中考数学模拟试卷七含解析1

中考数学模拟试卷七含解析1

江西省吉安市遂川县于田三中2016年中考数学模拟试卷（七）‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．下列计算结果为负数的是（　　）‎ A．﹣1+2 B．|﹣1| C． D．﹣2﹣1‎ ‎2．计算a5（﹣）2的结果是（　　）‎ A．﹣a3 B．a3 C．a7 D．a10‎ ‎3．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.51×109 B．5.1×109 C．5.1×108 D．0.51×107‎ ‎4．如图，直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数是（　　）‎ A．72° B．82° C．92° D．108°‎ ‎5．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交（如图），则不等式ax2+bx+c＞的解集是（　　）‎ A．1＜x＜4或x＜﹣2 B．1＜x＜4或﹣2＜x＜0‎ C．0＜x＜1或x＞4或﹣2＜x＜0 D．﹣2＜x＜1或x＞﹣4‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）‎ ‎7．化简求值：当a=﹣1时，﹣的结果为　　　　　　．‎ ‎8．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎9．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是　　　　　　．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是　　　　　　．‎ ‎11．如图，已知函数y=ax+2与y=bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则根据图象可得不等式ax＞bx﹣5的解集是　　　　　　．‎ ‎12．如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，正方形AnBnCnDn的面积为　　　　　　．（用含有n的式子表示，n为正整数）‎ ‎　‎ 三、解答题（共11小题，满分84分）‎ ‎13．先化简再求值：，其中x=﹣5．‎ ‎14．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．‎ ‎15．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．‎ ‎16．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？‎ ‎17．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量，B位于A的北偏东75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏东30°方向，AB=8km．‎ ‎（1）求景点B与C的距离；‎ ‎（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（本题结果保留根号）‎ ‎18．如图，已知△ABC，AB=6、AC=8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F．‎ ‎（1）如图①，若∠AEF=∠C，求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）如图②，若∠BAC=90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．‎ ‎19．某校社团活动开设的体育选修课有：篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生选修其中的一门，学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．‎ ‎（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）该班的其中某4个同学，1人选修篮球（A），2人选修足球（B），1人选修排球（C）．若要从这4人中选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线相交于点E，∠ADC=60°．‎ ‎（1）求证：△ADE是等腰三角形；‎ ‎（2）若AD=2，求BE的长．‎ ‎21．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，匀速开往对方所在地，图（1）表示甲、乙两车离A地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，图（2）表示甲、乙两车间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象．‎ ‎（1）A、B两地的距离为　　　　　　km， h的实际意义是　　　　　　；‎ ‎（2）求甲、乙两车离B地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数关系式及x的取值范围，并画出图象（不用列表，图象画在备用图中）；‎ ‎（3）丙车在乙车出发10分钟时从B地出发，匀速行驶，且比乙车提前20分钟到达A地，那么，丙车追上乙车多长时间后与甲车相遇？‎ ‎22．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．‎ ‎（1）当α=60°时（如图1），‎ ‎①判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎②求证：BD=AE；‎ ‎（2）当α=90°时（如图2），求的值．‎ ‎23．如图，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点H的坐标；‎ ‎（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年江西省吉安市遂川县于田三中中考数学模拟试卷（七）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．下列计算结果为负数的是（　　）‎ A．﹣1+2 B．|﹣1| C． D．﹣2﹣1‎ ‎【分析】先化简各项，再根据负数的定义，即可解答．‎ ‎【解答】解：A、﹣1+2=1，故错误；‎ B、|﹣1|=1，故错误；‎ C、=2，故错误；‎ D、﹣2﹣1=﹣，正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．‎ ‎　‎ ‎2．计算a5（﹣）2的结果是（　　）‎ A．﹣a3 B．a3 C．a7 D．a10‎ ‎【分析】首先计算分式的乘方，然后再相乘即可．‎ ‎【解答】解：原式=a5=a3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．‎ ‎　‎ ‎3．地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.51×109 B．5.1×109 C．5.1×108 D．0.51×107‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．‎ ‎【解答】解：510 000 000=5.1×108．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎　‎ ‎4．如图，直线a∥b，∠1=108°，则∠2的度数是（　　）‎ A．72° B．82° C．92° D．108°‎ ‎【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线a∥b，∠1=108°，‎ ‎∴∠1=∠3=108°．‎ ‎∵∠2+∠3=180°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣108°=72°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ ‎5．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；‎ B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．‎ C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交（如图），则不等式ax2+bx+c＞的解集是（　　）‎ A．1＜x＜4或x＜﹣2 B．1＜x＜4或﹣2＜x＜0‎ C．0＜x＜1或x＞4或﹣2＜x＜0 D．﹣2＜x＜1或x＞﹣4‎ ‎【分析】根据图象的上下位置直接写出不等式ax2+bx+c＞的解集．‎ ‎【解答】解：由图象可知，抛物线在双曲线上面的就是不等式ax2+bx+c＞的解集，‎ 即：﹣2＜x＜0或1＜x＜4，‎ 故选B，‎ ‎【点评】此题是二次函数和不等式题，主要考查二次函数的图象和双曲线的图象，解本题的关键是识别函数图象．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）‎ ‎7．化简求值：当a=﹣1时，﹣的结果为　　．‎ ‎【分析】原式中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再约分得到最简结果，将a的值代入化简后的式子中计算即可得到原式的值．‎ ‎【解答】解：﹣‎ ‎=﹣‎ ‎=，‎ 当a=﹣1时，原式==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；约分时分式的分子分母出现多项式应将多项式分解因式后再约分．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为　1　．‎ ‎【分析】连接AD，先证AC=AB，再证明AD=BD，得出，阴影部分的面积等于△ADC的面积，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：连接AD；如图所示：‎ ‎∵CA是⊙O的切线，‎ ‎∴AB⊥AC，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∵∠C=45°，‎ ‎∴∠B=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴AC=AB=2，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 即AD⊥BC，‎ ‎∴CD=BD，‎ ‎∴AD=BC=BD=CD，‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质和扇形面积的计算方法；证出阴影部分的面积=△ADC的面积是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是　50°　．‎ ‎【分析】由△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，根据旋转的性质得到∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，再根据三角形的内角和定理得到∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，由此可得到∠α的度数．‎ ‎【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，‎ ‎∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，‎ 而∠B=100°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，‎ ‎∴∠α=80°﹣30°=50°．‎ 故答案为：50°．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线的夹角定义旋转角；也考查了三角形的内角和定理．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是　（7，3）　．‎ ‎【分析】本题可结合平行四边形的性质，在坐标轴中找出相应点即可．‎ ‎【解答】解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．‎ 又因AB=CD=5，故可得C点横坐标为7．‎ 故答案为（7，3）．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的基本性质结合坐标轴，看清题意即可．‎ ‎　‎ ‎11．如图，已知函数y=ax+2与y=bx﹣3的图象交于点A（2，﹣1），则根据图象可得不等式ax＞bx﹣5的解集是　x＜2　．‎ ‎【分析】把所求不等式进行整理可得与函数表达式相关的形式，找到在交点的哪一边，相同自变量的值，y=ax+2的函数值大于y=bx﹣5的函数值即可．‎ ‎【解答】解：∵ax＞bx﹣5，‎ ‎∴ax+2＞bx﹣3，‎ 从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx﹣5的函数值，‎ ‎∴ax＞bx﹣5的解集是：x＜2．‎ ‎【点评】解决本题的关键是把所求的不等式整理为和所给函数相关的形式；两个函数图象进行比较，要从交点入手思考．‎ ‎　‎ ‎12．如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，正方形AnBnCnDn的面积为　5n　．（用含有n的式子表示，n为正整数）‎ ‎【分析】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．‎ ‎【解答】解：如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，‎ 新正方形A1B1C1D1的面积是5，‎ 从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25，‎ ‎…‎ 正方形AnBnCnDn的面积为5n．‎ 故答案为：5n．‎ ‎【点评】此题考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，此题难度不大．‎ ‎　‎ 三、解答题（共11小题，满分84分）‎ ‎13．先化简再求值：，其中x=﹣5．‎ ‎【分析】先把分式的分子、分母进行因式分解，再进行化简，最后把x=﹣5代入求值即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当x=﹣5时，原式=．‎ ‎【点评】此类题目比较简单，解答此题的关键是熟练掌握因式分解及分式的化简方法．‎ ‎　‎ ‎14．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．‎ ‎【分析】根据BE=CF，求出BC=EF，根据AAS推出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可．‎ ‎【解答】证明：∵BE=CF（已知），‎ ‎∴BE+EC=EC+CF，‎ 即BC=EF，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS），‎ ‎∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABC≌△DEF，注意：全等三角形的对应边相等．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．‎ ‎【分析】（1）首先根据角平分线性质与平行线性质证明∠ABD=∠CDB，再根据平行四边形性质证出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；‎ ‎（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，‎ ‎∴∠ABE=∠ABD，‎ ‎∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，‎ ‎∴∠CDF=∠CDB，‎ ‎∵在平行四边形ABCD中，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠ABD=∠CDB，‎ ‎∴∠CDF=∠ABE，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB，∠A=∠C，‎ 即，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（ASA）；‎ ‎（2）∵△ABE≌△CDF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴DE∥BF，DE=BF，‎ ‎∴四边形DFBE是平行四边形，‎ ‎∵AB=DB，BE平分∠ABD，‎ ‎∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．‎ ‎∴平行四边形DFBE是矩形．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．‎ ‎　‎ ‎16．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？‎ ‎【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可．‎ ‎【解答】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得：‎ ‎[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，‎ 解得x1=50，x2=80，‎ 答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程；难度一般，是常考题．‎ ‎　‎ ‎17．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量，B位于A的北偏东75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏东30°方向，AB=8km．‎ ‎（1）求景点B与C的距离；‎ ‎（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（本题结果保留根号）‎ ‎【分析】（1）首先过点B作BD⊥AC于点D，由在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，可求得BD的长，然后由在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，求得BC的长；‎ ‎（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，继而求得AD，CD与AC的长，然后在Rt△CAE中，求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．‎ 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，‎ ‎∴．‎ ‎∴BD=，‎ 在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠DCB=30°，‎ ‎∴．‎ ‎∴BC=km；‎ ‎（2）过点C作CE⊥AB于点E．‎ 在（1）中可求出AD=，CD=，则AC=+，‎ 在Rt△CAE中，sin∠CAE=，‎ ‎∴代入求出CE=（4+）km．‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，已知△ABC，AB=6、AC=8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F．‎ ‎（1）如图①，若∠AEF=∠C，求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）如图②，若∠BAC=90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．‎ ‎【分析】（1）连接DF，根据同弧所对的圆周角相等得∠AEF=∠ADF，则∠ADF=∠C，根据直径所对的圆周角等于90度，得∠AFD=90°，可证明∠ADC=90°，从而证明BC与⊙O相切；‎ ‎（2）分两种情况：情况一：若△AEF∽△ACB，则∠AEF=∠C，由（1）知BC与⊙O相切，即可求得BD=3.6，情况二：若△AEF∽△ABC，则∠AEF=∠B，所以EF∥BC，可证明△AEO∽△ABD，进而证明△AEF∽△ABC得出BD=2EO=5即可．‎ ‎【解答】证明：（1）连接DF，在⊙O中∠AEF=∠ADF，‎ 又∵∠AEF=∠C，‎ ‎∴∠ADF=∠C，‎ ‎∵AD为直径，‎ ‎∴∠AFD=90°，‎ ‎∴∠CFD=90°，‎ ‎∴∠C+∠CDF=90°‎ ‎∴∠ADF+∠CDF=90°，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ 又∵AD为直径，‎ ‎∴BC与⊙O相切；‎ ‎（2）分两种情况：‎ 情况一：若△AEF∽△ACB，则∠AEF=∠C，由（1）知BC与⊙O相切，‎ ‎∴BD=3.6；‎ 情况二：若△AEF∽△ABC，‎ ‎∴∠AEF=∠B，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∵∠EAF为直角，‎ ‎∴EF为直径，‎ ‎∴△AEO∽△ABD，‎ ‎∴===，‎ ‎∴BD=2EO=EF，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴==，‎ 即BD=2EO=EF=BC=5．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，是一道综合题，难度不大，分类讨论思想的运用是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．某校社团活动开设的体育选修课有：篮球（A），足球（B），排球（C），羽毛球（D），乒乓球（E），每个学生选修其中的一门，学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图．‎ ‎（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）该班的其中某4个同学，1人选修篮球（A），2人选修足球（B），1人选修排球（C）．若要从这4人中选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．‎ ‎【分析】（1）利用A组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出E组人数，然后计算出A组人数后补全频数分布直方图；‎ ‎（2）利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）总人数=12÷24%=50（人），E的人数=50×10%=5（人），‎ 所以A的人数=50﹣7﹣12﹣9﹣5=17（人），‎ 频数分布直方图为：‎ ‎（2）列表如下：‎ 第一个人选修 第二个人选修 A B B C A AB AB AC B AB BB BC B AB BB BC C AC BC BC 共有12种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数为4，‎ 所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率==．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．‎ ‎　‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线相交于点E，∠ADC=60°．‎ ‎（1）求证：△ADE是等腰三角形；‎ ‎（2）若AD=2，求BE的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，推出∠ODC=90°，求出∠OAD=∠ODA=30°，根据三角形的外角性质求出∠E=∠A，即可得出答案；‎ ‎（2）由（1）知，DE=DA=，根据三角函数的定义求出OD，进一步求出OE，即可得到答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，‎ ‎∵∠ADC=60°，‎ ‎∴∠ODA=30°，‎ 在⊙O中OA=OD，‎ ‎∴∠OAD=∠ODA=30°，‎ ‎∴∠E=∠ADC﹣∠EAD=60°﹣30°=30°=∠EAD，‎ ‎∴DA=DE，‎ 即△ADE是等腰三角形．‎ ‎（2）解：由（1）知，DE=DA=，‎ 在Rt△ODE中，，‎ OE=2OD=4，‎ ‎∴BE=OE﹣OB=OE﹣OD=4﹣2=2，‎ 答：BE的长是2．‎ ‎【点评】本题主要考查对等腰三角形的判定，切线的性质，锐角三角函数的定义，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，求出DA=DE是解此题的关键，题型较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎21．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，匀速开往对方所在地，图（1）表示甲、乙两车离A地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，图（2）表示甲、乙两车间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象．‎ ‎（1）A、B两地的距离为　180　km， h的实际意义是　h时甲乙两车相距0km　；‎ ‎（2）求甲、乙两车离B地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数关系式及x的取值范围，并画出图象（不用列表，图象画在备用图中）；‎ ‎（3）丙车在乙车出发10分钟时从B地出发，匀速行驶，且比乙车提前20分钟到达A地，那么，丙车追上乙车多长时间后与甲车相遇？‎ ‎【分析】（1）从图（1）可看出甲乙路程相距180km，从图（2）可看出h他们相距0km，故这个时间相遇．‎ ‎（2）从图中根据时间和路程可求出甲和乙的速度，设l甲：y=k1x+180，l乙：y=k2x，从而求出函数式．画出函数图象．‎ ‎（3）设l丙：y=k3x+b，由题意知l丙经过（，0），（，180），从而确定函数式找到它与甲的交点，从而求出解．‎ ‎【解答】解：（1）180，甲、乙两车出发h两车相遇．‎ ‎（2）由题意，v甲=‎ ‎（v甲+v乙）=180，‎ 即v乙=90‎ ‎∴乙车从B地到达A地所用的时间为 由题意，设l甲：y=k1x+180，l乙：y=k2x 则3k1+180=0，即k1=﹣60，∴l甲：y=﹣60x+180（0≤x≤3）2k2=180，即k2=90，∴l乙：y=90x（0≤x≤2）．‎ ‎（画出图象）‎ ‎（3）设l丙：y=k3x+b，由题意知l丙经过 ‎∴即 ‎∴l丙：y=120x﹣20.∴∴‎ ‎∴，即丙车追上乙车h后与甲车相遇．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的综合运用，能够从图象上获得有用的信息，然后用信息确定函数式，画函数图象，找函数图象的交点等．‎ ‎　‎ ‎22．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．‎ ‎（1）当α=60°时（如图1），‎ ‎①判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎②求证：BD=AE；‎ ‎（2）当α=90°时（如图2），求的值．‎ ‎【分析】①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．①判断：△ABC是等边三角形．‎ 理由：∵∠ABC=∠ACB=60°‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB ‎∴△ABC是等边三角形 ‎②证明：同理△EBD也是等边三角形 连接DC，‎ 则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°﹣∠EBC=∠CBD ‎∴△ABE≌△CBD ‎∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°‎ ‎∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣60°=30°‎ 在Rt△EDC中，‎ ‎∴．‎ ‎（2）连接DC，‎ ‎∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°‎ ‎∴△ABC∽△EBD ‎∴‎ 又∵∠ABE=90°﹣∠EBC=∠CBD ‎∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，‎ ‎∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣（90°﹣∠BDE）=60°‎ 设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=‎ 在Rt△EDC中CD=‎ ‎∴，即．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，①中知道三角形中有两个60°角即证，②利用①的结论并证得△ABE≌△CBD，在Rt△EDC中很容易证得，（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．‎ ‎　‎ ‎23．如图，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点H的坐标；‎ ‎（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．‎ ‎【分析】（1）将A、C两点的坐标代入y=ax2+x+c，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）先根据二次函数的解析式求出点B的坐标，再计算得出AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）设点H的坐标为（n，0），得出AC2=80，AH2=n2+16，HC2=（n﹣8）2=n2﹣16n+64．当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①AH=AC；②HC=AC；③AH=HC；分别列出关于n的方程，解方程即可；‎ ‎（4）设点N的坐标为（t，0），那么BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．根据平行线分线段成比例定理得出==，求出MD=（t+2），再根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN，得出S△AMN=﹣（t﹣3）2+5，根据二次函数的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象过点A（0，4），C（8，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）△ABC是直角三角形，理由如下：‎ ‎∵y=﹣x2+x+4，‎ ‎∴当y=0时，﹣ x2+x+4=0，‎ 解得x1=8，x2=﹣2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，0）．‎ 在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=42+22=20，‎ 在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=42+82=80，‎ ‎∵BC=OB+OC=2+8=10，‎ ‎∴在△ABC中，AB2+AC2=20+80=100=102=BC2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）设点H的坐标为（n，0），则AC2=80，AH2=n2+16，HC2=（n﹣8）2=n2﹣16n+64．‎ 当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，可分三种情况：‎ ‎①如果AH=AC，那么n2+16=80，解得n=±8（正值舍去），‎ 此时点H的坐标为（﹣8，0）；‎ ‎②如果HC=AC，那么（n﹣8）2=80，解得n=8±4，‎ 此时点H的坐标为（8+4，0）或（8﹣4，0）；‎ ‎③如果AH=HC，那么n2+16=n2﹣16n+64，解得n=3，‎ 此时点H的坐标为（3，0）；‎ 综上所述，若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点H的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；‎ ‎（4）设点N的坐标为（t，0），则BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．‎ ‎∵MD∥OA，‎ ‎∴△BMD∽△BAO，‎ ‎∴=，‎ ‎∵NM∥AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AO=4，BC=10，BN=t+2，‎ ‎∴MD=（t+2），‎ ‎∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN ‎=BNOA﹣BNMD ‎=×（t+2）×4﹣×（t+2）×（t+2）‎ ‎=﹣t2+t+‎ ‎=﹣（t﹣3）2+5，‎ ‎∴当t=3时，△AMN面积最大，此时点N的坐标为（3，0）．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．‎