湖北省恩施州中考数学试题解析

湖北省恩施州中考数学试题解析

湖北省恩施州2015年中考数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分，中每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上）‎ ‎1．﹣5的绝对值是（　　）‎ ‎　 A． ﹣5 B． ﹣ C． D． 5‎ 考点： 绝对值．.‎ 分析： 利用绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ 解答： 解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5，‎ 故选D．‎ 点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．恩施气候独特，土壤天然含硒，盛产茶叶，恩施富硒茶叶2013年总产量达64000吨，将64000用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　 A．64×103 B． 6.4×105 C． 6.4×104 D． 0.64×105‎ 考点： 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答： 解：64000=6.4×104，‎ 故选C．‎ 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•恩施州）如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（　　）‎ ‎　 A．20° B． 30° C． 40° D． 70°‎ 考点： 平行线的性质．.‎ 分析： 延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=70°，求出∠FDC=40°，根据三角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可．‎ 解答： 解：‎ 延长ED交BC于F，‎ ‎∵AB∥DE，∠ABC=70°，‎ ‎∴∠MFC=∠B=70°，‎ ‎∵∠CDE=140°，‎ ‎∴∠FDC=180°﹣140°=40°，‎ ‎∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•恩施州）函数y=+x﹣2的自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　 A．x≥2 B． x＞2 C． x≠2 D． x≤2‎ 考点： 函数自变量的取值范围．.‎ 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ 解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0，‎ 解得：x＞2．‎ 故选：B．‎ 点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•恩施州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　 A．4x3•2x2=8x6 B． a4+a3=a7 C． （﹣x2）5=﹣x10 D． （a﹣b）2=a2﹣b2‎ 考点： 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；‎ B、原式不能合并，错误；‎ C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；‎ D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．‎ 解答： 解：A、原式=8x5，错误；‎ B、原式不能合并，错误；‎ C、原式=﹣x10，正确；‎ D、原式=a2﹣2ab+b2，错误，‎ 故选C 点评： 此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•恩施州）某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（　　）‎ ‎　 A．240 B． 120 C． 80 D． 40‎ 考点： 条形统计图；扇形统计图．.‎ 分析： 根据A项的人数是80，所占的百分比是40%即可求得调查的总人数，然后李用总人数减去其它组的人数即可求解．‎ 解答： 解：调查的总人数是：80÷40%=200（人），‎ 则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是（　　）‎ ‎　 A．0 B． 2 C． 数 D． 学 考点： 专题：正方体相对两个面上的文字．.‎ 分析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．‎ 解答： 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，‎ ‎“数”相对的字是“1”；‎ ‎“学”相对的字是“2”；‎ ‎“5”相对的字是“0”．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•恩施州）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（　　）‎ ‎　 A．m=3 B． m＞3 C． m＜3 D． m≥3‎ 考点： 解一元一次不等式组．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．‎ 解答： 解：不等式组变形得：，‎ 由不等式组的解集为x＜3，‎ 得到m的范围为m≥3，‎ 故选D 点评： 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（　　）‎ ‎　 A．4 B． 7 C． 3 D． 12‎ 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.‎ 分析： 由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．‎ 解答： 解：∵DE：EA=3：4，‎ ‎∴DE：DA=3：7‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵EF=3，‎ ‎∴，‎ 解得：AB=7，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB=7．‎ 故选B．‎ 点评： 此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（　　）‎ ‎　 A．π B． 4π C． π D． π 考点： 扇形面积的计算．.‎ 分析： 首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．‎ 解答： 解：∵∠COB=2∠CDB=60°，‎ 又∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠OCB=30°，CE=DE，‎ ‎∴OE=OC=OB=2，OC=4．‎ ‎∴OE=BE，‎ 则在△OEC和△BED中，‎ ‎，‎ ‎∴△OEC≌△BED，‎ ‎∴S阴影=半圆﹣S扇形OCB=．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2015•恩施州）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为（　　）‎ ‎　 A．（a+b）元 B． （a+b）元 C． （b+a）元 D． （b+a）元 考点： 列代数式．.‎ 分析： 可设原售价是x元，根据降价a元后，再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程，用含a，b的代数式表示x即可求解．‎ 解答： 解：设原售价是x元，则 ‎（x﹣a）（1﹣20%）=b，‎ 解得x=a+b，‎ 故选A．‎ 点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：‎ ‎①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，‎ 其中正确结论是（　　）‎ ‎　 A．②④ B． ①④ C． ①③ D． ②③‎ 考点： 二次函数图象与系数的关系．.‎ 分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答： 解：∵抛物线的开口方向向下，‎ ‎∴a＜0；‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，‎ 故①正确 由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，‎ ‎∴2a﹣b=0，‎ 故②错误；‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，‎ ‎∴c＞0‎ 由图象可知：当x=1时y=0，‎ ‎∴a+b+c=0；‎ 故③错误；‎ 由图象可知：当x=﹣1时y＞0，‎ ‎∴点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，‎ 故④正确．‎ 故选B 点评： 此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）‎ ‎13．（3分）（2015•恩施州）4的平方根是　±2　．‎ 考点： 平方根．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．‎ 解答： 解：∵（±2）2=4，‎ ‎∴4的平方根是±2．‎ 故答案为：±2．‎ 点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•恩施州）因式分解：9bx2y﹣by3=　by（3x+y）（3x﹣y）　．‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式提取by，再利用平方差公式分解即可．‎ 解答： 解：原式=by（9x2﹣y2）=by（3x+y）（3x﹣y），‎ 故答案为：by（3x+y）（3x﹣y）‎ 点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　5π　．‎ 考点： 弧长的计算；旋转的性质．.‎ 分析： 根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．‎ 解答： 解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度即圆的周长，‎ 然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，‎ 则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π，‎ 故答案为：5π．‎ 点评： 本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是　15　．‎ 考点： 规律型：数字的变化类．.‎ 分析： 根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案．‎ 解答： 解：因为每个数n都连续出现n次，可得：‎ ‎1+2+3+4+…+x=119+1，‎ 解得：x=15，‎ 所以第119个数是15．‎ 故答案为：15．‎ 点评： 此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（8分）（2015•恩施州）先化简，再求值：•﹣，其中x=2﹣1．‎ 考点： 分式的化简求值．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ 解答： 解：原式=•﹣=﹣=﹣，‎ 当x=2﹣1时，原式=﹣=﹣．‎ 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2015•恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．‎ ‎（1）求证：AG=CE；‎ ‎（2）求证：AG⊥CE．‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．.‎ 专题： 证明题．‎ 分析： （1）由正方形的性质得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可；‎ ‎（2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．‎ 解答： （1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，‎ ‎∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，‎ ‎∴∠ABG=∠CBE，‎ 在△ABG和△CBE中，，‎ ‎∴△ABG≌△CBE（SAS），‎ ‎∴AG=CE；‎ ‎（2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，‎ ‎∴∠BAG=∠BCE，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠BAG+∠AMB=90°，‎ ‎∵∠AMB=∠CMN，‎ ‎∴∠BCE+∠CMN=90°，‎ ‎∴∠CNM=90°，‎ ‎∴AG⊥CE．‎ 点评： 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2015•恩施州）质地均匀的小正方体，六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．‎ ‎（1）求数字“1”出现的概率；‎ ‎（2）求两个数字之和为偶数的概率．‎ 考点： 列表法与树状图法．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）列表得出所有等可能的情况数，找出数字“1”出现的情况数，即可求出所求的概率；‎ ‎（2）找出数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率．‎ 解答： 解：（1）列表如下：‎ ‎ 1 2 3 4 5 6‎ ‎1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）‎ ‎2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）‎ ‎3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）‎ ‎4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）‎ ‎5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）‎ ‎6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）‎ 所有等可能的情况有36种，其中数字“1”出现的情况有11种，‎ 则P（数字“1”出现）=；‎ ‎（2）数字之和为偶数的情况有18种，‎ 则P（数字之和为偶数）==．‎ 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）‎ 考点： 解直角三角形的应用－方向角问题．.‎ 分析： 过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．‎ 解答： 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，‎ AB=20×1=20（海里），‎ ‎∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，‎ ‎∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，‎ ‎∴∠C=∠CAB，‎ ‎∴BC=BA=20（海里），‎ ‎∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，‎ ‎∴CD=BC•sin∠CBD=≈17（海里）．‎ 点评： 此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•恩施州）如图，已知点A、P在反比例函数y=（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB=4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．‎ ‎（1）求点A的坐标和k的值；‎ ‎（2）求的值．‎ 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.‎ 分析： （1）先由点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，将y=﹣1代入y=x﹣3，求出x=2，即B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4列出方程（﹣1﹣t）×2=4，求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y=，即可求出k的值；‎ ‎（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为，代入数据计算即可．‎ 解答： 解：（1）∵点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，‎ ‎∴当y=﹣1时，x﹣3=﹣1，解得x=2，‎ ‎∴B（2，﹣1）．‎ 设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB=﹣1﹣t．‎ ‎∵S△OAB=4，‎ ‎∴（﹣1﹣t）×2=4，‎ 解得t=﹣5，‎ ‎∴点A的坐标为（2，﹣5）．‎ ‎∵点A在反比例函数y=（k＜0）的图象上，‎ ‎∴﹣5=，解得k=﹣10；‎ ‎（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），‎ ‎∴Q（﹣m，n），‎ ‎∵点P在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，‎ ‎∴n=﹣，n=﹣m﹣3，‎ ‎∴mn=﹣10，m+n=﹣3，‎ ‎∴====﹣．‎ 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点A的坐标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到mn=﹣10，m+n=﹣3是解决第（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•恩施州）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：‎ 原料 型号 ‎ 甲种原料（千克）‎ ‎ 乙种原料（千克）‎ ‎ A产品（每件）‎ ‎ 9‎ ‎ 3‎ ‎ B产品（每件）‎ ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？‎ ‎（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？‎ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．.‎ 分析： （1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的做为不等量关系可列不等式组求解；‎ ‎（2）可以分别求出三种方案比较即可．‎ 解答： 解：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品 由题意得：‎ ‎，‎ 解得：30≤x≤32的整数．‎ ‎∴有三种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；‎ ‎（2）方法一：方案（一）A，30件，B，20件时，‎ ‎20×120+30×80=4800（元）．‎ 方案（二）A，31件，B，19件时，‎ ‎19×120+31×80=4760（元）．‎ 方案（三）A，32件，B，18件时，‎ ‎18×120+32×80=4720（元）．‎ 故方案（一）A，30件，B，20件利润最大．‎ 点评： 本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料360千克，乙种原料290千克，做为限制列出不等式组求解，然后判断B生产的越多，A少的时候获得利润最大，从而求得解．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．‎ ‎（1）求证：GC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．‎ 考点： 圆的综合题．.‎ 分析： （1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论；‎ ‎（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出结果；‎ ‎（3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．‎ 解答： （1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：‎ ‎∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，‎ ‎∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，‎ ‎∴四边形ODCE是矩形，‎ ‎∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，‎ ‎∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，‎ ‎∵∠GCD=∠CED，‎ ‎∴∠GCD+∠MCD=90°，‎ 即GC⊥OC，‎ ‎∴GC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3；‎ ‎（3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°，‎ ‎∴CE=DE•cos∠CED=3×=，‎ ‎∴CF=CE=．‎ 点评： 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；‎ ‎（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（4）在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 几何变换综合题．.‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到==，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；‎ ‎（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式；‎ ‎（3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；‎ ‎（4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，x2﹣x+5），则K（x，﹣x+5），则KP=﹣x2+x，根据三角形面积公式得到•（﹣x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（，）；再求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标．‎ 解答： 解：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，‎ ‎∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，‎ ‎∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，‎ ‎∵∠PBQ=90°，‎ ‎∴∠ABP=∠MBQ，‎ ‎∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，‎ ‎∴==，‎ 设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，‎ ‎∴==，‎ ‎∴PB•MQ=xy，‎ ‎∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，‎ ‎∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，‎ ‎∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，‎ ‎∴BM=5，‎ ‎∴BE=BM+ME=5+2=7，‎ ‎∴AD=7；‎ ‎（2）∵AB=BM，‎ ‎∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，‎ ‎∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，‎ ‎∵BQ2+MQ2=BM2，‎ ‎∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，‎ ‎∴BQ=7﹣3=4，‎ ‎∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM ‎=×（4+7）×4﹣×4×3‎ ‎=16；‎ 设直线AM的解析式为y=kx+b，‎ 把A（0，5），M（7，4）代入得，解得，‎ ‎∴直线AM的解析式为y=﹣x+5；‎ ‎（3）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，‎ ‎∴B（3，1），‎ 而A（0，5），D（7，5），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x+5；‎ ‎（4）存在．‎ 当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2，‎ 设P（x，x2﹣x+5），则K（x，﹣x+5），‎ ‎∴KP=﹣x+5﹣（x2﹣x+5）=﹣x2+x，‎ ‎∵S△PAM=，‎ ‎∴•（﹣x2+x）•7=，‎ 整理得7x2﹣46x+75，解得x1=3，x2=，此时P点坐标为（3，1）、（，），‎ 求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），‎ ‎∴AA′=5﹣=，‎ 把直线AM向上平移个单位得到l′，则A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，‎ 解方程组得或，此时P点坐标为（，）或（，），‎ 综上所述，点P的坐标为（3，1）、（，）、（，）、（，）．‎ 点评： 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数式的变形．‎ ‎　www.czsx.com.cn