2018中考数学中考数学复习模块4圆之典型中考题讲解有详细答案

2018中考数学中考数学复习模块4圆之典型中考题讲解有详细答案

‎《中考数学复习模块4-圆》之典型中考题讲解 ‎1、（2017·金华） 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.‎ ‎(1)求证:AC平分∠DAO. ‎ ‎(2)若∠DAO=105°，∠E=30°. ①求∠OCE的度数. ②若⊙O的半径为2 ，求线段EF的长. ‎ ‎ ‎ ‎2、（2017浙江台州）．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．‎ ‎（1）求证：△APE是等腰直角三角形；‎ ‎（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．‎ ‎3、（2017山东枣庄）．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．‎ ‎（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎4、（2017山东聊城）．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．‎ ‎（1）求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：△PBD∽△DCA；‎ ‎（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．‎ ‎5、（2017山东东营）．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．‎ ‎（1）求证：DE⊥AC；‎ ‎（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．‎ ‎6、（2017山东潍坊）．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．‎ ‎（1）求证：EF为半圆O的切线；‎ ‎（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）‎ ‎7、（2017江苏无锡）．如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．‎ ‎8、（2017江苏盐城）．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．‎ ‎（1）求证：BC是⊙F的切线；‎ ‎（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；‎ ‎（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．‎ ‎9、（2017湖北襄阳）．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．‎ ‎10、（2017湖北恩施）．如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．‎ ‎（1）求证：BC平分∠ABP；‎ ‎（2）求证：PC2=PB•PE；‎ ‎（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径．‎ ‎11、（2017湖北随州）．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAC；‎ ‎（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎12、（2017湖北宜昌）．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．‎ ‎（1）求证：DE=OE；‎ ‎（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．‎ 答案：‎ ‎1、（1）解：∵直线与⊙O相切， ∴OC⊥CD； 又∵AD⊥CD, ∴AD//OC, ∴∠DAC=∠OCA; 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OAC; ∴AC平分∠DAO. （2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°, ∴∠EOC=∠DAO=105°; ∵∠E=30°, ∴∠OCE=45°. ②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG, ∵OC=2,∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2; ∵在RT△OGE中，∠E=30°， ∴GE=2, ‎ ‎∴EF=GE-FG=2-2.‎ ‎2、（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠C=∠ABC=45°，‎ ‎∴∠AEP=∠ABP=45°，‎ ‎∵PE是直径，‎ ‎∴∠PAB=90°，‎ ‎∴∠APE=∠AEP=45°，‎ ‎∴AP=AE，‎ ‎∴△PAE是等腰直角三角形．‎ ‎（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，‎ ‎∴PM=AN，‎ ‎∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，‎ ‎∴PC=PM，PB=PN，‎ ‎∴PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4．‎ ‎3、解：（1）BC与⊙O相切．‎ 证明：连接OD．‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD．‎ 又∵OD=OA，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA．‎ ‎∴∠CAD=∠ODA．‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．‎ 又∵BC过半径OD的外端点D，‎ ‎∴BC与⊙O相切．‎ ‎（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，‎ 根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，‎ 解得：x=2，即OD=OF=2，‎ ‎∴OB=2+2=4，‎ ‎∵Rt△ODB中，OD=OB，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴∠DOB=60°，‎ ‎∴S扇形AOB==，‎ 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣．‎ 故阴影部分的面积为2﹣．‎ ‎4、（1）证明：∵圆心O在BC上，‎ ‎∴BC是圆O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ 连接OD，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAC=2∠DAC，‎ ‎∵∠DOC=2∠DAC，‎ ‎∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，‎ ‎∵PD∥BC，‎ ‎∴OD⊥PD，‎ ‎∵OD为圆O的半径，‎ ‎∴PD是圆O的切线；‎ ‎（2）证明：∵PD∥BC，‎ ‎∴∠P=∠ABC，‎ ‎∵∠ABC=∠ADC，‎ ‎∴∠P=∠ADC，‎ ‎∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，‎ ‎∴∠PBD=∠ACD，‎ ‎∴△PBD∽△DCA；‎ ‎（3）解：∵△ABC为直角三角形，‎ ‎∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，‎ ‎∴BC=10，‎ ‎∵OD垂直平分BC，‎ ‎∴DB=DC，‎ ‎∵BC为圆O的直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ 在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100，‎ ‎∴DC=DB=5，‎ ‎∵△PBD∽△DCA，‎ ‎∴=，‎ 则PB===．‎ ‎5、（1）证明：∵OB=OD，‎ ‎∴∠ABC=∠ODB，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ ‎∴∠ODB=∠ACB，‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∵DE是⊙O的切线，OD是半径，‎ ‎∴DE⊥OD，‎ ‎∴DE⊥AC；‎ ‎（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，‎ ‎∴四边形ODEH是矩形，‎ ‎∴OD=EH，OH=DE．‎ 设AH=x．‎ ‎∵DE+AE=8，OD=10，‎ ‎∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．‎ 在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，‎ 解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．‎ ‎∴AH=8．‎ ‎∵OH⊥AF，‎ ‎∴AH=FH=AF，‎ ‎∴AF=2AH=2×8=16．‎ ‎6、（1）证明：连接OD，‎ ‎∵D为的中点，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠BAD=∠ADO，‎ ‎∴∠CAD=∠ADO，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∴EF为半圆O的切线；‎ ‎（2）解：连接OC与CD，‎ ‎∵DA=DF，‎ ‎∴∠BAD=∠F，‎ ‎∴∠BAD=∠F=∠CAD，‎ 又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，‎ ‎∴∠F=30°，∠BAC=60°，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴△AOC为等边三角形，‎ ‎∴∠AOC=60°，∠COB=120°，‎ ‎∵OD⊥EF，∠F=30°，‎ ‎∴∠DOF=60°，‎ 在Rt△ODF中，DF=6，‎ ‎∴OD=DF•tan30°=6，‎ 在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，‎ ‎∴DE=DA•sin30，EA=DA•cos30°=9，‎ ‎∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，‎ ‎∴CD∥AB，‎ 故S△ACD=S△COD，‎ ‎∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．‎ ‎7、解：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．‎ ‎∵EH∥AP，‎ ‎∴△ACP∽△ECH，‎ ‎∴===，‎ ‎∴CH=2n，EH=‎2m=6，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴PC=PD=n，‎ ‎∵PB∥HE，‎ ‎∴△DPB ∽△DHE，‎ ‎∴===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴P（1，0）．‎ ‎（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，‎ 连接OP，在Rt△OCP中，PC==2，‎ ‎∴CH=2PC=4，PH=6，‎ ‎∴E（9，6），‎ ‎∵抛物线的对称轴为CD，‎ ‎∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．‎ ‎8、（1）证明：连接EF，‎ ‎∵AE平分∠BAC，‎ ‎∴∠FAE=∠CAE，‎ ‎∵FA=FE，‎ ‎∴∠FAE=∠FEA，‎ ‎∴∠FEA=∠EAC，‎ ‎∴FE∥AC，‎ ‎∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；‎ ‎（2）解：连接FD，‎ 设⊙F的半径为r，‎ 则r2=（r﹣1）2+22，‎ 解得，r=，即⊙F的半径为；‎ ‎（3）解：AG=AD+2CD．‎ 证明：作FR⊥AD于R，‎ 则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，‎ ‎∴四边形RCEF是矩形，‎ ‎∴EF=RC=RD+CD，‎ ‎∵FR⊥AD，‎ ‎∴AR=RD，‎ ‎∴EF=RD+CD=AD+CD，‎ ‎∴AG=2FE=AD+2CD．‎ ‎9、（1）证明：连接OC，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OD，DC，‎ ‎∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，‎ ‎∴∠DAC=∠OAC，‎ ‎∵ED=1，DC=2，‎ ‎∴sin∠ECD=，‎ ‎∴∠ECD=30°，‎ ‎∴∠OCD=60°，‎ ‎∵OC=OD，‎ ‎∴△DOC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，‎ ‎∴l==π．‎ ‎10、解：（1）∵BE∥CD，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 又∵OB=OC，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；‎ ‎（2）如图，连接EC、AC，‎ ‎∵PC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PCD=90°，‎ 又∵BE∥DC，‎ ‎∴∠P=90°，‎ ‎∴∠1+∠4=90°，‎ ‎∵AB为⊙O直径，‎ ‎∴∠A+∠2=90°，‎ 又∠A=∠5，‎ ‎∴∠5+∠2=90°，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠5=∠4，‎ ‎∵∠P=∠P，‎ ‎∴△PBC∽△PCE，‎ 即PC2=PB•PE；‎ ‎（3）∵BE﹣BP=PC=4，‎ ‎∴BE=4+BP，‎ ‎∵PC2=PB•PE=PB•（PB+BE），‎ ‎∴42=PB•（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，‎ 解得：PB=2，‎ 则BE=4+PB=6，‎ ‎∴PE=PB+BE=8，‎ 作EF⊥CD于点F，‎ ‎∵∠P=∠PCF=90°，‎ ‎∴四边形PCFE为矩形，‎ ‎∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°，‎ ‎∵BE∥CD，‎ ‎∴DE=BC，‎ 在Rt△DEF和Rt△BCP中，‎ ‎∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），‎ ‎∴DF=BP=2，‎ 则CD=DF+CF=10，‎ ‎∴⊙O的半径为5．‎ ‎11、（1）证明：连接DE，OD．‎ ‎∵BC相切⊙O于点D，‎ ‎∴∠CDA=∠AED，‎ ‎∵AE为直径，‎ ‎∴∠ADE=90°，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ ‎∴∠DAO=∠CAD，‎ ‎∴AD平分∠BAC；‎ ‎（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，‎ ‎∴∠B=∠BAC=45°，‎ ‎∵BC相切⊙O于点D，‎ ‎∴∠ODB=90°，‎ ‎∴OD=BD，∴∠BOD=45°，‎ 设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，‎ ‎∴BC=AC=x+1，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴2（x+1）2=（x+x）2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴BD=OD=，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=﹣=1﹣．‎ ‎12、解：（1）如图，连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥CD，‎ ‎∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，‎ ‎∵DE=EC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴∠3=∠COD，‎ ‎∴DE=OE；‎ ‎（2）∵OD=OE，‎ ‎∴OD=DE=OE，‎ ‎∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，‎ ‎∴∠2=∠1=30°，‎ ‎∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，‎ ‎∴OA=OB=DE=EC，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠4=∠1，‎ ‎∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，‎ ‎∴△ABO≌△CDE，‎ ‎∴AB=CD，‎ ‎∴四边形A∴D是平行四边形，‎ ‎∴∠DAE=∠DOE=30°，‎ ‎∴∠1=∠DAE，‎ ‎∴CD=AD，‎ ‎∴▱ABCD是菱形．‎