苏州市中考数学试卷及答案

苏州市中考数学试卷及答案

‎2015年苏州市初中毕业暨升学考试试卷 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．‎ ‎1．2的相反数是 A．2 B． C．-2 D．-‎ ‎2．有一组数据：3，5，5，6，7，这组数据的众数为 A．3 B．5 C．6 D．7‎ ‎3．月球的半径约为1 738 000m，1 738 000这个数用科学记数法可表示为 A．1.738×106 B．1.738×107 C．0.1738×107 D．17.38×105‎ ‎4．若，则有 A．0＜m＜1 B．-1＜m＜0 C．-2＜m＜-1 D．-3＜m＜-2‎ ‎5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：‎ 通话时间x/min ‎0＜x≤5‎ ‎5＜x≤10‎ ‎10＜x≤15‎ ‎15＜x≤20‎ 频数（通话次数）‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎9‎ ‎5‎ 则通话时间不超过15min的频率为 A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9 ‎ ‎6．若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为 A．0 B．-2 C． 2 D．-6‎ ‎7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 A．35° B．45° C．55° D．60°‎ ‎（第7题）‎ ‎8．若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为 A． B． C． D．‎ ‎9．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ‎（第9题）‎ ‎（第10题）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 A．km B．km C．km D．km 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．‎ ‎11．计算：= ▲ ．‎ ‎12．如图，直线a∥b，∠1=125°，则∠2的度数为 ▲ °．‎ ‎（第12题）‎ ‎（第13题）‎ ‎13．某学校在“你最喜爱的球类运动”‎ 调查中，随机调查了若干名学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图．已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数少6人，则该校被调查的学生总人数为 ▲ 名．‎ ‎14．因式分解：= ▲ ．‎ ‎15．如图，转盘中8个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向大于6的数的概率为 ▲ ．‎ ‎（第15题）‎ ‎16．若，则的值为 ▲ ．‎ ‎（第17题）‎ ‎（第18题）‎ ‎17．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为 ▲ ．‎ ‎18．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．‎ ‎19．（本题满分5分）‎ 计算：．‎ ‎20．（本题满分5分）‎ 解不等式组：‎ ‎21．（本题满分6分）‎ 先化简，再求值：，其中．‎ ‎22．（本题满分6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？‎ ‎23．（本题满分8分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．‎ ‎（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ▲ ；‎ ‎（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．‎ ‎24．（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAC；‎ ‎（2）若BC=6，∠BAC＝50°，求、的长度之和（结果保留）．‎ ‎（第24题）‎ ‎25．（本题满分8分）如图，已知函数（x＞0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．‎ ‎（第25题）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）若AC=OD，求a、b的值；‎ ‎（2）若BC∥AE，求BC的长．‎ ‎26．（本题满分10分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．‎ ‎（1）求证：ED∥AC；‎ ‎（第26题）‎ ‎（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为 ‎，△ADC的面积为，且，求△ABC的面积．‎ ‎27．（本题满分10分）如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． ‎ ‎（1）∠ABC的度数为 ▲ °；‎ ‎（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎（第27题）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎28．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．‎ ‎（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 ▲ cm（用含a、b的代数式表示）；‎ ‎（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；‎ ‎（第28题）‎ ‎（图②）‎ ‎（图①）‎ ‎（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．‎ ‎2015年苏州市初中毕业暨升学考试 数学试题答案 一、选择题 ‎1．C 2．B 3．A 4．C 5．D ‎6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 二、填空题 ‎11． 12．55 13．60 14．‎ ‎15． 16．3 17．27 18．16‎ 三、解答题 ‎19.解：原式 ＝ 3+5-1 ＝ 7． ‎ ‎20.解：由，解得， ‎ 由，解得， ‎ ‎∴不等式组的解集是． ‎ ‎21.解：原式＝ ＝． ‎ 当时，原式＝． ‎ ‎22.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗． ‎ 根据题意，得． ‎ 解这个方程，得x=25．经检验，x=25是所列方程的解． ∴x+5=30． ‎ 答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗． ‎ ‎23.解：（1）． （2）用表格列出所有可能的结果： ‎ 第二次 第一次 红球1‎ 红球2‎ 白球 黑球 红球1‎ ‎（红球1，红球2）‎ ‎（红球1，白球）‎ ‎（红球1，黑球）‎ 红球2‎ ‎（红球2，红球1）‎ ‎（红球2，白球）‎ ‎（红球2，黑球）‎ 白球 ‎（白球，红球1）‎ ‎（白球，红球2）‎ ‎（白球，黑球）‎ 黑球 ‎（黑球，红球1）‎ ‎（黑球，红球2）‎ ‎（黑球，白球）‎ 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能． ‎ ‎∴P（两次都摸到红球）==． ‎ ‎24.证明：（1）由作图可知BD=CD． ‎ 在△ABD和△ACD中，‎ ‎∴△ABD≌△ACD（SSS）．‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． ‎ 解：（2）∵AB=AC，ÐBAC=50°，∴∠ABC＝∠ACB=65°． ‎ ‎∵BD= CD = BC，∴△BDC为等边三角形．‎ ‎∴∠DBC＝∠DCB=60°． ‎ ‎∴∠DBE＝∠DCF=55°． ‎ ‎∵BC=6，∴BD= CD =6．‎ ‎∴的长度=的长度=． ‎ ‎∴、的长度之和为． ‎ ‎25．解：（1）∵点B（2，2）在的图像上，‎ ‎∴k=4，． ‎ ‎∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为（0，2），OD=2． ‎ ‎∵AC⊥x轴，AC=OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为3． ‎ ‎∵点A在的图像上，∴A点的坐标为（，3）．‎ ‎∵一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎（2）设A点的坐标为（m，），则C点的坐标为（m，0）．‎ ‎∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形BCED为平行四边形． ‎ ‎∴CE= BD=2． ‎ ‎∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC． ‎ ‎∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=，‎ 在Rt△ACE中，tan∠AEC=，‎ ‎∴，解得m=1． ‎ ‎∴C点的坐标为（1，0），BC=． ‎ ‎26．证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠BAD =∠DAC． ‎ ‎∵∠E=∠BAD，∴∠E =∠DAC． ‎ ‎∵BE∥AD，∴∠E =∠EDA．‎ ‎∴∠EDA =∠DAC． ‎ ‎∴ED∥AC． ‎ 解：（2）∵BE∥AD，∴∠EBD =∠ADC． ‎ ‎∵∠E =∠DAC， ‎ ‎∴△EBD∽△ADC，且相似比． ‎ ‎∴，即． ‎ ‎∵，∴，即． ‎ ‎∴． ‎ ‎∵，∴． ‎ ‎27．解：（1）45． ‎ ‎ 理由如下：令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）．‎ 令y=0，则，解得，．‎ ‎∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，‎ ‎∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m．‎ ‎∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．‎ ‎（2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，‎ 由题意得，抛物线的对称轴为． ‎ 设点P坐标为（，n）．‎ ‎∵PA= PC， ∴PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2．‎ ‎∴． ‎ 解得．∴P点的坐标为． ‎ 解法二：连接PB．‎ 由题意得，抛物线的对称轴为． ‎ ‎∵P在对称轴l上，∴PA=PB．‎ ‎∵PA=PC，∴PB=PC．‎ ‎∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，‎ ‎∴P在BC的垂直平分线上． ‎ ‎∴P点即为对称轴与直线的交点．‎ ‎∴P点的坐标为． ‎ ‎（3）解法一：存在点Q满足题意．‎ ‎∵P点的坐标为，‎ ‎∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2‎ ‎=．‎ ‎∵AC2=，∴PA2+ PC2=AC2．∴∠APC＝90°． ‎ ‎∴△PAC是等腰直角三角形．‎ ‎∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，‎ ‎∴△QBC是等腰直角三角形． ‎ ‎∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）．‎ ①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，‎ 若PQ与x轴垂直，则，解得，PQ=．‎ 若PQ与x轴不垂直，‎ 则．‎ ‎∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当，即Q点的坐标为（，0）时， PQ的长度最小． ‎ ②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时，‎ 若PQ与y轴垂直，则，解得，PQ=．‎ 若PQ与y轴不垂直，‎ 则．‎ ‎∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小． ‎ 综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．‎ 解法二： 如图①，由（2）知P为△ABC的外接圆的圆心．‎ ‎∵∠APC 与∠ABC对应同一条弧，且∠ABC＝45°，‎ ‎∴∠APC＝2∠ABC＝90°． ‎ 下面解题步骤同解法一．‎ ‎28．解：（1）a+2b． ‎ ‎（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为cm，‎ 圆心O移动的距离为cm，‎ 由题意，得． ① ‎ ‎∵点P移动2s到达B点，即点P用2s移动了bcm，‎ 点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了cm．‎ ‎∴． ② ‎ 由①②解得 ‎ ‎∵点P移动的速度与⊙O 移动的速度相等，‎ ‎∴⊙O 移动的速度为（cm/s）．‎ ‎∴这5s时间内圆心O移动的距离为5×4=20（cm）．‎ ‎（3）存在这种情形．‎ 解法一：设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，‎ 由题意，得． ‎ 如图，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G．‎ 若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H．‎ 易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．‎ ‎∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．‎ ‎∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP． ‎ 设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，‎ 在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，‎ 即，解得．‎ ‎∴此时点P移动的距离为（cm）．‎ ‎∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴EO1=16cm．∴OO1=14cm． ‎ ‎①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，‎ ‎∴此时点P与⊙O移动的速度比为．‎ ‎∵，‎ ‎∴此时PD与⊙O1不可能相切． ‎ ②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），‎ ‎∴此时点P与⊙O移动的速度比为．‎ ‎∴此时PD与⊙O1恰好相切． ‎ 解法二：∵点P移动的距离为cm（见解法一），‎ OO1=14cm（见解法一），，‎ ‎∴⊙O应该移动的距离为（cm）．‎ ‎①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm≠18 cm，‎ ‎∴此时PD与⊙O1不可能相切． ‎ ②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×(20-4)-14=18（cm），‎ ‎∴此时PD与⊙O1恰好相切． ‎ 解法三：点P移动的距离为cm，（见解法一）‎ OO1=14cm，（见解法一）‎ 由可设点P的移动速度为5k cm/s，⊙O的移动速度为4k cm/s，‎ ‎∴点P移动的时间为（s）．‎ ‎①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为，‎ ‎∴此时PD与⊙O1不可能相切． ‎ ②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的时间为，‎ ‎∴此时PD与⊙O1恰好相切． ‎