全国中考数学试卷解析分类汇编专题解直角三角形

全国中考数学试卷解析分类汇编专题解直角三角形

‎2015年全国中考数学试卷解析分类汇编专题28+解直角三角形 一.选择题 ‎1．（2015•衡阳, 第12题3分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（　　）‎ ‎　 A． 50 B． 51 C． 50+1 D． 101‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析： 设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．‎ 解答： 解：设AG=x，‎ 在Rt△AEG中，‎ ‎∵tan∠AEG=，‎ ‎∴EG==x，‎ 在Rt△ACG中，‎ ‎∵tan∠ACG=，‎ ‎∴CG==x，‎ ‎∴x﹣x=100，‎ 解得：x=50．‎ 则AH=50+1（米）．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．‎ ‎2．（2015•聊城，第10题3分 57‎ ‎）湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎34米 B．‎ ‎38米 C．‎ ‎45米 D．‎ ‎50米 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析：‎ Rt△ADE中利用三角函数即可求得AE的长，则AB的长度即可求解．‎ 解答：‎ 解：过D作DE⊥AB于E，‎ ‎∴DE=BC=50米，‎ 在Rt△ADE中，AE=DE•tan41，5°≈50×0.88=44（米），‎ ‎∵CD=1米，‎ ‎∴BE=1米，‎ ‎∴AB=AE+BE=44+1=45（米），‎ ‎∴桥塔AB的高度为45米．‎ 点评：‎ 本题考查仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．‎ ‎3. （2015•温州第8题4分）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）‎ ‎　 A．y= B． y= C． y=2 D． y=3‎ 57‎ 考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．.‎ 分析： 由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．‎ 解答： 解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，‎ ‎∴∠DOC=∠EOC=45°，‎ ‎∵DE⊥OC，‎ ‎∴∠ODC=∠OEC=45°，‎ ‎∴CD=CE=OC=x，‎ ‎∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，‎ ‎∵∠DFE=∠GFH=120°，‎ ‎∴∠CEF=30°，‎ ‎∴CF=CE•tan30°=x，‎ ‎∴EF=2CF=x，‎ ‎∴S△DEF=DE•CF=x2，‎ ‎∵四边形FGMH是菱形，‎ ‎∴FG=MG=FE=x，‎ ‎∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，‎ ‎∴△FMG是等边三角形，‎ ‎∴S△FGH=x2，‎ ‎∴S菱形FGMH=x2，‎ ‎∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2．‎ 故选B．‎ 点评： 此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形是关键．‎ ‎4．（2015•甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5‎ 57‎ 考点： 等腰直角三角形；点到直线的距离．‎ 分析： 首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．‎ 解答： 解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，‎ ‎∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°，‎ ‎∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，‎ ‎∵sin∠ABD=，‎ ‎∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°‎ ‎=2•=2＞，‎ 所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．‎ ‎5.（2015•山东泰安,第14题3分）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　）‎ ‎　 A．20海里 B． 40海里 C． 海里 D． 海里 57‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： 作AM⊥BC于M．由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=30°．由BD∥CN，得出∠BCN=∠DBC=20°，那么∠ACB=∠ACN+∠BCN=30°=∠ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里．然后在直角△ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可．‎ 解答： 解：如图，作AM⊥BC于M．‎ 由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°，‎ 则∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=50°﹣20°=30°．‎ ‎∵BD∥CN，‎ ‎∴∠BCN=∠DBC=20°，‎ ‎∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=30°，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∵AM⊥BC于M，‎ ‎∴CM=BC=20海里．‎ 在直角△ACM中，∵∠AMC=90°，∠ACM=30°，‎ ‎∴AC===（海里）．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，难度适中．求出CM=BC=20海里是解题的关键．‎ ‎6．（2015•长沙，第11题3分）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（　　）‎ 57‎ ‎　 A． 米 B． 30sinα米 C． 30tanα米 D． 30cosα米 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析： 根据题意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．‎ 解答： 解：在Rt△ABO中，‎ ‎∵BO=30米，∠ABO为α，‎ ‎∴AO=BOtanα=30tanα（米）．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．‎ 二.填空题 ‎1．（3分）（2015•宁夏）（第16题）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为　2km　．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析：‎ 过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=AD=2km．‎ 解答：‎ 解：如图，过点A作AD⊥OB于D．‎ 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，‎ 57‎ ‎∴AD=OA=2km．‎ 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，‎ ‎∴BD=AD=2km，‎ ‎∴AB=AD=2km．‎ 即该船航行的距离（即AB的长）为2km．‎ 故答案为2km．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2.（2015•青海西宁第18题2分）某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为　189　m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析： 首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=56°，AB=62m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣62；在Rt△BCD中，可得BD=，即可得AB=AD﹣BD=CD﹣=62，继而求得答案．‎ 解答： 解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，‎ ‎∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∵AD=AB+BD，‎ 57‎ ‎∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），‎ ‎∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=，‎ ‎∴BD=，‎ ‎∴AB=AD﹣BD=CD﹣=62，‎ ‎∴CD≈189，（m）．‎ 答：蒲宁之珠的高度CD约为189，‎ 故答案为：189．‎ 点评： 本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎3.（2015•宁夏第16题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为　2km　．‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： 过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=AD=2km．‎ 解答： 解：如图，过点A作AD⊥OB于D．‎ 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，‎ ‎∴AD=OA=2km．‎ 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，‎ ‎∴BD=AD=2km，‎ ‎∴AB=AD=2km．‎ 即该船航行的距离（即AB的长）为2km．‎ 故答案为2km．‎ 点评： ‎ 57‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎4. （2015年重庆B第18题4分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=，点E、F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 如图作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF（AAS），∴BE=GF,BC=CG，∵在Rt△ABC中 ‎ ‎∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∠DAC=∠ACB=30°(内错角)，∵FG⊥AC，∴AF=2GF, ∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,‎ 设BE=x，在Rt△AFG中AG= ， ，解得 ‎ ‎∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=‎ 考点：三角形全等的性质、三角函数的应用.‎ 57‎ ‎5．（2015•营口，第14题3分）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为　24　cm2．‎ 考点： 正多边形和圆．‎ 分析： 根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．‎ 解答： 解：如图，‎ 连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．‎ 在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，‎ ‎∵OG=OA•cos 30°，‎ ‎∴OA===4，‎ ‎∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．‎ 故答案为：24．‎ 点评： 此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．‎ ‎6．（2015•营口，第17题3分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2，则菱形ACEF的面积为　12　．‎ 考点： 菱形的性质；圆周角定理；解直角三角形．‎ 专题： 新定义．‎ 57‎ 分析： 首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC=90°，∠ABC=90°，判断出A、B、C、D四点共圆，点G是圆心；然后求出∠BGD=90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可．‎ 解答： 解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，‎ ‎∵四边形ACEF是菱形，‎ ‎∴AE⊥CF，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ 又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，‎ ‎∴∠ACD=∠ABD=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°，‎ ‎∵∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，‎ ‎∴∠BGD=30°+60°=90°，‎ ‎∴△BGD是等腰直角三角形，‎ ‎∴BG=DG=，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∴，‎ ‎∴菱形ACEF的面积为：‎ ‎3‎ ‎=‎ 57‎ ‎=‎ 故答案为：12．‎ 点评： （1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．‎ ‎（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎（3）此题还考查了解直角三角形问题，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．‎ ‎7.（2015•山东德州,第16题4分）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度均为　7.2　m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析： 根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度．‎ 解答： 解：根据题意得：EF⊥AC，CD∥FE，‎ ‎∴四边形CDEF是矩形，‎ 已知底部B的仰角为45°即∠BEF=45°，‎ ‎∴∠EBF=45°，‎ ‎∴CD=EF=FB=38，‎ 在Rt△AEF中，‎ AF=EF•tan50°=38×1.19≈45.22‎ ‎∴AB=AF﹣BF=45.22﹣38≈7.2，‎ ‎∴旗杆的高约为7米．‎ 故答案为：7.2．‎ 57‎ 点评： 此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．‎ ‎8.（2015•四川巴中,第18题3分）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=　　．‎ 考点：‎ 锐角三角函数的定义．‎ 专题：‎ 网格型．‎ 分析：‎ 先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．‎ 解答：‎ 解：过点A作AD⊥OB垂足为D，‎ 如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，‎ 则tan∠AOB==．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．‎ ‎9．（2015•滨州,第14题4分）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为　24　．‎ 考点： 菱形的性质；解直角三角形．‎ 分析： 连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．‎ 解答： 解：连接BD，交AC与点O，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ 57‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 在Rt△AOB中，‎ ‎∵AB=15，sin∠BAC=，‎ ‎∴sin∠BAC==，‎ ‎∴BO=9，‎ ‎∴AB2=OB2+AO2，‎ ‎∴AO===12，‎ ‎∴AC=2AO=24，‎ 故答案为24．‎ 点评： 本题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．‎ ‎10．（2015•东营,第14题3分） 4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是　200+200　米．‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析： 在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．‎ 解答： 解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=200，‎ ‎∵CD⊥AB于点D．‎ ‎∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，‎ 57‎ ‎∴AD==200，‎ 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°‎ ‎∴DB=CD=200，‎ ‎∴AB=AD+DB=200+200，‎ 故答案为：200+200．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．‎ ‎　‎ ‎11. (2015年陕西省,13,3分)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为　27.8°　（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.‎ 分析：‎ 直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．‎ 解答：‎ 解：∵tan∠A==≈0.5283，‎ ‎∴∠A=27.8°，‎ 故答案为：27.8°．‎ 点评：‎ 本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．‎ ‎12. （2015江苏常州第16题2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_______________．‎ 57‎ 三.解答题 ‎1．（2015•湖北, 第22题6分）如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）sin∠ADC的值．‎ 考点： 解直角三角形．‎ 分析： （1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；‎ ‎（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．‎ 解答： 解：过点A作AE⊥BC于点E，‎ ‎∵cosC=，‎ ‎∴∠C=45°，‎ 在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，‎ ‎∴AE=CE=1，‎ 在Rt△ABE中，tanB=，即=，‎ ‎∴BE=3AE=3，‎ 57‎ ‎∴BC=BE+CE=4；‎ ‎（2）∵AD是△ABC的中线，‎ ‎∴CD=BC=2，‎ ‎∴DE=CD﹣CE=1，‎ ‎∵AE⊥BC，DE=AE，‎ ‎∴∠ADC=45°，‎ ‎∴sin∠ADC=．‎ 点评： 本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．‎ ‎2．（2015•安徽, 第18题8分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．‎ 解答： 解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，‎ 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．‎ ‎∵AB⊥AC，CD⊥AC，‎ ‎∴四边形ABEC为矩形．‎ ‎∴CE=AB=12m．‎ 在Rt△CBE中，cot∠CBE=，‎ ‎∴BE=CE•cot30°=12×=12．‎ 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，‎ 57‎ 得DE=BE=12．‎ ‎∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．‎ 答：楼房CD的高度约为32.4m．‎ 点评： 考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎3．（2015•鄂州, 第21题9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．‎ ‎（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）‎ ‎（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析： （1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别表示出EM、AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM=，代入求解即可；‎ ‎（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解．‎ 解答： 解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，‎ 设CN=x，‎ 在Rt△ECN中，‎ ‎∵∠ECN=45°，‎ ‎∴EN=CN=x，‎ ‎∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，‎ 57‎ ‎∵BD=5，‎ ‎∴AM=BF=5+x，‎ 在Rt△AEM中，‎ ‎∵∠EAM=30°‎ ‎∴=，‎ ‎∴x﹣1=（x+5），‎ 解得：x=4+3，‎ 即DF=（4+3）（米）；‎ ‎（2）由（1）得：‎ EF=x+0.7=4++0.7‎ ‎=4+3×1.7+0.7‎ ‎=9.8≈10（米）．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•海南，第22题9分）如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．‎ ‎（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；‎ ‎（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，≈1.41，≈2.45）‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析： （1）作OC⊥AB于C，根据方向角的定义得到∠AOC=45°，∠BOC=75°，由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°﹣∠AOC=45°，∠ABO=90°﹣∠BOC=15°；‎ 57‎ ‎（2）先解Rt△OAC，得出AC=OC=OA≈5.64海里，解Rt△OBC，求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里，那么AB=AC+BC≈26.6772海里，再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小时比较即可求解．‎ 解答： 解：（1）如图，作OC⊥AB于C，由题意得，∠AOC=45°，∠BOC=75°，‎ ‎∵∠ACO=∠BCO=90°，‎ ‎∴∠BAO=90°﹣∠AOC=90°﹣45°=45°，‎ ‎∠ABO=90°﹣∠BOC=90°﹣75°=15°；‎ ‎（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．理由如下：‎ ‎∵在Rt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=45°，OA=8海里，‎ ‎∴AC=OC=OA≈4×1.41=5.64海里．‎ ‎∵在Rt△OBC中，∠BCO=90°，∠BOC=75°，OC=4海里，‎ ‎∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里，‎ ‎∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里，‎ ‎∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，‎ ‎∴中国渔政船所需时间：26.6772÷28≈0.953小时＜1小时，‎ 故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•湘潭，第19题6分）“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1，≈1.73）‎ 57‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．. ‎ 分析：‎ 作AD⊥BD于点D，由题意得：∠ABC=30°，AD=100米，在Rt△ABD中，=tan∠ABC，求得BD的长后除以速度即可得到时间．‎ 解答：‎ 解：作AD⊥BD于点D，‎ 由题意得：∠ABC=30°，AD=100米，‎ 在Rt△ABD中，=tan∠ABC，‎ ‎∴BD===100米，‎ ‎∵飞行速度为10米每秒，‎ ‎∴飞行时间为100÷10=10≈17.3秒，‎ ‎∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．‎ ‎6．（2015•聊城，第24题10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．‎ ‎（1）求证：AB=BE；‎ ‎（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．‎ 考点：‎ 切线的性质；解直角三角形．.‎ 57‎ 分析：‎ ‎（1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；‎ ‎（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OD，‎ ‎∵PD切⊙O于点D，‎ ‎∴OD⊥PD，‎ ‎∵BE⊥PC，‎ ‎∴OD∥BE，‎ ‎∴ADO=∠E，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ADO，‎ ‎∴∠OAD=∠E，‎ ‎∴AB=BE；‎ ‎（2）解：有（1）知，OD∥BE，‎ ‎∴∠POD=∠B，‎ ‎∴cos∠POD=cosB=，‎ 在Rt△POD中，cos∠POD==，‎ ‎∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，‎ ‎∴，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴⊙O半径=3．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．‎ ‎7. （2015江苏常州第25题8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．‎ ‎⑴若AD＝2，求AB；‎ ‎⑵若AB＋CD＝2＋2，求AB．‎ 57‎ ‎8.（2015年四川省达州市中考，21,7分）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：‎ ‎（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；‎ ‎（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；‎ ‎（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；‎ 已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）‎ 57‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．. ‎ 分析：‎ 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．‎ 解答：‎ 解：设AH=x米，‎ 在RT△EHG中，∵∠EGH=45°，‎ ‎∴GH=EH=AE+AH=x+12，‎ ‎∵GF=CD=288米，‎ ‎∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300，‎ 在RT△AHF中，∵∠AFH=30°，‎ ‎∴AH=HF•tan∠AFH，即x=（x+300）•，‎ 解得x=150（+1）．‎ ‎∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411（米）‎ 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎9.(2015年四川省广元市中考，20,8分)某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．‎ ‎（1）求点D与点C的高度差DH；‎ ‎（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用．. ‎ 分析：‎ ‎（1）根据四级台阶高度相等，即可求得答案；‎ ‎（2）连接CD，可证明四边形ABCD为平行四边形，从而可得到AB∥CD且AB=CD，然后利用锐角三角函数的定义求得CD的长即可得出问题的答案．‎ 57‎ 解答：‎ 解：（1）DH=1.6×=1.2米 ‎（2）连接CD．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎∴AB∥CD且AB=CD．‎ ‎∴∠HDC=∠DAB=66.5°‎ Rt△HDC中，cos∠HDC=，‎ ‎∴CD==3（米）．‎ ‎∴l=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6（米）．‎ ‎∴所用不锈钢材料的长度约为4.6米．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是解直角三角形和平行四边形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．‎ ‎10.(2015年浙江省义乌市中考,20,8分)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。‎ ‎（1）求∠BPQ的度数；‎ ‎（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。‎ 备用数据：，‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；‎ ‎92）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．‎ 解答：解：延长PQ交直线AB于点E，‎ ‎（1）∠BPQ=90°﹣60°=30°；‎ ‎（2）设PE=x米．‎ 在直角△APE中，∠A=45°，‎ 57‎ 则AE=PE=x米；‎ ‎∵∠PBE=60°‎ ‎∴∠BPE=30°‎ 在直角△BPE中，BE=PE=x米，‎ ‎∵AB=AE﹣BE=6米，‎ 则x﹣x=6，‎ 解得：x=9+3．‎ 则BE=（3+3）米．‎ 在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．‎ ‎∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣（3+）=6+2≈9（米）．‎ 答：电线杆PQ的高度约9米．‎ 点评：本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．‎ ‎11.（2015年浙江舟,22，10分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架后，电脑转到位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，于点C，=12cm.‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）显示屏的顶部比原来升高了多少？‎ ‎（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度？‎ ‎【答案】解：（1）∵于点C，OA=OB=24，O’C=12，‎ 57‎ ‎∴.‎ ‎∴30°.‎ ‎（2）如答图，过点作交的延长线于点.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴显示屏的顶部比原来升高了 cm.‎ ‎（3）显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.理由如下：‎ 如答图，电脑显示屏’绕点按顺时针方向旋转度至处，∥.‎ ‎∵电脑显示屏’ 与水平线的夹角仍保持120°，‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴显示屏应绕点按顺时针方向旋转30°.‎ ‎【考点】解直角三角形的应用；线动旋转问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】（1）直接正弦函数定义和30度角的正弦函数值求解即可 ‎（2）过点作交的延长线于点，则显示屏的顶部比原来升高的距离就是，从而由求出即可求解.‎ ‎（3）根据旋转和平行的的性质即可得出结论.‎ ‎12．（2015•乌鲁木齐,第20题10分）如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 57‎ 分析：‎ 设楼EF的高为x米，由EG=EF﹣GF表示出EG，根据题意得到EF与AF垂直，DC与AF垂直，BA与AF垂直，BD与EF垂直，在直角三角形EGD中，利用锐角三角函数定义表示出DG，在直角三角形EGB中，利用锐角三角函数定义表示出BG，根据BG﹣DG表示出DB，即为CA，根据CA的长列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：设楼EF的高为x米，可得EG=EF﹣GF=（x﹣1.5）米，‎ 依题意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF（设垂足为G），‎ 在Rt△EGD中，DG==（x﹣1.5）米，在Rt△EGB中，BG=（x﹣1.5）米，‎ ‎∴CA=DB=BG﹣DG=（x﹣1.5）米，‎ ‎∵CA=12米，∴（x﹣1.5）=12，‎ 解得：x=6+1.5≈11.9，‎ 则楼EF的高度约为11.9米．‎ 点评：‎ 此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎13．（2015•云南,第19题6分）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 分析： 如图，过点C作CD⊥AB于点D，通过解直角△ACD和直角△BCD来求CD的长度．‎ 解答： 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，‎ 设CD=x．‎ ‎∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，‎ ‎∴AD==x．‎ 同理，在直角△BCD中，BD==x．‎ 又∵AB=30米，‎ ‎∴AD+BD=30米，即x+x=30．‎ 解得x=13．‎ 57‎ 答：河的宽度的13米．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用．关键把实际问题转化为数学问题加以计算．‎ ‎　‎ ‎14.（2015•山东莱芜,第20题9分）为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： 先解Rt△ADC，求出CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里，那么渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时．再解Rt△ADB，求出BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，那么BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据追及问题的等量关系列出方程（40﹣18）x=462﹣200，解方程求出x=11，由于11＜11，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响．‎ 解答： 解：由题意可知∠BAD=67.5°，∠CAD=36.9°，AC=350海里．[中~国教^#育出版网*@]‎ 在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，∠DAC=36.9°，AC=350海里，‎ ‎∴CD=AC•sin∠DAC≈350×0.6=210海里，AD==280海里．‎ ‎∴渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时．‎ 在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=67.5°，‎ ‎∴BD=AD•tan∠BAD≈280×2.4=672海里，‎ ‎∴BC=BD﹣CD≈672﹣210=462海里．‎ 设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据题意得 57‎ ‎（40﹣18）x=462﹣200，‎ 解得x=11，‎ ‎∵11＜11，‎ ‎∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间是解题的关键．‎ ‎15.（2015•四川巴中,第29题8分）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=80，进而可求出答案．‎ 解答：‎ 解：设AB=x，‎ 在Rt△ACB和Rt△ADB中，‎ ‎∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=80‎ ‎∴DB=x，AC=2x，BC==x，‎ ‎∵CD=BC﹣BD=80，‎ x﹣x=80，‎ ‎∴x=40（+1）≈109.2米．‎ 答：该大厦的高度是109.2米．‎ 点评：‎ 57‎ 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎16.（2015•四川成都,第17题8分）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.‎ 分析： 要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=AB=100m，解直角△CEB，根据正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°．‎ 解答： 解：在直角△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，‎ ‎∴BD=AB=100m，‎ 在直角△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，‎ ‎∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，‎ ‎∴BD+CE≈100+134=234m．‎ 答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．‎ ‎17．（2015•本溪，第22题12分）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 57‎ 分析： 过B作BE⊥CD交CD延长线于E，由∠CAN=45°，∠MAN=30°，得到∠CAB=15°，由∠CBD=60°，∠DBE=30°，得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20，解Rt△BCE，可求得CE，解Rt△DBE可求得DE，CE﹣DE即得到树高CD．‎ 解答： 解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，‎ ‎∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，‎ ‎∴∠CAB=15°‎ ‎∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，‎ ‎∴∠CAB=∠ACB=15°，‎ ‎∴AB=BC=20，‎ 在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，‎ ‎∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，‎ 在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，‎ ‎∴DE=BEtan∠DBE=10×，‎ ‎∴CD=CE﹣DE=≈11.5，‎ 答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．‎ 点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ 57‎ ‎18．（2015•营口，第22题12分）如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．‎ ‎（1）求CD两点的距离；‎ ‎（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．‎ ‎（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析： （1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，根据直角三角形的性质得出CG，再根据三角函数的定义即可得出CD的长；‎ ‎（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，根据三角函数表示出EH，在Rt△EHC中，根据正弦的定义求值即可．‎ 解答： 解：（1）过点C、D分别作CH⊥AB，DF⊥CH，垂足分别为H，F，‎ ‎∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴CG=BC=×（30×）=7.5，‎ ‎∵∠DAG=90°，‎ ‎∴四边形ADFG是矩形，‎ ‎∴GF=AD=1.5，‎ ‎∴CF=CG﹣GF=7.5﹣1.5=6，‎ 在Rt△CDF中，∠CFD=90°，‎ ‎∵∠DCF=53°，‎ 57‎ ‎∴COS∠DCF=，‎ ‎∴CD===10（海里）．‎ 答：CD两点的距离是10；‎ ‎（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，‎ 由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，‎ 过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，‎ ‎∴sin∠EDH=，‎ ‎∴EH=EDsin53°=3t×=t，‎ ‎∴在Rt△EHC中，sin∠ECD===．‎ 答：sin∠ECD=．‎ 点评： 考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．‎ ‎19.（2015•昆明第20题，6分）如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15cm，CD=20cm，AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析： 在RT△ABE中，根据正切函数可求得BE，在RT△DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED求解即可．‎ 解答： 解：由题意得：∠AEB=42°，∠DEC=45°，‎ 57‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴在RT△ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°，‎ ‎∵tan∠AEB=，‎ ‎∴BE=≈15÷0.90=，‎ 在RT△DEC中，∠CDE=90°，∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，‎ ‎∴ED=CD=20，‎ ‎∴BD=BE+ED=+20≈36（m）．‎ 答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎20.（2015•曲靖第21题3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．‎ ‎（1）求证：四边形OBEC是矩形；‎ ‎（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．‎ 考点： 菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形．.‎ 分析： （1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；‎ ‎（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积．‎ 解答： （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵BE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，‎ ‎∴四边形OBEC是矩形；‎ ‎（2）解：∵菱形ABCD的周长是4，‎ ‎∴AB=BC=AD=DC=，‎ ‎∵tanα=，‎ 57‎ ‎∴设CO=x，则BO=2x，‎ ‎∴x2+（2x）2=（）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴四边形OBEC的面积为：×2=4．‎ 点评： 此题主要考查了菱形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练利用菱形的性质是解题关键．‎ ‎21.（2015年重庆B第24题10分）24.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角，观测渔船N在俯角，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米.‎ ‎（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；‎ ‎（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：）‎ ‎【答案】20m；600立方米.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据Rt△PEM的三角函数得出ME的长度，根据MN=EM－EN得出答案；过点F作FM∥AD交AH于点M，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N，则四边形DFMA为平行四边形，则∠‎ 57‎ FMA=∠DAB，DF=AM=3m，根据题意得出tan∠H的值，根据Rt△FNH的三角函数得出NH的长度，根据Rt△FNM的三角函数得出MN的值，然后求出AH的长度，求出梯形的面积，得出需要填筑的土石方的体积，然后设原计划每天填x立方米，根据题意列出分式方程求出x的值.‎ 试题解析：(1)、在Rt△PEN中，EN=PE=30m 在Rt△PEM中， ∴‎ 答：两渔船M、N之间的距离为20米 ‎(2)、过点F作FM∥AD交AH于点M，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N 则四边形DFMA为平行四边形，，DF=AM=3m 由题意：，‎ 在RT△FNH中， 在RT△FNM中，m 故HM=HN-MN=36-6=30m ∴AH=AM+HM=3+30=33m 故需要填筑的土石方共 设原计划平均每天填筑，则原计划天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑 ‎ 解得：‎ 经检验：是原分式方程的解，且满足实际意义 答：该施工队原计划平均每天填筑600的土石方.‎ 考点：三角函数的应用、分式方程.‎ ‎22.（2015•四川凉山州第20题8分）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）‎ 57‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析： 根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度．‎ 解答： 解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，‎ ‎∴FD=EF=6米，‎ 在Rt△PEH中，∵tanβ==，‎ ‎∴BF==5，‎ ‎∴PG=BD=BF+FD=5+6，‎ 在RT△PCG中，∵tanβ=，‎ ‎∴CG=（5+6）•=5+2，‎ ‎∴CD=（6+2）米．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．‎ ‎23.（2015•四川攀枝花第21题8分）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．‎ ‎（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？‎ 57‎ ‎（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离． ‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： （1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；‎ ‎（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．‎ 解答： 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，‎ ‎∴∠BCO=90°．‎ 在Rt△BCO中，∵OB=120，‎ ‎∴BC=OB=60，‎ ‎∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）；‎ ‎（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．‎ 则OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，‎ ‎∴DE=90﹣3v．‎ ‎∵CE=60，CD2+DE2=CE2，‎ ‎∴（30）2+（90﹣3v）2=602，‎ ‎∴v=20或40，‎ ‎∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，‎ 当v=40km/h时，OE=3×40=120km．‎ 57‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的关键，本题难易程度适中．‎ ‎24.（2015•四川攀枝花第21题8分）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．‎ ‎（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？‎ ‎（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： （1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；‎ ‎（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（90﹣3v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．‎ 解答： 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，‎ ‎∴∠BCO=90°．‎ 在Rt△BCO中，∵OB=120，‎ ‎∴BC=OB=60，‎ ‎∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）；‎ ‎（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．‎ 则OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，‎ ‎∴DE=90﹣3v．‎ ‎∵CE=60，CD2+DE2=CE2，‎ ‎∴（30）2+（90﹣3v）2=602，‎ ‎∴v=20或40，‎ ‎∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，‎ 当v=40km/h时，OE=3×40=120km．‎ 57‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的关键，本题难易程度适中．‎ ‎25.（2015•四川遂宁第20题9分）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析： 先设AB=x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD=BD﹣BC=10，进而可求出答案．‎ 解答： 解：∵设AB=x米，‎ 在Rt△ACB和Rt△ADB中，‎ ‎∵∠D=30°，∠ACB=45°，CD=10，‎ ‎∴CB=x，AD=2x，BD==x，‎ ‎∵CD=BD﹣BC=10，‎ x﹣x=10，‎ ‎∴x=5（+1）≈13.7．‎ 答：该树高是13.7米．‎ 点评： 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎26．（10分）（2015•宁夏）（第26题）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1‎ 57‎ 绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．‎ ‎（1）计算A1C1的长；‎ ‎（2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB；‎ ‎（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；‎ ‎（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．‎ ‎（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）‎ 考点：‎ 几何变换综合题．‎ 专题：‎ 创新题型．‎ 分析：‎ ‎（1）在Rt△ABC中，由特殊锐角三角函数值，先求得BC的长，然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长；‎ ‎（2）利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，两直线平行进行判定即可；‎ ‎（3）两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积；‎ ‎（4）两个三角板重叠部分图形的面积=△CC1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积．‎ 解答：‎ 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，‎ 由特殊锐角三角函数可知：，‎ ‎∴BC=．‎ ‎∴B1C=‎ 在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，‎ 57‎ ‎∴．‎ ‎∴A1C1==．‎ ‎（2）∵∠ACM=30°，∠A=60°，‎ ‎∴∠BMC=90°．‎ ‎∴∠C1=∠BMC．‎ ‎∴B1C1∥AB．‎ ‎（3）如下图：‎ 由（1）可知：A1C1===3+‎ ‎∴△A1B1C1的面积==‎ ‎∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°‎ ‎∴∠MBC1=15°‎ 在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=（3+）（2﹣）=3﹣，‎ ‎∴Rt△BC1M的面积===3．‎ ‎∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3．‎ ‎（4）如下图：过点B1作B1E⊥BC，垂足为E．‎ 57‎ 由（1）可知：BC=，A1C1=，‎ ‎∵∠MCA=60°，∠A=60°，‎ ‎∴∠AMC=60°‎ ‎∴MC=AC=MA=a．‎ ‎∴C1M=C1A1﹣MC=．‎ ‎∵∠MCA=60°，‎ ‎∴∠C1A1B=30°，‎ ‎∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°‎ 在Rt△DC1M中，由特殊锐角三角函数可知：DC1=C1M•tan60°=a，‎ ‎∴三角形DC1M的面积=C1M•DC1=a2，‎ 在Rt△BB1C中，C1B=BC=，∠BCB1=15°，由特殊锐角三角函数可知：B1E=C1B•sin15°=，‎ 在Rt△FC1C中，C1C=，∠CC1F=30°，由特殊锐角三角函数可知：CF=CC1÷=．‎ ‎∴三角形FB1C的面积==．‎ 两个三角板重叠部分图形的面积=△A1C1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积=．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是灵活应用锐角函数求得相关线段的长度．‎ ‎27．（6分）（2015•黔南州）（第21题）如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.‎ 专题： 应用题．‎ 57‎ 分析： 需要拆除，理由为：根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．‎ 解答： 解：需要拆除，理由为：‎ ‎∵CB⊥AB，∠CAB=45°，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC=10米，‎ 在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i=：3，即∠CDB=30°，‎ ‎∴DC=2BC=20米，BD==10米，‎ ‎∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米，‎ ‎∵3+7.32=10.32＞10，‎ ‎∴需要拆除．‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度直角三角形的性质，坡角与坡度之间的关系，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2015•铜仁市）（第22题）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析：‎ 如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．‎ 解答：‎ 解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险 理由如下：如图所示．‎ 则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．‎ 57‎ ‎∴∠CAB=∠ABD，‎ ‎∴BC=AC=200海里．‎ 在Rt△ACD中，设CD=x海里，‎ 则AC=2x，AD===x，‎ 在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，‎ BD===3x，‎ 又∵BD=BC+CD，‎ ‎∴3x=200+x，‎ ‎∴x=100．‎ ‎∴AD=x=100≈173.2，‎ ‎∵173.2海里＞170海里，‎ ‎∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．‎ ‎29．（2015•甘肃天水，第20题，9分）2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 分析： 首先过C作CD⊥AB，设CD=x米，则DB=CD=x米，AD=CD=x米，再根据AB相距2米可得方程x﹣x=2，再解即可．‎ 解答： 解：过C作CD⊥AB，‎ 设CD=x米，‎ ‎∵∠ABE=45°，‎ 57‎ ‎∴∠CBD=45°，‎ ‎∴DB=CD=x米，‎ ‎∵∠CAD=30°，‎ ‎∴AD=CD=x米，‎ ‎∵AB相距2米，‎ ‎∴x﹣x=2，‎ 解得：x=．‎ 答：命所在点C与探测面的距离是米．‎ 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是正确分析出CD、AD、BD的关系．‎ ‎　‎ ‎30．（2015•湖南湘西州，第25题，12分）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．‎ ‎（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？‎ ‎（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： （1）过点A作AD⊥OD于点D，可求得AD的长为60km，由60＞50可知，不会受到台风影响；‎ 57‎ ‎（2）过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．‎ 解答： 解：（1）作AD⊥OC，‎ ‎∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60km，‎ ‎∴AD=DO=60÷=60km，‎ ‎∵60＞50，‎ ‎∴A市不会受到此台风的影响；‎ ‎（2）作BG⊥OC于G，‎ ‎∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，‎ ‎∴BG=OB=40km，‎ ‎∵40＜50，‎ ‎∴会受到影响，‎ 如图：BE=BF=50km，‎ ‎∴EG==30km，‎ ‎∴EF=2EG=60km，‎ ‎∵风速为40km/h，‎ ‎∴60÷40=1.5小时，‎ ‎∴影响时间约为1.5小时．‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎31．（2015•江苏镇江，第24题，6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．‎ 57‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析： 作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．‎ 解答： 解：作AD⊥BC于D，‎ ‎∵∠EAB=30°，AE∥BF，‎ ‎∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，‎ ‎∴∠ABD=45°，又AB=60，‎ ‎∴AD=BD=30，‎ ‎∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠C=60°，‎ 在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，‎ 则tanC=，‎ ‎∴CD==10，‎ ‎∴BC=30+10．‎ 故该船与B港口之间的距离CB的长为30+10海里．‎ 点评： 本题考查的是解直角三角形的知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、选择正确的三角函数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎32.（2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第19 题6分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 57‎ 分析：‎ 过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AE=CD，再解Rt△ABE，求出BE的长，然后根据BC=AD﹣BE即可得到这栋楼的高度．‎ 解答：‎ 解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎∵∠CAD=30°，AD=420米，‎ ‎∴CD=AD•tan30°=420×=140（米），‎ ‎∴AE=CD=140米．‎ 在Rt△ABE中，‎ ‎∵∠BAE=30°，AE=140米，‎ ‎∴BE=AE•tan30°=140×=140（米），‎ ‎∴BC=AD﹣BE=420﹣140=280（米），‎ 答：这栋楼的高度为280米．‎ 点评：‎ 本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．‎ ‎　‎ ‎33.（2015•恩施州第20题8分）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 分析：‎ 过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．‎ 解答：‎ 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，‎ 57‎ AB=20×1=20（海里），‎ ‎∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，‎ ‎∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，‎ ‎∴∠C=∠CAB，‎ ‎∴BC=BA=20（海里），‎ ‎∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，‎ ‎∴CD=BC•sin∠CBD=≈17（海里）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎34.（2015•黄石第22题，8分）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）‎ ‎（1）求AE的长；‎ ‎（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 分析：‎ ‎（1）先求得∠ABE和AEB，利用等腰直角三角形即可求得AE；‎ ‎（2）在RT△ADE中，利用sin∠EAD=，求得ED的长，即可求得这面旗到达旗杆顶端需要的时间．‎ 解答：‎ 解：（1）∵BG∥CD，‎ ‎∴∠GBA=∠BAC=30°，‎ 又∵∠GBE=15°，‎ ‎∴∠ABE=45°，‎ ‎∵∠EAD=60°，‎ ‎∴∠BAE=90°，‎ ‎∴∠AEB=45°，‎ ‎∴AB=AE=10，‎ 故AE的长为10米．‎ 57‎ ‎（2）在RT△ADE中，sin∠EAD=，‎ ‎∴DE=10×=15，‎ 又∵DF=1，‎ ‎∴FE=14，‎ ‎∴时间t==28（秒）．‎ 故旗子到达旗杆顶端需要28秒．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，此类问题的解决关键是建立数学建模，把实际问题转化成数学问题，利用数学知识解决．‎ ‎35．（2015•青岛,第19题6分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）‎ ‎（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．‎ 解答：‎ 解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，‎ 由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，‎ 在Rt△ADB中，∠ABD=45°，‎ ‎∴DB=x，‎ 在Rt△ADC中，∠ACD=35°，‎ ‎∴tan∠ACD=，‎ ‎∴=，‎ 解得，x≈233m．‎ 57‎ 点评：‎ 本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．‎ ‎36.（2015•烟台,第22题9分）‎ 如图1，滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯。该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，，且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为，AB=1.5米，CD=1米。为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍旋转，叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？(利用科学计算器可求得，，，结果保留两位小数)‎ 考点：‎ 解直角三角形 分析：‎ 解直角△ABC求出线段AC的长度，再解直角△DEG求出线段DG的长，进而求出DF的长，即可求出电线杆的长为DF+CD+AC+1.5‎ 解答：‎ ‎【解】在Rt△ACB中，AC=cos∠CAB·AB，∴AB的倾斜角为43°，AB=1.5‎ ‎∴AC=0.7314×1.5=1.0971，过点E作EG⊥OF，又∵∠CDE=60°．‎ ‎∴DG= cos∠CDE·DE= cos60°×1.8=0.5×1.8=0.9,（米），‎ 57‎ ‎∴DF=6-0.9=5.1（米），‎ ‎∴OF=DF+CD+AC+1.5=5.1+1+1.0971+1.5=7.6971≈7.70（米）‎ 答：灯杆OF至少要7.70米．‎ 点评：‎ 本题中从实际生活在实例引入直角三角形，然后应用解直角三角形的知识求解，符合数学生活化的理念，在数学解法中构建直角三角形是前提，选准锐角三角函数是关键。‎ ‎37. （2015•江苏南通，第20题8分）如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．‎ ‎ ‎ 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 过P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AC与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出CB的长，由AC+CB求出AB的长即可．‎ 解答： 解：过P作PC⊥AB于点C，‎ 在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，‎ ‎∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），‎ 在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，‎ ‎∴BC=PC•tan60°=40（海里），‎ 则AB=AC+BC=（40+40）海里．‎ 57‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．‎ ‎38. （2015•江苏宿迁，第22题6分）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）‎ 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.‎ 专题： 应用题．‎ 分析： 由ED与BC都和AC垂直，得到ED与BC平行，得到三角形AED与三角形ABC相似，由相似得比例，在直角三角形AED中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形BDC中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．‎ 解答： 解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，‎ ‎∴ED∥BC，‎ ‎∴△AED∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ 在Rt△AED中，DE=12米，∠A=22°，‎ ‎∴tan22°=，即AD==30米，‎ 在Rt△BDC中，tan∠BDC=，即tan38.5°==0.8①，‎ ‎∵tan22°===0.4②，‎ 联立①②得：BC=24米．‎ 点评： 此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．‎ ‎39. （2015•江苏泰州，第23题10分）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．‎ ‎（1）求斜坡AB的水平宽度BC；‎ 57‎ ‎（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）‎ 考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.‎ 分析： （1）根据坡度定义直接解答即可；‎ ‎（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据=，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．‎ 解答： 解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，‎ ‎∴BC=4×2=8m．‎ ‎（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．‎ ‎∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，‎ ‎∴∠GDH=∠SBH，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DG=EF=2m，‎ ‎∴GH=1m，‎ ‎∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，‎ 设HS=xm，则BS=2xm，‎ ‎∴x2+（2x）2=52，‎ ‎∴x=m，‎ ‎∴DS=+=2m≈4.5m．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义和勾股定理是解题的关键．‎ ‎40. （2015•江苏盐城，第25题10分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）‎ ‎（1）求楼房的高度约为多少米？‎ ‎（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．‎ 57‎ 考点： 解直角三角形的应用．‎ 分析： （1）在Rt△ABE中，由tan60°==，即可求出AB=10•tan60°=17.3米；‎ ‎（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．‎ 解答： 解：（1）当α=60°时，在Rt△ABE中，‎ ‎∵tan60°==，‎ ‎∴AB=10•tan60°=10≈10×1.73=17.3米．‎ 即楼房的高度约为17.3米；‎ ‎（2）当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：‎ 假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．‎ ‎∵∠BFA=45°，‎ ‎∴tan45°==1，‎ 此时的影长AF=AB=17.3米，‎ ‎∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17.2=0.1米，‎ ‎∴CH=CF=0.1米，‎ ‎∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，‎ ‎∴小猫仍可以晒到太阳．‎ 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． ‎ 57‎