2014淄博中考数学试题解析版

2014淄博中考数学试题解析版

‎2014年山东省淄博市中考数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题4分）‎ ‎1．（4分）(2014年山东淄博)计算（﹣3）2等于（　　）‎ ‎　 A． ﹣9 B． ﹣6 C． 6 D． 9‎ 考点： 有理数的乘方．‎ 分析： 根据负数的偶次幂等于正数，可得答案．‎ 解答： 解：原式=32‎ ‎=9．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了有理数的乘方，负数的偶次幂是正数．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）(2014年山东淄博)方程﹣=0解是（　　）‎ ‎　 A． x= B． x= C． x= D． x=﹣1‎ 考点： 解分式方程．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答： 解：去分母得：3x+3﹣7x=0，‎ 解得：x=，‎ 经检验x=是分式方程的解．‎ 故选B 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）(2014年山东淄博)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（　　）‎ ‎　 A． 8，6 B． 8，5 C． 52，53 D． 52，52‎ 考点： 频数（率）分布直方图；中位数；众数．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位数即可．‎ 解答： 解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，‎ 车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55，‎ 中间的为52，即中位数为52千米/时，‎ 则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．‎ 故选D 点评： 此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）(2014年山东淄博)如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（　　）‎ ‎　 A． S1＞S2＞S3 B． S3＞S2＞S1 C． S2＞S3＞S1 D． S1＞S3＞S2‎ 考点： 简单组合体的三视图．‎ 分析： 根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，根据边角面积的大小，可得答案．‎ 解答： 解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图是一个正方形的面积，‎ S1＞S3＞S2，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了简单组合体的三视图，分别得出三视图是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）(2014年山东淄博)一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（　　）‎ ‎　 A． x1=x2= B． x1=0，x2=﹣2 C． x1=，x2=﹣3 D． x1=﹣，x2=3‎ 考点： 解一元二次方程-公式法．‎ 分析： 找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．‎ 解答： 解：∵a=1，b=2，c=﹣6‎ ‎∴x====﹣±2，‎ ‎∴x1=，x2=﹣3；‎ 故选C．‎ 点评： 此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）(2014年山东淄博)当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）‎ ‎　 A． 7 B． 3 C． 1 D． ﹣7‎ 考点： 代数式求值．‎ 专题： 整体思想．‎ 分析： 把x=1代入代数式求值a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．‎ 解答： 解：x=1时，ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7，‎ 解得a﹣3b=3，‎ 当x=﹣1时，ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）(2014年山东淄博)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 等腰梯形的性质．‎ 分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论．‎ 解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，‎ ‎∵AB=AD=DC，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，‎ ‎∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，‎ ‎∵∠BAC=∠CDB=90°，‎ ‎∴3∠ABD=90°，‎ ‎∴∠ABD=30°，‎ 在△ABP中，‎ ‎∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠APB=60°，‎ ‎∴∠DPC=60°，‎ ‎∴cos∠DPC=cos60°=．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查的是等腰梯形的性质，熟知等腰梯形同一底上的两个角相等是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）(2014年山东淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（　　）‎ ‎　 A． y=x2﹣x﹣2 B． y=x2﹣x+2 C． y=x2+x﹣2 D． y=x2+x+2‎ 考点： 待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．‎ 解答： 解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，4），‎ 将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，‎ 解得：b=﹣1，c=﹣2，‎ 则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．‎ 故选A．‎ 点评： 此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）(2014年山东淄博)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（　　）‎ ‎　 A． 甲乙丙 B． 甲丙乙 C． 乙丙甲 D． 丙甲乙 考点： 正方形的性质；线段的性质：两点之间线段最短；比较线段的长短．:学科网ZXXK]‎ 分析： 根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根据直角三角形得出AF＞AB，EF＞CF，分别求出甲、乙、丙行走的距离，再比较即可．‎ 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，‎ 甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；‎ 乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；‎ 丙行走的距离是AF+FC+CD，‎ ‎∵∠B=∠ECF=90°，‎ ‎∴AF＞AB，EF＞CF，‎ ‎∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，‎ ‎∴甲比丙先到，丙比乙先到，‎ 即顺序是甲丙乙，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）(2014年山东淄博)如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）‎ ‎　 A． 1 B． C． D． 2‎ 考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．‎ 分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．‎ 解答： 解：如图，连接EC．‎ ‎∵FC垂直平分BE，‎ ‎∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）‎ 又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，‎ 故EC=2‎ 利用勾股定理可得AB=CD==．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）(2014年山东淄博)如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为，CD=4，则弦EF的长为（　　）‎ ‎　 A． 4 B． 2 C． 5 D． 6‎ 考点： 切线的性质．‎ 分析： 首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC的长，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得答案．‎ 解答： 解：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，‎ ‎∵直线AB与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AB，‎ ‎∵弦CD∥AB，‎ ‎∴AH⊥CD，‎ ‎∴CH=CD=×4=2，‎ ‎∵⊙O的半径为，‎ ‎∴OA=OC=，‎ ‎∴OH==，‎ ‎∴AH=OA+OH=+=4，‎ ‎∴AC==2．‎ ‎∵∠CDE=∠ADF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF=AC=2．‎ 故选B．‎ 点评： 此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）(2014年山东淄博)已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（　　）‎ ‎　 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3‎ 考点： 二次函数的性质．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．‎ 解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，‎ ‎∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，‎ ‎∴x=h＜4．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎13．（4分）(2014年山东淄博)分解因式：8（a2+1）﹣16a=　8（a﹣1）2　．‎ 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析： 首先提取公因式8，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．‎ 解答： 解：8（a2+1）﹣16a ‎=8（a2+1﹣2a）‎ ‎=8（a﹣1）2．‎ 故答案为：8（a﹣1）2．‎ 点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）(2014年山东淄博)某实验中学九年级（1）班全体同学的综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，其中评价为“A”所在扇形的圆心角是　108　度．‎ 考点： 扇形统计图．‎ 分析： 首先计算出A部分所占百分比，再利用360°乘以百分比可得答案．‎ 解答： 解：A所占百分比：100%﹣15%﹣20%﹣35%=30%，‎ 圆心角：360°×30%=108°，‎ 故答案为：108．‎ 点评： 此题主要考查了扇形统计图，关键是掌握圆心角度数=360°×所占百分比．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）(2014年山东淄博)已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　AD=DC　．‎ 考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．‎ 专题： 开放型．‎ 分析： 根据菱形的定义得出答案即可．‎ 解答： 解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，‎ ‎∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；‎ 故答案为：AD=DC．‎ 点评： 此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）(2014年山东淄博)关于x的反比例函数y=的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0的根的情况是　没有实数根　．‎ 考点： 根的判别式；反比例函数的性质．‎ 分析： 由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．‎ 解答： 解：∵反比例函数y=的图象位于一、三象限，‎ ‎∴a+4＞0，a＞﹣4，‎ ‎∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，‎ ‎∴2xy＞12，‎ 即a+4＞6，a＞2‎ ‎∴a＞2．‎ ‎∴△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）×=2﹣a＜0，‎ ‎∴关于x的方程（a﹣1）x2﹣x+=0没有实数根．‎ 故答案为：没有实数根．‎ 点评： 此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）(2014年山东淄博)如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）‎ 考点： 作图—应用与设计作图；图形的剪拼．‎ 分析： 如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去D点下面两格的小正方形放在右面，就组成了一人矩形．‎ 解答： 解：如图：‎ 点评： 本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，共52分）‎ ‎18．（5分）(2014年山东淄博)计算：•．‎ 考点： 分式的乘除法．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 原式约分即可得到结果．‎ 解答： 解：原式=•‎ ‎=．‎ 点评： 此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）(2014年山东淄博)如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．‎ 考点： 平行线的性质．‎ 分析： 根据垂直定义和邻补角求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．‎ 解答： 解：‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠1+∠3=90°，‎ ‎∵∠1=55°，‎ ‎∴∠3=35°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠2=∠3=35°．‎ 点评： 本题考查了垂直定义，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）(2014年山东淄博)节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．‎ ‎（1）根据分布表中的数据，在答题卡上写出a，b，c的值；‎ ‎（2）某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率．‎ ‎ 寿命（小时） 频数 频率 ‎ 4000≤t≤5000 10 0.05 ‎ ‎ 5000≤t＜6000 20 a ‎ 6000≤t＜7000 80 0.40‎ ‎ 7000≤t＜8000 b 0.15‎ ‎ 8000≤t＜9000 60 c ‎ 合计 200 1‎ 考点： 频数（率）分布表；概率公式．‎ 分析： （1）由频率分布表中的数据，根据频率=频数÷数据总数及频数=数据总数×频率即可求出a、b、c的值；‎ ‎（2）根据频率分布表中的数据，用不是次品的节能灯个数除以节能灯的总个数即可求解．‎ 解答： 解：（1）根据频率分布表中的数据，得 a==0.1，‎ b=200×0.15=30，‎ c==0.3；‎ ‎（Ⅱ）设“此人购买的节能灯恰好不是次品”为事件A．‎ 由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有110个，次品有30个，‎ 所以此人购买的节能灯恰好不是次品的概率为P（A）==0.85．‎ 点评： 本题考查了读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力及古典概型的概率，用到的知识点：频率=频数÷数据总数，概率=所有出现的情况数与总数之比．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）(2014年山东淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：‎ 档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度）‎ 第一档 小于等于200 0.55‎ 第二档 大于200小于400 0.6‎ 第三档 大于等于400 0.85‎ 例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357（元）．‎ 某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各月电多少度？‎ 考点： 二元一次方程组的应用．‎ 分析： 某户居民五、六月份共用电500度，就可以得出每月用电量不可能都在第一档，分情况讨论，当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度＞x度，分别建立方程求出其解即可．‎ 解答： 解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电（500﹣x）度，由题意，得 ‎0.55x+0.6（500﹣x）=290.5，‎ 解得：x=190，‎ ‎∴6月份用电500﹣x=310度．‎ 当5月份用电量为x度＞200度，六月份用电量为（500﹣x）度，由题意，得 ‎0.6x+0.6（500﹣x）=290.5，‎ ‎300=290.5，原方程无解．‎ ‎∴5月份用电量为190度，6月份用电310度．‎ 点评： 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，分类讨论思想的运用，解答时由总价=单价×数量是关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）(2014年山东淄博)如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．‎ ‎（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？‎ ‎（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．‎ 考点： 一次函数综合题．‎ 分析： （1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°；然后由图示知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，即∠CAO=∠PAB．所以根据SAS证得结论；‎ ‎（2）利用（1）中的结论PB⊥AB．根据等边三角形的性质易求点B的坐标为B（，）．再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，﹣3），所以根据点B、P的坐标易求直线BP的解析式．‎ 解答： （1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，‎ ‎∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，‎ ‎∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，‎ ‎∴∠CAO=∠PAB，‎ 在△AOC与△ABP中，‎ ‎∴△AOC≌△ABP（SAS）．‎ ‎∴∠COA=∠PBA=90°，‎ ‎∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．‎ 故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；‎ ‎（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．‎ ‎∵△AOB是等边三角形，A（0，3），‎ ‎∴B（，）．‎ 当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．‎ 设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得 ‎，‎ 解得 ，‎ 所以点P所在的函数图象的解析式为：y=x﹣3．‎ 点评： 本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解答（2）题时，求得点P位于y轴负半轴上的坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）(2014年山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD．连接MF，NF．‎ ‎（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．‎ 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．‎ 分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；‎ ‎（2）根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．‎ 解答： （1）答：△BMN是等腰直角三角形．‎ 证明：∵AB=AC，点M是BC的中点，‎ ‎∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．‎ ‎∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴∠EAB+∠EBA=90°，‎ ‎∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．‎ ‎∴△BMN是等腰直角三角形；‎ ‎（2）答：△MFN∽△BDC．‎ 证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，‎ ‎∴FM∥AC，FM=AC．‎ ‎∵AC=BD，‎ ‎∴FM=BD，即．‎ ‎∵△BMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴NM=BM=BC，即，‎ ‎∴．‎ ‎∵AM⊥BC，‎ ‎∴∠NMF+∠FMB=90°．‎ ‎∵FM∥AC，‎ ‎∴∠ACB=∠FMB．‎ ‎∵∠CEB=90°，‎ ‎∴∠ACB+∠CBD=90°．‎ ‎∴∠CBD+∠FMB=90°，‎ ‎∴∠NMF=∠CBD．‎ ‎∴△MFN∽△BDC．‎ 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）(2014年山东淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．‎ ‎（1）使∠APB=30°的点P有　无数　个；‎ ‎（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；‎ ‎（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．‎ 考点： 圆的综合题；三角形的外角性质；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．‎ 专题： 综合题；探究型．‎ 分析： （1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．‎ ‎（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．‎ ‎（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．‎ 解答： 解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，‎ 以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．‎ 在优弧AP1B上任取一点P，如图1，‎ 则∠APB=∠ACB=×60°=30°．‎ ‎∴使∠APB=30°的点P有无数个．‎ 故答案为：无数．‎ ‎（2）①当点P在y轴的正半轴上时，‎ 过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．‎ ‎∵点A（1，0），点B（5，0），‎ ‎∴OA=1，OB=5．‎ ‎∴AB=4．‎ ‎∵点C为圆心，CG⊥AB，‎ ‎∴AG=BG=AB=2．‎ ‎∴OG=OA+AG=3．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC=BC=AB=4．‎ ‎∴CG=‎ ‎=‎ ‎=2．‎ ‎∴点C的坐标为（3，2）．‎ 过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，‎ ‎∵点C的坐标为（3，2），‎ ‎∴CD=3，OD=2．‎ ‎∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，‎ ‎∴∠AP1B=∠AP2B=30°．‎ ‎∵CP2=CA=4，CD=3，‎ ‎∴DP2==．‎ ‎∵点C为圆心，CD⊥P1P2，‎ ‎∴P1D=P2D=．‎ ‎∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．‎ ‎②当点P在y轴的负半轴上时，‎ 同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．‎ 综上所述：满足条件的点P的坐标有：‎ ‎（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．‎ ‎（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．‎ ‎①当点P在y轴的正半轴上时，‎ 连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．‎ ‎∵⊙E与y轴相切于点P，‎ ‎∴PE⊥OP．‎ ‎∵EH⊥AB，OP⊥OH，‎ ‎∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．‎ ‎∴四边形OPEH是矩形．‎ ‎∴OP=EH，PE=OH=3．‎ ‎∴EA=3．‎ ‎∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，‎ ‎∴EH=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴OP=‎ ‎∴P（0，）．‎ ‎②当点P在y轴的负半轴上时，‎ 同理可得：P（0，﹣）．‎ 理由：‎ ‎①若点P在y轴的正半轴上，‎ 在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），‎ 连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．‎ ‎∵∠ANB是△AMN的外角，‎ ‎∴∠ANB＞∠AMB．‎ ‎∵∠APB=∠ANB，‎ ‎∴∠APB＞∠AMB．‎ ‎②若点P在y轴的负半轴上，‎ 同理可证得：∠APB＞∠AMB．‎ 综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，‎ 此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．‎ 点评： 本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．‎