2016挑战中考数学压轴题因动点产生的面积问题

2016挑战中考数学压轴题因动点产生的面积问题

因动点产生的面积问题 例1 2015年河南省中考第23题 如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．‎ ‎（1）直接写出抛物线的解析式；‎ ‎（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；‎ ‎（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．‎ 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．‎ 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使△PDE的面积为整数” 的点P共有11个．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．‎ ‎2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．‎ 满分解答 ‎（1）抛物线的解析式为．‎ ‎（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：‎ 设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．‎ 而FD2＝，所以FD＝．‎ 因此PD－PF＝2为定值．‎ ‎（3）“好点”共有11个．‎ 在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．‎ 而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．‎ 此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．‎ 所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4, 6)．‎ 图2 图3‎ 考点伸展 第（3）题的11个“好点”是这样求的：‎ 如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．‎ 因为S△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以 S△PDE＝＝＝．‎ 因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．‎ 如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．‎ 当S＝12时，方程的两个解－8, －4都在－8≤x≤0范围内．‎ 所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个．‎ 图4‎ 例2 2014年昆明市中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当P运动到AB的中点时，△PBQ的面积最大．双击按钮“△PBQ面积最大”，再拖动点K在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．‎ 思路点拨 ‎1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．‎ ‎2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比．‎ 满分解答 ‎（1）因为抛物线与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．‎ 所以－‎8a＝－3．解得．‎ 所以抛物线的解析式为．‎ ‎（2）如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．‎ 在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．‎ 在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．‎ 所以S△PBQ＝．‎ 因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。‎ ‎（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ＝1。‎ 如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。‎ 当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。‎ 因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。‎ 如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。‎ 因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．‎ 过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．‎ 由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．‎ 解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 第（3）题也可以这样思考：‎ 由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝，得S△CBK＝．‎ 如图5，过点K作x轴的垂线交BC于F．设点K的坐标为．‎ 由于点F在直线BC：上．所以点F的坐标为．‎ 所以KF＝．‎ ‎△CBK被KF分割为△CKF和△BKF，他们的高的和为OB＝4．‎ 所以S△CBK＝．解得x＝1，或x＝3．‎ 图5‎ 例3 2013年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．‎ ‎（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；‎ ‎（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．‎ ‎①求S的取值范围；‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．‎ 图1 ‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．‎ 请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．‎ 思路点拨 ‎1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．‎ ‎2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．‎ ‎3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．‎ ‎4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．‎ 满分解答 ‎（1）b＝，点B的横坐标为－‎2c．‎ ‎（2）由，设E．‎ 过点E作EH⊥x轴于H．‎ 由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．‎ 所以．因此．所以．‎ 当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．‎ 整理，得‎2c2＋‎3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．‎ 所以抛物线的解析式为．‎ ‎（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．‎ 直线BC的解析式为．‎ 设，那么，．‎ 所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．‎ 因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．‎ 当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．‎ 综上所述，0＜S＜5．‎ ‎②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．‎ 考点伸展 点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．‎ 当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．‎ 例4 2012年菏泽市中考第21题 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12菏泽‎21”‎，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．‎ 请打开超级画板文件名“12菏泽‎21”‎，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．‎ 思路点拨 ‎1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是 ‎△A′B′O面积的3倍．‎ ‎2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．‎ ‎3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．‎ 满分解答 ‎（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．‎ 因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，‎ 代入B′(0, 2)，得a＝1．‎ 所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．‎ ‎（2）S△A′B′O＝1．‎ 如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．‎ 如图2，作PD⊥OB，垂足为D．‎ 设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．‎ ‎．‎ ‎．‎ 所以．‎ 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．‎ 所以点P的坐标为(1，2)．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．‎ 考点伸展 第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．‎ ‎．‎ ‎．‎ 所以．‎ 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：‎ 作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．‎ 而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．‎ 例 5 2012年河南省中考第23题 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．‎ ‎2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．‎ ‎3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．‎ ‎4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．‎ 满分解答 ‎（1）设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．‎ 在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．‎ 因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．‎ 将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得 解得，．‎ ‎（2）由，，‎ 得．‎ 所以．‎ 所以PD的最大值为．‎ ‎（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；‎ 当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．‎ 图2‎ 考点伸展 第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高 DN与BM的比．‎ 而，‎ BM＝4－m．‎ ‎①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．‎ ‎②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．‎ 例 6 2011年南通市中考第28题 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点 ‎(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．‎ ‎（1）求m的值及直线l的解析式；‎ ‎（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ ‎（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．‎ 思路点拨 ‎1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．‎ ‎2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．‎ 满分解答 ‎（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为．‎ ‎（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．‎ 由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．‎ 由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．‎ 所以△PMB∽△PNA．‎ 图2 图3 图4‎ ‎（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．‎ 当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．‎ ‎①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．‎ ‎②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．‎ 考点伸展 在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？‎ 情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．‎ 情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．‎ 不存在∠ANM＝90°的情况．‎ 图5 图6‎ 例7 2010年广州市中考第25题 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．‎ ‎（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；‎ ‎（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O‎1A1B‎1C1，试探究四边形O‎1A1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．‎ 图1‎ 动感体验 请打开几何画板文件名“10广州‎25”‎，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．‎ 思路点拨 ‎1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．‎ ‎2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．‎ ‎3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．‎ ‎4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．‎ 满分解答 ‎(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．‎ ‎②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时 S＝S矩形OABC－S△OAE－ S△BDE －S△OCD ‎ ‎＝‎ ‎．‎ ‎(2)如图4，因为四边形O‎1A1B‎1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．‎ 作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．‎ 设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ 考点伸展 把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．‎ ‎ ‎ 图5 图6 图7‎