全国各地中考数学分类解析套专题专题等腰边三角形

全国各地中考数学分类解析套专题专题等腰边三角形

‎2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）‎ 专题：38等腰（边）三角形 郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。‎ 一、选择题 ‎1. （2012宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】‎ ‎ A．13 B．‎17 C．22 D．17或22‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：‎ ‎①若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；‎ ‎②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。‎ ‎∴这个三角形的周长为9+9+4=22。故选C。‎ ‎2. （2012广东肇庆3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为【 】‎ ‎ A．16 B．‎18 C．20 D．16或20‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析：‎ ‎①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；‎ ‎②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意。‎ ‎∴此三角形的周长=8+8+4=20。故选C。‎ ‎3. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】‎ A.13 B‎.17 ‎‎ C.22 D.17或22‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。故选C。‎ ‎4. （2012江苏徐州3分）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】‎ A．9 B．‎7 ‎‎ C．12 D．9或12‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质，如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则另一边可能是2或5。但根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三边关系，2，2，5不构成三角形。因此这个等腰三角形的三边只能是2，5，5，周长为12。故选C。‎ ‎5. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】‎ A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。‎ ‎ ∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。‎ ‎6. （2012湖北荆门3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为【 】‎ A． 2 B． ‎2 ‎C． D． 3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，‎ ‎∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。‎ ‎∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。‎ 在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。‎ ‎7. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，‎ ‎∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC（SAS）。∴∠B=∠F。‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。‎ ‎∴AC∥EF。∴AE=CF=2。‎ ‎∴BD=AE=CF=2。故选A。‎ ‎8. （2012湖北孝感3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º，BD平分∠ABC交AC于点D．若 AC＝2，则AD的长是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。‎ ‎【分析】∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC。∴。‎ 设BD=x，则BC=x，CD=2－x，∴，整理得：x2＋2x－4=0，解得：。‎ ‎∵x为正数，∴。故选C。‎ ‎9. （2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【 】[来源:Z。‎ A．7 B．‎6 ‎‎ C．5 D．4 ‎ ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。‎ ‎ 在Rt△ABD中，BD=×6=3，AD=4，根据勾股定理，得AB=5。‎ ‎ 故选C。‎ ‎10. （2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，∠1+∠2=【 】。‎ A．225° B．235° C．270° D．与虚线的位置有关 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的性质，多边形内角和定理。‎ ‎【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出两底角的度数，再根据四边形内角和定理解答即可：‎ 如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A+∠B=90°，‎ ‎∵四边形的内角和是360°， ‎ ‎∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-90°=270°。‎ 故选C。‎ ‎11. （2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是【 】‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，多边形内角和定理。‎ ‎【分析】∵等边三角形每个内角为60°，∴两底角和=120°。‎ 又∵四边形内角和为360°，∴∠α+∠β=360°－120°=240°。故选C。‎ ‎12. （2012四川广安3分）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为【 】‎ A．45° B．75° C．45°或75° D．60°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案：‎ 如图1：AB=AC，‎ ‎∵AD⊥BC，∴BD=CD=BC，∠ADB=90°。‎ ‎∵AD=BC，∴AD=BD。 ∴∠B=45°。‎ 即此时△ABC底角的度数为45°。‎ 如图2，AC=BC，‎ ‎∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°。‎ ‎∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°。∴∠CAB=∠B=（1800－∠A）÷2=75°。‎ 即此时△ABC底角的度数为75°。‎ 综上所述，△ABC底角的度数为45°或75°。故选C。‎ ‎13. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】‎ A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。‎ ‎【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。‎ ‎∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。故选C。‎ ‎14. （2012贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】‎ ‎　　A．6　　B．‎7　‎　C．8　　D．9‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，‎ ‎∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB。∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN。‎ ‎∴BM=ME，EN=CN。∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN。‎ ‎∵BM+CN=9∴MN=9。故选D。‎ ‎15. （2012山东威海3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=900，AB=AC。若∠1=200，则∠2的度数为【 】‎ ‎ A.250 B‎.650 C.700 D.750‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的性质，平行线的性质。‎ ‎【分析】∵∠BAC=900，AB=AC，∴∠ABC=450。‎ ‎ ∵∠1=200，∴∠ABC＋∠1=650。‎ ‎ 又∵a∥b，∴∠2=∠ABC＋∠1=650。故选B。‎ ‎16. （2012山东潍坊3分）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东300方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东750方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东600方向上，则C处与灯塔A的距离是【 】海里．‎ A． B． C．50 D．25‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】方向角，等腰直角三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，根据题意， ∠1=∠2=30°，‎ 又∵∠ACD=60°，‎ ‎∴∠ABC=30°+60°=90°，∠CBA=75°－30°=45°。‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形。‎ ‎∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25（海里）。故选D。‎ ‎17. （2012江西南昌3分）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是【 】‎ ‎　 A． 20° B． 50° C． 60° D． 80°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵等腰三角形的一个顶角为80°，∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°。故选B。‎ ‎18. （2012江西省3分）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是【 】‎ ‎　 A． 20° B． 50° C． 60° D． 80°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵等腰三角形的一个顶角为80°，∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°。故选B。‎ ‎19. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D， ‎ ‎ 点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为【 】‎ A. 20 B. ‎12 C. 14 D. 13‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质。‎ ‎【分析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，‎ ‎∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，CD=BD=BC=4。‎ ‎∵点E为AC的中点，‎ ‎∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=AC=5。‎ ‎∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。故选C。‎ 二、填空题 ‎1. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：，‎ ‎ ∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，‎ ‎∴，解得a=3。‎ ‎∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。‎ ‎2. （2012浙江宁波3分）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=‎ ‎ ▲ 度．‎ ‎【答案】40。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，平角定义，三角形内角和定理，平行线的性质。‎ ‎【分析】∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC。‎ ‎∵∠ACD=110°，∴∠ACB=∠BAC=70°。∴∠B=∠40°，‎ ‎∵AE∥BD，∴∠EAB=40°。‎ ‎3. （2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=‎ ‎ ▲ 0。‎ ‎【答案】35。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD=∠CAD；由∠BAC=700，得∠BAD=350。‎ ‎4. （2012福建泉州4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于点D，则BD的长是 ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质直接得出结果：‎ ‎ ∵AB=AC，BC=6，AD⊥BC。∴BD=BC=3。‎ ‎5. （2012湖北随州4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ▲ .‎ ‎【答案】6和4或5和5。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；‎ 当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理。‎ 故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5。‎ ‎6. （2012湖北黄冈3分）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=36° ，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂 足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为 ▲ .‎ ‎【答案】36°。‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE。‎ ‎∵∠A=36° ，∴∠ABE=∠A=36°。‎ ‎∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=。∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=72°－36°=36°。‎ ‎7. （2012湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】4或或。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：‎ ‎（1）如图，当AB=AC时，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴CD=AC=×8=4。‎ ‎（2）如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°。‎ ‎∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30°‎ ‎∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4。‎ ‎（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。‎ ‎∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=。‎ 综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。‎ ‎8. （2012四川广元3分） 已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 ▲ ‎ ‎【答案】50°，50°或80°，20°。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】分情况讨论：‎ ‎（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=（180°－80°）÷2=50°；‎ ‎（2）若等腰三角形的底角为80°时，顶角为180°－80°－80°=20°。‎ ‎∴等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是50°，50°或80°，20°。‎ ‎9. （2012贵州遵义4分）一个等腰三角形的两条边分别为‎4cm和‎8cm，则这个三角形的周长为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】‎20cm。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当等腰三角形的腰为‎4cm，底为‎8cm时，不能构成三角形．‎ ‎（2）当等腰三角形的腰为‎8cm，底为‎4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20（cm）。‎ ‎∴这个等腰三角形的周长是‎20cm。‎ ‎10. （2012贵州黔东南4分）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成　 ▲ 　个正三角形．‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】等边三角形的性质。‎ ‎【分析】用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形。故答案为4。‎ ‎11. （2012山东滨州4分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ▲ °．‎ ‎【答案】40。‎ ‎【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B=。‎ ‎∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°。‎ ‎∵AD=DC，∴∠C=。‎ ‎12. （2012山东济宁3分）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC。‎ ‎∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°。‎ ‎∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE。‎ ‎∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO。‎ ‎∵在△BAO和△EAO中，AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，‎ ‎∴△BAO≌△EAO（SAS）。∴∠AEO=∠ABO=30°。∴tan∠AEO=tan30°=。‎ ‎13. （2012山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．[来︿源 ‎【答案】180。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。‎ ‎【分析】如图，连接CE，DE，‎ ‎ ∵过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，‎ ‎ ∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。‎ ‎ ∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。‎ ‎ 又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。∴∠θ=180。‎ ‎14. （2012广西来宾3分）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 ▲ 0．‎ ‎【答案】50或80。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①当80°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-80°）÷2=50°；‎ ‎②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°。‎ 故它的底角度数是500或800。‎ ‎15. （2012广西钦州3分）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】50°。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵等腰三角形的顶角等于80°，‎ 又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣80°）÷2=50°。‎ ‎16. （2012甘肃白银4分）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= ▲ 度．‎ ‎【答案】50。‎ ‎【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】∵AC=BC，∴∠A=∠B（等角对等边）。‎ ‎∵∠A+∠B=∠ACE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），‎ ‎∴∠A=∠ACE=×100°=50°。‎ ‎17. （2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E 为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和 ‎(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标 ▲ ．‎ ‎18. （2012黑龙江绥化3分）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 ▲ ‎ ‎【答案】11或13。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：‎ ‎①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；‎ ‎②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13。‎ 故答案为：11或13。‎ ‎19. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= ▲ ‎ ‎【答案】4或1或9。‎ ‎【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，根据题意，‎ ‎ ∵AB=10，BC=3，E为AB边的中点，‎ ‎ ∴AE=5，AD=3。‎ ‎ 若AE=AP=5，则在Rt△ADP1中，‎ ‎ 由勾股定理，得DP1=4。‎ ‎ 若AE=PE=5，A作EF⊥CD于点F，则EF=3，DF=5‎ 在Rt△EFP2中，P‎2F=4，∴DP2=DF－P‎2F=1：在Rt△EFP3中，P‎3F=4，∴DP3=DF＋P‎3F=9。‎ 另AP=EP=5不成立。‎ 综上所述，DP=4或1或9。‎ ‎20. （2012黑龙江哈尔滨3分）一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】16或17。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。‎ ‎【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论：‎ ‎（1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16；‎ ‎（2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17。‎ ‎∴这个等腰三角形的周长是16或17。‎ ‎21. （2012黑龙江龙东地区3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 ▲ 。‎ ‎【答案】8或或。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】由已知的是一边上的高，分底边上的高和腰上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况：‎ ‎ （1）如图，当AD为底边上的高时， ‎ ‎∵ AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，‎ 在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，‎ 根据勾股定理得：。‎ ‎∴BC=2BD=8。‎ ‎ （2）如图，当CD为腰上的高时，‎ 若等腰三角形为锐角三角形，‎ ‎ 在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，‎ 根据勾股定理得：。‎ ‎∴BD=AB－AD=5－4=1。 ‎ 在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，‎ 根据勾股定理得：。‎ 若等腰三角形为钝角三角形， ‎ ‎ 在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，‎ 根据勾股定理得：。‎ ‎∴BD=AB＋AD=5＋4=9。‎ 在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，‎ 根据勾股定理得：。‎ 综上所述，等腰三角形的底边长为8或或。‎ 三、解答题 ‎1. （2012重庆市6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°。‎ ‎∵∠BAC=90°，∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°。∴BC=2AB=4。‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：。‎ ‎∴△ABC的周长是AC+BC+AB=+4+2=6+。‎ 答：△ABC的周长是6+。‎ ‎【考点】解直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案。‎ ‎2. （2012广东肇庆7分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． ‎ 求证：（1）BC=AD； ‎ ‎ （2）△OAB是等腰三角形．‎ ‎【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC与△BAD是直角三角形，‎ 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD ，AB=BA，∠ACB=∠BDA =900，‎ ‎∴△ABC≌△BAD（HL）。∴BC=AD。 （2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB。‎ ‎∴△OAB是等腰三角形。‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD。‎ ‎（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形。‎ ‎3. （2012湖北随州8分）如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.‎ 求证：（1）ΔABD≌ΔACD；(2)BE=CE ‎【答案】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD。‎ ‎ 在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，‎ ‎∴△ABC≌△ACD（SSS）。‎ ‎（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。‎ 在△ABE和△ACE中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，‎ ‎∴△ABE≌△ACE （SAS）。∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。‎ ‎（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。‎ ‎4. （2012湖南益阳6分）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．‎ 求证：AB=AC．‎ ‎5. （2012四川泸州5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。‎ 求证：AE∥BC ‎【答案】证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°。‎ ‎∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，即∠BCD=∠ACE。‎ ‎∵在△ACE和△BCD中，AC=BC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，∴△ACE≌△BCD（SAS）。‎ ‎∴∠EAC=∠DBC=60°=∠ACB。∴AE∥BC。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定。‎ ‎【分析】根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB，根据平行线的判定推出即可。‎ ‎6. （2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．‎ ‎（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；‎ ‎（2）若BF=EF，求证：AE=AD．‎ ‎【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。‎ ‎∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。‎ ‎∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。‎ ‎（2）连接BE。‎ ‎∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。‎ ‎∴EB=EF，∠EBF=60°。‎ ‎∵DC=EF，∴EB=DC。‎ ‎∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。‎ ‎∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。‎ ‎【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；‎ ‎（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。‎