2017年度高考数学快速命中考点2
2014高考数学快速命中考点2
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图1－5－1所示，则该函数的图象是( )
图1－5－1
【解析】 从导数的图象可看出，导函数值先增大后减小，当x＝0时，f′(x)有最大值．结合导数的几何意义知，B正确．
【答案】 B
2．已知f(x)＝x3－x2＋6x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，现给出如下结论：
①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(2)＞0；
④f(0)f(2)＜0.其中正确结论的序号为( )
A．①③ B．①④
C．②④ D．②③
【解析】 函数的导数为f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x2－3x＋2)＝3(x－1)(x－2)．则函数在x＝1处取得极大值，在x＝2处取得极小值，因为f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，所以函数有3个零点，则f(1)＞0，f(2)＜0，即解得即2＜abc＜，所以f(0)＝－abc＜0，所以f(0)f(1)＜0，f(0)f(2)＞0.所以选D.
【答案】 D
3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
【解析】 首先由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4
，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，
此期间行驶的距离为v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln 5.
【答案】 C
4．函数f(x)＝的最大值为( )
A．e B.
C．2e D.
【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝＝.
令f′(x)＝0得x＝，且当0
0，
当x>时，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值f()＝.
【答案】 D
5．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0
【解析】 ∵f′(x)＝ex＋1＞0，∴f(x)是增函数．∵g(x)的定义域是(0，＋∞)，∴g′(x)＝＋2x＞0，∴g(x)是(0，＋∞)上的增函数．∵f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，∴0＜a＜1.∵g(1)＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，∴1＜b＜2，∴f(b)＞0，g(a)＜0.
【答案】 A
二、填空题
6．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
【解析】 y′＝k＋，由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.
【答案】 －1
7．已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．
【解析】 f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立，
m≥－()2＋，
令g(x)＝－()2＋，则当＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1.
【答案】 [1，＋∞)
8．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈
R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x＞－1时，f′(x)＞0函数递增；当x＜－1时，f′(x)＜0函数递减，所以当x＝－1时f(x)取得极小值即最小值f(－1)＝－.函数g(x)的最大值为a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－.
【答案】
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a.
又f(1)＝a＋1＝c，
∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为y－c＝2a(x－1)，即y－2ax＋a－1＝0.
又∵g′(x)＝3x2＋b，则g′(1)＝3＋b.又g(1)＝1＋b＝c，
∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为
y－(1＋b)＝(3＋b)(x－1)，即y－(3＋b)x＋2＝0.
依题意知3＋b＝2a，且a－1＝2，即a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
28
－4
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3
查看更多
