‎∴∠PAQ=∠PBQ．‎ 点评： 本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．‎ ‎　‎